1、铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 1 - 页 共 8 页 绝密启用前 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题
2、 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .请把答案填涂在答题卡上请把答案填涂在答题卡上. .） 1 1. . 设集合3 , 2 , 1 , 0 , 1A，02| 2 xxxB，则BA（） A3B3 , 2C3 , 1D2 , 1 , 0 2 2复数z满足 1 z i i ，则在复平面内复数z对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 3. . 已知向量1,1 ,2,2mn ，若 mnmn ,则=（） A.4B3C2D1 4 4为了得到函数) 3 2sin( xy的图
3、像，只需把函数xy2sin的图像（） A向左平移 3 个长度单位B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位D向右平移 6 个长度单位 5 5命题“xR ， 2 210xx ”的否定是（） AxR ， 2 210xx BxR ， 2 210xx CxR ， 2 210xx DxR ， 2 210xx 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 2 - 页 共 8 页 6 6麒麟是中国传统瑞兽古人认为，麒麟出没处，必有 祥瑞有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人如图 是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用 随机模拟的方法来估计现将图案剪成长5cm，宽4cm 的矩形，
4、然后在图案中随机产生了 500 个点，恰有248 个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的 估计值为() 2 cm A 25 248 B 125 62 C 125 63 D 248 25 7 7已知三棱锥ABCD的四个顶点, ,A B C D都在球O的表面上，,BCCD AC平 面BCD，且2 2,2ACBCCD，则球O的表面积为（） A4B8C16D2 2 8.8.已知函数x e e xf x x cos 1 1 )( 的图象大致形状是（） A.B. C.D. 9 9设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作倾斜角为 3 的 直线与
5、y轴和双曲线的右支分别交于点A、B，若 1 1 () 2 OAOBOF ，则该双曲线 的离心率为（） A2B 5 C2 3 D 3 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 3 - 页 共 8 页 10.10.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三， 问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ， 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 NMODmn ，例如 3112MOD 现将该问题以 程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（） A39B38 C37D36 11. 已知抛物线 2 8yx，
6、过点(1,0)M的直线交抛物线 于,A B两点，F为抛物线的焦点，若| 6AF ，O 为坐标原点，则OAB的面积是() A25B 2 25 C 2 52 D52 1212已知函数 2 1 e ,0 ( ) 1 2 ,0 2 x x f x xx x ，函数 ( )(1)g xk x ，若方程 ( )( )f xg x 恰有三个实 数解，则实数k的取值范围为（） A15,0)B(0,1+ 5)C(0,35D(0,35) 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 4 - 页 共 8 页 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
7、 1313已知 9 ) 1 ( x x 展开式中 5 x的系数是; 1 14 4. .设不等式组 30 20 10 x y xy 表示的平面区域为M，若直线kxy 经过区域M内的点， 则实数k的取值范围是; 1515. .在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，4c ， 4 2sinaA ，且C为锐角， 则ABC面积的最大值为; 1616已知下列命题： 函数 2 ( )lg(1)f xx在(,0上单调递减，在(0,)上单调递增； 若函数( ) |21| x f xa在R上有两个零点，则a的取值范围是(0,1)； 当1x 时，函数 1 ( ) 1 f xx x 的最大值为0；
8、 函数 ( )sincosf xxx 在 5 , 24 上单调递减； 上述命题正确的是_（填序号） 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共60分. 1717 （本小题满分本小题满分 1212 分）分） 设 n a是公差不为0的等差数列，其前n项和为 n S，已知 1 a， 2 a， 5 a成等比数列， 5 25S （1）求 n a的通项公式； （2）设( 1)2 n an nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 2n T 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 5 - 页 共 8 页 18.18.（本小
9、题满分本小题满分 1212 分）分） 如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE，G为BE的 中点. （1）求证：AG平面ADF； （2）若3AB，1BC，求二面角GACD的余弦值. 第 18 题图 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 6 - 页 共 8 页 1919 （本题满分（本题满分 1212 分）分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反 应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某 地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期 （单位:天） 0,2(2,4(
