1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题 1设全集为 U1，2，3，4，5，6，7，集合 S1，3，5，T3，6，则U（ST） 等于（ ） A B1，3，5，6 C2，4，7 D2，4，6 2已知命题 p：x2+2x30，命题 q：xa，且 q 的一个必要不充分条件是 p，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B（，1 C1，+） D（，3 3为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布 直方图如图所示，数据的分组依次为20，40），40，60），60，80），80，100若 成绩在60，80）的人数是 16，则低于
2、60 分的人数是（ ） A6 B12 C15 D18 4函数 的部分图象可能是（ ） A B C D 5 若圆 C 的圆心在第一象限， 圆心到原点的距离为 ， 且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切， 则该圆的标准方程是（ ） A（x1）2+（y2）21 B（x2）2+（y1）21 C（x1）2+（y2）25 D（x2）2+（y1）25 6已知函数 f（x） ，设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 7已知函数 f（x）Acos（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则 f（x） 的解析式为（ ） A B C D 8已知点 A 是抛物线 y24x
3、 与双曲线 1（b0）的一个交点，若抛物线的焦点为 F，且|AF|4，则点 A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A2 B4 C2 D2 9 已知函数 ， ， ， 若方程 f （x） ax 有 4 个不同的实数根， 则实数 a 的取值范围是（ ） A（1，0） B（0，1） C（0，1 D（1，+） 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 10若 （i 是虚数单位，a 是实数），则 a 11二项式 的展开式中，常数项为 12 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 CC1上一点， 设四棱锥 DA1ABB1的体积为 V1， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V
4、2，则 V1：V2 13甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为 ；乙第一次 射击的命中率为 ，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 ，如果又 未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为 乙若射中，则不再继续射击则甲三次 射击命中次数 5 的期望为 ，乙射中的概率为 14已知存在正数 a，b 使不等式 成立，则 x 的取值范围 15在平面四边形 ABCD 中，ABBC2CD2，ABC60，ADC90，若 ， 则 2 ； 若 P 为边 BC 上一动点， 当 取最小值时，则 cosPDC 的值为 三、解答题（共 5 小题，满分 75 分） 16在ABC 中，a，
5、b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若ABC 的面积为 ，a b1， acosCcsinA0 （）求 c 及 cosA； （）求 cos （2AC）的值 17在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABACAA1，ABAC，p 为线段 BC1 上一点 （）若 BPPC1，求 PC 与 AA1所成角的余弦值； （）若 ，求 PC 与平面 ABB1A1所成角的大小； （）若二面角 A1ACP 的大小为 45，求 的值 18已知数列an的前 n 项和 Sn 数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1（nN*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求 19已知点 F 是椭圆
6、： b0）的右焦点，过点 F 的直线 I 交椭圆于 M，N 两点当直线 l 过 C 的下顶点时，l 的斜率为 ，当直线 l 垂直于 C 的长轴时，OMN 的面积为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当|MF|2|FN|时，求直线 l 的方程； （）若直线 l 上存在点 P 满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点 P 在椭圆外，证明： 点 P 在定直线上 20（16 分）已知函数 f（x）axlnxxa，其中 aR （）若曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 xye0，其中 e2.71828 是自然对数的底数，求 a 的值： （）若函数 f（x）是（1，+）内的减函数，求正
7、数 a 的取值范围； （）若方程 f（x）0 无实数根，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设全集为 U1，2，3，4，5，6，7，集合 S1，3，5，T3，6，则U（ST） 等于（ ） A B1，3，5，6 C2，4，7 D2，4，6 【分析】先 算出 S 与 T 的并集，再算出 ST 关于 U 的补集即可 解：因为全集为 U1，2，3，4，5，6，7，集合 S1，3，5，T3，6， 所以：ST1，3，5，6； U（ST）2，4，7； 故选：C 【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查 2已知命题
8、p：x2+2x30，命题 q：xa，且 q 的一个必要不充分条件是 p，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B（，1 C1，+） D（，3 【分析】先化简再判断充要性 解：命题 p：x2+2x30，解之得 x3 或 x1， 且 q 的一个必要不充分条件是 p， 则 a1， 故选：A 【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题 3为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布 直方图如图所示，数据的分组依次为20，40），40，60），60，80），80，100若 成绩在60，80）的人数是 16，则低于 60 分的人数是（ ） A6 B12 C15
