1、 1 高三数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在 答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1已知全集1,2,3,4,5,6U ，集合2,3,5A，集合1,3,4,6B ，则集合 U AB A3 B1,4,6 C2,5 D2,3,5
2、2. 命题“ 000 (0,),ln1xxx”的否定是 A(0,),ln1xxx B(0,),ln1xxx C 000 (0,),ln1xxx D 000 (0,),ln1xxx 3设 1 i 2i 1 i z ，则| z A0 B 1 2 C 2 D1 2 4二项式(1) () n xnN的展开式中 2 x的系数为 15，则n A7 B6 C5 D4 5 已知ABC是边长为 1 的等边三角形， 点,D E分别是边,AB BC的中点， 连接DE并 延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为 A 5 8 B 1 8 C 1 4 D11 8 6直线20xy分别与x轴，y轴交于,A B两点，点P
3、在圆 22 (2)2xy上， 则ABP面积的取值范围是 A2,6 B4,8 C 2,3 2 D2 2,3 2 7已知函数 0 ( ) ln0 x ex f x xx ， ， ( )( )g xf xxa若( )g x存在2个零点，则a的 取值范围是 A 1,0) B 1,) C0,) D1,) 8已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长 为2的正三角形，,E F分别,PA PB的中点，90CEF，则球O的体积为 A6 6 B4 6 C2 6 D6 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的
4、得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017年 1月 3 至 2019年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据 该折线图，下列结论正确的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在 8月 C2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D各年 1月至 6 月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点 E、F，且 1 2 EF ，则下列
5、结论中正确的是 AACBE B/EFABCD平面 CAEF BEF的面积与的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 4 11.已知椭圆 22 1 43 xy 的左、右焦点分别为FE、，直线xm）（11m与椭圆相 交于点A、B，则 A. 当0m时，FAB的面积为3 B. 不存在m使FAB为直角三角形 C. 存在m使四边形FBEA面积最大 D. 存在m，使FAB的周长最大 12. 函数( )f x在 , a b上有定义，若对任意 12 , , x xa b，有 12 12 1 ()()() 22 xx ff xf x 则称( )f x在 , a b上具有性质P。设( )f x在1,3上具 有性质P
6、，则下列说法错误的是： A.( )f x在1,3上的图像是连续不断的； B)( 2 xf在1, 3上具有性质 P； C.若( )f x在2x处取得最大值 1，则( )1f x ，1,3x； D.对任意 1234 ,1,3x x x x ，有 1234 1234 1 ()()()+ ()+ () 42 xxxx ff xf xf xf x 第卷（非选择题 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 5 13从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选 法共有_种 （用数字填写答案） 14已知,a bR，且360ab，则 1
7、2 8 a b 的最小值为_ 15已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1 xy N mn ：若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则双曲线 N的离心率为_； 椭圆M的离心率为_ （本题第一空 2 分， 第二空 3 分） 16已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 431 nn aan ， nn ban. （1）证明：数列 n b为等比数列； （2）求
8、数列 n a的前n项和. 18.（12 分）已知,A B分别在射线,CM CN(不含端点C）上运动， 2 3 MCN，在 ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c. 6 （1）若, ,a b c依次成等差数列，且公差为 2求c的值； （2）若3c ，ABC，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值. 19（12 分） 如图， 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于C，D的点 (1) 证明：平面AMD平面BMC； (2) 当三棱锥MABC体积最大时， 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 20 （12 分）如图，已知抛物线 2 xy点
9、1 1 (, ) 2 4 A ， 3 9 ( , ) 2 4 B，抛物线上的点 ( , )P x y 13 () 22 x，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求| |PAPQ的最大值 M D C B A y x Q A B P O 7 21 （12 分） 下图是我国2013 年至2019 年生活垃圾无害化处理量 （单位： 亿吨） 的折线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20132019 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2021 年我国生活垃圾无
10、害化处 理量 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646 参考公式： 1 2 1 () () () n ii i n i i xxyy b xx ， a yb x ， 8 线性相关系数 1 22 11 () () ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 22 （12 分） 已知函数 2 ( )2 lnf xxxx，函数 2 ( )(ln ) a g xxx x ，其中aR， 0 x是( )g x的 一个极值点，且 0 2g x （1）讨论 ( )f x的单调性；
