1、湖南省湘潭市湖南省湘潭市 2020 届高三第三次模拟考试理科数学试题届高三第三次模拟考试理科数学试题 本试题卷分为第卷选择题和第卷非选择题两部分，共 23 小题，时量 120 分钟，满分 150 分 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1设集合 |10Axx ， 2 |20Bx xx，则AB（ ） A1,2) B( 1,1 C( 1,1) D( 2,1 2计算 43 12 i i （ ） A2i B2i C1 2i
2、D1 2i 3已知直线a平面，则“平面平面”是“直线a 平面”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列 n a的前n项和 n S满足236 nn Sa，则 6 a （ ） A 6 23 B 7 23 C 6 62 D 7 62 5下表是鞋子的长度与对应码数的关系 长度()cm 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数 40 41 42 43 44 45 如果人的身高()y cm与脚板长()x cm呈线性相关且回归直线方程为77.6yx若某人的身高为180cm， 据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A42 B43 C44 D
3、45 6已知实数x，y满足约束条件 2 0, 250, 1, xy xy y 则 3 y z x 的最大值为（ ） A 3 5 B 4 5 C 3 4 D 3 2 7更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如图所示的程序框图的算法思路就源于“更 相减损术”若执行该程序框图，则输出的a的值为（ ） A14 B12 C7 D6 8已知向量a，b是两个夹角为 3 的单位向量， 且35OAab，47OBab，OCamb，若A， B，C三点共线，则OA OC（ ） A12 B14 C16 D18 9函数
4、(| 1)ln |yxx的图象大致为（ ） A B C D 10已知函数( )2sin(0)f xx在 ,2(0)xaa上的最大值为 1 且单调递增，则2a的最大值为 （ ） A6 B7 C9 D8 11在直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，位于第一象 限上的点 00 ,P x y是双曲线C上的一点， 满足 12 0PF PF， 若点P的纵坐标 0 y的取值范围是 24 , 35 cc ， 则双曲线C的离心率的取值范围为（ ） A( 2,2) B(2,4) C(3,5) D( 3, 5) 12已知对任意实数x都有(
5、)3( ) x fxef x，(0)1f ，若不等式( )(2)f xa x（其中1a ）的 解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（ ） A 41 , 32e B 4 ,1 3e C 2 74 , 43ee D 2 71 , 42e 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13若直线240xym经过抛物线 2 2yx的焦点，则m_ 14 5 1 x x 的展开式中x的系数为_ 15已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数
6、列令 1 1 n nn b a a ，则数列 n b的前 50 项和 50 T_ 16 在三棱锥PABC中，5PC ， 底面ABC是以C为直角顶点的直角三角形， 且5BC ，12AC ， 点P到ABC三边的距离相等， 且点P在平面ABC上的射影落在ABC内， 则CP与平面ABC所成角 的正切值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、证明过程或演算步骤1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答第为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，
7、考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 如图， 已知四棱锥PABCD，PA 平面ABCD， 底面ABCD为矩形，3AB，4AP ，E为PD 的中点，AEPC （1）求线段AD的长 （2）若M为线段BC上一点，且1BM ，求二面角MPDA的余弦值 18ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知cos2cos22sinsin1 cos2ABABC （1）求角C （2）设D为边AB的中点，ABC的面积为 2，求 2 CD的最小值 19高三年级某班 50 名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为80,90)， 90,100)，
8、100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150， 其中, ,a b c成等差数列且2ca 物 理成绩统计如下表 （说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分） 分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 6 9 20 10 5 （1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3） 若数学成绩不低于 140 分的为 “优” ， 物理成绩不低于 90 分的为 “优” ， 已知本班中至少有一科为 “优” 的同学共有 6 人，从这 6 人中随机抽取 3 人，记X
