1、已知集合 Ax|12x4，Bx|yln（x1），则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|0x2 2 （5 分）已知直线 l，m，平面 ，且 l，m，下列四个命题中是真命题的是（ ） A若 ，则 lm B若 lm，则 C若 ，则 lm D若 lm，则 3 （5 分） 若直线 l1： 2x+ay+60 与直线 l2： （a4） x+ay+50 垂直， 则实数 a 的值是 （ ） A2 B2 或 4 C4 D4 或 2 4 （5 分）已知椭圆 E：与双曲线 C：（a0，b0）有相同的焦点， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B C D 5 （5 分）下列结论中错误的是（
2、 ） A “2m3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件 B命题 p：x0R，使得 x02+2x0+20 的否定p：xR，x2+2x+20 C命题“若 m0，则方程 x2+xm0 有实根”的逆否命题是真命题 D命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” 6 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a6，b2，B，A，C 成等 差数列，则 B（ ） A B C或 D 7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值是（ ） A7 B8 C9 D10 第 2 页（共 22 页） 8 （5 分）已知 x
3、0，y0，4x2y8，则的最小值是（ ） A3 B C D9 9 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f（x2）f（x+2） ，且 x （1，0）时，f（x）2x+，则 f（log220）（ ） A1 B C1 D 10 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑 P ABC 的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2） （ ） A41 B16 C25 D64 11 （5 分）已知函数 f（x）x2+（m2）xm，g（x），且函数 yf（x2）是 偶函数，若函数 yg（log2（x2+4） ）+k9
4、 恰好有三个零点，则该函数 的零点是（ ） A1，0，1 B2，0，2 C2，0，1 D1，0，2 12 （5 分）若直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两个不同的点，抛物线的焦点为 F， 且|AF|，3，|BF|成等差数列，则 k（ ） A1 B1 C1 D1+ 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填分请将答案填写在答题卷相应位置上写在答题卷相应位置上 第 3 页（共 22 页） 13 （5 分）已知数列an中，a1，an1（n2） ，则 a2020的值是 14 （5 分）在如图所示的四棱锥 PABCD 中，
5、四边形 ABCD 为菱形，DAB60，DM PA，PAPDAB4，M 为 BC 中点则点 M 到平面 PBD 的距离是 15 （5 分）设 A、B 分别为双曲线1（a0，b0）的左、右顶点，P 是双曲线 上不同于 A、B 的一点，直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当取最小值时， 双曲线的离心率为 16 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）2f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1）若对任意 x（0，m，都有，则 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解分解答应写出
6、文字说明，演算步骤或证明过程解 答写在答题卡上的指定区域内答写在答题卡上的指定区域内 17 （10 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）44cosB （1）求； （2）若ABC 的面积为 2，求ABC 周长的最小值 18 （12 分）已知圆 C 经过点 A（2，1） ，和直线 x+y1 相切，且圆心在直线 y2x 上 （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 19 （12 分）已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a528，a4+2 是 a3，a5的等差中项 （1）求数
7、列an通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 20 （12 分）已知过抛物线 y22px（p0）的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于 A（x1， y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，且|AB|9 （1）求该抛物线的方程； 第 4 页（共 22 页） （2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若+，求 的值 21 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD1，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE， 得到如图所示的几何体 （1）求证：AB平面 ADC； （2）若 AC 与平面 AB
8、D 所成角的正切值为，求二面角 BADE 的余弦值 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F2，短轴的一个 端点为 P， PF1F2内切圆的半径为， 设过点 F2的直线 l 与被椭圆 C 截得的线段为 RS， 当 lx 轴时，|RS|3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 M（0，m） ， （bmb） ，过点 M 的任一直线与椭圆 C 相交于两点 A、B，y 轴上是否存在点 N（0，n）使ANMBNM 恒成立？若存在，判断 m、n 应满足关系； 若不存在，说明理由 （3）在（2）条件下 m1 时，求ABN 面积的最大值 第 5 页（共 22 页） 201
