1、湖南名师联盟湖南名师联盟 20202020 届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中
2、，只有一 项是符合题目 要求的 1已知集合 2 , x Ay yxR， lg 2Bx yx，则AB （ ） A0,2 B,2 C,2 D0,2 2若复数 z 满足12z ii（i 为虚数单位） ，则z为（ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 3AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当 AQI 不大于 100 气质量为“优良”是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ） A这 12 天的 AQI 的中位数是 90 B12 天中超过 7 天空气质量为“优良” C从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好 D这 12 天的 AQI 的
3、平均值为 100 4已知平面向量2,3a ，,4bx，若 aab，则x（ ） A1 B 1 2 C2 D3 5某围棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员 的概率为（ ） A 3 10 B 3 5 C 4 5 D 7 10 6已知 m，n 表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A若m/，/n，则mn/ B若m，n，则mn/ C若m，mn，则/n D若m/，mn，则n 7函数 3sin 2 2 f xx 的图象向左平移 6 个单位长度后，所得到的图象关于原点对称， 则等于（ ） A 6 B 6 C 3 D 3 8下图是某实心
4、机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ） A66 2 B66 4 C66 2 D66 4 9函数 2 ln1f xxx的图象大致是（ ） A B C D 10正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 折叠，使点 B 与点 C 间的距离为3，则四面体 ABCD 外接 球的表面积为（ ） A6 B7 C8 D9 11有如下命题：函数sinyx与yx的图象恰有三个交点；函数sinyx与yx的图象恰有 2 一个交点； 函数sinyx与 2 yx的图象恰有两个交点； 函数sinyx与 3 yx的图象恰有三个交点， 其中真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12若函数 2 1f xxx
5、axb的图象关于点2,0对称， 1 x， 2 x分别是 f x的极大值点与极 小值点，则 21 xx（ ） A3 B2 3 C2 3 D3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13在ABC中，若13AB ，3BC ，120C，则AC _ 14如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则AB AC_ 15在 4 1xx的展开式中， 2 x项的系数为_（结果用数值表示） 16 定义在正实数上的函数 f xxx， 其中 x表示不小于 x 的最小整数， 如0.21，1.62， 当0,xn， * nN时，函数 f x的值域为 n A，记集合 n A中元素的个数为 n a，则 n
6、a _ 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 如图， 在平面四边形 ABCD 中， 2 3AB ，2AC ，90ADCCAB， 设D A C （1）若60，求 BD 的长度； （2）若30ADB，求tan 18 （12 分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取 4000 名考生的成绩，频率分布直方图如 下图所示 （1）求这 4000 名考生的平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点值作代表） ； （2）由直方图可认为考生考试成绩 z 服从正态分布 2 2 N ，其中， 2 分别取考生的平均成绩x和考 生成绩的方差 2 s
7、，那么抽取的 4000 名考生成绩超过 84.81 分（含 84.81 分）的人数估计有多少人？ （3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取 4 名考生，记成 绩不超过 84.81 分的考生人数为，求3P （精确到 0.001） 附： 2 204.75s ，204.7514.31； 2 ,zN ，则0.6826Pz，220.9544Pz； 4 0.84130.501 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中， 1111 60B A AC A A， 1 4AAAC， 2AB ，P， Q 分别为棱 1 AA，AC 的中点 （1）在 BC 上确定点
8、 M，使/AM平面 1 PQB，并说明理由； （2）若侧面 11 ACC A 侧面 11 ABB A，求直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值 20 （12 分）已知两直线方程 1 2 : 2 lyx与 2 2 : 2 lyx ，点 A 在 1 l上运动，点 B 在 2 l上运动，且线段 AB 的长为定值2 2 （1）求线段 AB 的中点 C 的轨迹方程； （2）设直线: l ykxm与点 C 的轨迹相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 5 4 OMON kk，求原点 O 到直线l的距离的取值范围 21 （12 分）已知函数 212 11 22 x f xexe fx （1）求
9、f x的单调区间； （2）若存在 1 x， 212 xxx，使得 12 1f xf x，求证： 12 2xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 C的参数方程为 32cos 22sin x y （为参数） ，直线 2 C的方程为 3 3 yx，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）若直线 2 C与曲线 1 C交于 P，Q 两点，求OP OQ的值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 2