9、为抽到两科为“优”的学生人数，求X的分布列和数学 期望 20 椭圆 22 22 :1(1) xy Eab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 椭圆E上两动点P，Q使得四边形 12 PFQF 为平行四边形，且平行四边形 12 PFQF的周长和最大面积分别为 8 和2 3 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线 2 PF与椭圆E的另一交点为M，当点 1 F在以线段PM为直径的圆上时，求直线 2 PF的方程 21已知函数 2 ( )2ln2(0)f xxxax a （1）讨论函数( )f x的单调区间； （2）若( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 12 f xf
10、 x a xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2, 1 xt yt （t为参数） ，曲线 1 C的方程为 22 0xyx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线 1 C的极坐标系方程； （2）曲线 2: 0,0 2 C 分别交直线l和曲线 1 C于M，N，求 3 | | ON OM 的最大值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数
11、( ) |1|f xx （1）求不等式( )|2|f xxx的解集； （2）设函数( )(3)yf xf x的最小值为m，已知 222 abcm，求abbc的最大值 2020 届高三模拟考试数学参考答案（理科）届高三模拟考试数学参考答案（理科） 1B 由题意 |10 |1Axxx x厔， | 12Bxx ，则( 1,1AB 2A 由复数的运算法则可得 43(43 )(12 )105 2 12(12 )(12 )5 iiii i iii 3B 若直线a平面，平面平面，此时直线与平面可能平行、相交或a，所以充分性 不成立；若直线a平面，直线a 平面，则平面平面，所以必要性成立，故选 B 4A 由已
12、知236 nn Sa，可得 11 236 nn Sa 两式相减得 11 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa 11 236Sa 1 6a ， n a是首项为 6，公比为 3 的等比数列，从而 56 6 6323a 5C 由77.6180x，解得26.8x ，所以脚板长为26.8()cm，查表得，穿的鞋子的码数应为 44 6C 根据约束条件 2 0, 25 0, 1, xy xy y ，画出可行域图中阴影部分为可行域 目标函数 3 y z x ， 表示可行城中的点( , )x y与( 3,0)连线的斜率， 由图可知点(1,3)P与( 3,0)连线的斜 率最大，故z的最大值为 3 4
13、7A 196,126,1abi； 98,63,2;986335;633528abiab； 35287;28721;21 714;1477abbb 2aa，输出14a 8 A 由, ,A B C三点共线， 得(1)(4)(72 )OCxOAx OBx ax b， 故 41 , 7 2, x xm 解得1m ， 则 22 (35 ) ()38512OA OCababaa bb 9C 由题易知函数(| 1)ln |yxx为偶函数，排除 A 选项； 当01x时，ln | 0,| 10xx ，所以(| 1)ln | 0yxx，排除 B 选项； 当1x 时，(1)lnyxx， 1 ln0 x yx x ，
14、所以函数(| 1)ln |yxx在(1,)上单调递增， 排除 D 选项 10D 由题意可知， ,2, 22 a ，(2)2sin21f，2 6 ， 12 ，则 min 6a ， max (2)8a 11D 由 12 0PF PF，可得 222 00 0xcy，又 22 00 22 1 xy ab ，解得 4 2 0 2 b y c ，由于 0 24 , 35 ycc ， 所以 2 2 24 35 b c ，即 2 214 1 35e ， 2 111 53e ，解得35e 12C 由( )3( ) x fxef x，(0)1f ，解得( )(31) x f xxe， 故( )(32) x fxx
15、e，( )f x在 2 3 x 处取得极小值 根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点(2,0)与四个点(1,2 )e，(0, 1)， 4 1, e ， 2 7 2, e 连线的斜率，由 2 741 2 432 e ee ，可得 2 74 , 43 a ee 13 1 2 2 2yx可化为 2 1 2 xy，焦点坐标为 1 0, 8 ，故 1 2 m 145 二项式 5 1 x x 的展开通项为 5 3 5 2 155 1 ()( 1) k k kkkk k TCxCx x ， 当1k 时， 11 25( 1) 5TCxx ，所以x的系数为5 15 50 101 因为 11 Sa， 211
16、2 1 2222 2 Saa ， 411 43 42412 2 Saa ，由题意得 2 111 22412aaa， 解得 1 1a ， 所以21 n an， 则 1111 ( 21 ) ( 21 )2 21 21 n b nnnn ， 则 50 1111111150 1 23355799101101 T 16 34 4 如图，设点P在平面ABC上的射影为点O， 因为点P到ABC三边的距离相等，则点O到ABC三边的距离相等， 又点P在平面ABC上的射影落在ABC内， 所以点O为ABC的内心 设ABC的内切圆与直角边BC，AC分别相切于E，D， 易知四边形OECD 是正方形因为ACBC，且5BC
17、，12AC ，所以13AB ，则ABC的内切圆半径 51213 2 2 OEOD ， 所以2 2OC 因为PO 平面ABC， 所以PCO为CP与平面ABC所 成的角因为5PC ，所以 22 5(2 2)17PO ，所以CP与平面ABC所成角的正切值为 1734 42 2 PO OC 17解： （1）分别以,AB AP AD所在直线为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 设ADt，则(0,0,0),0,2,(3,0, ), (0,4,0) 2 t AECt P 所以0,2, 2 t AE ，(3, 4, )PCt 因为AEPC，所以0AE PC， 即 2 160t，解得4t
