1、江西省江西省 2020 年高中毕业班新课程教学质量监测年高中毕业班新课程教学质量监测数学数学试试卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 已知全集U1， 0， 1， 2， 3， 4， 集合A1， 1， 2， 4， 集合BxN|y= 4 2， 则A （UB）（ ） A1，2，3，4 B1，4 C1，2，4 D0，1 2已知 i 为虚数单位， 2 1 = 1 + 2，则复数 z 的虚部是（ ） A3 2 B3 2 C1 2
2、 D1 2 3已知等差数列an满足 a2+a46，a5+a710，则 a18（ ） A12 B13 C13 3 D14 3 4已知 a，bR，则“a+2b0“是“ = 2”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 52 1 3，5 1 2，log32 的大小关系是（ ） A2 1 35 1 2log32 B5 1 22 1 3log32 Clog325 1 22 1 3 D5 1 2log322 1 3 E5 1 2log322 1 3 6已知( + 6) = 3 5，则(2 + 3) =（ ） A 8 17 B 8 17 C15 17 D 15
3、 17 7 设 x， yR， = （x， 1） ， = （2， y） ， = （2， 2） ， 且 ， ， 则|2 +3 | （ ） A234 B26 C12 D210 8设函数 f（x）ex+2x4 的零点 a（m，m+1） ，函数，g（x）lnx+2x25 的零点 b （n，n+1） ，其中 mN，nN，若过点 A（m，n）作圆（x2）2+（y1）21 的切线 l， 则 l 的方程为（ ） Ay 3 3 x+1 By3x+1 Cy1 Dx0，y1 9若点（x，y）在不等式组 + 1 0 1 0 3 + 3 0 表示的平面区域内，则实数 = 21 +1 的取值范 围是（ ） A1，1 B2，
4、1 C 1 2，1 D1，1 2 10已知三棱锥 ABCD 的顶点均在球 O 的球面上，且 ABACAD= 3， = 2， 若 H 是点 A 在平面 BCD 内的正投影，且 CH= 2，则球 O 的表面积为（ ） A43 B23 C9 D4 11函数() = 1 4 2的大致图象是（ ） A B C D 12已知点 F 为双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点，若在双曲线 E 的右支上 存在点 P，使得 PF 中点到原点的距离等于点 P 到点 F 的距离，则双曲线 E 的离心率的 取值范围是（ ） A （1，3） B （1，3 C （1，3 D3，3 二、填空题：本大题共二
5、、填空题：本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13中华文化博大精深，丰富多彩 “纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一， “组合花纹”是常 见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为 1的圆将其包含在内， 并向该圆内随机投掷 1000 个点， 已知恰有 600 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是 来源:Zxxk.Com 14抛物线 yax2（a0）的焦点与椭圆 2 10 + 2= 1的一个焦点相同，则抛物线的准线方 程是 15 已知函数 f （x） = 2， 4 2 3，4， 对任意 x 1， x2 （， +） ， 都有 (
6、1)(2) 12 0， 则实 数 a 的取值范围为 16在三角形 ABC 中，|AB|2，且角 A，B，C 满足22 2 7 4 = 1 2 2( + )，三角形 ABC 的面积的最大值为 M，则 M 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分分. 17千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变 化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云， 地上雨淋淋” “日落云里走，雨在半夜后“小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜 后“，观察了所在地区 A 的 20
7、0 天日落和夜晚天气，得到如下 22 列联表： 夜晚天气 日落云里走 下雨 未下雨 出现 90 10 未出现 70来源:Zxxk.Com 30 临界值表 P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+) （1）根据上面的列联表判断能否有 99%的把握认为“当晚下雨”与“ 日落云里走出 现”有关？ （2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下 雨”天气中按分层抽样法抽取 4 天，再从这 4 天中随机抽出 2 天进行数据分析，求抽到 的这 2 天中仅
