1、2020 年高考（理科）数学二模试卷年高考（理科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1若 a+2i（1i）（1+bi）（a，bR，i 为虚数单位），则复数 abi 在复平面内对应的 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A、B 均为集合 U1，2，3，4，5，6的子集，且（UA）B3，（UB） A6，AB1，2，则集合 B（ ） A1，2，3 B1，2，6 C1，2 D1，2，3，4，5 3若实数 x、y 满足，则 yx 的最大值为（ ） A3 B0 C3 D9 4已知 ， 是两个不同的平面，直线 m，下列命题中正确的是（ ） A若 ，则
2、 m B若 ，则 m C若 m，则 D若 m，则 5课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况， 甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成 作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎 话？（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 已知正项等比数列an， 若向量， 则 log2a1+log2a2+ +log2a9（ ） A12 B8+log25 C5 D18 7我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的
3、形式被收入我国 古代数学名著九章算术中九章算术 商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑 堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验 之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、 “鳖臑”的过程已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 1，则鳖臑的体积最小值为 （ ） A B C D 8设函数 f（x）sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）关于（0，1）中心对称 Bf（x）的极小值为 Cf（x）的最小正周期为 Df（x）图象的一条对称轴为 9已知 ，则 sin（60+）的值为（ ） A B C D 10
4、已知两个不相等的非零向量，满足，且 与的夹角为 45，则的 取值范围是（ ） A B C（0，2 D 11已知双曲线上存在一点 M，过点 M 向圆 x 2+y21 做两条切线 MA、 MB，若，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 12已知函数 ，若存在 an，n+1（nZ） 使得方程 f（x）g（x）有四个实根则 n 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计 划采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本若从
5、高一、高 二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数 为 14 习近平总书记在全军军事学院校长集训开班式上强调贯彻新时代军事教育方针， 深化军 事院校改革创新，培养德才兼备的高素质专业化新型军事人才要摆在突出位置为配合 总书记精神，安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少 1 人，其中李 校长必须去甲军区的概率为 15设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（a+b+c）（ab+c）3ac， 则B ； 若边AC上的点D满足BDCD2AD2， 则ABC的面积S 16希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个
6、定点 A，B 的距离之比为定值 （1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，1），B（0， 4），则点 P 满足 的阿波罗尼斯圆的方程为 已知点 C（2，4），Q 为抛 物线 E：y28x 上的动点，点 Q 在直线 x2 上的射影为 H，M 为（x+2）2+y24 上动 点，则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共 60 分 17已知数列an前 n 项和为 Sn，且 a11，Snan+11，数列bn为等差数列，a3b4，且 b2+b5b
7、7 （）求数列an和bn的通项公式； （）若，求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 为菱形，平面 PBD平面 ABCD （）求证：PAPC； （）若 PBPD，PBPD，二面角 BPCD 为 120，求ABC 的余弦值 19已知函数 （）求函数 f（x）的极小值点； （）设 A（x1，y1），B（x2，y2）（0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两点， f（x）为函数 f（x）的导函数，求证： 20N95 型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率达到 95%以上某防护用品生产厂生产的 N95
8、 型口罩对空气动力学直径 0.3m 的颗粒的过滤效率服从正态分布 N（0.97，9.025105） （）当质检员随机抽检 10 只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率为 93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你依据所学 知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据； （）该厂将空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95.1%以上的 N95 型口罩 定义为“优质品” 求该企业生产的一只 N95 型口罩为“优质品”的概率； 该企业生产了 1000 只这种 N95 型口罩，且每只口罩相互独立，记 X 为这 1000 只口罩 中“优质品”的
