1、2020 届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学文科数学 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 |2 , x Ay yxR ，|lg 2Bx yx，则AB （ ） A. 0,2 B. ,2 C. ,2 D. 0,2 2. 已知复数z满足25i z，则z （ ） A. 2i B. 2 i C. 2 i D. 2i 3. 若抛物线的准线方程为7x ，则抛物线的标准方程为（ ） A. 2 28xy B. 2 28xy C. 2 28yx D. 2 28yx 4. 已知函数 2 ,4 1 ,4 x x f x f xx ，那么 5f的值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 64 5. 已知平面向量a，b的夹角为 2 3 ，且3a ，2b ，
3、则2aab（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 6. 已知01abc ，则下列不等式不成立的是（ ） A. cc ab B. ba cc C. loglog ab cc D. loglog cc ba ab 7. 直线l：y xb与圆O： 22 1xy相交于A、B两点，则“1b”是“2AB ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 对任意xR，函数 y f x的导数都存在，若 0f xfx恒成立，且0a ，则下列结论正确 的是（ ） A. 0f af B. 0f af C. 0 a ef af D. 0 a ef a
4、f 9. 已知函数： 32 3yxx； 2 xx ee y ； 2 3 log 3 x y x ；sinyxx.从中任取两个函数，则 这两个函数的奇偶性相同的概率为（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 10. 函数 1 cosf xxx x （x且0x ）的图像可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设F为双曲线E： 22 22 1,0 xy a b ab 的右焦点， 过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A， B两点，O为坐标原点， 四边形OAFB为菱形， 圆 222222 xyccab 与E在第一象限的交点是P， 且71PF ，则双曲线E的方程是（ ）
5、A. 22 1 62 xy B. 22 1 26 xy C. 2 2 1 3 x y D. 2 2 1 3 y x 12. 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 11，9，7， 第四行为 13， 15， 17， 19， 如图所示， 在宝塔形数表中位于第i行， 第j列的数记为 , i j a ， 例如 3,2 9a ，4,2 15a ， 5,4 23a ，若 , 2019 i j a ，则i j（ ） A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知数列 n a为等差数列，其前n项
6、和为 n S， 78 25aa，则 11 S . 14. 已知长方体 1111 ABCDABC D各个顶点都在球面上，8ABAD， 1 6AA ，过棱AB作该球的截 面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 . 15. 已知R，sin3cos5 ，则tan 2 4 . 16. 设函数 2 215 2f xxaxa的两个零点分别为 1 x， 2 x，且在区间 12 ,x x上恰有两个正整数，则 实数a的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 函数 sin0,0, 2 f xAxA 部分图象如图所示： （1）求 f x的最小
7、正周期及解析式； （2）设 cos2g xf xx，求函数 g x在区间0, 2 x 上的最大值和最小值. 18. 如图，三棱锥DABC中，ABC是正三角形，DADC . （1）证明：ACBD； （2）若90BAD，2ABAD，求点C到平面ABD的距离. 19. 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为 50 元，每个蛋糕的售价为 100 元，如果当天 卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了 100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个） ，得到如图所示的 柱状图.100 天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率. （1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕 17 个，设当天的需求量