9、9-2020 学年安徽省合肥六中、八中、阜阳一中、淮北一中四学年安徽省合肥六中、八中、阜阳一中、淮北一中四 校联考高二（上）期末数学试卷（理科）校联考高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每一小题给出分每一小题给出的四个选项中只有的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|12x4，Bx|yln（x1），则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x2 Cx|0x2 Dx|0x2 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出
10、AB 【解答】解：集合 Ax|12x4x|0x2， Bx|yln（x1）x|x1， ABx|1x2 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （5 分）已知直线 l，m，平面 ，且 l，m，下列四个命题中是真命题的是（ ） A若 ，则 lm B若 lm，则 C若 ，则 lm D若 lm，则 【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明， 不成立的可举出反例 【解答】解：l，l，又m，lm，故 A 为真命题 若 lm，l，则 m 或 m，又m， 与 可能平行也可能相交，故 B 为假 命题 若 ，l，l
11、 可能平行 ，也可能在 内，又由 m，则 l 与 m 可能平行，可能相 交，也可能异面，故 C 为假命题； 若 lm，l，则 m 或 m，又由 m，则 与 可能平行，可能相交，位置不 确定，故 D 为假命题 故选：A 【点评】本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题 第 6 页（共 22 页） 3 （5 分） 若直线 l1： 2x+ay+60 与直线 l2： （a4） x+ay+50 垂直， 则实数 a 的值是 （ ） A2 B2 或 4 C4 D4 或 2 【分析】利用直线垂直的性质求解 【解答】解：由直线垂直的条件可知，2（a4）+aa0， 解可得，a4 或 a2 故选：D
12、【点评】本题主要考查了直线垂直的条件的应用，属于基础试题 4 （5 分）已知椭圆 E：与双曲线 C：（a0，b0）有相同的焦点， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程即可 【解答】解：椭圆 E 的焦点为（3，0） 故 a23254 双曲线 C：， 双曲线 C 的渐近线方程为 故选：D 【点评】本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基本知识的考查 5 （5 分）下列结论中错误的是（ ） A “2m3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件 B命题 p：x0R，使得 x02+2x0+20 的否定p：xR，x2+2x+
13、20 C命题“若 m0，则方程 x2+xm0 有实根”的逆否命题是真命题 D命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” 【分析】由方程表示椭圆求出 m 的范围判断 A；写出特称命题的否定判断 B；由原命题与其逆否命题共真假判断 C；写出原命题的否命题判断 D 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：若方程表示椭圆，则，即2m3 且 m “2m3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件，故 A 正确； 命题 p：x0R，使得 x02+2x0+20 的否定p：xR，x2+2x+20，故 B 错误； 当 m0 时，1+4m0，命题“若 m0，则方程 x2
14、+xm0 有实根”是真命题， 其逆否命题是真命题，故 C 正确； 命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0” ， 故 D 正确 错误的结论是 B 故选：B 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础 题 6 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a6，b2，B，A，C 成等 差数列，则 B（ ） A B C或 D 【分析】由 B，A，C 成等差数列，利用三角形内角和定理求出 A 的值，再利用正弦定理 求出 sinB 和 B 的值 【解答】解：ABC 中，由 B，A，C 成等差数列
15、， 则 2AB+CA， 解得 A； 所以 sinB， 又 ab，所以 B 为锐角 所以 B 故选：A 【点评】本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础 题 第 8 页（共 22 页） 7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值是（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义利用数形结合即可得到结论 【解答】解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分） ， 平移直线 z4x+3y，由图象可知当直线 z4x+3y 经过点 A 时， 目标函数 z4x+3y 取得最大值， 由，解得， 即 A（） ，
16、 即 z439， 故 z 的最大值为 9 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键要求熟练掌 握常见目标函数的几何意义 8 （5 分）已知 x0，y0，4x2y8，则的最小值是（ ） A3 B C D9 【分析】由已知结合指数运算性质可得 2x+y3，从而，展 开后利用基本不等式可得解 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：x0，y0，4x2y8，2x+y3， ， 当且仅当，即，y1 时取等号， 的最小值为 3 故选：A 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题 9 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f