8、有 1 天出现“日落云里走”的概率 18设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S749，a2+a818 （1）求数列an的通项公式 （2）若 S3、a17、Sm成等比数列，求 S3m 19如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为对角线的交点，E 为 PD 上的一点，PD平面 ABE，PA平面 ABCD，且 PA2，AB1， = 5 （1）求证：ABAD （2）求三棱锥 PABE 的体积 20已知离心率为 2 2 的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0）的左顶点为 A，左焦点为 F，及点 P （4，0） ，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列 （1）求椭圆 C
9、 的方程 （2）斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记 = ，线段 MN 上的点 Q 满足 = ，试求OPQ（O 为坐标原点）面积的取值范围 21已知函数 f（x）lnxax （1）若函数 f（x）在定义域上的最大值为 1，求实数 a 的值 （2）设函数 h（x）（x2）ex+f（x） ，当 a1 时，h（x）b 对任意的 (1 3，1） 恒成立，求满足条件的实数 b 的最小整数值 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡铅笔
10、在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：极坐标系与参数方程：极坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 = 6 + = 1 + （t 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin（ 4） 2 =0 （1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程 （2）设点 P 是圆 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|x1，函数 g（x）|x4|x+2m1 （1）当 f（x）0 时，求实数
11、x 的取值范围 （2）当 g（x）与 f（x）的图象有公共点时，求实数 m 的取值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 已知全集U1， 0， 1， 2， 3， 4， 集合A1， 1， 2， 4， 集合BxN|y= 4 2， 则A （UB）（ ） A1，2，3，4 B1，4 C1，2，4 D0，1 求出集合 B，从而得到UB，由此能求出 A（UB） 全集 U1，0，1，2，3，4，集合 A1，1，2，4， 集合 Bx
12、N|y= 4 20，1，2， UB1，3，4， A（UB）1，4 故选：B 本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2已知 i 为虚数单位， 2 1 = 1 + 2，则复数 z 的虚部是（ ） A3 2 B3 2 C1 2 D1 2 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 由 2 1 = 1 + 2，得 z= (1)(1+2) 2 = 3 2 + 1 2 ， 则复数 z 的虚部是1 2 故选：D 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知等差数列an满足 a2+a46，a5+a710，则 a18（ ）
13、 A12 B13 C13 3 D14 3 由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解 等差数列an满足 a2+a46，a5+a710， 21 + 4 = 6 21+ 10 = 10，解可得 a1= 5 3，d= 2 3， 则 a18a1+17d= 5 3 + 17 2 3 =13 故选：B 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础试题 4已知 a，bR，则“a+2b0“是“ = 2”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 由 = 2a+2b0，反之不成立即可判断出关系 = 2a+2b0，反之不成立 “a+2b0“是“ = 2”成立的必要不
