2020年天津市高考数学第四次全真模拟试卷(含答案解析)

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1、2020 年高考数学全真模拟试卷年高考数学全真模拟试卷 一、选择题. 1已知全集 UxN|x4,集合 A1,2,B2,4,则 A(UB)为( ) A1 B0,1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 2下列说法错误的是( ) A命题 p:“x0R,x02+x0+10”,则p:“xR,x2+x+10” B命题“若 x24x+30,则 x3”的否命题是真命题 C若 pq 为假命题,则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的必要不充分条件 3三个数 a0.53,blog30.5,c50.3之间的大小关系是( ) Abac Babc Cacb Dbca 4 九章算术中有如

2、下问题:今有蒲生一日,长四尺,莞生一日,长一尺蒲生日自半, 莞生日自倍意思是:今有蒲第一天长高四尺,莞第一天长高一尺,以后蒲每天长高前 一天的一半, 莞每天长高前一天的两倍 请问第几天, 莞的长度是蒲的长度的 4 倍 ( ) A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 5已知 F1,F2分别为双曲线 3x2y23a2(a0)的左右焦点,P 是抛物线 y28ax 与双 曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|18,则抛物线的准线方程为( ) Ax2 Bx3 Cx3 Dx2 6 将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到 g (x) 的图象若 g(x1)g(x2)9,且 x1,x

3、22,2,则 2x1x2的最大值为( ) A B C D 7某地实行高考改革,考生除参加语文,数学,外语统一考试外,还需从物理,化学,生 物,政治,历史,地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业,就必须要 从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲共有多少种选考方法( ) A6 B12 C18 D19 8 如图, 原点 O 是ABC 内一点, 顶点 A 在 x 上, AOB150, BOC90, 2, 1, 3,若 ,则 ( ) A B C D 9已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(1)0; 对任意 xR 的都有 f(x)f(x); 对任意的 x1, x2 (0, +)

4、且 x1x2时, 总有 0; 记 g (x) , 则不等式 g(x)0 的解集为( ) A1,0)(0,1) B(,10,1) C1,0) D1,0 二、填空题:本题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 10i 为虚数单位,若复数(m2+2m3)+(m2m)i 是纯虚数,则实数 m 11在二项式( ) 10的展开式中,常数项是 12已知函数 f(x)ex+ax(aR),若过原点 O 的直线 l 与曲线 yf(x)相切,切点为 P,若 ,则 a 的值为 13在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABBC,AB3,BC4,PA5,则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 14用 17

5、列货车将一批货物从 A 市以 vkm/h 的速度匀速行驶直达 B 市已知 A、B 两市间 铁路线长 400km,为了确保安全,每列货车之间的距离不得小于 km,则这批货物全 部运到 B 市最快需要 h,此时货车的速度是 km/h 15已知函数 f(x) 若存在四个不同的实数 a,b,c,d 且(abcd), 使得|f(a)|f(b)|f(c)|f(d)|,记 S(a+b)cd,则 S 的值为 四、解答题:共 5 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c1,cosBsinC+( a sinB)cos(A+B

6、)0 (1)求角 C 的大小; (2)若 a3b,求 cos(2BC)的值 17如图,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,DE平面 ABCD,AFDE,DE3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60 (1)求证:AC平面 BDE; (2)求二面角 FBED 的余弦值 18已知数列an的前 n 项和为 Sn,a10,Sn+nan+1,nN* ()求证:数列an+1是等比数列, () 设数列bn的首项 b11, 其前 n 项和为 Tn, 且点 (Tn+1, Tn) 在直线 上, 求 数列 的前 n 项和 Rn 19如图,已知圆 G:x2+y22x y0,经过椭圆 1(ab0)的右焦点 F

7、及 上顶点 B,过圆外一点 M(m,0)(ma)倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围 20已知函数 f(x)lnx+ax2+(a+2)x+1(aR) ()讨论函数 f(x)的单调性; ()设 aZ,若对任意的 x0,f(x)0 恒成立,求整数 a 的最大值; ()求证:当 x0 时,exxlnx+2x3x2+x10 参考答案 一、选择题:本题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知全集 UxN|x4,集合 A1,2,B2,