9、D18 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答 解：有直方图得成绩在60，80）的频率为 1（0.005+0.010+0.015）200.4， 又成绩在60，80）的人数是 16，总人数 40， 则低于 60 分的人数是 400.0152012， 故选：B 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应 用问题，是基础题 4函数 的部分图象可能是（ ） A B C D 【分析】由 f（0）0，函数不具有奇偶性，以及 x0 时，函数值大于 0，结合选项即可 得解 解： ，则可排除 A； 又函数不具有奇偶性，则可排除 C； 当 x0 时，e
10、x+sinx0，3+cosx0，则可排除 B 故选：D 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 5 若圆 C 的圆心在第一象限， 圆心到原点的距离为 ， 且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切， 则该圆的标准方程是（ ） A（x1）2+（y2）21 B（x2）2+（y1）21 C（x1）2+（y2）25 D（x2）2+（y1）25 【分析】根据题意，设圆心 C 的坐标为（m，n），分析可得 nr，由两点间距离公式可 得 m2+n25，由直线圆相切的性质可得 r ，联立解可得 m、n 的值，即可得答 案 解：根据题意，设圆 C 的圆心 C 的坐标为（m，n），（m0，n0）由于圆
11、C 与 x 轴 相切，则圆 C 的半径 nr， 又由圆心到原点的距离为 ，则有 m2+n25， 圆 C 与 4x3y0 相切，则有 r ，即 n2 ， 解可得 m2，n1， 则圆的标准方程为（x2）2+（y1）21； 故选：B 【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题 6已知函数 f（x） ，设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 【分析】分析得函数 f（x）为奇函数且在 R 上单调递减，通过化简比较 0.312，log20.31， ln4 的大小，根据函数的单调性，比较 a，b，c 的大小关系 解：函数 f（x）
12、 ，f（x） f（x），f（x）为奇函数 yex在 R 上为增函数，f（x）在 R 上为减函数 af（0.312）， ，cf（2ln2）f（ln4） ， bac 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基 础题目 7已知函数 f（x）Acos（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则 f（x） 的解析式为（ ） A B C D 【分析】先据图象的最高点与最低点求出 A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周 期的倍数求出 T，进而求出 的值，最后利用对应的观点结合范围求出 的值 解：易知 A2 ，T， ， ， ，又0， k0 时， 符合题意 故 f（x）
13、2cos（2x ） 故选：C 【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求 时的对应思 想属于中档题 8已知点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 1（b0）的一个交点，若抛物线的焦点为 F，且|AF|4，则点 A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A2 B4 C2 D2 【分析】求出 A 的坐标，代入双曲线方程求出 b，然后求解双曲线的渐近线方程 解：抛物线 y24x 的焦点为 F，且 FA4，可得 F（1，0），则 A（3，2 ）， 点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 1（b0）一个交点，a ， 可得 ，解得 b ，则渐近线方程为 y x， 不妨令 A（3，2 ），
14、则点 A 到这两条渐近线的距离之和 d 2 ， 故选：A 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题 9 已知函数 ， ， ， 若方程 f （x） ax 有 4 个不同的实数根， 则实数 a 的取值范围是（ ） A（1，0） B（0，1） C（0，1 D（1，+） 【分析】显然 x0 满足，然后当 x0 时，研究 ， ， 与 y a 产生三个根，显然在 x0 时一个，在 x0 时，一元二次方程有两个正根，问题可求 解 解：由题意 x0 满足方程 f（x）ax 当 x0 时，只需 有一个负根，即 ，解得 0a1； 当 x0 时，只需 x2（a+1）x+a0 有两个
15、正根即可 方程可化为（x1）（xa）0，故两根为 1，或 a 由题意只需 a0 且 a1 综合可知，当 0a1 时，方程 f（x）ax 有 4 个不同的实数根 故选：B 【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断注意方程 与不等式的相互应用同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能 力是一道中档题 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 10若 （i 是虚数单位，a 是实数），则 a 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 且实部大于 求解 a 值 解： ， ，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查复数代数形式的乘
16、除运算，考查复数的基本概念，是基础题 11二项式 的展开式中，常数项为 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得结论 解：二项式 的展开式的通项公式为：Tr+1 （ ） 5r （ ） r（1） r x ； 令 0r3； 展开式中，常数项为：（1）3 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属基础题 12 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 CC1上一点， 设四棱锥 DA1ABB1的体积为 V1， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V2，则 V1：V2 2：3 【分析】设点
17、D 到底面 ABC，A1B1C1的距离分别为 h1，h2三棱柱 ABCA1B1C1的高为 H，则 h1+h2H利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出 解：设点 D 到底面 ABC，A1B1C1的距离分别为 h1，h2三棱柱 ABCA1B1C1的高为 H， 则 h1+h2H 故答案为： 【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础 题 13甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为 ；乙第一次 射击的命中率为 ，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 ，如果又 未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为 乙若射中，则不再继续射击则