10、4,6(6,8(8,10(10,12(12,14 人数85205310250130155 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表） ； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜 伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列 联表. 请将列联表补充完整， 并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄 有关； 潜伏期6天潜伏期6天总计 50 岁以上 （含 50 岁）100 50 岁以下55 总计200 （3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的
11、频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天 发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机 调查了20名患者，设潜伏期超过 6 天的人数为X，则X的期望是多少？ 附： )( 0 2 kKP 0.050.0250.010 0 k 3.8415.0246.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd . 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 7 - 页 共 8 页 20.20.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知过椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的四个顶点与
12、坐标轴垂直的四条直线围成的 矩形ABCD（D是第一象限内的点）的面积为8 3，且过椭圆C的右焦点F的倾 斜角为60的直线过点D （1）求椭圆C的标准方程 （2）若射线,OP OQ与椭圆C的交点分别为,P Q当它们的斜率之积为 2 2 b a 时，试 问POQ的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由 21.21.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知函数 a x exf x ln )( （1）若)(xf在2 , 1 上是减函数，求实数a的最大值； （2）若10 a，求证： a a xf ln2 )( 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学第 - 8 -
13、页 共 8 页 （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一 个题目计分. 22选修44：极坐标与参数方程（本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ty tx 2 1 （t为参数） ，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0cos4sin2. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于A，B两点.求| AB. 23选修45：不等式选讲（本题满分10分） 已知函数 231f xxx. （1）求不等式 5f x 的解集； （2）若不等式 2f xxa在0,1上恒成
14、立，求实数a的取值范围. 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 1 - 页 共 9 页 绝密绝密启用前启用前 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学参考答案 第第卷（选择题卷（选择题共共 6060 分）分） 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. .请把答案填涂在答题卡上请把答案填涂在答题卡上. .） 题号123456789101112 答案答案C CA AB BD DC CA AC
15、CA AC CB BB BD D 1 1. . 答案：C，解析：02|xxxB或 2 2答案：A，解析： (1)111 1(1)(1)222 iiii zi iii ，故选 A. 3 3. . 答案：B，解析：30) 1(3) 1()32( 4 4答案：D，解析： 6 2sin 3 2sin xxy，因此，将函数sin2yx的 图象向右平移 6 个单位长度可得到函数sin 2 3 yx 的图象，故选：D。 5 5答案：C. 6 6答案：A，解析：依题意，矩形面积 2 5 420cmS ，设黑色部分的面积为 S ，根据几何概型的知 识，得 248 500 S S ，故答案选 A 7 7答案：C，
16、解析：由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， 2 2 22 22 22216R，求的外接球的表面积 2 416SR ，选 C 8 8. .答案：A，解析：x e e xg x x cos 1 1 )( ，)()(xgxg，即知x e e xg x x cos 1 1 )( 是R上奇函 数，又当) 2 , 0( x时，有0)(xg,结合选项，只有 A 符合题意. 9 9答案：C，解析：如图， )( 2 1 1 OFOBOA ，A为 1 BF的中点， 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 2 - 页 共 9 页 OAFRt 1 中，60 3
17、 1 OAF，所以cAO3，因O是 21F F中点， 所以AO是BFF 21 中位线，所以cBF32 2 且 212 FFBF ,在BFFRt 21 中，90 12F BF,30 21BF F,所以ccFFBF4222 211 , 由双曲线定义知：ccBFBFa3242 21 ， 所以32 32 1 a c 故选 C 1010答案：B，解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结 构计算并输出同时满足条件：被 3 除余 2，被 5 除余 3，由已知中四个答 案中的数据可得，故输出的n为 38，故选：B 11.11. 答 案 ： B ， 解 析 ： 抛 物 线 2 8yx的 准 线 方