8、4,则 A(UB)为( ) A1 B0,1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 【分析】先求出全集 U 和UB,由此能求出 A(UB) 解:全集 UxN|x40,1,2,3,4, 集合 A1,2,B2,4, UB0,1,3, A(UB)0,1,2,3 故选:D 2下列说法错误的是( ) A命题 p:“x0R,x02+x0+10”,则p:“xR,x2+x+10” B命题“若 x24x+30,则 x3”的否命题是真命题 C若 pq 为假命题,则 pq 为假命题 D若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的必要不充分条件 【分析】利用命题的否定形式判断 A 的正误;四种命题的逆否关系判断

9、B 的正误;复合 命题的真假判断 C 的正误;充要条件判断 D 的正误; 解:命题 p:“x0R,x02+x0+10”,则p:“xR,x2+x+10”满足命题的否定形 式,所以 A 正确; 命题“若 x24x+30,则 x3”的否命题是 x3,则 x24x+30,否命题的真命题, 所以 B 正确; 若 pq 为假命题,至少一个是假命题,当个命题都是假命题是 pq 为假命题,所以 C 不正确; 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的必要不充分条件,满足充要条件的定义,所以 D 正确; 故选:C 3三个数 a0.53,blog30.5,c50.3之间的大小关系是( ) Abac Ba

10、bc Cacb Dbca 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 解:a0.53(0,1),blog30.50,c50.31, bac, 故选:A 4 九章算术中有如下问题:今有蒲生一日,长四尺,莞生一日,长一尺蒲生日自半, 莞生日自倍意思是:今有蒲第一天长高四尺,莞第一天长高一尺,以后蒲每天长高前 一天的一半, 莞每天长高前一天的两倍 请问第几天, 莞的长度是蒲的长度的 4 倍 ( ) A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 【分析】根据题意,设蒲的长度组成数列an,莞的长度组成数列bn,第 t 天莞的长度 是蒲的长度的 4 倍,由等比数列的通项公式分析可得数列an、bn的通项公式以

11、及前 n 项和,进而可得 48(1 )2 t1;解可得 t 的值,即可得答案 解:根据题意,设蒲的长度组成数列an,莞的长度组成数列bn,第 t 天莞的长度是蒲 的长度的 4 倍, 则数列an为等比数列, 其首项 a14, 公比为 , 其前 n 项和为 A n, 则 An 8 (1 ), 数列bn为等比数列,其首项 b11,公比为 2,其前 n 项和为 Bn,则 Bn 2 n 1, 若第 t 天莞的长度是蒲的长度的 4 倍,则有 48(1 )2 t1; 解可得:t5, 故选:B 5已知 F1,F2分别为双曲线 3x2y23a2(a0)的左右焦点,P 是抛物线 y28ax 与双 曲线的一个交点,

12、若|PF1|+|PF2|18,则抛物线的准线方程为( ) Ax2 Bx3 Cx3 Dx2 【分析】求出 P 点坐标,计算|PF1|,|PF2|,列方程计算 a 的值即可得出答案 解:双曲线的标准方程为 , 双曲线的左焦点 F1(2a,0)为抛物线 y28ax 的焦点, 联立方程组 ,消元可得 3x2+8ax3a20, 解得 x3a 或 x (舍) 不妨设 P 在第二象限,则 P(3a,2 a), 又 F2(2a,0),|PF1|5a,|PF2| , |PF1|+|PF2|12a18,即 a 抛物线的准线方程为 x3 故选:C 6 将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到

13、 g (x) 的图象若 g(x1)g(x2)9,且 x1,x22,2,则 2x1x2的最大值为( ) A B C D 【分析】根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,再利用正 弦函数的最大值,判断当 2x1 ,2x2 时,2x1x2的取得最大值,从而求 得 2x1x2的最大值 解:将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 g (x)2sin(2x )+1 的图象 若 g(x1)g(x2)9,则 g(x1)和 g(x2)都取得最大值 3,故 g(x1)和 g(x2)相差 一个周期的整数倍 故当 2x1 ,2x2 时,2x1x2的取得最大值 x1 ,