14、充分条件 故选：B 本题考查了等式变形、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 52 1 3，5 1 2，log32 的大小关系是（ ） A2 1 35 1 2log32 B5 1 22 1 3log32 Clog325 1 22 1 3 D5 1 2log322 1 3 E5 1 2log322 1 3 利用对数函数和指数函数的性质求解 2 1 3201， 1log32log33 = 1 2， 5 1 24 1 2= 1 2， 则 5 1 2log322 1 3， 故选：D 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用 6已知( + 6
15、) = 3 5，则(2 + 3) =（ ） A 8 17 B 8 17 C15 17 D 15 17 由题意利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 已知( + 6) = 3 5， 则(2 + 3) = 2(+ 6)(+ 6) 2(+ 6)+ 2(+ 6) = 2(+ 6) 2(+ 6)+1 = 6 5 9 25+1 = 15 17， 故选：D 本题主要考查二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题 7 设 x， yR， = （x， 1） ， = （2， y） ， = （2， 2） ， 且 ， ， 则|2 +3 | （ ） 来源:学+科+网 Z+X+X+K A2
16、34 B26 C12 D210 根据题意，由向量垂直的判断方法可得 = 2x+20，解可得 x 的值，即可得 的坐 标， 由向量平行的坐标表示方法可得y的值， 即可得 的坐标， 进而计算可得 （2 +3 ） 的值，由向量模公式计算可得答案 根据题意， =（x，1） ， =（2，y） ， =（2，2） ， 若 ，则 = 2x+20，解可得 x1，则 =（2，1） ， 若 ，则有 4+2y0，解可得 y2，则 =（2，2） ， 则（2 +3 ）（10，6） ，则|2 +3 |234； 故选：A 本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题 8设函数 f（x）ex+2x4 的零点
17、a（m，m+1） ，函数，g（x）lnx+2x25 的零点 b （n，n+1） ，其中 mN，nN，若过点 A（m，n）作圆（x2）2+（y1）21 的切线 l， 则 l 的方程为（ ） Ay 3 3 x+1 By3x+1 Cy1 Dx0，y1 先利用零点存在性定理，结合函数 f（x） ，g（x）的单调性，确定它们的零点所在区间， 从而求出 m，n 的值再根据圆的切线的求法求出切线方程 因为 f（0）30，f（1）e20，且 f（x）是增函数故 f（x）的零点 a（0，1） 又 g（1）30，g（2）ln2+30，且函数 g（x）在（0，+）上递增，故 b（1， 2） 所以 m0，n1故 A（
18、0，1） 由（x2）2+（y1）21 得圆心为（2，1） ，半径为 1 设切线为 ykx+1（斜率显然存在） ，即 kxy+10 所以 |2| 1+2 = 1，解得 k= 3 3 故切线方程为 = 3 3 + 1 故选：A 本题考查了函数零点存在性定理和圆的切线方程的求法属于中档题 9若点（x，y）在不等式组 + 1 0 1 0 3 + 3 0 表示的平面区域内，则实数 = 21 +1 的取值范 围是（ ） A1，1 B2，1 C 1 2，1 D1，1 2 根据条件画出可行域，通过实数 = 21 +1 的几何意义求最值，只需求出可行域内点和点 （1，1 2）连线的斜率的最值的 2 倍，从而得到
19、 z 的取值范围即可 根据约束条件画出可行域， 则实数 = 21 +1 =2 1 2 +1表示可行域内点 Q 和点 P （1， 1 2） 连线的斜率的最值的 2 倍， 当 Q 点在原点 C 时，直线 PC 的斜率为1 2，当 Q 点在可行域内的点 B 处时，直线 PQ 的 斜率为 1 4， 结合直线 PQ 的位置可得，当点 Q 在可行域内运动时，其斜率的取值范围是： 1 2，1 故选：C 本题主要考查了简单的线性规划， 以及利用分式函数的几何意义为可行域内的点 （x， y） 和另一个定点的直线斜率求最值，属于基础题 10已知三棱锥 ABCD 的顶点均在球 O 的球面上，且 ABACAD= 3，
20、 = 2， 若 H 是点 A 在平面 BCD 内的正投影，且 CH= 2，则球 O 的表面积为（ ） A43 B23 C9 D4 根据题意可知 HBHCHD，且 H 为 BD 的中点，可求出高 AH，并且球心在 AH 上， 根据勾股定理可得半径，求出其表面积 因为 ABACAD= 3， 所以由三角形全等可得 HBHCHD， 即 H 为BCD 的外心， 因为 = 2，则 H 为 BD 的中点， 则球心在 AH 上， 由勾股定理 AH= 2 2= 1， 设球 O 的半径为 R，则 R2（R1）2+2， 所以 R= 3 2， 球 O 的表面积为 4R29 故选：C 本题考查四面体的外接球，以及外接球
21、的表面积，属于中档题 11函数() = 1 4 2的大致图象是（ ） A B C D 求函数的导数，判断函数的单调性，利用极限思想进行排除即可 当 x+，f（x），排除 C，D， 函数的导数 f（x）= 1 1 2x= 22 2 ， （x0） ， 由 f（x）0 得 0x2，此时函数为增函数， 由 f（x）0 得 x2，此时函数为减函数，即当 x= 2时，函数取得极大值，同时也 是最大值 f（2）= 1 2ln2 1 2 0，排除 B， 故选：A 本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性以及 利用极限思想是解决本题的关键难度中等 12已知点 F 为双曲线 E：