18、 程 为2x ， 设 1122 ,A x yB x y，过点A作准线的垂线AH，如图，由抛物线的定义可知，| | 6AFAH， 1 26x ， 11 4,4 2xy，设直线AB的方程为 (1)(0)yk xk ， 由 2 (1) 8 yk x yx ，得 2222 280k xkxk， 122 1 11 1, 4 x xx x ， 2 2y ，OAB的面积 12 1115 2 11(4 22) 2222 OABAOMBOM SSSyy . 1212答案：D，解析：依题意，画出 2 1e ,0 ( ) 1 2 ,0 2 x x f x xx x 的图象， 如图直线( ) (1)g xk x 过定
19、点(1,0)，由图象可知，函数 ( )g x的图象 与 2 1 ( )2 ,0 2 f xxx x的图象相切时， 函数( ), ( )f x g x的图象恰有两个 交点下面利用导数法求该切线的斜率设切点为 00 (,)P x y ，由 ( )2,0f xxx ， 得 00 ()2kf xx 2 00 0 1 2 2 1 xx x ，化简得 2 00 24=0xx，解得 0 15x 或 0 15x （舍去）， 要使方程 ( )( )f xg x 恰有三个实数解，则函数 ( ), ( )f x g x的图象恰有三个交点， A B F1OF2x y 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数
20、学第 - 3 - 页 共 9 页 结合图象可知0 35k ，所以实数k的取值范围为(0,35)，故选 D 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 1313答案：36，解析：因为 9 1 x x 展开式的通项公式为 99 2 199 1 ( ) rrrrr r TC xC x x , 0,1,2,9r ,所以令925r,解得 2r = =,所以 9 1 x x 展开式中 5 x的系数 是 2 9 9 8 36 2 1 C .故答案为：36. 14.14.答案：2
21、 , 3 2 ，解析：作出可行域如图：因为函数kxy 的图象 (虚线部分)是过点)0 , 0(O，且斜率为k的直线l,由图知，当直线l过点 )2 , 1 (A时,k取最大值 2,当直线l过点)2 , 3(B时，k取最小值 3 2 , 故实数k的取值范围是2 , 3 2 .故答案为：2 , 3 2 1515. .答案：4 4 2 ，解析：因为4c ，又4 2 sinsin ca CA ， 所以 2 sin 2 C ，又C为锐角，可得 4 C . 因为 2222 162cos222ababCababab， 所以 16 8 22 22 ab ，当且仅当 8 22ab时等号成立， 即 12 sin44
22、 2 24 ABC SabCab ， 即当 8 22ab时，ABC面积的最大值为4 4 2 . 故答案为4 4 2 . 1616答案：，解析：根据复合函数同增异减的性质，可知函数 2 ( )lg(1)f xx在(,0上单 调递减，在(0, )上单调递增，故正确； 令( ) |21| x g x ，则函数( )g x的图象与直线y a 有两个交点，根据函数 ( )g x的图象可知01a ， 故正确； -2 - 101234x 4 3 2 1 0 -1 y 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 4 - 页 共 9 页 当1x 时，10x， 所以 11 ( )1 11 f xx
23、x xx 11 1(1)12 (1)11 11 xx xx （当且仅当 1 1 1 x x 即x=0时取等号） ，所以函数 ( )f x 1 1 x x 的最大值为1，故不正确 ( )sincos2sin() 4 f xxxx ，当 5 , 24 x 时， 4 x 3 , 42 ，此时 ( )f x单调递减，故正 确；综上，命题正确的序号为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .） （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 1717解答解答： （1）设
24、 n a的公差为(0)d d ，则 21 aad， 51 4aad， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列， 2 215 aa a，又 51 54 525 2 d Sa ， 1 1a ，2d ， 即 n a的通项公式为21 n an6 分 （2）由（1）得， 21 ( 1) (21)2 nn n bn ， 1341 2 1 357(41)222 n n Tn 1341 ( 1 3)( 57) (43)(41)(222) n nn 2 41 2 (1 4 )12 222 1 433 n n nn .12 分 18.解答解答： （1）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直， ABAD
25、， 矩形ABCD菱形ABABEF ，AD平面ABEF， AG平面ABEF，AGAD ， 菱形ABEF中，60ABE，G为BE的中点，BEAG ，AFAG ， AAFAD，AG平面ADF. 6 分 （2）由(1)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴， 建立空间直角坐标系， 3AB，1BC，则1AD， 2 3 AG， 故)0 , 0 , 0(A，) 1 , 2 3 , 2 3 (C，) 1 , 0 , 0(D，)0 , 0 , 2 3 (G， 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 5 - 页 共 9 页 则) 1 , 2 3 , 2 3
26、 (AC，) 1 , 0 , 0(AD，)0 , 0 , 2 3 (AG， 设平面ACD的法向量),( 1111 zyxn ， 则 0 0 2 3 2 3 11 1111 znAD zyxnAC ，取3 1 y，得)0 , 3, 1 ( 1 n， 设平面ACG的法向量),( 2222 zyxn ，则 0 2 3 0 2 3 2 3 22 2222 xnAG zyxnAC ， 取2 2 y，得)3, 2 , 0( 2 n， 设二面角GACD的平面角为，则 7 21 72 32 | | |cos| 21 21 nn nn ， 由图可知为钝角，所以二面角GACD的余弦值为 7 21 12 分 19解
27、答解答： （1）根据统计数据，计算平均数为： 1 1 853 2055 31072509 130 11 15 13 55.4 1000 x （）天4 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6天潜伏期6天总计 50 岁以上（含 50 岁）6535100 50 岁以下5545100 总计12080200 则 2 2 (65 4555 35)20025 120 80 100 10012 K 2.083， 经查表，得 2 2.0833.841K ， 所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关. 8 分 （3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 4002 10005