14、x2 ,2x1x2的取得最大值为 , 故选:D 7某地实行高考改革,考生除参加语文,数学,外语统一考试外,还需从物理,化学,生 物,政治,历史,地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业,就必须要 从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲共有多少种选考方法( ) A6 B12 C18 D19 【分析】根据题意,用间接法分析:首先计算共六科中任选三科的选法数目,再排除其 中物理、政治、历史都没有选的情况数目,由组合数公式计算可得答案 解:根据题意,从物理,化学,生物,政治,历史,地理六科中选考三科,有 C6320 种选法; 其中物理、政治、历史三科都没有选,即选了化学,生物,地理三科

15、,有 1 种情况, 则从物理、政治、历史三科中至少选考一科的选法有 20119 种; 即学生甲有 19 种选法; 故选:D 8 如图, 原点 O 是ABC 内一点, 顶点 A 在 x 上, AOB150, BOC90, 2, 1, 3,若 ,则 ( ) A B C D 【分析】先建立平面直角坐标得:A(2,0),B( , ),C( , ), 再利用向量相等的坐标表示得: ,解得: ,即 ,得 解 解:建立如图所示的直角坐标系,则 A(2,0),B( , ), C( , ), 因为 , 由向量相等的坐标表示可得: , 解得: , 即 , 故选:D 9已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: f(

16、1)0; 对任意 xR 的都有 f(x)f(x); 对任意的 x1, x2 (0, +) 且 x1x2时, 总有 0; 记 g (x) , 则不等式 g(x)0 的解集为( ) A1,0)(0,1) B(,10,1) C1,0) D1,0 【分析】根据题意,分析可得函数 f(x)为奇函数且 f(0)0,结合单调性的定义可得 f(x)在(0,+)上为增函数,结合 f(1)0 以及函数奇偶性的性质分析可得 f(x) 0 与 f (x) 0 的 x 的取值范围, 又由 g (x) 0 即 g (x) 0, 即 或 或 ,解可得 x 的取值范围,即可得答案 解:根据题意,f(x)满足对任意 xR 的都

17、有 f(x)f(x),即函数 f(x)为奇函 数,则有 f(0)0; 又由对任意的 x1, x2 (0, +) 且 x1x2时, 总有 0, 即函数 f (x) 在 (0, +)上为增函数, 若 f(1)0,则在区间(0,1)上,f(x)0,在区间(1,+)上,f(x)0, 又由 f(x)为奇函数,则在区间(,1)上,f(x)0,在区间(1,0)上,f (x)0, 则 g (x) 0 即 g (x) 0, 即 或 或 , 解可得:1x0,即不等式 g(x)0 的解集为1,0; 故选:D 二、填空题:本题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 10i 为虚数单位,若复数(m2+2m3)+(

18、m2m)i 是纯虚数,则实数 m 3 【分析】由实部为 0 且虚部不为 0 求解 解:(m2+2m3)+(m2m)i 是纯虚数, ,解得 m3 故答案为:3 11在二项式( ) 10的展开式中,常数项是 180 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数 项 解:二项式( ) 10 的展开式的通项公式为 Tr+1 2r , 令 5 r0,则 r2, 常数项是 180, 故答案为:180 12已知函数 f(x)ex+ax(aR),若过原点 O 的直线 l 与曲线 yf(x)相切,切点为 P,若 ,则 a 的值为 (2e+1)或 1 【分析】设切点为

19、P(m,n),求得 f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公 式,可得 m,n,a 的方程组,解方程可得 a 的值 解:设切点为 P(m,n), 函数 f(x)ex+ax(aR)的导数为 f(x)ex+a, 可得切线的斜率为 em+a, 由题意可得 em+a , 且|OP| , 解得 m1,n(e+1), a1 或(2e+1) 故答案为:1 或(2e+1) 13在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABBC,AB3,BC4,PA5,则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 50 【分析】以 AB,BC,PA 为长宽高构建长方体,则长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球,由此能求

20、出三棱锥 PABC 的外接球的表面积 解:在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABBC,AB3,BC4,PA5, 以 AB,BC,PA 为长宽高构建长方体, 则长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球, 三棱锥 PABC 的外接球的半径 R , 三棱锥 PABC 的外接球的表面积为: S4R24( )250 故答案为:50 14用 17 列货车将一批货物从 A 市以 vkm/h 的速度匀速行驶直达 B 市已知 A、B 两市间 铁路线长 400km,为了确保安全,每列货车之间的距离不得小于 km,则这批货物全 部运到 B 市最快需要 8 h,此时货车的速度是 100 km/h 【分析】

