1、广西南宁市广西南宁市 2020 届高三毕业班第一次适应性数学（文）试题届高三毕业班第一次适应性数学（文）试题 一、选择题，本大题共一、选择题，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x10，Bx|1x2，则 AB（ ） A （1，+） B1，+） C1，1 D1，2 2设（1i）x1+yi，其中 x，y 是实数，则 x+yi 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 （0，） ，cos= 3 5
2、，则 sin（ 6）的值为（ ） A433 10 B334 10 C 7 10 D23 5 4PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 35g/m375g/m3之间空气质量为二 级，在 75g/m3以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均 值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降
3、低 D这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47 5若实数 x，y 满足 1 + 1 0 2 2 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A1 B2 C4 D10 6已知圆 x2+y2+4ax+2ay0 与直线 2x+y100 相切，则圆的半径为（ ） A5 B2 C25 D4 7 已知双曲线 2 2 2 2 =1 （a0， b0） 的左、 右焦点分别为F1， F2， 过F2且斜率为3的直线 与双曲线在第一象限的交点为 A，且1 2 =0，若 a= 3 1，则 F2的坐标为（ ） A （1，0） B （3，0） C （2，0） D （3 +1，0） 8如图，正方体 ABCDA1B1C1
4、D1中，E，F 分别为 A1B1，CD 的中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为（ ） A 5 5 B 5 6 C 3 3 D 3 6 9已知 a 为正实数，若函数 f（x）x33ax2+2a2的极小值为 0，则 a 的值为（ ） A1 2 B1 C3 2 D2 10 已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 准线为 l， l 与 x 轴的交点为 P， 点 A 在抛物线 C 上， 过点 A 作 AAl，垂足为 A若 cosFAA= 3 5，则|AF|（ ） A8 B7 C6 D5 11已知函数 f（x）2cos（x+ 2 3 ）1（0）的一个零点是 x= 4，则当 取最小值
5、 时，函数 f（x）的一个单调递减区间是（ ） A 3， 6 B 12， 6 C 12， 3 D 3， 7 12 12已知定义域为 R 的奇函数 f（x）的导函数为 f（x） ，当 x0 时，xf（x）f（x） 若 a= (23) 23 ，b= (46) 46 ，c= ( 8) 8 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13在平面上，1 、2 是方向相反的单位向量，若向量 满足（ 1 ）（ 2 ） ，则| | 的值 14设 a，b，c 分别为三角形 A
6、BC 的内角 A，B，C 的对边，已知三角形 ABC 的面积等于 3 4 (2+ 2 2)，则内角 A 的大小为 15已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则 该几何体的体积为 16关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯 实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值，先请 240 名同学，每 人随机写下两个都小于 1 的正实数 x， y 组成的实数对 （x， y） ； 若将 （x， y） 看作一个点， 再统计点（x，y）在圆 x2+y21 外的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值，假如 统计结果是 m
7、52，那么可以估计 的近似值为 （用分数表示） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在 播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区 别，某市红旗农场于 2019 年选取了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试验其 中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如表： 产量（单位： 斤） 播种方式 840，860） 860，880） 880，900） 900
8、，920） 920，940） 直播来源:Zxxk.Com 4 8 18 39 31 散播 9 19 22 32 18 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高” ，否则为“产量低” （1） 请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量 （同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） （2）请根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“产 量高”与“播种方式”有关？ 产量高 产量低 合计 直播 散播 合计 附2= ()2 (+)(+)(+)(+)： P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 18已
9、知数列an满足 a14，an+12an+32n+1 （1）证明：数列* 2+为等差数列，并求数列an的通项公式； （2）设= 64 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 19如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1平面 ABCD，底面 ABCD 是直角 梯形，ADAB，ABCD，AB2AD2AA14 （1）证明：A1D平面 ABC1D1； （2）若四棱锥 A1ABC1D1的体积为10 3 ，求四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧面积 20已知函数 f（x）x22（a+1）x+2alnx（a0） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在点 x1 处的切线方程； （2）讨论
