1、山东省淄博市山东省淄博市 2020 届高三第一次模拟考试数学试题届高三第一次模拟考试数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，集合 A2，3，5，集合 B1，3，4，6，则集 合 A（UB）（ ） A3 B1，4，6 C2，5 D2，3，5 2命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnxx1 Bx（0，+） ，lnxx1 Cx0（0，+） ，lnx
2、0x01 Dx0（0，+） ，lnx0x01 3设 z= 1 1+ +2i，则|z|（ ） A0 B1 2 C1 D2 4二项式（x+1）n（nN+）的展开式中 x2的系数为 15，则 n（ ） A7 B6 C5 D4 5已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并 延长到点 F，使得 DE2EF，则 的值为（ ） A 5 8 B1 4 C1 8 D11 8 6直线 x+y+20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y22 上，则 ABP 面积的取值范围是（ ） A2，6 B4，8 C2，32 D22，32 7已
3、知函数 f（x）= ， 0 ，0，g（x）f（x）+x+a若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的 取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 8已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的 正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为（ ） A86 B46 C26 D6 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分
4、，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图根据该折 线图，下列结论正确的是（ ） A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 C2017 年 1 月至 12 月接待游客量的中位数为 30 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 10如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 E
5、F= 1 2， 则下列结论中正确的是（ ） AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 11已知椭圆 2 4 + 2 3 = 1的左、右焦点分别为 F、E，直线 xm（1m1）与椭圆相 交于点 A、B，则（ ） A当 m0 时，FAB 的面积为3 B不存在 m 使FAB 为直角三角形 C存在 m 使四边形 FBEA 面积最大 D存在 m，使FAB 的周长最大 12 函数 f （x） 在a， b上有定义， 若对任意 x1， x2a， b， 有(1+2 2 ) 1 2 (1) + (2)则称 f （x） 在a， b上具有性质 P 设 f
6、 （x） 在1， 3上具有性质 P， 则下列说法错误的是 （ ） Af（x）在1，3上的图象是连续不断的 Bf（x2）在1，3上具有性质 P C若 f（x）在 x2 处取得最大值 1，则 f（x）l，x1，3 D对任意 x1，x2，x3，x41，3，有(1+2+3+4 4 ) 1 2f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法 共有 种 （用数字填写答案） 14已知 a，bR，且 a3b+60，则 2
7、a+ 1 8的最小值为 15已知椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，双曲线 N： 2 2 2 2 =1若双曲线 N 的两条渐 近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的 离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 16已知函数 f（x）2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列an满足 a11，an+14an+3n1，bnan+n （1）证明：数列bn为等比数列； （2）求数列an
8、的前 n 项和 18已知 A、B 分别在射线 CM、CN（不含端点 C）上运动，MCN= 2 3，在ABC 中， 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c （）若 a、b、c 依次成等差数列，且公差为 2求 c 的值； （）若 c= 3，ABC，试用 表示ABC 的周长，并求周长的最大值 19如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点 （1）证明：平面 AMD平面 BMC； （2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 20 如图， 已知抛物线x2y， 点A （ 1 2， 1 4） ， B （ 3
9、 2， 9 4） ， 抛物线上的点P （x， y） （ 1 2x 3 2） ， 过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （）求直线 AP 斜率的取值范围； （）求|PA|PQ|的最大值 21如图是我国 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年 份代码 17 分别对应年份 20122018 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处 理量 参考数据： 7 1 = 9.32， 7 1 ( )( ) 2.89， 7 1