17、（x2）f（x+2） ，且 x （1，0）时，f（x）2x+，则 f（log220）（ ） A1 B C1 D 【分析】由已知得函数 f（x）为奇函数，函数 f（x）为周期为 4 是周期函数，4log220 5，f（log220）f（log2） ，由 f（log2）1，能求出 f（log220）1 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ， 函数 f（x）为奇函数 又f（x2）f（x+2） 函数 f（x）为周期为 4 是周期函数 又log232log220log216 4log2205 f（log220）f（log2204）f（log2）f（log2）f（log2）
18、又x（1，0）时，f（x）2x+， f（log2）1 故 f（log220）1 故选：A 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和对数 运算法则的合理运用 10 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑 P ABC 的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2） （ ） 第 10 页（共 22 页） A41 B16 C25 D64 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径和表面积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底面
19、ABC 则 BCPC放入长方体，求长方体外接球即可，设外接球的半径为 R， 所以（2R）242+42+3241， 所以 S4R241 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应 用，球的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）x2+（m2）xm，g（x），且函数 yf（x2）是 第 11 页（共 22 页） 偶函数，若函数 yg（log2（x2+4） ）+k9 恰好有三个零点，则该函数 的零点是（ ） A1，0，1 B2，0，2 C2，0，1 D1，0，2 【分析】 （1）由
20、函数 yf（x2）是偶函数，得出 yf（x）关于直线 x2 对称，求 出 m，即可求出 g（x）的解析式； （2）为偶函数，恰好有三个零点，可得 x0 为其零点，代入求出 k 的值，令进而求出该函数的零点 【解答】解：函数 yf（x2）是偶函数，所以 f（x2）f（x2）yf（x）关 于关于直线 x2 对称， ，m6f（x）x2+4x6，； 设， h（x）h（x） ，h（x）为偶函数， 恰好有三个零点， 故必有一个零点为 0， h （0） g （2） +k9k60， k6， 令， 则整理得，t25t+60，解得 t2 或 t3， 当 t2 时，x0； 当 t3 时，x2，所求函数的零点为2，0
21、，2 故选：B 【点评】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查 计算能力，是一道较为综合的题 12 （5 分）若直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两个不同的点，抛物线的焦点为 F， 且|AF|，3，|BF|成等差数列，则 k（ ） A1 B1 C1 D1+ 第 12 页（共 22 页） 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得 k2x24（k+2）x+40，由韦达定 理得 x1+x2，因为直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两个不同的点，所 以0 即 k1，由抛物线的性质可知|AF|x1+x1+2，x2+2，再结 合条件
22、有 x1+x22，进而得而出答案 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由消去 y，得 k2x24（k+2）x+40， 故16（k+2）216k264（1+k）0，解得 k1，且 x1+x2 由|AF|x1+2，且|AF|，3，|BF|成等差数列， 得 x1+2+x2+26，得 x1+x22， 所以2，解得 k1又 k1，故 k1+， 故选：D 【点评】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点，解题的一般方法是设出交点坐标， 将直线方程与圆锥曲线方程联立，再通过韦达定理结合题意求解 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
23、请将答案填写在答题卷相应位置上分请将答案填写在答题卷相应位置上 13 （5 分）已知数列an中，a1，an1（n2） ，则 a2020的值是 【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可 【解答】解：数列an中，a1，an1（n2） ， 可得 a23；a3；a4；所以数列的周期为 3， a2020a6733+1a1 故答案为： 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基本知 识的考查 14 （5 分）在如图所示的四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，DAB60，DM PA，PAPDAB4，M 为 BC 中点则点 M 到平面
24、 PBD 的距离是 第 13 页（共 22 页） 【分析】由题意得 DMAD，DMPA，且 PAADA，可得 DM平面 PAD，故而平 面 PAD平面 ABCD；根据 VMPBDVPBDM即可求出 M 到平面 PBD 的距离 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，且DAB60，BCD 是等边三角形， 又 M 是 BC 的中点，DMBC，又 BCAD，DMAD， 又 DMPA，PAADA，DM平面 PAD， 又 DM平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD 取 AD 的中点 H，连接 PH，BH，PAPDAB4，ABBDAD4， PHAD，且， 由平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面