10、函数 f（x）的单调性 21已知椭圆 C： 2 4 + 2 2 =1（0b2）的离心率 e（0， 2 2 ） ，F 为椭圆 C 的右焦点，D， E 为椭圆的上、下顶点，且DEF 的面积为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）动直线 l：y= 1 2x+t 与椭圆 C 交于 A，B 两点，证明：在第一象限内存在定点 M，使 得当直线 AM 与直线 BM 的斜率均存在时， 其斜率之和是与 t 无关的常数， 并求出所有满 足条件的定点 M 的坐标 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.若多做，则按所做的若多做，则按所
11、做的 第一个题目计分第一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1的倾斜角为 30，且经过点 A（2，1） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：cos3，从原点 O 作射线交 l2 于点 M，点 N 为射线 OM 上的点，满足|OM|ON|12，记点 N 的轨迹为曲线 C （1）设动点 Pl1，记 是直线 l 1的向上方向的单位方向向量，且 = ，以 t 为参 数求直线 l1的参数方程 求曲线 C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 l1与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 1 | +
12、 1 |的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+|x1| （1）求不等式 f（x）x+8 的解集； （2）记函数 yf（x）的最小值为 k，若 a，b，c 是正实数，且 3 + 3 2 + 1 = 1，求 证 a+2b+3c9 参考答案参考答案 一、选择题，本大题共一、选择题，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x10，Bx|1x2，则 AB（ ） A （1，+） B1，+） C1，1 D1，2
13、 可以求出集合 A，然后进行并集的运算即可 Ax|x1，Bx|1x2， AB1，+） 故选：B 本题考查了描述法、区间的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2设（1i）x1+yi，其中 x，y 是实数，则 x+yi 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 直接利用复数复数相等的条件求出 x，y 的值，进一步求出 x+yi 在复平面内所对应的点的 坐标得答案 由（1i）x1+yi，即 xxi1+yi， 则 x1，y1 x+yi 在复平面内所对应的点的坐标为： （1，1） ，位于第四象限 故选：D 本题考查了复数相等的条件，考查了复数的代数表示法及
14、其几何意义，是基础题 3已知 （0，） ，cos= 3 5，则 sin（ 6）的值为（ ） A433 10 B334 10 C 7 10 D23 5 由已知结合同角平方关系可求 sin，然后结合两角差的正弦公式即可求解 （0，） ，cos= 3 5， sin = 4 5， 则 sin（ 6）= 3 2 1 2 = 4 5 3 2 3 5 1 2 = 433 10 故选：A 本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用 4PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 35g/m
15、375g/m3之间空气质量为二 级，在 75g/m3以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均 值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A这 10 天中，12 月 5 日的空气质量超标 B这 10 天中有 5 天空气质量为二级 C从 5 日到 10 日，PM2.5 日均值逐渐降低 D这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47 先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解 由图表可知，选项 A，B，D 正确， 对于选项 C，由于 10 日的 PM2.5 日均值大于 9 日的 PM2.5 日均值， 故 C 错误
16、， 故选：C 本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题 5若实数 x，y 满足 1 + 1 0 2 2 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A1 B2 C4 D10 先画出满足条件的平面区域，有 t2x+y 得到 y2x+t，通过平移直线发现直线过（1， 2）时，t 最小，代入求出 t 的最小值即可 画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 t2x+y 得：y2x+t， 由图象得：y2x+t 过（1，2）时，t 最小， t最小值4， 故选：C 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题 6已知圆 x2+y2+4ax+2ay0 与直线 2x+y100 相
17、切，则圆的半径为（ ） A5 B2 C25 D4 求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可 圆 x2+y2+4ax+2ay0 的圆心（2a，a） ，半径为：52， 圆 x2+y2+4ax+2ay0 与直线 2x+y100 相切， 可得：|2(2)+()10| 22+12 =52， 解得 a1 所以圆的半径为：5 故选：A 本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考查转化 思想以及计算能力，是中档题 7 已知双曲线 2 2 2 2 =1 （a0， b0） 的左、 右焦点分别为F1， F2， 过F2且斜率为3的直线 与双曲线在第一象限的交点为 A，且1 2