21、设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y 小时,根据题意可知最前列与最后列之 间距离最小值为 16( ) 2 千米时,时间最快,然后表示出 y 的解析式,利用基本不 等式可求出所求 解:设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y 小时,设列车为一个点, 可知最前的点与最后的点之间距离最小值为 16( ) 2 千米时,时间最快 则 y , 当且仅当 即 v100 千米/小时时, 时间 ymin8 小时 故答案为:8;100 15已知函数 f(x) 若存在四个不同的实数 a,b,c,d 且(abcd), 使得|f(a)|f(b)|f(c)|f(d)|,记 S(a+b)cd,则 S 的值为 4 【分析

22、】根据题意,作出函数|f(x)|的图象,设|f(a)|f(b)|f(c)|f(d)|t, 则直线 yt 与函数 y|f(x)|d 的图象有四个交点,据此分析 a 与 b、c 与 d 的关系,进 而计算可得答案 解:根据题意,函数 f(x) ,则|f(x)|的图象如图: 若 abcd,使得|f(a)|f(b)|f(c)|f(d)|,设|f(a)|f(b)|f(c)| |f(d)|t, 则直线 yt 与函数 y|f(x)|d 的图象有四个交点, 若|f(a)|f(b)|,则( 1) 1,变形可得 a+b4, 若|f(c)|lnc|lnc,|f(d)|lnd|lnd,由于lnclnd,变形可得 ln

23、c+lndlncd 0,则有 cd1; 故 S(a+b)cd4; 故答案为:4 四、解答题:共 5 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c1,cosBsinC+( a sinB)cos(A+B)0 (1)求角 C 的大小; (2)若 a3b,求 cos(2BC)的值 【分析】(1) 利用三角函数恒等变换的应用, 正弦定理, 两角差的正弦函数公式可得 tanC ,结合 C 的范围,即可求得 C 的值 (2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求 tanB,cos2B,sin2B 的值,进而可求 cos (

24、2BC)的值 解:(1)cosBsinC+( asinB)cos(A+B)0 可得:cosBsinC( asinB)cosC0 即:sinA acosC0 由正弦定理可知: , acosC0, asinC accosC0,c1,可得 tanC , C 是三角形内角, C (2)C ,a3b, 由正弦定理可得 ,可得 sin( B)3sinB,可得 cosB sinB3sinB,可得 tanB , cos2B ,sin2B , cos(2BC)cos(2B )cos2Bcos sin2Bsin 17如图,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,DE平面 ABCD,AFDE,DE3AF,BE 与平

25、面 ABCD 所成角为 60 (1)求证:AC平面 BDE; (2)求二面角 FBED 的余弦值 【分析】(1)根据题意,得 ACDE,ACBD,利用线面垂直的判定定理得出结论; (2)以 D 为圆心,AD,DC,DE 分别为 x,y,z 轴建立直角坐标系,求出平面 FBE 和 平面 BED 的法向量,利用夹角公式求出即可 解:(1)DE平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 ACDE, 又底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,故 ACBD, BDDED, 故 AC平面 BDE; (2)设 AFa,DE3AF3a,BE 与平面 ABCD 所成角为 60, 即DBE60,tan60 ,a ,

26、 以 D 为圆心,AD,DC,DE 分别为 x,y,z 轴建立直角坐标系, A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0, ),F(1,0, ),B(1,1,0), 设平面 FBE 的法向量为 , , , , , , , , , 由 , , , , 平面 BED 的法向量为 , , , 由 cos , , 故二面角 FBED 的余弦值为 18已知数列an的前 n 项和为 Sn,a10,Sn+nan+1,nN* ()求证:数列an+1是等比数列, () 设数列bn的首项 b11, 其前 n 项和为 Tn, 且点 (Tn+1, Tn) 在直线 上, 求 数列 的前 n 项和 Rn 【分析】()根

27、据数列的递推公式即可得到an+1是以 1 为首项,以 2 为公比的等比 数列, ()先由数列的递推公式 bnn,再利用错位相减法即可求出答案 【解答】证明:()由 Sn+nan+1, 得 Sn1+n1an,n2, 得 an+12an+1, a n+1+12(an+1), a10, a1+11, an+1是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 解:()由()可得 an+12n1, an2n11, 点(Tn+1,Tn)在直线 上, 2, 是以 1 为首项,公差为 的等差数列, 1 (n) (n+1) Tn , 当 n2 时,bnTnTn1 n, 又 b11 满足上式, bnn, n ( )