28、 ， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X，则X服从二项分布： 2 (20, ) 5 XB， 20 20 23 () 55 kk k P XkC ，0k ，1，2，20， 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 6 - 页 共 9 页 则8 5 2 20)(XE 所以，X的期望为8)(XE12 分 20.解答解答： （1）由题意得：,D a b，,0F c，2 28 3ab ， 2 3ab . 直线DF的斜率 0 tan603 bb k acac ，3bac ， 由 222 2 3 3 ab bac abc 得： 2 3 1 a b c ，椭圆C的标准方程为
29、 22 1 43 xy .6 分 （2）POQ的面积为定值 3，理由如下：设 11 ,P x y， 22 ,Q xy， 当直线PQ斜率存在时，设方程为y kxm . 由 22 1 43 ykxm xy 得： 222 3484120kxkmxm， 则 222222 644 3441248 430kkmkmm ，即 22 43mk ， 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 222 2 2 1212 2 4 3143 14 34 kkm PQkxxx x k ， 又点O到直线PQ的距离 2 1 m d k ， 22 2 2 3431 234 POQ
30、mkm SPQ d k . 12 12 3 4 OPOQ y y kk x x ， 22 2 22 2 12122 2 12 2 8 3 34 4124 34 k m m k x xkm xxm k k mx x k ， 化简可得： 22 234mk ，满足 ， 2222 22 2 3432 32 3 342 POQ mkmmmm S km ；10 分 当直线PQ斜率不存在时， 3 4 OPOQ kk 且 OPOQ kk ，可设 3 2 OP k ， 3 2 OQ k ， 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 7 - 页 共 9 页 则点,P Q的坐标分别为 6 2, 2
31、 P ， 6 2, 2 Q ，此时 1 263 2 POQ S； 综上所述：POQ的面积为定值 3.12 分 21.解答解答： （1） 1 ( )e(0) x fxx ax ， 在1,2上，因为( )f x是减函数，所以 1 ( )e0 x fx ax 恒成立， 即 1 exx a 恒成立，只需 max 1 ( e ) x x a 令( )ext xx，1,2x，则( )ee xx t xx，因为1,2x，所以( )0t x 所以( )ext xx在1,2上是增函数，所以 2 max ( e )2e x x，所以 2 1 2e a ，解得 2 1 0 2e a 所以实数a的最大值为 2 1 2
32、e .6 分 （2） ln ( )e(0) x x f xx a ， 1 ( )exfx ax 令 1 ( )e(0) x g xx ax ，则 2 1 ( )exg x ax ， 根据题意知( )0g x ，所以( )g x在(0,)上是增函数8 分 又因为 1 1 ( )e10 a g a ， 当x从正方向趋近于 0 时， 1 ax 趋近于，ex趋近于 1，所以 1 ( )e0 x g x ax ， 所以，存在 0 1 (0,)x a ，使 0 0 0 1 ()e0 x g x ax ， 即 0 0 1 ex ax ， 000 ln()lnlnxaxax ， 所以对任意 0 (0,)xx，
33、( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在 0 (0,)x上是减函数； 对任意 0 (,)xx，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在 0 (,)x 上是增函数， 所以当 0 xx时，( )f x取得最小值，最小值为 0 ()f x 由于 0 0 1 ex ax ， 00 lnlnxxa， 则 a a a x x a a x x aa ax axa x exf x ln2 ln 1 2 1 ln 11ln1ln )( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 当且仅当 0 0 1 x x ，即 0 1x 时取等号， 所以当01a时， 2ln ( ) a f x a 12 分
34、铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 8 - 页 共 9 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 两题中任选一题作答两题中任选一题作答. .如果多做，则按所做第一个题目计如果多做，则按所做第一个题目计 分分. . 2222选修选修 4 44 4：极坐标与参数方程（本题满分：极坐标与参数方程（本题满分 1010 分）分） 解答解答： （1）由题意，将 1 2 xt yt （t为参数）中的参数t消去，可得22yx 即直线l的普通方程为22yx， 由 2 sin4cos0， 可得 22 sin4 cos， 又由cos
35、,sinxy， 代入可得 2 4yx， 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4yx5 分 （2）令 5 5 t t ，则有 5 1, 5 2 5 , 5 xt yt （ t 为参数）. 将其代入方程 2 4yx中，得 2 44 5 40 55 tt ，其中 2 4 54 55 . 设点A，B对应的参数分别为 1 t ， 2 t ，则 12 5tt， 12 5t t ， 所以 2 121212 45205ABttttt t .10 分 （用其他方法求出5AB，按照相应步骤给分） 2323选修选修 4 45 5：不等式选讲（本题满分：不等式选讲（本题满分 1010 分）分） 解解答答： （1） 52315f xxx 5132 2 3 5132 2 3 1 5132 1 xx x xx x xx x 或或 3 7 2 3 2 3 1xxx或或 3 7 1x 综上，不等式 5f x 的解集为 7 1 3 xx 5 分 （2）对0,1x ， 2f xxa恒成立，即2312xxxa在0,1x恒成立， 即42xxa，则有04 x，424xxax， 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试答案 理科数学第 - 9 - 页 共 9 页 4, 43 ax ax 在0,1x恒成立， 4, 1, a a 4,1a 10 分