10、 ( )2 0.55， 7 2.646 参考公式：相关系数 = =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，回归方程 = + 中斜率和截距的 最小二乘估计公式分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 22已知函数 f（x）x22xlnx，函数 g（x）x+ ()2，其中 aR，x0是 g（x）的 一个极值点，且 g（x0）2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求实数 x0和 a 的值； （3）证明 1 1 421 1 2 (2 + 1)( ) 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小
11、题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，集合 A2，3，5，集合 B1，3，4，6，则集 合 A（UB）（ ） A3 B1，4，6 C2，5 D2，3，5 由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 的补集的交集即可 全集 U1，2，3，4，5，6，集合 A2，3，5，集合 B1，3，4，6， UB2，5， 则 A（UB）2，5， 故选：C 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnxx1 Bx（0，+） ，l
12、nxx1 Cx0（0，+） ，lnx0x01 Dx0（0，+） ，lnx0x01 根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案 命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” 故选：B 本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题 3设 z= 1 1+ +2i，则|z|（ ） A0 B1 2 C1 D2 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模 z= 1 1+ +2i= (1)(1) (1)(1+) +2ii+2ii， 则|z|1 故选：C 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力 4二项式（x+1）n（nN+）的
13、展开式中 x2的系数为 15，则 n（ ） A7 B6 C5 D4 由题意可得 2 = (1) 2 =15，解关于 n 的方程可得 二项式（x+1）n（nN+）的展开式中 x2的系数为 15， 2 =15，即(;1) 2 =15，解得 n6， 故选：B 本题考查二项式定理，属基础题 5已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并 延长到点 F，使得 DE2EF，则 的值为（ ） A 5 8 B1 4 C1 8 D11 8 由题意画出图形，把 、 都用 、 表示，然后代入数量积公式得答案 如图， D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE2
14、EF， = ( + ) = ( 1 2 + 3 2 ) = ( 1 2 + 3 4 ) = ( 1 2 + 3 4 3 4 ) = ( 5 4 + 3 4 ) = 5 4 + 3 4 2 = 5 4 | | | |60 + 3 4 12 = 5 4 1 1 1 2 + 3 4 = 1 8 故选：C 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题 6直线 x+y+20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y22 上，则 ABP 面积的取值范围是（ ） A2，6 B4，8 C2，32 D22，32 求出 A（2，0） ，B（0，2） ，|AB|22
15、，设 P（2+2，2） ，点 P 到直线 x+y+20 的距离：d= |2+2+2+2| 2 = |2(+ 4)+4| 2 2，32，由此能求出 ABP 面积的取值范围 直线 x+y+20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， 令 x0，得 y2，令 y0，得 x2， A（2，0） ，B（0，2） ，|AB|= 4 + 4 =22， 点 P 在圆（x2）2+y22 上，设 P（2+2，2） ， 点 P 到直线 x+y+20 的距离： d= |2+2+2+2| 2 = |2(+ 4)+4| 2 ， sin（ + 4）1，1，d= |2(+ 4)+4| 2 2，32， ABP 面积的取值范围
16、是： 1 2 22 2，1 2 22 322，6 故选：A 本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参 数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 7已知函数 f（x）= ， 0 ，0，g（x）f（x）+x+a若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的 取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 由 g（x）0 得 f（x）xa，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数 零点之间的关系进行转化求解即可 由 g（x）0 得 f（x）xa， 作出函数 f（x）和 yxa 的图象如图： 当直线 yxa