22、2 2 2 2 = 1（a0，b0）的右焦点，若在双曲线 E 的右支上 存在点 P，使得 PF 中点到原点的距离等于点 P 到点 F 的距离，则双曲线 E 的离心率的 取值范围是（ ） A （1，3） B （1，3 C （1，3 D3，3 取 PF 中点 M，根据条件 OMPF，分类讨论 P 为右顶点和不为右顶点的情况，结合三 角形三边关系即可 设 PF 中点为 M，左焦点为 H，则 OMPF， 当点 P 异于双曲线的右顶点时，连接 PH，根据三角形中位线性质，则1 2PHPF， 根据双曲线定义又有 PHPF2a，则 PF2a， 根据三角形三边关系可得：2 + 42 2 + 24，即 1 3，
23、 当点 P 事双曲线右顶点时，OMa+ 2 ，PFca， 则 a+ 2 =ca，解得 e3， 综上 1e3， 故选：B 本题考查双曲线的性质，三角形三边关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13中华文化博大精深，丰富多彩 “纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一， “组合花纹”是常 见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹（如图阴影部分所示）的面积，作一个半径为 1 的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是 3 5 半径为
24、 1 的圆的面积 S圆，设阴影部分的面积为 S阴，由几何概型得 阴 圆 = 600 1000，由 此能估计阴影部分的面积 半径为 1 的圆的面积 S圆， 设阴影部分的面积为 S阴， 该正方形内随机投掷 1000 个点，已知恰有 600 个点落在阴影部分， 阴 圆 = 600 1000， 解得 S阴= 3 5 ； 估计阴影部分的面积是3 5 故答案为：3 5 本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14抛物线 yax2（a0）的焦点与椭圆 2 10 + 2= 1的一个焦点相同，则抛物线的准线方 程是 y3 求出椭圆的焦点坐标，然后求解 a，即可求解抛物线的准线
25、方程 椭圆 2 10 + 2= 1的焦点坐标 （0， 3） ， 抛物线 yax2（a0） 的焦点与椭圆 2 10 + 2= 1的 一个焦点相同，可得： 1 4 = 3， 所以抛物线的准线方程为：y3 故答案为：y3 本题考查抛物线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 15 已知函数 f （x） = 2， 4 2 3，4， 对任意 x 1， x2 （， +） ， 都有 (1)(2) 12 0， 则实 数 a 的取值范围为 （0，5 8 利用函数的单调性，结合分段函数，列出不等式组，求解即可 函数 f（x）= 2， 4 2 3，4，对任意 x 1，x2（，+） ，都有 (1)(
26、2) 12 0， 所以函数是增函数， 可得：20 8 3 2，解得：0a 5 8 故答案为： （0，5 8 本题考查函数的单调性以及分段函数的应用、不等式的解法，属于基础题 16在三角形 ABC 中，|AB|2，且角 A，B，C 满足22 2 7 4 = 1 2 2( + )，三角形 ABC 的面积的最大值为 M，则 M 3 3 由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 4cos2C+4cosC+10，解得 cosC= 1 2，可得 C= 2 3 ，利用余弦定理，基本不等式可求 ab 4 3，进而根据三角形的面 积公式即可求解 22 2 7 4 = 1 2 2( + )， 8sin2
27、2 =2cos2（A+B）+7，即 8sin2 2 2cos2（A+B）70， 8sin2 2 2cos2（A+B）81 2 2cos2（C）44cosC2cos2C44cosC 2（2cos2C1）4cos2C4cosC+6， 4cos2C+4cosC+10，解得 cosC= 1 2， C= 2 3 ， 设a， b， c分别为A， B， C的对边， 由余弦定理可得c2a2+b22abcosC， 可得4a2+b2+ab， 又4a2+b2+ab2ab+ab3ab，即 ab 4 3，当且仅当 ab 时等号成立， ABC 的面积 S= 1 2absinC= 3 4 ab 3 3 =M 故答案为： 3