11、 （2）求实数 0 x和 a 的值； （3）证明 * 2 1 11 ln(21) 2 41 n k nnN k . 9 10 高三数学试题参考答案 1.C. 2.A. 3.D. 4.B. 5.B. 6.A. 7.B. 8.D 9.ABD. 10.ABD. 11.AC. 12.AB. 13. 16 . 14. 1 4 . 15. 31， 2 16. 3 3 2 . 17.解： （1）证明： nn ban， 11 1 nn ban .1 分 又 1 431 nn aan ， 11 43111 n nn nnn annban banan 4 4 n n an an .4 分 又 11 1 1 12b
12、a ，5 分 数列 n b是首项为 2，公比为 4 的等比数列.6 分 （2）由（1）知， 1 2 4n n b ， 7 分 1 2 4n nn abnn ， 8 分 21 12 2(1444)(123) n nn Saaan 2 1 4 1 1 42 n n n 2 211 41 322 n nn.10 分. 18. 解： （1） , ,a b c依次成等差数列，且公差为 2， 4,2acbc， 1 分 11 又因 2 3 MCN， 即， 1 cos 2 C ,可得 222 1 22 abc ab , 3 分 恒等变形得： 2 9140cc，解得7,2cc或。 又4c ，7.c 5 分 （2
13、）在ABC 中，由正弦定理可得 sinsinsin ACBCAB ABCBACACB ， 3 ,2sin ,2sin() 2 sin3 sin()sin 33 ACBC ACBC 即7 分 ABC 的周长( ) |AC|BC|AB| 2sin2sin()3 3 f , 9 分 又, 10 分 当,即时， ( )f取得最大值23. 12 分 19解：(1)由题设知，平面CMD平面ABCD面CMD面=ABCD CD 因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD， 12 故BCDM 2 分 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以 DMCM 又BCCM=C，BC面BCM，CM面BCM，
14、 所以DM平面BMC 4 分 而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC5 分 (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 当三棱锥MABC体积最大时， M为CD的中点 由题设得(0,0,0)D，(2,0,0)A， (2,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)M， ( 2,1,1)AM ，(0,2,0)AB ，(2,0,0)DA 7 分 设( , , )x y zn是平面MAB的法向量，则 即 可取(1,0,2)n 9 分 DA是平面MCD的法向量，所以 0, 0. AM AB n n 20, 20. xyz y z y x A B C D M 1
15、3 ， 11 分 ， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 12 分 20解： （1）设直线 AP 的斜率为k， 2 1 1 4 1 2 2 x kx x ， 2 分 因为 13 22 x， 所以直线 AP 斜率的取值范围是( 1,1) 4 分 （2）联立直线 AP 与 BQ 的方程 11 0, 24 93 0, 42 kxyk xkyk 解得点 Q 的横坐标为 2 2 43 2(1) Q kk x k , 5 分 联立直线 AP 与抛物线方程，由韦达定理得点P横坐标为 1 2 P xk 6 分 故|PA= 2 1 1() 2 P kx= 2 1(1)kk 5 cos, 5|
16、 DA DA DA n n n 2 5 sin, 5 DA n 14 |PQ= 2 1() QP kxx= 2 2 (1)(1) 1 kk k ， 8 分 所以|PA PQ= 3 (1)(1)kk 9 分 令( )f k 3 (1)(1)kk， 因为 2 ( )(42)(1)f kkk ， 10 分 所以( )f k在区间 1 ( 1, ) 2 上单调递增， 1 (,1) 2 上单调递减， 因此当 1 2 k 时，|PA PQ取得最大值 27 16 12 分 21.解： （1）由折线图中数据和附注中参考数据得： 4t ， 7 2 1 ()28 i i tt ， 1 分 7 2 1 ()0.55
17、 i i yy ， 777 111 ()()40.174 9.322.89 iiiii iii ttyyt yty ，3 分 2.89 0.99 0.55 2 2.646 r 5 分 因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归 模型拟合y与t的关系 6 分 15 （2）由 9.32 1.331 7 y 及（1）得 1 2 1 () () 2.89 0.103 28 () n ii i n i i ttyy b tt ， 8 分 1.331 0.103 40.92ayb t 9 分 所以，y关于t的回归方程为：0.920.10yt 11 分 将 2021
18、 年对应的9t 代入回归方程得：0.920.10 91.82y 所以预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 12 分 22解： （1）由已知可得函数 f x的定义域为0,， 且( )22ln2fxxx ，1 分 令 h xfx，则有 21 ( ) x h x x ，由 0h x ，可得1x ， 可知当 x 变化时， ,h xh x的变化情况如下表： x 0,1 1 1, h x - 0 + h x 极小值 2 分 16 10h xh，即 0fx ，可得 f x在区间0,单调递增； 3 分 （2）由已知可得函数 g x的定义域为0,，且 2 2ln ( )1 ax g x
19、 xx ， 4 分 由已知得 0gx ，即 2 000 2ln0xxxa， 由 0 2g x可得， 2 2 0000 ln20xxxxa， 联立，消去 a，可得 2 000 2ln2ln20xxx， 6 分 令 2 ( )2(ln )2ln2t xxxx， 则 2ln22(ln1) ( )2 xxx t x xxx ， 由（1）知，ln10xx ，故 0tx ， t x在区间0,单调递增， 注意到 10t，所以方程有唯一解 0 1x ，代入，可得1a ， 0 1,1xa； 8 分 （3）证明：由（1）知 2 2 lnf xxxx在区间0,单调递增， 17 故当1,x时， 11f xf， 2 2
20、2 2 ln1( ) 1 ( )0 xxxf x g x xx ， 可得 g x在区间 1,单调递增，9 分 因此，当1x 时， 12g xg， 即 2 1 (ln )2xx x ，亦即 2 2 1 (ln )xx x ， 这时 1 0,ln0xx x ，故可得 1 lnxx x ，10 分 取 * 21, 21 k xkN k ，可得 2121 ln(21)ln(21) 2121 kk kk kk ， 10 分 而 2 21212 2121 41 kk kk k ，11 分 故 2 11 2 (ln(21)ln(21)ln(21) 41 n k n k kkn k 2 1 11 ln(21)() 2 41 n i nnN k 12 分