9、件数，当 X 为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据： 9.5290.25， P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 21已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 为椭圆 E 上任 意一点，的最大值为 1，点 A1为椭圆 E 的左顶点，A1PF2的面积最大值为 （）求椭圆 E 的方程； （）动直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 A（x1，y1）、B（x2，y2），O 为坐标原点，M 为 AB 的中点_ 是否存在实数 ， 使得|OM|AB| 恒成立？若存在， 求 的最小值； 若不存在，说明理由 从 AOB的 面 积 为1 ， （
10、其 中 向 量 这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修 4-4：坐标系与 参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 y2，曲线 C 的参数方程是（ 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （）若 A（1，）是曲线 C 上一点，是直线 l 上一点，求 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知
11、a、b、cR+，且 a+b+c6 （）当 c5 时，求的最小值； （）证明：a2+b22b+c24c2 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1若 a+2i（1i）（1+bi）（a，bR，i 为虚数单位），则复数 abi 在复平面内对应的 点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答 案可求 解：因为 a+2i（1i）（1+bi）（1+b）+（b1）i， a1+b 且 2b1； 所以：a4，b3
12、； 复数 abi 在复平面内对应的点（4，3）所在的象限为第四象限 故选：D 2已知集合 A、B 均为集合 U1，2，3，4，5，6的子集，且（UA）B3，（UB） A6，AB1，2，则集合 B（ ） A1，2，3 B1，2，6 C1，2 D1，2，3，4，5 【分析】根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据 A 的补集与 B 的交集的元素，看出 B 中不含有元素 6，得到结果 解： 因为集合 A、 B 均为集合 U1， 2， 3， 4， 5， 6的子集， 且 （UA） B3， （UB） A6，AB1，2， 所以：3B，6B，1，2B，4，5B，4，5A； 故集合 B1，2，3
13、 故选：A 3若实数 x、y 满足，则 yx 的最大值为（ ） A3 B0 C3 D9 【分析】 画出可行域， 将目标函数变形画出相应的直线， 将直线平移至 B 时纵截距最大， z 最大 解：画出的可行域如图： B（6，6） 令 zyx 变形为 yx+z 作直线 yx 将其平移至 B（6，6）时，直线的纵截距最大，最 大为：0 故选：B 4已知 ， 是两个不同的平面，直线 m，下列命题中正确的是（ ） A若 ，则 m B若 ，则 m C若 m，则 D若 m，则 【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果 解：对于选项 A：若 ，则 m 也可能 m，故错误 对于选项 B：若 ，则
14、m 也可能 m，故错误 对于选项 C：若 m，则 也可能 与 相交，故错误 对于选项 D，直线 m，m，则 是面面垂直的判定，故正确 故选：D 5课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁 4 位同学的作业完成情况， 甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成 作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎 话？（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出 解：由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”， 则乙丁有一人说谎， 则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁
15、未完成作业， 进而可以判断丁说了假话 故选：D 6 已知正项等比数列an， 若向量， 则 log2a1+log2a2+ +log2a9（ ） A12 B8+log25 C5 D18 【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得 a2 a816，再根据等比中项的知识，可 计算出 a54，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项 解：由题意，向量， 则 8 2a2 a80，即 a2 a816， 根据等比中项的知识，可得 a2 a816， a50，a54， log2a1+log2a2+log2a9 log2（a1a2a9） log2（a1a9） （a2a8） （a3a7） （a4a6） a5
16、 log2a59 9log24 18 故选：D 7我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国 古代数学名著九章算术中九章算术 商功：“斜解立方，得两堑堵斜解堑 堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验 之以棊，其形露矣”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、 “鳖臑”的过程已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 1，则鳖臑的体积最小值为 （ ） A B C D 【分析】由已知可得 a2，且截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆
17、半径 为 r，则 r1由三角形面积相等结合基本不等式可得 bc 的最小值，则鳖臑的体积最小 值可求 解：已知可得，堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长 a，则 a2 易知，截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为 r，则 r1 如图可知， 根据三角形面积公式可得： ，则 2b+2cbc+2， b0，c0，2b+2c，当且仅当 bc 时取等号 bc+2，即 解得：0或 又内切圆半径 r1b，rc，1 ，即 bc 鳖臑的体积为 V 故选：C 8设函数 f（x）sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）关于（0，1）中心对称 Bf（x）的极小值为 Cf（x
18、）的最小正周期为 Df（x）图象的一条对称轴为 【分析】借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项 解：对于 A 选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说 f（x）的图象 关于某个点中心对称， 其次 f（x）+f（x）2cosx+2 不恒等于 2，所以 A 错误； 对于 B 选项，f（x）sinx+cosx+sinxcosx+1f（x）cosxsinx+cos2x，令 f（x） 0 有 sinxcosx 或 sinx+cosx1 当 sinxcosx时，有 f（x）+， 当 sinx+cosx1 时，两边平方可得 1+2sinxcosx1，sinxcosx0，此时 f（x
19、） sinx+cosx+sinxcosx+10， 所以 f（x）的极小值不可能为，所以 B 错误； 对于 C 选项，f（x+）sinxcosx+sinxcosx+1f（x），所以 不是 f（x）的最小正 周期，所以 C 错误； 对于 D 选项，f（）sin（）+cos（）+sin（）cos（） +1cosx+sinx+sinxcosx+1f（x）， f（）f（x），所以 f（x）图象的一条对称轴为 x，故 D 正确 故选：D 9已知 ，则 sin（60+）的值为（ ） A B C D 【分析】 由三角恒等变换求出 sin （15） 的值， 再利用二倍角求出 cos （30） ， 用诱导公式求出
20、 sin（60+）的值 解：由 tan10 tan10 ， 所以 cos（30）12sin2（15） 12 ， 所以 sin（60+）cos（30） 故选：A 10已知两个不相等的非零向量，满足，且 与的夹角为 45，则的 取值范围是（ ） A B C（0，2 D 【分析】如图所示，设 ， ，CAB45，由图可知，当 BCAC 时，| | 的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果 解：如图所示，设 ， ，CAB45，由图可知，当 BCAC 时，| |的取 值最小，此时，则| |， 而| |没有最大值， 故则 的取值范围为，+）， 故选：D 11已知双曲线上存在一点 M，过点 M 向圆
21、x 2+y21 做两条切线 MA、 MB，若，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，推出 a 的关系式，即可求解结果 解：双曲线上存在一点 M，过点 M 向圆 x2+y21 做两条切线 MA、 MB，若， 可知 MAOB 是正方形，MO，所以双曲线的实半轴长的最大值为， 所以 a 故选：B 12已知函数 ，若存在 an，n+1（nZ） 使得方程 f（x）g（x）有四个实根则 n 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】依题意，转化可得函数与直线 ya 有且仅 有四个不同的交点，且易发现函数 F（x）为偶函数，利用导数研究函数 F（x）的性质， 作出函数
22、图象，观察图象可得实数 a 的取值范围，进而得到 n 的最大值 解：令，则 ， 依题意， 函数与直线 ya 有且仅有四个不同的交点， 易知函数 F（x）为偶函数，故先研究 x0 时的情况， 当 x0 时，令 F（x）0，解得 0x2，令 F（x）0， 解得 x2， 故函数 F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，且 F（x）极小值F（2） ln2， 由偶函数的对称性，可作出函数 F（x）的图象，如下图所示， 由图可知，a（ln2，ln（e2+e2），又 0ln21，2ln（e2+e2）3， n 的最大值为 2 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
23、把答案填写在答题纸相应位置上 13我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计 划采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个容量为 36 的样本若从高一、高 二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为 700 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为 2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求 出 x 的值，可得高三年级的学生人数 解：设从高三年级抽取的学生人数为 2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为 2x 2，2x4 由题意可得 2x+（2x2）+（2x4）36，x7 设我校高三年级的学生人数为 N，再根据
24、，求得 N700， 故答案为：700 14 习近平总书记在全军军事学院校长集训开班式上强调贯彻新时代军事教育方针， 深化军 事院校改革创新，培养德才兼备的高素质专业化新型军事人才要摆在突出位置为配合 总书记精神，安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少 1 人，其中李 校长必须去甲军区的概率为 【分析】基本事件总数 n36，其中李校长必须去甲军区包含的基本事 件总数 m12，由此能求出李校长必须去甲军区的概率 解：安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少 1 人， 基本事件总数 n36， 其中李校长必须去甲军区包含的基本事件总数 m12， 李校长必须去甲军区的概率为 p