8、为n nN，则当天的利润y（单位：元） 是多少？ （2）若蛋糕店一天制作 17 个生日蛋糕. 求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式； 求当天的利润不低于 600 元的概率； （3）若蛋糕店计划一天制作 16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该 制作 16 个还是 17 个生日蛋糕？ 20. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右两个焦点分别为 1 F、 2 F，离心率 2 2 e ，短轴长为 2. （1）求椭圆的方程； （2）如图，点A为椭圆上的一动点（非长轴端点） ， 2 AF的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆 交
9、于C点，求ABC面积的最大值. 21. 已知函数 2 1 ln 2 f xxaxx. （1）若函数 f x在1,上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数 f x在1x 处的切线平行于x轴， 是否存在整数k，使不等式 12x f xxk x 在 1x 时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C： 1 cos sin x y （为参数）与曲线 2 C： 2cos 22sin x y （为 参数） ，且曲线 1 C与 2
10、 C交于O，A两点.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）直线OA绕点O旋转 2 后，与曲线 1 C， 2 C分别交于P，Q两点，求PQ. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 31f xxx. （1）求不等式 1f x 的解集； （2）若不等式 2 f xxxm 恒成立，求m的取值范围. 2020 届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学答案文科数学答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：AADCD 6-1
11、0：BADDD 11-12：DC 1.【答案】A 【解析】|2 ,|0 x Ay yxRy y， |lg 2|20|2,2Bx yxxxx x ， 0,2AB (0,2). 2.【答案】A 【解析】因为25i z，所以 55(2)5(2) 2 2(2)(2)5 ii zi iii . 3.【答案】D 【解析】由题得抛物线的标准方程为 2 28yx. 4.【答案】C 【解析】 2 ,4 1 ,4 x x f x f xx ， 3 54328fff. 5.【答案】D 【解析】 2 2 222cos,aabaa baa ba b 1 9 1215 2 . 6.【答案】B 【解析】取 1 4 a ，
12、1 2 b ，2c ， 对于 A 选项， 22 11 42 ，A 选项成立. 对于 B 选项， 11 24 22 ，B 选项不成立. 对于 C 选项， 1 4 1 log 2 2 ， 1 2 log 21 ， 11 42 log 2log 2 ，C 选项成立. 对于 D 选项， 2 log 21， 2 1 log1 2 ， 22 1 log 2log 2 ，D 选项成立. 7.【答案】A 【解析】若1b，则直线l：1yxbx，圆心O到直线l的距离 12 22 d ， 可得 22 22ABrd， 但是，若2AB ，由对称性可知直线l：1yx或l：1yx均满足要求， 因此“1b”是“2AB ”充分
13、不必要条件. 8.【答案】D 【解析】令 x g xef x，则 0 x gxef xfx ， 所以 g x为R上单调递增函数， 因为0a ，所以 0g ag，即 0 a ef af. 9.【答案】D 【解析】中函数 32 3yxx是非奇非偶函数，中函数 2 xx ee y 是偶函数， 中函数 2 3 log 3 x y x 是奇函数，中函数sinyxx是偶函数， 从上述 4 个函数中任取两个函数，有 6 中取法：、，其中的奇偶 性相同，均为偶函数，所求概率为 1 6 P . 10.【答案】D 【解析】 1 yx x 是奇函数， cosyx 是偶函数，故 f x是奇函数，排除 A、B； 当x时
14、， 1 0f ，排除 C，故选 D. 11.【答案】D 【解析】双曲线的渐近线为 b yx a ，过E的右顶点作x轴的垂线xa， 易知这条直线与渐近线的交点为,A a b，,B ab， 22 OAOBabc， 又O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，即AFOA，得 1 2 ac， 3 2 bc， 22 4ca ， 22 3ba ， 即双曲线E： 22 22 1 3 xy aa ，排除 A、C. 圆 222222 xyccab与E在第一象限的交点是P，且71PF ， 联立 22 22 222 1 3 4 xy aa xya ，得点 73 , 22 Paa ， 2 2 73 2071 22 aPFa