18、， 所以AD的长为 4 （2）因为1BM ，所以(3,0,1)M，又(0,4,0)P，(0,0,4)D， 故(0,4, 4)DP ，(3,0, 3)DM 设( , , )nx y z为平面DMP的法向量，则 , , nDP nDM ，即 440, 330, yz xz 取1z ，解得1y ，1x ， 所以(1,1,1)n 为平面DMP的一个法向量 显然，(3,0,0)AB 为平面PDA的一个法向量， 则 33 cos, 3|3 1 1 1 n AB n AB nAB ， 据图可知，二面角MPDA的余弦值为 3 3 18解： （1）由已知可得 222 12sin12sin2sinsin1 12s
19、inABABC ， 得 222 ababc， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ，所以 3 C （2）由 1 sin 2 ABC SabC ，即 13 2 22 ab，所以 8 3 3 ab 由 1 () 2 CDCACB，所以 2221 2 4 CDCACBCA CB， 则 2 2222 111 2cos(2)2 3 444 CDbaabCbaababab，当且仅当ab时取等号， 所以 2 CD的最小值为2 3 19解： （1）根据频率分布直方图得(20.0240.0200.004) 101abc， 又2 ,2acb ca， 解得0.008a ，0.012b，0.016c ，
20、 故数学成绩的平均分 85 0.0495 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08117.8x （分） （2）总人数为 50，由物理成绩统计表知，中位数在区间70,80)内， 所以物理成绩的中位数约为 75 分 （3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”的有 5 人， 因为至少有一科为“优”的同学共有 6 名， 所以两科均为“优”的人数为 3， 故X的可能取值为 0，1，2，3 3 3 3 6 C1 (0) C20 P X ， 12 33 3 6 C C9 (1) C20 P X ， 21 33 3 6 C C9 (2) C
21、20 P X 3 3 3 6 C1 (3) C20 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 19913 0123 202020202 EX 20解： （1）由平行四边形 12 PFQF的周长为 8，可知48a ，即2a 由平行四边形的最大面积为2 3，可知3bc ， 又1ab，解得3b ，1c 所以椭圆方程为 22 1 43 xy （2）注意到直线 2 PF的斜率不为 0，且过定点 2(1,0) F 设 2 :1 PF lxmy， 11 ,P x y， 22 ,M xy， 由 22 1, 3412, xmy xy 消x得 22 34690mym
22、y， 所以 12 2 12 2 6 , 34 9 . 34 m yy m y y m 因为 111 2,FPmyy， 122 2,FMmyy， 所以 2 1112121212 22124FP FMmymyy ymy ym yy 2 22 222 91 1279 4 343434 m mm mmm 因为点 1 F在以线段PM为直径的圆上，所以 11 0FP FM，即 7 3 m ， 所以直线 2 PF的方程3730xy或3730xy 21 （1）解：函数( )f x的定义域为(0,)， 2 21 ( ) xax fx x ， 令 2 10xax ，则 2 4a 当02a 时，0，( ) 0fx恒
23、成立，函数的( )f x单调递增区间为(0,) 当2a 时，0 ，方程 2 10xax 有两根， 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x ， 当 1 0,xx时，( )0fx；当 12 ,xx x时，( )0fx；当 2, xx，( )0fx ( )f x的单调递增区间为 2 4 0, 2 aa 、 2 4 , 2 aa ， 单调递减区间为 22 44 , 22 aaaa （2）证明：由（1）知，当2a 时，( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x， 函数( )f x在 12 ,x x上单调递减，则 12 xxa， 12 1x x ， 不妨设 12 xx，则 2 1x 由于
24、 22 12121212 1212 2 lnln2f xf xxxxxa xx xxxx 121212 12 2 lnln2xxxxxxa xx 12 2 1212 2 lnln4lnxxx aa xxxx ， 且 122 ,1xx x，所以 12 2 1212 4ln 0 f xf xx a xxxx ， 则 12 12 f xf x a xx 22解： （1）由题可知直线l的普通方程为30xy， 直线l的极坐标方程为cossin30 曲线 1 C的普通方程为 22 xyx， 因为cos ,sinxy， 所以 1 C的极坐标方程为cos （2）直线l的极坐标方程为cossin30，令， 则
25、3 | cossin OM ，所以 3 cossin |OM 又| cosON， 所以 3 | sin2cos5sin()(tan2) | ON OM ， 因为0 2 ，则 3 | | ON OM 的最大值为5 23解： （1）由已知不等式( )|2|f xxx，得|2|1|xxx， 当2x 时，不等式为21xxx，解得3x ，所以2x ； 当12x 时，不等式为21xxx，解得 1 3 x ，所以 1 2 3 x； 当1x时，不等式为21xxx，解得3x ，此时无解 综上，原不等式的解集为 1 , 3 （2）因为( )(3) |1|2|12| 3f xf xxxxx ， 所以 222 3abc， 又 22 22222 22 22 bb abcacabbc， 则 3 2 2 abbc，所以abbc的最大值为 3 2 2