10、20f xxmxm m （1）当1m时，求不等式 1f x 的解集； （2）若xR ，tR ，使得 11f xtt ，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1 【答案】A 【解析】 2 ,0 x Ay yxRy y， 12202,2Bx ygxxxx x ， 020,2ABxx 2 【答案】A、 【解析】12z ii（i 为虚数单位） ，112 1ziii ， 221zi，解得1zi ，则1zi 3 【答案】C 【解析】这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 95 104 99 2 ，
11、故 A 不正确； 这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，85，77，67，72，92 共 6 天，故 B 不正确； 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好，故 C 正确； 这 12 天的 AQI 指数值的平均值约为 110，故 D 不正确 4 【答案】B 【解析】2, 1abx， aab， 2 230aabx ，解得 1 2 x . 5 【答案】D 【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派 2 人参加围棋比赛的方法有 2 5 C种， 而选出的 2 人中没有女队员的方法有 2 3 C种， 结合古典概型计算公式可得：选出的 2 人中有女队员的概率为 22 53 2 5 1037 1010
12、 CC P C . 6 【答案】B 【解析】A若/m，/n，则 m，n 相交或平行或异面，故 A 错； B若m，n ，由线面垂直的性质定理可知m n/，故 B 正确； C若m，mn，则/n或na，故 C 错； D若/m，mn ，则 /n或n或n，故 D 错 7 【答案】D 【解析】函数 3sin 2 2 f xx 的图象向左平移 6 个单位后， 得 3sin 2 32 g xx 图象， 由于平移后的图象关于原点对称，故 03sin0 3 g ， 3 kZk ，由 2 ，得 3 8 【答案】B 【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱， 其中长方体的长宽高分别为 3，3，4，圆柱
13、的底面半径为1r ，圆柱的高为 5， 据此可得，组合体的表面积23 3 3 4 3 421 2664S 9 【答案】B 【解析】代0x，知函数过原点，故排除 D， 代入1x ，得0y ，排除 C， 代入0.0000000001x，0y ，排除 A 10 【答案】B 【解析】根据题意可知四面体 ABCD 的三条侧棱BDAD、DCDA， 底面是等腰BDC， 它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点 D 的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面BDC，1BDCD，3BC ，120BDC ， BDC的外接圆的半径为 13 1 2sin120 ， 由题意可得
14、球心到底面的距离为 3 2 ， 球的半径为 37 1 42 r ，外接球的表面积为 2 47 11 【答案】C 【解析】设 sinf xxx，则 cos10fxx ，即函数 f x为减函数， 00f，函数 f x是奇函数， 函数 f x只有一个零点，即函数sinyx与yx的图象恰有一个交点，故错误， 由知当0x时，sinxx；当01x时，sinxxx； 当1x 时，sinxx当0x时，sin xx， 故函数sinyx与yx的图象恰有一个交点，故正确， 作出函数sinyx与 2 yx的图象， 由图象知两个函数有 2 个交点， 即函数sinyx与 2 yx的图象恰 有两个交点，故正确， 作出函数s
15、inyx与 3 yx的图象，由图象知两个函数有 3 个交点，即函数sinyx与 3 yx的图象恰 有三个交点，故正确 12 【答案】C 【解析】由题意可得23 420fab， 函数图象关于点2,0对称，且 10f，故50f ， 即56 25 50fab， 据此可得 240 5250 ba ba ，解得 10 7 b a ， 故函数的解析式为 232 17106310f xxxxxxx ， 22 3123341fxxxxx ， 结合题意可知 1 x， 1 x是方程 2 410xx 的两个实数根，且 12 xx， 故 2 2 2112121 2 444 12 3xxxxxxx x . 二、填空题：
16、本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 【答案】1 【解析】由余弦定理得 2 1393ACAC，解得1AC 或4AC （舍去） 14 【答案】2 【解析】过点 C 作CDAB于 D，则 D 为 AB 的中点， 2 1 2 2 AB ACABADDCAB ADAB 15 【答案】19 【解析】由于 22 xxx， 2 2 xxx， 4 20 xxx， 据此结合排列组合的性质可得 2 x项的系数 20212104 42243144 6 12 119C C CC C CC C 16 【答案】 1 2 n n 【解析】易知，当1n 时，因为0,1x，所以 1x ， 所以 1xx，所以 1 1A ，
17、1 1a 当2n时，当1,2x，则 2x ，所以 2,4xx， 所以 2 1,3,4A ， 2 3a 当3n时，当2,3x，则 3x ，所以 36,9xxx， 3 1,3,4,7,8,9A ， 3 6a ； 当4n时，当3,4x，则仅 4x ，所以 412,16xxx， 所以 4 1,3,4,7,8,9,13,14,15,16A ， 4 10a ； 当5n时，当4,5x，则 5x ，所以 520,25xxx， 所以 5 1,3,4,78,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25A ， 5 15a 由此类推： 1nn aan 故 121321 1 1 23 2 nnn n n a
18、aaaaaaan 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）19； （2） 2 3 3 【解析】 （1）由题意可知，1AD ， 在ABD中，150DAB，2 3AB ，1AD ， 由余弦定理可知， 2 22 3 2 312 2 3 119 2 BD ，19BD （2）由题意可知，2cosAD，60ABD 在ABD中，由正弦定理可知， sinsinABD AAB A B D D 2cos 4 3 sin 60 ， 2 tan3 3 18 【答案】 （1）70.5x 分； （2）约 635 人； （3）0.499 【解析】 （1）由