15、a ，得 2 1a ， 由0a 可知1a ，双曲线方程E： 2 2 1 3 y x ，故选 D. 12. 【答案】C 【解析】由图表可知：数表为从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表， 第 1 组 1 个奇数，第 2 组 2 个奇数，第n组n个奇数，则前n组共 1 2 n n 个奇数. 设 2019 在第n组中，又 2019 是从 1 开始的连续奇数的第 1010 个奇数， 则有 (1) 1010 2 (1) 1010 2 n n n n ，解得45n，即 2019 在第 45 组中，则前 44 组共 990 个数. 又第 45 组中的奇数从右到左，从小到大， 则 2019 为第 45
16、组从右到左的第1010 99020个数， 即 2019 为第 45 组从左到右的第45 20 126 个数，即45i ，26j ， 故452671ij. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 55 14. 5 15. 1 7 16. 3119 106 a 13.【答案】55 【解析】 1116 26755adadada， 111 116 11 1155 2 aa Sa . 14.【答案】5 【解析】易知球O的半径为 222 1 88641 2 r ， 取AB中点 1 O，则当截面与 1 OO垂直时，截面面积最小， 此时球心到截面的距离为 2 222 1 ( 41)45 2
17、drAB . 15.【答案】 1 7 【解析】因为sin 3cos5 ，两边同时平方得 22 sin6sincos9cos5 ， 即 22 22 sin6sincos9cos 5 sincos ，等式左边上下同时除以 2 cos， 得 2 2 tan6tan9 5 tan1 ，解方程可得 1 tan 2 ，tan2， 当 1 tan 2 时，由二倍角公式得 2 2tan4 tan2 1tan3 ； 当tan2时，由二倍角公式得 2 2tan4 tan2 1tan3 ， 所以 4 1 tan211 3 tan 2 441tan27 1 3 . 16.【答案】 3119 106 a 【解析】 2
18、116 ( )02152012 21 f xxaxaax x ， 依题意可得函数y a 与函数 116 ( )12 21 g xx x 图象两个交点的横坐标为 1 x， 2 x， 作出函数 yg x的图象，其中0y 部分如图所示， 在区间 12 ,x x上的一个正整数必为 3，观察图象的趋势易知另一个正整数为 4， 故 (4)(2) 3119 (5)106 gag a ag . 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】 （1）T， ( )sin 2 6 f xx ； （2）最大值为 1，最小值为 1 2 . 【解析】 （1）由图可得
19、1A， 2 2362 T ，所以T，所以2， 当 6 x 时， 1f x ，可得sin 21 6 ， 因为 2 ，所以 6 ，所以 f x的解析式为( )sin 2 6 f xx . （2）( )( )cos2sin 2cos2 6 g xf xxxx sin2 coscos2 sincos2 66 xxx 31 sin2cos2sin 2 226 xxx ， 因为0 2 x ，所以 5 2 666 x ， 当2 62 x ，即 3 x 时， g x有最大值，最大值为 1； 当2 66 x ，即0x 时， g x有最小值，最小值为 1 2 . 18.【答案】 （1）证明见解析； （2） 2.
20、【解析】 （1）取AC中点E，连BE，DE. ABC是正三角形，BEAC. 在ACD中，DADC，DEAC，AC 平面BDE，ACBD. （2）正ABC中，2AB ， ACD中，2ADCD，3BE ，3DE ， 90BAD， 2 2BD ， BDE中， 222 ( 3)( 3)(2 2)1 cos 3233 BED ， 12 2 sin1 93 BED， 112 2 sin332 223 BDE SBEDEBED . 由（1）证得：AC 平面BDE， 又E为AC中点， 1 22 3 D ABCA BDEBDE VVSAE 12 2 22 1 33 ， 设C到平面ABD的距离为h， 1112 2
21、 2 3323 D ABCC ABDABD VVShhh ， 22 2 33 h ，2h . 19.【答案】 （1）见解析； （2） 100850(16) () 850(17) nn ynN n ， 22 25 ； （3）17. 【解析】 （1）当17n时，17100 50850y ； 当16n时，10017 50100850ynn. （2）由（1）得当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为： 100850(16) () 850(17) nn ynN n . 设“当天利润不低于 600”为事件A， 由知， “当天利润不低于 600”等价于“需求量不低于 15 个” ， 1222 1 1002