28、 3 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式 在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分分. 17千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变 化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云， 地上雨淋淋” “日落云里走，雨在半夜后“小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜 后“，观察了所在地区 A 的 200 天日落和夜晚天气，得到如下 22 列联表： 夜晚天气 日
29、落云里走 下雨 未下雨 出现 90 10 未出现 70 30 临界值表 P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+) （1）根据上面的列联表判断能否有 99%的把握认为“当晚下雨”与“ 日落云里走出 现”有关？ （2）小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下 雨”天气中按分层抽样法抽取 4 天，再从这 4 天中随机抽出 2 天进行数据分析，求抽到 的这 2 天中仅有 1 天出现“日落云里走”的概率 （1）根据列联表计算 K2，对照临界值得出结论
30、； （2）利用分层抽样法求出抽取的天数，根据题意求出基本事件数，计算对应的概率值 （1）根据列联表计算 K2= 200(90301070)2 10010016040 =12.56.635， 所以有 99%的把握认为“当晚下雨”与“ 日落云里走出现”有关； （2）从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取 4 天， 则从出现“日落云里走”的天气中应抽取 1 天， 从未出现“日落云里走”的天气中应抽取 3 天， 随机抽取 2 天，总的情况数为 6 种， 仅有 1 天出现“日落云里走”的情况数为 3 种， 所以根据古典概型的概率公式计算得 P= 3 6 = 1 2 本题考查了独立性检验问题，也考查了古典
31、概型的概率计算问题，是基础题 18设 Sn为等差数列an的前 n 项和，S749，a2+a818 （1）求数列an的通项公式 （2）若 S3、a17、Sm成等比数列，求 S3m （1）先由题设条件求出等差数列an的基本量 a1，d，再求出其通项公式； （2）由 S3、a17、Sm成等比数列求出 m，再代入前 n 项和公式求出 S3m （1） 设等差数列an的公差为 d， Sn为等差数列an的前 n 项和， S749， a2+a818， 7 = 74= 49 2+ 8= 25= 18 4= 7 5= 9，解得：d2 ana4+（n4）d2n1 （2）由（1）知：S = (1+21) 2 = 2
32、S3、a17、Sm成等比数列，S3Sma172，即 9m2332，解得 m11 故 S3mS333321089 本题考查等差数列基本量的求法及前 n 项和公式，属于基础题 19如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为对角线的交点，E 为 PD 上的一点，PD平面 ABE，PA平面 ABCD，且 PA2，AB1， = 5 （1）求证：ABAD （2）求三棱锥 PABE 的体积 （1）由 PD平面 ABE，可得 PDAB同理可得 PAAB再利用线面垂直的判定与性 质定理即可证明结论 （2）由（1）可知：底面 ABCD 为矩形，可得 AD2利用等腰直角三角形的性质可得：
33、 PDAE， E 为 PD 的中点， 利用线面垂直的判定可得 AD平面 PAB 点 E 到 P 平面 PAB 的距离等于点 D 到平面 PAB 的距离的一半，三棱锥 PABE 的体积 V= 1 2VDPAB （1）证明：PD平面 ABE，AB平面 ABE，PDAB PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB 又PDPAP，AB平面 PAD，AD平面 PAD，ABAD （2）解：由（1）可知：底面 ABCD 为矩形，ABAD，AB1，AC= 5，AD2 PAD 为等腰直角三角形，PDAE， E 为 PD 的中点， ADPA，ADAB，ADABA，AD平面 PAB 点 E 到 P 平面 PA
34、B 的距离等于点 D 到平面 PAB 的距离的一半， 三棱锥 PABE 的体积 V= 1 2VDPAB= 1 2 1 3 1 2 212= 1 3 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式考查了空间想象能力 与计算能力，属于中档题 20已知离心率为 2 2 的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0）的左顶点为 A，左焦点为 F，及点 P （4，0） ，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列 （1）求椭圆 C 的方程 （2）斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记 = ，线段 MN 上的点 Q 满足 = ，试求OPQ（O 为坐标原点）面积的取