18、 =0，若 a= 3 1，则 F2的坐标为（ ） A （1，0） B （3，0） C （2，0） D （3 +1，0） 根据条件可得 AF1AF2，AF1F2= 6，进而根据双曲线的定义可得3cc2a，带入 a 的值即可 因为1 2 =0，所以 AF1AF2， 又因为2= 3，所以AF1F2= 6，则由 AF1= 3c， 根据双曲线的定义可得3cc2a，则 c= 2(31) 31 =2， 故选：C 本题考查双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题 8如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 A1B1，CD 的中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为（
19、） A 5 5 B 5 6 C 3 3 D 3 6 连结 BE，BF、D1F，推导出 BED1F 为平行四边形，从而 D1EBF，异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 A1F 与 BF 所成锐角，即A1FB，由此能求出异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的 余弦值 如图，连结 BE，BF、D1F， 由题意知 BED1F 为平行四边形，D1EBF， 异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 A1F 与 BF 所成锐角，即A1FB， 连结 A1B， 设 AB2， 则在A1BF 中， 1 = 22， BF= 5， A1F= 12+ 2+ 2=3， cosA1FB= 12+212 21 = 9+58
20、 235 = 5 5 异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为 5 5 故选：A 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9已知 a 为正实数，若函数 f（x）x33ax2+2a2的极小值为 0，则 a 的值为（ ） A1 2 B1 C3 2 D2 由于 f（x）3x（x2a） ，而 a0，可求得 f（x）在 x2a 处取得极小值，即 f（x）极 小值f（2a）0，从而可求得 a 的值 由已知 f（x）3x26ax3x（x2a） ， 又 a0， 所以由 f（x）0 得 x0 或 x2a， 由 f（x）0 得
21、0x2a， 所以 f（x）在 x2a 处取得极小值 0， 即 f（x）极小值f（2a）（2a）33a（2a）2+2a24a3+2a20， 又 a0， 解得 a= 1 2， 故选：A 本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题 10 已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 准线为 l， l 与 x 轴的交点为 P， 点 A 在抛物线 C 上， 过点 A 作 AAl，垂足为 A若 cosFAA= 3 5，则|AF|（ ） A8 B7 C6 D5 过 F 做过 F 做 FBAA于 B，可得|AB|2|OF|2，因为 cosFAA= 3 5，可得|AF|，|BA|， |A
22、B|的关系，进而求出|AF|的值 由题意如图过 F 做 FBAA于 B，|AB|2|OF|2 因为 cosFAA= 3 5，设|AB|3x，则可得|AA|AF|5x，由抛物线的性质可得|AB|AA| |AB|5x2， 所以 3x5x2 解得 x1，所以|AF|5， 故选：D 本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题 11已知函数 f（x）2cos（x+ 2 3 ）1（0）的一个零点是 x= 4，则当 取最小值 时，函数 f（x）的一个单调递减区间是（ ） A 3， 6 B 12， 6 C 12， 3 D 3， 7 12 根据函数零点关系，求出 的取值，利用函数的单调性进行求解即可 f（x
23、）的一个零点是 x= 4， 由 f（ 4）0 得 cos（ （ 4+ 2 3 ）= 1 2，得 4+ 2 3 =2k 3，即 8k4 或 8k 4 3， kZ， 0， 的最小值为 4， 此时 f（x）2cos（4x+ 2 3 ）1， 由 2k+ 2 4x+ 2 3 2k+ 3 2 ，kZ，得1 2k 6 x 1 2k+ 12，kZ， 当 k1 时，f（x）的一个单调递减函数区间为 3， 7 12， 故选：D 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解 决本题的关键比较基础 12已知定义域为 R 的奇函数 f（x）的导函数为 f（x） ，当 x0 时，xf（x）
24、f（x） 若 a= (23) 23 ，b= (46) 46 ，c= ( 8) 8 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 依题意，可构造函数 g（x）= () （x0） ，分析得 g（x）为偶函数且在（0，+）上单 调递增，从而可得答案 令 g（x）= () （x0） ， 由于 f（x）为 R 上的奇函数， 所以 g（x）= () （x0）为定义域上的偶函数， 又当 x0 时，xf（x）f（x） ， 所以，当 x0 时，g（x）= ()() 2 0， 所以，偶函数 g（x）在（0，+）上单调递增； 又 0sin 8 1log46log49log23， 所以
25、 g（sin 8）g（log46）g（log49）g（log23）g（log23） ， 即 cba， 故选：C 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数 g（x）= () （x0）并分析其奇偶性 与单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13在平面上，1 、2 是方向相反的单位向量，若向量 满足（ 1 ）（ 2 ） ，则| | 的值 1 利用向量垂直的性质直接求解 1 、2 是方向相反的单位向量， 向量 满足（ 1 ）（ 2 ） ， （ 1 ） （ 2 ） = 2 （1
26、 + 2 ）+1 2 = 2 10， | |1 故答案为：1 本题考查向量的模的求法， 考查向量垂直的性质等基础知识， 考查运算能力， 是基础题 14设 a，b，c 分别为三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于 3 4 (2+ 2 2)，则内角 A 的大小为 1 3 由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可求 tanA，进而可求 A 因为 S= 3 4 (2+ 2 2) = 3 4 2 = 1 2 ， 所以3cosAsinA 即 tanA= 3， 故 A= 1 3 故答案为：1 3 本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的赢，属于基础试题 15已