22、5 P A ， 所以当天的利润不低于 600 元的概率为 22 25 . （3）若一天制作 16 个蛋糕， 则平均利润为 1 1 (600 12700 18800 70)758 100 x ； 若一天制作 17 个蛋糕， 则平均利润为 2 1 (550 12650 18750 18850 52)760 100 x ， 12 xx，蛋糕店一天应该制作 17 个生日蛋糕. 20.【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 2. 【解析】 （1）由题意得22b，解得1b， 2 2 c e a ， 222 abc，2a ，1c， 故椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y. （2）当直线AB的
23、斜率不存在时，不妨取 2 1, 2 A ， 2 1, 2 B ， 2 1, 2 C ， 故 1 222 2 ABC S ； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为1yk x， 联立方程得 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，化简得 2222 214220kxk xk ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k xx k ， 2 2 1212 14AkxxxBx 2 222 2 222 4221 142 2 212121 kkk k kkk ， 点O到直线0kxyk的距离 22 11 kk d kk ，
24、O是线段AC的中点，点C到直线AB的距离为 2 2 2 1 k d k ， 2 2 2 2111 22 2 2221 1 ABC kk SABd k k 22 2 2 1 2 2 21 kk k 2 2 11 2 22 4 4 21k . 综上，ABC面积的最大值为 2. 21.【答案】 （1） 1 , 4 ； （2）不存在，见解析. 【解析】 （1）依题意 2 11 10fx axx ax xx 在 1,上恒成立， 即 2 10axx ， 2 1x a x 在1,上恒成立， 令 22 2 111111 24 g x x x xxx ，则当2x 时， min 1 4 g x ， 所以 1 4
25、a ，即实数a的取值范围是 1 , 4 . （2）依题意 1110fa ，所以0a ，所以 lnf xxx. 不等式 12x f xxk x 在1x 时恒成立. 即ln12xxk x，即ln120xxk x在1x 时恒成立， 令 ln121g xxxkxk x，则 lngxxk. 因为1x ，所以ln0x . 当0k 时， 0gx ，所以函数 g x在1,上单调递增， 若 11210g xgkkk ，解得1k ，与0k 不符，应舍去； 当0k 时，由 0gx ，得 k xe ；由 0gx ，得1 k xe ， 所以 g x在1, k e上单调递减，在, k e上单调递增， 所以当 k xe 时
26、， min 2 kk g xg eke. 问题转化为 min 200 k g xkek恒成立时，求k的最大值. 令 2 t h tte，则 2 t h te. 当ln2t 时， 0h t ；当ln2t 时， 0h t ， 所以 h t在,ln2上单调递增，在ln2,单调递减， 当ln2t 时， max ln22ln2 2h th. 因为0ln21，所以2ln220，即 20 t h tte恒成立. 所以不存在整数k使20 k ke 恒成立. 综上所述，不存在满足条件的整数k. 22.【答案】 （1） 1 C：2cos， 2 C：4sin； （2）2 5PQ . 【解析】 （1）曲线 1 C是以
27、1,0为圆心，1 为半径的圆，其极坐标方程为2cos， 曲线 2 C是以0,2为圆心，2 为半径的圆，其极坐标方程为4sin. （2）由2cos4sin，得 1 tan 2 ， 即直线OA的斜率为 1 2 ，从而 1 sin 5 ， 2 cos 5 ， 由已知，设 1, 2 P ， 2, 2 Q ， 将 1, 2 P 代入2cos，得 1 2 2cos2sin 25 ， 同理，将 2, 2 Q 代入4sin，得 2 8 4sin4cos 25 ， 所以 12 28 2 5 55 PQ. 23.【答案】 （1） 1 | 2 x x ； （2） 9 , 4 . 【解析】 （1） 4,1 22, 13 4,3 x f xxx x ， 当1x时， 41f x 无解； 当13x 时，由 1f x ，得22 1x，解得 1 3 2 x； 当3x 时，由 1f x ，解得3x . 所以 1f x 的解集为 1 | 2 x x . （2）由 2 f xxxm ，得 2 31mxxxx ， 设 2 2 2 4,1 2, 13 4,3 xxx g xxxx xxx ， 当1x时， 12g xg； 当13x 时， max 19 24 g xg ； 当3x 时， 310g xg， max 9 4 g x，故实数m的范围是 9 , 4 .