25、 故答案为： 15设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（a+b+c）（ab+c）3ac， 则B ； 若边AC上的点D满足BDCD2AD2， 则ABC的面积S 【分析】（l）利用余弦定理容易求出 B 的大小； （2） 引入角 DBC， 根据 BDDC 得 C， 再利用内角和定理将 A 用 表示出来， 最后在ABD 中利用正弦定理可求出 ，问题迎刃而解 解：（1）根据题意（a+b+c）（ab+c）3ac， 化简得 a2+c2b2ac，所以 cosB ，B（0，），B； （2）做出图形如下： 由题意不妨设DBC，则ABD，C，所以 A， 在ABD 中由正弦定理得， 将 AD1
26、，BD2 代入化简得， A，C，易得 AB 故答案为： 16希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值 （1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，1），B（0， 4），则点 P 满足 的阿波罗尼斯圆的方程为 x2+y24 已知点 C（2，4），Q 为抛物线 E：y28x 上的动点，点 Q 在直线 x2 上的射影为 H，M 为（x+2）2+y24 上动点，则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为 【分析】（1）利用直译法直接求出 P 点的轨迹 （2）先利用阿
27、氏圆的定义将转化为 M 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线 的定义容易求得|MC|+|QH|+|QM|的最小值 解：设 P（x，y），由题意可得：，即，整理可得：x2+y24 做出图象如右：设圆（x+2）2+y24 是动点 M（x，y）到 C（2，4）与到定点 D（2， m）的距离比为 2 的阿氏圆 所以，化简得 则 m10， 所以 m1， 故 D （2， 1） ， ， 结合抛物线定义|QH|QF|， |MC|+|QH|+|QM|MD|+|QM|+|QF|FD|（当且仅当 D，M，Q，F 四点共线，且 Q， M 在 D，F 之间时取等号）， 此时|FD| 故|MC|+|QH|+|QM|的最小
28、值为 故答案为：x2+y24， 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共 60 分 17已知数列an前 n 项和为 Sn，且 a11，Snan+11，数列bn为等差数列，a3b4，且 b2+b5b7 （）求数列an和bn的通项公式； （）若，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】（）先由题设条件得出数列an为等比数列，然后求出 an与 bn； （）先根据第（1）题的结果计算出 cn，然后运用裂项相消法计算前 n 项和 Tn 解：（）数列an前 n 项和为 Sn，且 a11，Snan+11，当 n2 时有 Sn1 an1， 由可得：anan+1an，即 a
29、n+12an，又当 n1 时，有 S1a211a222a1 也适合， a n+12an，即数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，a 设等差数列bn的公差为 d，a3b4，且 b2+b5b7， 解得： bnb4+（n4）dn （） 由 （） 得： a， bnn， Tn （ ） + （） + （） + （） + （ ） 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 为菱形，平面 PBD平面 ABCD （）求证：PAPC； （）若 PBPD，PBPD，二面角 BPCD 为 120，求ABC 的余弦值 【分析】 （） 由面面垂直的性质可得 AC平面 PBD， 进而得到 ACPO，
30、 又 AOOC， 故 PAPC； （）建立空间直角坐标系，设 C（0，t，0）（t0），求出两个平面的法向量，根据 已知条件建立关于 t 的方程，解方程求得 t，进而求得所求余弦值 解：（）证明：连接 AC 交 BD 于点 O， 平面 PBD平面 ABCD，平面 PBD平面 ABCDBD，ACBD， AC平面 PBD， PO 在平面 PBD 内， ACPO， AOOC， PAPC； （）PBPD，BOOD， POBD， 又平面 PBD平面 ABCD，平面 PBD平面 ABCDBD， PO平面 ABCD， 菱形 ABCD 中，OBOC，故 OB，OC，OP 两两互相垂直， 以 O 为坐标原点，O
31、B，OC，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 在等腰三角形 PBD 中，记， B（1，0，0），P（0，0，1），D（1，0，0），设 C（0，t，0）（t0）， 设平面 BPC 的一个法向量为， 则， 可取， 同理可得平面 PCD 的法向量， ，解得， 在 RtOBC 中，故， 19已知函数 （）求函数 f（x）的极小值点； （）设 A（x1，y1），B（x2，y2）（0x1x2）为函数 yf（x）图象上的任意两点， f（x）为函数 f（x）的导函数，求证： 【分析】（）求导可得，令 f（x）0，可知其有一个 正根，进而得到函数 f（x）的单调性情况，由此求
32、得极小值； （ ） 计 算 可 知 ， 原 命 题 即 证， 齐 次 化 可 得 ， 再 通 过 换 元 思 想 令， 进 一 步 等 价 于 证 明 ，构造函数，再利用导数求得函数 h（t） 0 在（1，+）上恒成立即可得证 解：（）函数的定义域为（0，+），令 f（x）0， 解得， 易知当 x（0，x4）时，f（x）0，当 x（x4，+）时，f（x）0， 故函数 f（x）在（0，x4）单调递减，在（x4，+）上单调递增， f（x）的极小值点为； （）证明：， ， 等 价 于， 即 证 ， 令，即证， 令，则， h（t）在（1，+）上单调递增，故 h（t）h（1）0， ，原命题得证 20N9