17、的截距a1，即 a1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g（x）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是1，+） ， 故选：C 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交 点问题是解决本题的关键 8已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的 正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为（ ） A86 B46 C26 D6 由题意画出图形，证明三棱锥 PABC 为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补 形法求外接球球 O 的体积 如图， 由 PAPBPC，ABC 是
18、边长为 2 的正三角形，可知三棱锥 PABC 为正三棱锥， 则顶点 P 在底面的射影 O1为底面三角形的中心，连接 BO1 并延长，交 AC 于 G， 则 ACBG，又 PO1AC，PO1BGO1，可得 AC平面 PBG，则 PBAC， E，F 分别是 PA，AB 的中点，EFPB， 又CEF90，即 EFCE，PBCE，得 PB平面 PAC， 正三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 D= 2+ 2+ 2= 6 半径为 6 2 ，则球 O 的体积为4 3 ( 6 2 )3=6 故选：D 本题考查多面体外接球体积的求法，考
19、查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是 中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图根据该折 线图，下列结论正确的是（ ） A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待
20、游客量高峰期大致在 8 月 C2017 年 1 月至 12 月接待游客量的中位数为 30 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 根据 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图逐一判断 由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得： 在 A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A 正确； 在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故 B 正确； 在 C 中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故 C 错误； 在 D 中，各年 1
21、月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平 稳，故 D 正确 故选：ABD 本题考查了根据折线图获取信息，属于基础题 10如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF= 1 2， 则下列结论中正确的是（ ）来源:学科网 ZXXK AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 连结 BD，则 AC平面 BB1D1D，BDB1D1，点 A、B 到直线 B1D1的距离不相等，由此 能求出结果 连结 BD，则 AC平面 BB1D1D，BDB1D1， ACBE，
22、EF平面 ABCD，三棱锥 ABEF 的体积为定值， 从而 A，B，C 正确 点 A、B 到直线 B1D1的距离不相等， AEF 的面积与BEF 的面积不相等， 故 D 错误 故选：ABC 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养来 源:学1) = 1，可得 e48e2+40，e（0，1） ， 解得 e= 3 1 同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即 =3， 可得： 2 2 = 3，即 2:2 2 = 4， 可得双曲线的离心率为 e= 2+2 2 =2 故答案为：3 1；2 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力来源:学科网 ZXXK 16已知函数
23、 f（x）2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 33 2 由题意可得 T2 是 f（x）的一个周期，问题转化为 f（x）在0，2）上的最小值，求 导数计算极值和端点值，比较可得 由题意可得 T2 是 f（x）2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑 f（x）2sinx+sin2x 在0，2）上的值域， 先来求该函数在0，2）上的极值点， 求导数可得 f（x）2cosx+2cos2x 2cosx+2（2cos2x1）2（2cosx1） （cosx+1） ， 令 f（x）0 可解得 cosx= 1 2或 cosx1， 可得此时 x= 3， 或 5 3 ； y2sinx+sin2x