18、甲三次 射击命中次数 5 的期望为 ，乙射中的概率为 【分析】甲击中的次数 XB（3， ），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互 斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率 解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为 ， 则甲击中的次数 XB（3， ）， 甲三次射击命中次数的期望为 E（X）3 ，乙第一次射击的命中率为 ， 第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 ， 如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为 乙若射中，则不再继续射击 则乙射中的概率为：P 故答案为： ， 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的
19、求法，考查二项分布、 互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 14 已知存在正数 a， b 使不等式 成立， 则 x 的取值范围 （1 ， 1） 【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式 ，求出 的最大值 ，转化成解对数不等式 log 2（1x） ，进而解出 x 解： ，由于 a0，b0，则 2a+3b 0， ，当且仅当 2b2a+3b 时， 有最大值 ，又存 在正数 a，b 使不等式 成立， 则 log2（1x） ，即 01x2 ，1 x1 故答案为：（1 ，1） 【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档
20、题 15在平面四边形 ABCD 中，ABBC2CD2，ABC60，ADC90，若 ， 则2 ； 若P为边BC上一动点， 当 取 最小值时，则 cosPDC 的值为 【分析】根据题意可知ABC 是等边三角形，ADC 是有一个内角为 60的直角三角 形又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解 解：平面四边形 ABCD 中，ABBC2CD2，ABC60，ADC90， ABC 是边长为 2 的等边三角， 在 RtADC 中， AC2， CD1， 所以ACD60 又 ，E，F，G 是 BC 边的四等分点 如图建立坐标系：则：A（0， ），B（1，0），C（1，0）， D（ ， ）
21、，E（ ， ），F（0，0），G（ ， ） 所以 2 2（ ， ） （ ， ）+（ ， ） （0， ） 再设 P（x，0）， ， （1x，0）x 2x（x ） 2 （1 x1） 显然 x 时， 最小，此时 P（ ， ） ， ， ， 故答案为： ， 【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的 求角或距离的解题方法同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解 题能力属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 75 分） 16在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，若ABC 的面积为 ，a b1， acosCcsinA0 （）求 c
22、及 cosA； （）求 cos （2AC）的值 【分析】（） 由已知利用正弦定理， 同角三角函数基本关系式结合 sinA0 可求 tanC ， 结合范围 C（0，），可求 C 的值，利用三角形的面积公式可求 ab 的值，结合已知可 求 a，b 的值，根据余弦定理即可求解 （） 由 （） 利用同角三角函数基本关系式可得 sinA， 利用二倍角公式可求 sin2A， cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解 解：（）在ABC 中， acosCcsinA0， sinAcosCsinCsinA0， sinA0， cosCsinC0，即 tanC ， C（0，）， C ， SABC a
23、b ，解得 ab6， 又 ab1，解得 a3，b2，又余弦定理可得 c2a2+b22abcosC7，解得 c ， cosA ， （）由（）可得 sinA ， sin2A2sinAcosA ，cos2A2cos2A1 ， cos（2AC）cos2AcosC+sin2AsinC（ ） 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余 弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题 17在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABACAA1，ABAC，p 为线段 BC1 上一点 （）若 BPPC1，求 PC
24、与 AA1所成角的余弦值； （）若 ，求 PC 与平面 ABB1A1所成角的大小； （）若二面角 A1ACP 的大小为 45，求 的值 【分析】 （） 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出 PC 与 AA1所成角的余弦值 （） 设 P （a， b， c） ， 由 ， 得 P （ ， 2 ， 2 ） ， 从而 （ ，1 ，2 ），求出平面 ABB1A1的法向量，由此能求出 PC 与平面 ABB1A1所成角 的大小 （）求出平面 ACP 的法向量和平面 A1AC 的法向量，利用同量法能求出当二面角 A1 ACP 的大小为 4
25、5时 的值 解：（）三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABACAA1，ABAC，p 为线 段 BC1上一点 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB1，则 B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1）， BPPC1，P（ ， ， ）， （ ， ， ）， （0，0，1）， 设 PC 与 AA1所成角为 ， 则 PC 与 AA1所成角的余弦值为： cos （）设 P（a，b，c），由 ，得（a1，b，c） （a，1b，1c）， 解得 P（ ，2 ，2 ）， （ ，1 ，2 ）， 设 PC 与平