27、知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则 该几何体的体积为 20 3 由三视图还原出几何体的图形，结合图形求出该几何体的体积 由三视图还原出原几何体如图所示， 该几何体是边长为 2 的正方体截去三棱锥 FBGE， 则该几何体的体积为 VV正方体V三棱锥23 1 3 1 2 222= 20 3 故答案为：20 3 本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，关键是由三视图还原出几何体，是基础 题 16关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯 实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值，先请 240 名同学，每 人随
28、机写下两个都小于 1 的正实数 x， y 组成的实数对 （x， y） ； 若将 （x， y） 看作一个点， 再统计点（x，y）在圆 x2+y21 外的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值，假如 统计结果是 m52，那么可以估计 的近似值为 47 15 （用分数表示） 由试验结果知 200 对 01 之间的均匀随机数 x，y，对应区域的面积为 1，两个数对（x， y） ，满足 x2+y211 且 x，y 都小于 1，面积为 1 4，由几何概型概率计算公式即可估计 的值 由题意，240 对都小于 l 的正实数对（x，y） ，对应区域的面积为 1， 两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（
29、x，y） ， 满足 x2+y21 且 x，y 都小于 1，x+y1，面积为 1 4， 因为点（x，y）在圆 x2+y21 外的个数 m52； 52 240 =1 4； = 47 15 故答案为：47 15 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解 能力，是基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在 播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区 别，某市红
30、旗农场于 2019 年选取了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试验其 中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如表： 产量（单位： 斤） 播种方式 840，860） 860，880） 880，900） 900，920） 920，940） 直播 4 8 18 39 31 散播 9 19 22 32 18 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高” ，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） （2）请根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的
31、把握认为“产 量高”与“播种方式”有关？ 产量高 产量低 合计 直播 散播 合计 附2= ()2 (+)(+)(+)(+)： P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 （1）由每一组数据的中间值乘以频率作和可得 100 块直播农田的平均产量； （2）填写 22 列联表，计算 K2的值，结合临界值表得结论 （1） 估计 100 块直播农田的平均产量为 8500.04+8700.08+8900.18+9100.39+930 0.31907（斤） ；来源:Z*xx*k.Com （2）22 列联表： 产量高 产量低 合计 直播 70 30 100 散
32、播 50 50 100 合计 120 80 200 2= 200(70505030)2 10010012080 8.3336.635 有 99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 本题考查频率分布表，考查独立性检验，考查计算能力，是中档题 18已知数列an满足 a14，an+12an+32n+1 （1）证明：数列* 2+为等差数列，并求数列an的通项公式； （2）设= 64 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 本题第（1）题将题干中的递推公式进行转化变形可发现数列* 2+是以 2 为首项，3 为公 差的等差数列， 计算出数列* 2+的通项公式， 然后可计算出数列an的通项公式； 第 （2
33、） 题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运 用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn （1）证明：依题意，由 an+12an+32n+1， 两边同时乘以 1 2+1，可得 +1 2+1 = 2 +3，即+1 2+1 2 =3， 1 21 = 4 2 =2， 数列* 2+是以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 2 =2+3（n1）3n1， an（3n1） 2n，nN* （2）解：由（1） ，可知 = 64 +1 = 64 (31)2(3+2)2+1 = 3 (31)(3+2) = 1 31 1 3+2， 故 Tnb1+b2+bn = 1 2 1 5 + 1
34、5 1 8 + + 1 31 1 3+2 = 1 2 1 3+2 = 3 2(3+2) 本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，运用裂项相消法求前 n 项和考查了转 化与化归思想，构造思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题 19如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1平面 ABCD，底面 ABCD 是直角 梯形，ADAB，ABCD，AB2AD2AA14 （1）证明：A1D平面 ABC1D1； （2）若四棱锥 A1ABC1D1的体积为10 3 ，求四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧面积 （1）由侧棱 AA1平面 ABCD，得 AA1AD，AA1AB，结合 ABAD