25、ABCDAD， PH平面 ABCD，故 PHBH，又 PDBD4， ， 设 M 到平面 PBD 的距离为 h，则 又，解得 点 M 到平面 PBD 的距离为 故答案为： 【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 15 （5 分）设 A、B 分别为双曲线1（a0，b0）的左、右顶点，P 是双曲线 第 14 页（共 22 页） 上不同于 A、B 的一点，直线 AP、BP 的斜率分别为 m、n，则当取最小值时， 双曲线的离心率为 【分析】先根据点的关系确定 mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法 确定双曲线的离
26、心率 【解答】解：设 P（x1，y1） ，则， 因此，当且仅当时取等号 所以离心率是 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的求法和直线与圆锥曲线的 位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力是中档题 16 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）2f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1）若对任意 x（0，m，都有，则 m 的取值范围是 【分析】因为 f（x+1）2f（x） ，f（x）2f（x1） ，分段求解析式，可得结论 【解答】解：f（x+1）2f（x） ，f（x）2f（x1） x（0，1时，f（x）x（x1） ； x（1，2
27、时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1） （x2） ； 当 x（0，1时，； 当 x（1，2时， 由解得， 若对任意 x（0，m，都有，则 所以 m 的取值范围是， 故答案为： （0， 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解 第 15 页（共 22 页） 答写在答题卡上的指定区域内答写在答题卡上的指定区域内 17 （10 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）44cosB （1）求
28、； （2）若ABC 的面积为 2，求ABC 周长的最小值 【分析】 （1）由三角形内角和定理与二倍角余弦、正弦公式，和同角的三角函数关系， 即可求得 tan的值； （2）由 tan的值，利用半角公式求出 cosB、sinB 的值， 再根据三角形面积公式和余弦定理以及基本不等式，即可求得ABC 周长的最小值 【解答】解： （1）ABC 中，sin（A+C）44cosB， 由 A+B+C，及二倍角余弦公式可得 sin（B）4（1cosB） ， 即 sinB8sin2； 所以， 所以； （2）由，得 cosB， 所以 B（0，） ，所以 sinB， 所以； 又 SABC2，所以； 由余弦定理得：b2
29、a2+c22accosB， 所以， （当且仅当 ac 时取等号） ； 所以，即ABC 周长的最小值为+ 【点评】本题考查了解三角形的计算问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题 18 （12 分）已知圆 C 经过点 A（2，1） ，和直线 x+y1 相切，且圆心在直线 y2x 上 第 16 页（共 22 页） （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 【分析】 （1）利用圆心到直线的距离，求出 a，然后求解圆的半径，得到圆的方程 （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l 被圆 C 截得
30、的弦长 为 2，满足条件 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 yk （x2） ， 利用， 解得 k， 然后求解直线方程 【解答】解： （1）设圆心的坐标为 C（a，2a） ， 则 化简，得 a22a+10，解得 a1 所以 C 点坐标为（1，2） ， 半径 r|AC| 故圆 C 的方程为（x1）2+（y+2）22 （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 2， 满足条件 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x2） ，即 kxy2k0 由题意得，解得 k， 则直线 l 的方程为 y（x2） 综上所述，直线
31、l 的方程为 x2 或 3x4y60 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解 决本题的关键，是基础题 19 （12 分）已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a528，a4+2 是 a3，a5的等差中项 （1）求数列an通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 q，进而得 第 17 页（共 22 页） 到所求通项公式； （2）求得，由数列的裂项相消求和，化 简计算可得所求和 【解答】解： （1）由 a4+2 是 a3，a5的等差中项得 a3+a52a4+4， 所以 a3+
32、a4+a53a4+428， 解得 a48， 由 a3+a520 得， 因为 q1，所以 q2 所以； （2）记， 则， 所以 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解 能力和综合应用能力，是一道中档题 20 （12 分）已知过抛物线 y22px（p0）的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于 A（x1， y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，且|AB|9 （1）求该抛物线的方程； （2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若+，求 的值 【分析】 （1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式 求得 p，则抛物线方程可求； （2）由