33、5 型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率达到 95%以上某防护用品生产厂生产的 N95 型口罩对空气动力学直径 0.3m 的颗粒的过滤效率服从正态分布 N（0.97，9.025105） （）当质检员随机抽检 10 只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率为 93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你依据所学 知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据； （）该厂将空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95.1%以上的 N95 型口罩 定义为“优质品” 求该企业生产的一只 N95 型口罩
34、为“优质品”的概率； 该企业生产了 1000 只这种 N95 型口罩，且每只口罩相互独立，记 X 为这 1000 只口罩 中“优质品”的件数，当 X 为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据： 9.5290.25， P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 【分析】（）利用 3原则，当样本点数据出现在（3，+3）之外时，就认为 生产异常 （）由求出成功概率，然后第问看成一个独立重复实验，则口罩优质品数服从二 项分布，根据 P（Yk）先增大后减少的规律列出不等式组即可 解：（）由已知过滤效果服从 N（0.97，90.25106），2（9.5
35、103）2， 9.51030.0095，则 0.9360.970.009530.9415， 由 3原则可知，生产的口罩出现过滤效果在 3以外的值，发生的可能性很小，一旦发 生，应停止生产 （）令 Y事件“N95 口罩的过滤效果”，则一只口罩为“优质品”的概率为： P（Y0.951）P（Y0.9720.0095）1 依题意 XB（1000，0.9772），记 n1000，p0.9772 P（Xk） ，要使可能性最大，只需 ，整理得， 所以 1001p1k1001p， k978 当 X 为 978 件时可能性最大 21已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 为椭圆 E 上任 意一点，的最大
36、值为 1，点 A1为椭圆 E 的左顶点，A1PF2的面积最大值为 （）求椭圆 E 的方程； （）动直线 l 与椭圆 E 交于不同两点 A（x1，y1）、B（x2，y2），O 为坐标原点，M 为 AB 的中点_ 是否存在实数 ， 使得|OM|AB| 恒成立？若存在， 求 的最小值； 若不存在，说明理由 从 AOB的 面 积 为1 ， （ 其 中 向 量 这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】 （） 先由的最大值为 1b21， 再由A1PF2的面积最大值为 a24，从而求出椭圆 E 的方程； （） 先设出直线 l 的方程， 再与椭圆
37、E 的方程联立， 求出|AB|、 点 O 到直线 l 的距离 d， 接着求出AOB 的面积的关系式，进而得到变量之间的关系，最后解决 的存在性与最 值问题 解：（）设 P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），则 ，x0a，a （cx0，y0），（cx0，y0）， x02+y02c2 ，x0a，a， 当 x0 a 时 ，（ ）max b2 1 又 S|y0| ， 又 a2b2+c2，可解得：a2，b1，c 所以椭圆 E 的方程为 （）当选择时，假设存在实数 ，使得|OM| |AB| 恒成立 设动直线 l：xky+t，由联立可得：（4+k2）y2+2kty+t240 ，M（，）|AB|
38、， 点 O 到直线 l： xky+t 的距离 d， SABO|AB|d 1，整理得： |OM|AB|， 令 4+k2 m4，则2，m4 令 y，m4，则 y ，令 y0m，y 在4，单调递增，在， +）单调递减，故当 m也即 k2时， ymax，（|OM| |AB|）max 又|OM| |AB| 恒成立，所以故存在 ，使得|OM| |AB| 恒成立，且 的最小值为 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修 4-4：坐标系与 参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方
39、程是 y2，曲线 C 的参数方程是（ 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （）若 A（1，）是曲线 C 上一点，是直线 l 上一点，求 的最大值 【分析】（）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间 进行转换 （）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（）直线 l 的方程是 y2，转换为极坐标方程为 sin2， 曲线 C 的参数方程是（ 为参数）转换为直角坐标方程为， 转换为极坐标方程为 （）点 A（1，）是曲线 C 上一点， 所以：，所以， 点是直线 l 上一点， 所 以
40、， 所 以 ， ，当时， 最大值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a、b、cR+，且 a+b+c6 （）当 c5 时，求的最小值； （）证明：a2+b22b+c24c2 【分析】（）依题意，a+b1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值 即可； （）将不等式左边化简可得 a2+b22b+c24ca2+（b1）2+（c2）25，运用柯 西不等式即可得证 解：（）当 c5 时，a+b1， ， 又（当且仅当 ab 时取等号），则， ，即的最小值为 9； （）证明：a2+b22b+c24ca2+（b1）2+（c2）25， 由柯西不等式有，a2+（b1）2+（c2）2 （1+1+1）（a+b1+c2）2（当且仅 当 ab1c2 时取等号）， ， 又 a+b+c6， a2+（b1）2+（c2）23，即 a2+b22b+c24c2（当且仅当 a1，b2，c3 时取等号）