26、面 ABB1A1所成角为 ， 平面 ABB1A1的法向量为 （0，1，0）， sin ， PC 与平面 ABB1A1所成角的大小为 30 （）设 （，）， 则 （1，1，0）+（，），（1，1，）， 设平面 ACP 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 z1，得 （，0，1）， 平面 A1AC 的法向量 （1，0，0）， 二面角 A1ACP 的大小为 45， cos45 ，解得 当二面角 A1ACP 的大小为 45时， 1 【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值 的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 18已
27、知数列an的前 n 项和 Sn 数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1（n一、 选择题*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求 【分析】（）直接根据前 n 项和与通项的关系求出数列an的通项公式，再根据递推 关系式求出数列bn的通项公式； （）先根据 ai（b2i1 ）i 2 i ；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即 可求得结论 解：（）当 n2 时，anSnSn1 n； n1 时，a1S11 适合上式， 所以：ann； b1b22，b n+1bn 2 n+1； bnbn12n（n2）； b n+12bn1，（n2）； 数列bn的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等
28、比数列； bn ， 为奇数 ， 为偶数 （）ai（b2i1 ）i 2 i ； 设 M1 x+2 x2+3 x3+（n1） xn1+n xn，（ x0，1） xM1 x2+2 x3+（n1） xn+n xn+1； 得（1x）Mx+x2+x3+xnn xn+1 n x n+1； M ； i 2i （n1） 2n+1+2； 2 ； ai（b2i1 ）（n1） 2 n+1 【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学 生易错 19已知点 F 是椭圆 ： b0）的右焦点，过点 F 的直线 I 交椭圆于 M，N 两点当直线 l 过 C 的下顶点时，l 的斜率为 ，当直线 l
29、 垂直于 C 的长轴时，OMN 的面积为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）当|MF|2|FN|时，求直线 l 的方程； （）若直线 l 上存在点 P 满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点 P 在椭圆外，证明： 点 P 在定直线上 【分析】（）根据题意得： ， ，及 a 2b2+c2，解得 a，b，进而可得椭 圆得方程 （）分两种情况：当直线 l 与 x 轴重合时，|MF|3|FN|，不合题意当直线 l 与 x 轴不 重合时，设直线 l 的方程为 xty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方 程，结合根与系数关系得 y1+y2，y1y2，由|MF|2|FN|，
30、得 y12y2，组成方程组解得 t， 进而可得直线 l 得方程 （）设 P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线 l 与 x 轴重合时，当直线 l 与 x 轴不重 合时，由|PM| |PN|PF|2，解得 x0 ，所以点 p 在定直线 x 上 解：（）由题设： ， ，解得 a2，b ， 所以椭圆 C 的方程为 （）当直线 l 与 x 轴重合时，|MF|3|FN|，不合题意 当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 xty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立 ，消去 x 整理得（3t 2+4）y2+6ty90， 有 y1+y2 ， y1y2 ， 由|MF|2|FN|，得
31、y12y2， 联立得 ，解得 t 所以直线 l 的方程为 x2y 0 （）设 P（x0，y0） 当直线 l 与 x 轴重合时，因为点 p 在椭圆外，所以 x0+2，x02 同号， 由|PM| |PN|PF|2，得（x0+2）（x02）（x01）2，解得 x0 ， 当直线 l 与 x 轴不重合时，由（）知 y1+y2 ，y1y2 ， 因为|PM| ，|PN| ，|PF| ， 因为点 p 在椭圆外，所以 y1y0，y2y0同号， 由|PM| |PN|PF|2，得（y1y0）（y2y0）y02，解得 x0 ， 整理得 y1y2y0（y1+y2）0，即 ， 解得 y0 ，代入直线 l 方程 xty+1
32、，得 x0 ， 所以点 p 在定直线 x 上 【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算 能力 20（16 分）已知函数 f（x）axlnxxa，其中 aR （）若曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 xye0，其中 e2.71828 是自然对数的底数，求 a 的值： （）若函数 f（x）是（1，+）内的减函数，求正数 a 的取值范围； （）若方程 f（x）0 无实数根，求实数 a 的取值范围 【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解； （II）结合导数与单调性的关系可转化为 f（x）a（lnx+1）axa10 在（
33、1，+） 内恒成立，结合函数的性质可求； （III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求 解：（I）f（x）a（lnx+1）axa1， 由曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 xye0 可得 ef（e）e0 即 f（e）aeea0，f（e）2aaea11， 故 a1， （II）若函数 f（x）是（1，+）内的减函数，则 f（x）a（lnx+1）axa10 在（1， +）内恒成立， 令 g（x）lnx+1xa1，则 ， 0a1 时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增， 所以 g（x）g（1）0， 若 1a2，当 x ， ，g（x）0，g（x）单调递增，g（x）g
34、（1） 0， a2 时，x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（1）9 综上，a2 时，满足题意； （III）由 f（x）0 可得 alnxxa10， 若 a1，则 x1 是方程 alnxxa10 的根，故 a1， 令 txa1，则 x， 原方程可化为 ， a0 时， 没有实根， a0，a1 时，方程 可化为 ， 令 h（t） ，则 ， 当 t（0，e）时，h（t）0，h（t）单调递增，当 t（e，+）时，h（t）0，h （t）单调递减， 所以 h（t）h（e） ， 若 没有实根，则 ， 解可得 a0 或 a ， 综上 a0 或 a 【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属 于综合性试题