35、值范围 （1） 由题可列方程组 = 2 2 2= 4 ， 解得 a， c， 又 a2b2+c2， 解得 b， 进而可得椭圆的方程 （2）解法一：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ，M，N 点坐标代入椭圆方程两 式相减得： (1+2)(12) 8(1+)(1) + (1+2)(12) 4(1+)(1) =1，（*） ， 由 = ， = ， 用坐标表示，代入（*）式得 x32，又因为 Q 在椭圆内，得 0|y3|2，所以OPQ 面积 S= 1 2 4|3| =2|y3|（0，22） ， 解法二：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ，因为 = ，
36、 = ，则 1 + 4 = (2+ 4) 1= 2 ，y3= 1+2 1+ ，设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，联立椭圆 C 的 方程得：由0 得 t22，|t|2， (1 + )2= 8 2+2 22= 8 2+2 ，消去 y2得到(1+) 2 = 82 2+2， 所以 y3= 22 1+ = 2 1+ 8 (2+2)(1+) = 2 (1+)2 8 2+2 = 2 ，因此OPQ 的面积 S= 1 2 4|3| = 4 |进而得出结论 解法三：设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，联立椭圆 C 的方程得： 1+ 2= 8 2+2 12= 8 2+2 ， |MN|2+ 1|
37、1 2|， = + = 1 + 1+ = 2 12 ，再分析原点 O 到直线 l 的距离 d，表示OPQ 的面积 S，化简再求出答案 （1）根据题意得 = 2 2 2= 4 ，解得 = 2 = 22b2， 所以椭圆 C 的方程 2 8 + 2 4 = 1 （2） 解法一： 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， Q （x3， y3） ， 则 12 8 + 12 4 = 1 22 8 + 22 4 = 1 12 8 + 12 4 = 1 222 8 + 222 4 = 2 相减得：(1+2)(12) 8(1+)(1) + (1+2)(12) 4(1+)(1) =1， （*） 由
38、= ，知12 1 = 4，12 1 = 0，来源:Z,xx,k.Com 由 = ，知1+2 1+ = 3，1+2 1+ = 3， 代入（*）式得，1 8 3 (4) + 0 = 1，即 x32， 又因为 Q 在椭圆内，所以(2) 2 8 + 32 4 10|y3|2， 所以OPQ面积 S= 1 2 4|3| =2|y3|（0，22） ， 解法二：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ，则1 + 4 = (2+ 4) 1= 2 ，y3= 1+2 1+ ， 设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，代入椭圆 C 的方程得： （t2+2）y28ty+80，由0 得 t22
39、，|t|2， 所以 (1 + )2= 8 2+2 22= 8 2+2 ，消去 y2得到(1+) 2 = 82 2+2， 所以 y3= 22 1+ = 2 1+ 8 (2+2)(1+) = 2 (1+)2 8 2+2 = 2 ， 因此OPQ 的面积 S= 1 2 4|3| = 4 |（0，22） 解法三：设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，代入椭圆 C 的方程得： 1+ 2= 8 2+2 12= 8 2+2 ，|MN|2+ 1|1 2|， = + = 1 + 1+ = 2 12 ， 原点 O 到直线 l 的距离 d= 4 2+1， 所以OPQ 的面积 S= 1 2 2 |12| 2+
40、1|y1y2| 4 2+1 = 4 |12| |1 2|， 因为 y1y2= 1 2，所以 S= 41 2 |11 2 22| |y1y2|= 412 |1+2| = 4 |（0，22） 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量，属于中档题 21已知函数 f（x）lnxax （1）若函数 f（x）在定义域上的最大值为 1，求实数 a 的值来源:学科网 （2）设函数 h（x）（x2）ex+f（x） ，当 a1 时，h（x）b 对任意的 (1 3，1） 恒成立，求满足条件的实数 b 的最小整数值 （1）先对函数求导，然后结合导数可求函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，即 可； （2）由已知整理可得，b（x2）ex+lnxax，对任意的 (1 3，1）恒成立，结合 a 1，x0，可知（x2）ex+lnxax（x2）ex+lnxx，故只需 b（x2）ex+lnxx， 对任意的 x (1 3，1)恒成立，构造函数，结合导数可求 （1）函数的定义域（0，+） ，() = 1 ， 当 a0 时，() = 1 0，函数单调递增，此时没有最大