24、 的最小值只能在点 x= 3， 或 5 3 和边界点 x0 中取到， 计算可得 f（ 3）= 33 2 ，f（）0，f（ 5 3 ）= 33 2 ，f（0）0， 函数的最小值为 33 2 ， 故答案为： 33 2 本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列an满足 a11，an+14an+3n1，bnan+n （1）证明：数列bn为等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 （1）直接利用数列的递推关系式和等比数列
25、的定义的应用求出结果 （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和 证明： （1）数列an满足 a11，an+14an+3n1，bnan+n 所以 bn+1an+1+n+14an+3n1+n14（an+n） ， 故数列+1 = 4(:) : = 4（常数） ， 所以数列bn是以 b1a1+12 为首项，4 为公比的等比数列 解： （2）由于数列bn是以 b1a1+12 为首项，4 为公比的等比数列， 所以= + = 1 4;1= 22;1 所以= 22;1 ， 故 Tna1+a2+an （21+23+22n 1） （1+2+n） =2(41) 41 (+1) 2 = 22+12 3 (
26、+1) 2 本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，分组 法在求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 18已知 A、B 分别在射线 CM、CN（不含端点 C）上运动，MCN= 2 3，在ABC 中， 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c （）若 a、b、c 依次成等差数列，且公差为 2求 c 的值； （）若 c= 3，ABC，试用 表示ABC 的周长，并求周长的最大值 （）由题意可得 ac4、bc2又因 = 2 3， = 1 2，可得 2:2;2 2 = 1 2，恒等变形得 c 29c+140，再结合 c4，可得 c 的值 （） 在A
27、BC 中， 由正弦定理可得 AC2sin， = 2( 3 ) ABC 的周长 f （） |AC|+|BC|+|AB|= 2( + 3) + 3再由 (0， 3)，利用正弦函数的定义域和值域， 求得 f（）取得最大值 （）a、b、c 成等差，且公差为 2，ac4、bc2 又 = 2 3 ， = 1 2， 2:2;2 2 = 1 2， (;4)2:(;2)2;2 2(;4)(;2) = 1 2， 恒等变形得 c29c+140，解得 c7，或 c2 又c4，c7（6 分） （）在ABC 中，由正弦定理可得 = = ， = ( 3;) = 3 2 3 = 2，AC2sin， = 2( 3 ) ABC
28、的周长 f（）|AC|+|BC|+|AB|= 2 + 2( 3 ) + 3 = 21 2 + 3 2 + 3 = 2( + 3) + 3， 又 (0， 3)， 3 + 3 2 3 ， 当 + 3 = 2，即 = 6时，f（）取得最大值2 + 3 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 19如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点 （1）证明：平面 AMD平面 BMC； （2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 （1）根据面面垂直的判定定理证明 MC平面 ADM
29、 即可 （2）根据三棱锥的体积最大，确定 M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标， 利用向量法进行求解即可 （1）证明：在半圆中，DMMC， 正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， AD平面 DCM，则 ADMC， ADDMD， MC平面 ADM， MC平面 MBC， 平面 AMD平面 BMC （2）ABC 的面积为定值， 要使三棱锥 MABC 体积最大，则三棱锥的高最大， 此时 M 为圆弧的中点， 建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形 ABCD 的边长为 2， A（2，1，0） ，B（2，1，0） ，M（0，0，1） ， 则平面 MCD 的法向量
30、=（1，0，0） ， 设平面 MAB 的法向量为 =（x，y，z） 则 =（0，2，0） ， =（2，1，1） ， 由 =2y0， = 2x+y+z0， 令 x1， 则 y0，z2，即 =（1，0，2） ， 则 cos ， = | |= 1 11+4 = 1 5， 则面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 sin= 1 ( 1 5) 2 = 25 5 本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐 标系，利用向量法是解决本题的关键 20 如图， 已知抛物线x2y， 点A （ 1 2， 1 4） ， B （ 3 2， 9 4） ， 抛物线上的点P （x， y）
31、 （ 1 2x 3 2） ， 过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （）求直线 AP 斜率的取值范围； （）求|PA|PQ|的最大值 （）通过点 P 在抛物线上可设 P（x，x2） ，利用斜率公式结合 1 2 x 3 2可得结论； （）通过（I）知 P（x，x2） 、 1 2 x 3 2，设直线 AP 的斜率为 k，联立直线 AP、BQ 方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出 、 ，计算可知|PA|PQ|（1+k）3（1k） ， 通过令 f（x）（1+x）3（1x） ，1x1，求导结合单调性可得结论 （）由题可知 P（x，x2） ， 1 2 x 3 2， 所以 kAP= 21 4 +1