19、题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.170.5x ， 4000名考生的竞赛平均成绩x为 70.5 分 （2）依题意 z 服从正态分布 2 2 N ，其中70.5x， 2 20 7 . 4 5D，1431，z服从正 态分布 22 2 .705,1431.NN ， 而56198481068.62PzPz， .1 0 6826 8481015 7.8. 2 P z 竞赛成绩超过 84.81 分（含 84.81 分）的人数估计为0.1587 4
20、000634.8人635人 （3）全市竞赛考生成绩不超过 84.81 分的概率1 0.15870.8413 而4,0.8413B， 44 4 31410.84131 0.5010.499PPC 19 【答案】 （1）详见解析； （2） 39 13 【解析】 （1）取 1 BB中点 E，连结 AE，BQ， 在 1 BBQ中，取 H 为 BQ 中点，连接 EH，AH，则 1 / /EHBQ， 延长 AH 与 BC 交于点 M，则 M 即为所求点， 11 ABB A为平行四边形，点 E，P 为中点，则 1 / /AEPB 由线面平行的判定定理可得/AE平面 1 PQB， 同理可得，/EH平面 1 P
21、QB， 又AEEHE， 111 B PBQB， 据此可得平面/AME平面 1 PQB，故/AM平面 1 PQB （2）作QO 平面 11 ABB A，与 1 AA延长线交于 O， 则1AO，3QO ， 1 1 2542 5 219 2 OB ， 1 22QB 1 2B P ，2 3PQ ， 1 124223 cos 42 2 32 QPB ， 1 13 sin 4 QPB ， 1 11339 2 32 242 PQB S 作 11 / /PNC A，则直线 11 AC与平面 1 PQB所成角即直线PN与平面 1 PQB所成角， 1 432 3 2 PQN S ， 1 1 2 332 3 BPQ
22、N V 设 N 到平面 1 PQB的距离为 h，则 139 2 32 h， 4 39 13 h， 直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值为 39 413 h 20 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y 2 14 0, 7 【解析】 （1）点 A 在 1 2 : 2 lyx上运动，点 B 在 2 2 : 2 lyx 上运动， 设 11 2 , 2 A xx ， 22 2 , 2 B xx ， 线段AB的中点,C x y，则有 12 2 xx x ， 12 22 22 2 xx y ， 12 2xxx， 12 2 2xxy， 线段AB的长为定值2 2， 2 2 1212 22 8 2
23、2 xxxx ， 22 2 228yx，化简得 2 2 1 4 x y， 线段AB的中点 C 的轨迹方程为 2 2 1 4 x y （2）设 33 ,M x y， 44 ,N x y，联立 2 2 1 4 x y ykxm ， 得 222 418440kxkxm， 2 22 84 41 440kmkm ， 化简得 22 41mk，则 34 2 8 41 km xx k ， 2 34 2 44 41 m x x k ， 22 34349434 y ykxmkxmk x xkm xxm， 若 5 4 OMON kk，则 34 34 5 4 y y x x ，即 3434 45y yx x， 所以
24、22 543454 4445k x xkm xxmx x， 即 2 22 22 448 45440 4141 mkm kkmm kk ，化简得 22 5 4 mk， 由得 2 6 0 5 m， 2 15 204 k， 因为 O 到直线 l 的距离 2 1 m d k ，所以 2 2 2 22 2 5 9 4 1 114 1 k m d kkk ， 又因为 2 15 204 k，所以 2 8 0 7 d， 所以 O 到直线 l 的距离的取值范围是 2 14 0, 7 21 【答案】 （1）函数 f x在 R 上单调递增； （2）证明见解析 【解析】 （1） 21 1 2 2 x fxexe f
25、， 令 1 2 x ，则 111 1 22 fe f e ，解得 11 2 f e ， 21 21 x fxex ， 令 21 21 x h xex ， 2111 22211 xxx h xeee ， 1x 时，函数 fx取得极小值即最小值， 10fxf， 函数 f x在 R 上单调递增 （2）由（1）可得函 212 1 2 x f xexx 在 R 上单调递增 要证明 121212 222xxxxf xfx， 又 12 1f xf x，因此 1222 212f xfxf xfx ， 即 22 210f xfx ， 11 11 1 22 f ，则 12 1xx ， 令 2 2 12(1)2 1
26、1 21221 22 xx g xfxf xexxexx 2 1212 11 243 22 xx eexx ， 1x ， 10g， 2 121 44 xx gxeex ， 令 2 121 44 xx xeex ， 2 121 2240 xx xee ， g x 在 1,上单调递增 10g xg ，函数 g x在1,上单调递增 10g xg，因此结论 12 2xx成立 22 【答案】 （1） 2 2 3 cos4 sin30； （2）3 【解析】 （1）曲线 1 C的普通方程为 2 2 324xy， 则 1 C的极坐标方程为 2 2 3 cos4 sin30 （2）设 1, P ， 2, Q ，
27、 将 6 代入 2 2 3 cos4 sin30，得 2 530， 所以 12 3 ，所以3OP OQ 23 【答案】 （1） 2 2, 3 ， （2）01m 【解析】 （1）当1m时， 1 1221 31 x xx x 或 11 31 1 x x 或 1 31 x x ， 解得 2 2 3 x ，所以原不等式的解集为 2 2, 3 （2） 1111f xttf xtt 对任意xR恒成立，对实数 t 有解 f 3 , 3, 3 , xm xm f xxmmxm xmm x ， 根据分段函数的单调性可知：xm时， f x取得最大值2fmm， 11112tttt ， 2112tt ，即11tt 的最大值为 2， 所以问题转化为22m，解得01m