35、，可得 AB平面 AA1D1D，则 ABA1D1，再由 AA1AD，AA1AD，得到四边形 AA1D1D 是正方形，则 A1DAD1，进一步得到 A1D平面 ABC1D1； （2）记 A1D 与 AD1 的交点为 O，则 A1O平面 ABC1D1，设 CDC1D1x，由四棱锥 A1ABC1D1的体积为10 3 列式求得 x， 进一步求得 BC， 再由侧面积公式求得四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧面积 （1）证明：侧棱 AA1平面 ABCD，AA1AD，AA1AB， 又 ABAD，AA1ADA，AB平面 AA1D1D， 而 A1D平面 AA1D1D，ABA1D1， 又 AA1AD，AA1A
36、D，四边形 AA1D1D 是正方形，则 A1DAD1， 又 ABAD1A，A1D平面 ABC1D1； （2）解：记 A1D 与 AD1 的交点为 O，A1O平面 ABC1D1， 又 AB2AD2AA14，1 = 2，1= 22 设 CDC1D1x，则111= 1 3 +11 2 1 1 = 2+8 3 = 10 3 解得：x1，即 CD1 BC= (4 1)2+ 22= 13 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧面积 S（1+2+4+13）2= 14 + 213 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了棱柱体积与侧 面积的求法，是中档题 20已知函数 f（x）x22（a
37、+1）x+2alnx（a0） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在点 x1 处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的单调性 （1）先把 a1 代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可 求切线方程； （2）先对函数求导，对 a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性 （1）a1 时，f（x）x24x+2lnx，f（x）= 2 4 + 2 ， f（1）3，f（1）0， 故 f（x）的图象在点 x1 处的切线方程 y+30； （2）函数的定义域（0，+） ， () = 2 2( + 1) + 2 = 2(1)() ， 当 a0 时，x（0，1）时，f（x）
38、0，函数单调递减，x（1，+）时，f（x） 0，函数单调递增， 当0a1 时，x（a，1）时，f（x）0，函数单调递减，x（1，+） ， （0，a）时， f（x）0，函数单调递增， 当 a1 时，() = 2(1)2 0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a1 时，x（1，a）时，f（x）0，函数单调递减，x（a，+） ， （0，1）时，f （x）0，函数单调递增， 综上当 a0 时，函数在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 当 0a1 时，函数在（a，1）上单调递减，在（1，+） ， （0，a）上单调递增， 当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a1 时
39、，函数在（1，a）单调递减，在（a，+） ， （0，1）上单调递增 本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思想的 应用 21已知椭圆 C： 2 4 + 2 2 =1（0b2）的离心率 e（0， 2 2 ） ，F 为椭圆 C 的右焦点，D， E 为椭圆的上、下顶点，且DEF 的面积为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）动直线 l：y= 1 2x+t 与椭圆 C 交于 A，B 两点，证明：在第一象限内存在定点 M，使 得当直线 AM 与直线 BM 的斜率均存在时， 其斜率之和是与 t 无关的常数， 并求出所有满 足条件的定点 M 的坐标 （1）设椭圆的半焦距为 c
40、，由 a，b，c 的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式， 解方程可得 b，c，进而得到椭圆方程； （2）设 A（x1，1 2x1+t） ，B（x2， 1 2x2+t） ，M（m，n） ，联立直线 l 和椭圆方程，运用韦达 定理和判别式大于 0，以及斜率公式，化简计算 kAM+kBM，考虑它的和为常数，可令 t 的 系数为 0，进而得到 M 的坐标 （1）设椭圆的半焦距为 c，则 c2a2b24b2， 又由DEF 的面积为3，可得1 2c2bbc= 3，解得 c1，或 c= 3， 离心率 e（0， 2 2 ） ，则 c= 3时，e= = 3 2 （0， 2 2 ） ，舍去， 则 c1，b=
41、3，所以椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1； （2）证明：设 A（x1，1 2x1+t） ，B（x2， 1 2x2+t） ，M（m，n） ， 将直线 l：y= 1 2x+t 代入椭圆 3x 2+4y212 可得 x2+tx+t230， 由t24（t23）0，可得2t2，则有 x1+x2t，x1x2t23， kAM+kBM= 1 21 1 + 1 22 2 = (1 21)(2)+( 1 22)(1) (1)(2) = (3 2)+23 2+23 为与 t 无关的常数， 可得当 n= 3 2m，2mn3 时，斜率的和恒为 0，解得 = 1 = 3 2 或 = 1 = 3 2 （舍去） ， 综
42、上所述，在第一象限内满足条件的定点 M 的坐标为（1，3 2） 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考查化 简运算能力和推理能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.若多做，则按所做的若多做，则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1的倾斜角为 30，且经过点 A（2，1） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：cos3，从原点 O 作射线交 l2 于点 M，点 N 为射线 OM 上的点，满足|OM|ON|12，记点 N 的轨迹为曲线 C （1）设动点 Pl1，记 是直线 l 1的向上方向的单位方向向量，且 = ，以 t 为参 数求直线 l1的参数方程 求曲线 C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 l1与曲线 C 交于 P