28、n1 Rn1( ) 0+2 ( ) 1+3 ( ) 2+n ( ) n1 R n1( ) 1+2 ( ) 2+3 ( ) 3+n ( ) n, 由可得, Rn1+( ) 1+( ) 2+( ) 3+ ( ) nn ( ), n ( ) n2(n+2) , Rn4 19如图,已知圆 G:x2+y22x y0,经过椭圆 1(ab0)的右焦点 F 及 上顶点 B,过圆外一点 M(m,0)(ma)倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围 【分析】(1)依据题意可求得 F,B 的坐标,求得 c 和

29、 b,进而求得 a,则椭圆的方程可 得; (2)设出直线 l 的方程,与椭圆方程联立消去,利用判别式大于 0 求得 m 的范围,设出 C, D 的坐标, 利用韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2, 进而利用直线方程求得 y1y2, 表示出 和 , 进而求得 的表达式, 利用 F 在圆 E 的内部判断出 0 求得 m 的范围, 最后综合可求得 md 范围 解:(1) 过点 F、B, F(2,0), , , 故椭圆的方程为 (2)直线 l: 消 y 得 2x22mx+(m26)0 由0 , 又 设 C (x1, y1) 、 D (x2, y2) , 则 x1+x2m, , , , , , F 在

30、圆 E 的内部, , 又 20已知函数 f(x)lnx+ax2+(a+2)x+1(a一、选择题) ()讨论函数 f(x)的单调性; ()设 aZ,若对任意的 x0,f(x)0 恒成立,求整数 a 的最大值; ()求证:当 x0 时,exxlnx+2x3x2+x10 【分析】()求出原函数的导函数 f(x) (x0),得若 a0,则 f(x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增;若 a0,求出导函数的零点,对函 数定义域分段,由导函数的符号可得原函数的单调性; ()若 a0,则 f(1)2a+30,不满足 f(x)0 恒成立若 a0,由()求 得函数的最大值,又 f(x)0 恒成立,可得 l

31、n( ) 0,设 g(x)lnx+x,则 g ( )0由函数零点判定定理可得存在唯一的 x0( , ),使得 g(x0)0得 到 a (2,1),结合 aZ,可知 a 的最大值为2; ()由()可知,a2 时,f(x)lnx2x2+10,则xlnx2x3+x,得到 ex xlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1 记 u(x)exx2+2x1(x0),利用两次求导证明 exxlnx+2x3x2+x10 【解答】() 解: f (x) lnx+ax2+ (a+2) x+1, f (x) 2ax+a+2 (x0) , 若 a0,则 f(x)0,函数 f(x)在(0,

32、+)上单调递增; 若 a0,由 f(x)0,得 0x ;由 f(x)0,得 x 函数 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+)上单调递减; ()解:若 a0,则 f(1)2a+30,不满足 f(x)0 恒成立 若 a0,由()可知,函数 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+)上单调 递减 ,又 f(x)0 恒成立, 0, 设 g(x)lnx+x,则 g( )0 函数 g(x)在(0,+)上单调递增,且 g(1)10,g( ) 0, 存在唯一的 x0( , ),使得 g(x0)0 当 x(0,x0)时,g(x)0,当 x(x0,+)时,g(x)0 0 x 0,解得 a (2,1), 又

33、 aZ,a2 则综上 a 的最大值为2; ()由()可知,a2 时,f(x)lnx2x2+10, lnx2x21,则xlnx2x3+x, exxlnx+2x3x2+x1ex2x3+x+2x3x2+x1exx2+2x1 记 u(x)exx2+2x1(x0),则 u(x)ex2x+2 记 h(x)ex2x+2,则 h(x)ex2, 由 h(x)0,得 xln2 当 x(0,ln2)时,h(x)0,当 x(ln2,+)时,h(x)0, 函数 h(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增, 42ln20 h(x)0,即 u(x)0,故函数 u(x)在(0,+)上单调递增 u(x)u(0)e010,即 exx2+2x10 exxlnx+2x3x2+x10

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