32、 2 =x 1 2（1，1） ， 故直线 AP 斜率的取值范围是： （1，1） ； （）由（I）知 P（x，x2） ， 1 2 x 3 2， 所以 =（ 1 2 x，1 4 x2） ， 设直线 AP 的斜率为 k，则 k= 21 4 +1 2 =x 1 2，即 xk+ 1 2， 则 AP：ykx+ 1 2k+ 1 4，BQ：y= 1 x+ 3 2 + 9 4， 联立直线 AP、BQ 方程可知 Q（3:4; 2 22:2 ，9 2:8:1 42:4 ） ， 故 =（1:; 2;3 1:2 ，; 4;3:2: 1:2 ） ， 又因为 =（1k，k2k） ， 故|PA|PQ|= = (1+)3(1)
33、 1+2 + 2(1+)3(1) 1+2 =（1+k）3（k1） ， 所以|PA|PQ|（1+k）3（1k） ， 令 f（x）（1+x）3（1x） ，1x1， 则 f（x）（1+x）2（24x）2（1+x）2（2x1） ， 由于当1x 1 2时 f（x）0，当 1 2 x1 时 f（x）0， 故 f（x）maxf（1 2）= 27 16，即|PA|PQ|的最大值为 27 16 本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积 累，属于中档题 21如图是我国 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注： 年份代码 17 分别对应年份 20
34、122018 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处 理量 参考数据： 7 1 = 9.32， 7 1 ( )( ) 2.89， 7 1 ( )2 0.55， 7 2.646 参考公式：相关系数 = =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，回归方程 = + 中斜率和截距的 最小二乘估计公式分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = （1）由已知数据代入相关系数公式求得 r0.99，可得 y 与 t 的相关程度非常大，从而可 以用线性回
35、归模型拟合 y 与 t 的关系； （2）求出 与 的值，得到线性回归方程，取 t9 可得 ，则答案可求 （1）由折线图中的数据和附注中的参考数据得： = 4， 7 1 ( )2= 28， 7 1 ( )2 0.55， 7 1 ( )( ) 2.89， r 2.89 0.5522.646 0.99 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，y 与 t 的相关程度非常大，从而可以用线性回归模型 拟合 y 与 t 的关系； （2）由 = 9.32 7 1.331及（1）得： = 7 =1 ()() 7 =1 ()2 = 2.89 28 0.103， = = 1.331 0.103 4 0.92 y 关
36、于 t 的回归方程为 = 0.92 + 0.10 将 2020 年对应的 t9 代入回归方程，得 = 0.92+ 0.10 9 = 1.82 预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨 本题考查相关系数的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 22已知函数 f（x）x22xlnx，函数 g（x）x+ ()2，其中 aR，x0是 g（x）的 一个极值点，且 g（x0）2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求实数 x0和 a 的值； （3）证明 1 1 421 1 2 (2 + 1)( ) （1）先对 f（x）求导，然后结合导数即可求解函数的单调区间； （2）
37、结合极值存在的条件可转化为方程的解的问题，结合导数即可求解； （3）结合（1）的结论及函数的单调性及数列的求和方法即可证明 （1）函数 f（x）的定义域（0，+） ，f（x）2x2lnx2， 令 h（x）2x2lnx2，则 h（x）= 2(1) ， 由 h（x）0 可得 x1， 当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（1，+）时，h（x）0， h（x）单调递增， 故当 x1 时，函数取得极小值也是最小值 h（1）0， 所以 h（x）0 即 f（x）0， 所以 f（x）在（0，+）上单调递增； （2）g（x）的定义域（0，+） ，() = 1 2 2 ， 由题意可得，g（x0）
38、0 即02 200 = 0， 由 g（x0）2 可得02 0(0)2 20 2 = 0， 联立消去 a 可得，2x0(0)2 20 2 = 0， 令 t（x）2x（lnx）22lnx2，则() = 2 2 2 = 2(1) ， 由（1）知 xlnx10，故 t（x）0， 故 t（x）在（0，+）上单调递增，又 t（1）0， 故方程有唯一的解 x01，代入可得 a1， 所以 x01，a1， （3）证明：由（1）f（x）x22xlnx 在（0，+）上单调递增，来源:学科网 故当 x1 时，f（x）f（1）1，() = 221 2 = ()1 2 0， 所以 g（x）在（1，+）上单调递增， 因此当 x1 时，g（x）g（1）2，即 + 1 ()22， 故( 1 ) 2()2， 1 ， 取 x= 2+1 21，kN *，可得2+1 21 21 2+1ln（2k+1）ln（2k1） ， 化简可得，2+1 21 21 2+1 = 2 421， 故 1 1 421 1 (2 + 1) (2 1) =（ln3ln1）+（ln5ln3）+ln （2n+1）ln（2n1）ln（2n+1） ， 所以 1 1 421 1 2 (2 + 1)( ) 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性， 求解函数的极值及利用单调性证明不等式， 属于中档试题