33、（1）求出 A，B 的坐标结合+，求出 C 的坐标，代入抛物线方程求 得 值 第 18 页（共 22 页） 【解答】 解： （1） 依题意可知抛物线的焦点坐标为 （， 0） ， 故直线 AB 的方程为 y2x p， 联立，可得 4x25px+p20 x1x2，p0，25p216p29p20， 解得，x2p 经过抛物线焦点的弦|AB|x1+x2+pp9，解得 p4 抛物线方程为 y28x； （2）由（1）知，x11，x24，代入直线 y2x4， 可求得，即 A（1，2） ，B（4，4） ， +（1，2）+（4，4）（4+1，42） ， C（4+1，42） ， C 点在抛物线上，故， 解得：0 或
34、 2 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在 求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题 21 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD1，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE， 得到如图所示的几何体 （1）求证：AB平面 ADC； （2）若 AC 与平面 ABD 所成角的正切值为，求二面角 BADE 的余弦值 【分析】 （1）利用平面 ABD平面 BCD，结合 BDDC，推出 DC平面 ABD得到 DC AB，结合 ADAB，且即可证明 AB平面 ADC （
35、2）说明DAC 为 AC 与平面 ABD 所成角以 O 为坐标原点 OB，OG，OA 分别为 x、 第 19 页（共 22 页） y、z 轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，求出面 ABD 法向量，面 DAE 法向量， 面角 BADE 是锐角，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值即可 【解答】 （1）证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BDDC， DC平面 BCD， 所以 DC平面 ABD 因为 AB平面 ABD，所以 DCAB， 又因为 ADAB，且 DCADD， 所以 AB平面 ADC （2）解：由（1）知 DC平面 ABD，所以DAC 为 AC 与平
36、面 ABD 所成角 依题意得 tanDAC， 因为 AD1，所以 CD， 设 ABx（x0） ，则 BD， 因为ABDDCB，所以，即， 解得 x，故 AB，BD2 过 A 作 AOBD 于 O，则 AO平面 BDC，过 O 作 OGDC 交 BC 于 G，以 O 为坐标原 点 OB，OG，OA 分别为 x、y、z 轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示 面 ABD 法向量可取， DO，OA D（，0，0）A（0，0，） ，所以 ， 第 20 页（共 22 页） 设面 DAE 法向量为则取， 又二面角 BADE 是锐角，所以所求二面角的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定
37、理的应用，用作出二面角平面 角的方法求出，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F2，短轴的一个 端点为 P， PF1F2内切圆的半径为， 设过点 F2的直线 l 与被椭圆 C 截得的线段为 RS， 当 lx 轴时，|RS|3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 M（0，m） ， （bmb） ，过点 M 的任一直线与椭圆 C 相交于两点 A、B，y 轴上是否存在点 N（0，n）使ANMBNM 恒成立？若存在，判断 m、n 应满足关系； 若不存在，说明理由 （3）在（2）条件下 m1 时，求ABN 面积的
38、最大值 【分析】 （1）由内切圆的性质，推出离心率，将 xc 代入+1，转化求解 a2， b，得到椭圆 C 的标准方程 （2）当 ABx 轴时，可知ANMBNM0，当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykx+m 联立方程消去 y 得，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用韦达定理求解 kAN+kBN 0对任意 kR 恒成立得到 mn3 且 m0m0 时由（*）式 知不存在点 N 符合题意，推出结果 （3） 由 （2） 得 n3M （0， 1） 、 N （0， 3） 设直线 AB 的方程为 ykx+1 由 （3+4k2）x2+8kx80 第 21 页（共 22 页）
39、设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求 解最值即可 【解答】解： （1）由内切圆的性质，得2cb（2a+2c），得 将 xc 代入+1，得 y，所以3 又 a2b2+c2，所以 a2，b，故椭圆 C 的标准方程为+1 （2）当 ABx 轴时，可知ANMBNM0， 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykx+m 联立方程消去 y 得， （3+4k2）x2+8kmx+4m2120 （， ） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，x1x2 假设存在 N（0，n） 则 kAN+kBN 0 （*） ， 对任意 kR 恒成立 所以 mn3 且 m0 m0 时由（*）式知不存在点 N 符合题意， 综上：m0 时不存在，时存在点 N（0，n） mn3 （3）由（2）得 n3M（0，1） 、N（0，3）设直线 AB 的方程为 ykx+1 由（3+4k2）x2+8kx80 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，x1x2 第 22 页（共 22 页） ， 令 t2k2+1，则 t1， 当且仅当 t1，k0 时取的最大值 所以ABN 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，最值问题的处 理方法，考查转化思想以及计算能力，是难题
