1、数学数学 第第 1页页（共共 10 页页） 南京师大附中南京师大附中 2020 年期初数学学科调研测试试卷年期初数学学科调研测试试卷 数学数学 I 参考公式：参考公式： 一组数据 x1，x2，xn的方差为： 22 1 1 () n i i sxx n ，其中x是数据 x1，x2，xn的平均数 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 | 11Axx ， 1,0,1B ，则AB 2已知复数z满足(1i)1iz(i 为虚数单位)，则z的实部为 3. 若一组样本数据
2、8，9，x，9，10 的平均数为 9，则该组数据的方差为 4. 根据如图所示伪代码，最后输出的i的值为 5从 2 名男同学和 3 名女同学中选 2 人参加某项活动， 则至少有 1 名女同学被选中的概率为 6. 双曲线 2 2 1 3 y x 的准线方程为. 7. 已知 n a(n N)为等差数列，其公差为2，且 6 a是 2 a与 8 a 的等比中项， n S为 n a的前n项和，则 10 S的值为 8. 已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxxax，若函数)(xf在区间(12)，上 存在极值，则实数a的取值范围为 9.给出下列命题： 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂
3、直； 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 如果两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直； 如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中真命题的序号是 注注意意事事项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色
4、字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 1S 1i Do SSi 2ii Until10S EndDo Printi 第 4 题图 数学数学 第第 2页页（共共 10 页页） 10已知函数( )2cos()f xx(0,0) 2 的图象过点(02)，且在区间0, 2 上单调递 减，则的最大值为 11. 在平面直角坐标系xOy中， 已知
5、圆 22 :(2)4Cxy， 点A是直线20xy上的一个动点， 直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 12. 已知正实数x，y满足 2 ()1xy xy，则xy的最小值为 13. 如图， 在梯形ABCD中，/ABCD且22DCABBC，E为BC的中点，AC与DE交于点O 若125CB CDOA OD ，则BCD的余弦值为 14. 已知周期为 6 的函数( )f x满足(4)(4)fxfx，当1,4x时， ln ( ) x f x x ，则当 3 20 且)2 , 1 (x时，)(0)( xx在(1,2)上单调递减 要使得0ln1xaxax恒成立， 即要求 1 (2)0
6、212 ln20 22ln2 aaa 所以 a0 符合要求8 分 （或者，当)2 , 1 (x，1lnx，所以01)ln1 (ln1xaxxaxax恒成立） 当1, 0 2 1 aa且)2 , 1 (x时，)(0)( xx在(1,2)上单调递增 要使得0ln1xaxax恒成立， 即要求101ln10) 1 (aaa 故1, 0 2 1 aa 综上所述，a的取值范围是 1 1,) 2 10 分 另解：因为 ax10 在(1，2)有意义，所以 a1 或 a1 2，6 分 f (x) a1 xalnx (ax1)2 ，因为 f(x)在(1，2)递增，f (x)0 在(1，2)恒成立， 即 a1 xa
7、lnx0 在(1，2)恒成立，即 alnx 1 xa0 在(1，2)恒成立， 令 g(x)alnx1 xa，x1，2 g (x)a x 1 x2 ax1 x2 当 ax10 时，即 a1 时，g (x)0，所以 g(x)递减， 所以 g(x)的最大值为 g(1)0，即1a0，a1，所以 a1. 8 分 当 ax10 时，即 a1 2时，g (x)0，所以 g(x)递增， 所以 g(x)的最大值为 g(2)0，即 aln21 2a0，a 1 2 1ln2 数学数学 第第 10页页（共共 10 页页） 又因为 1 2 1ln2 1 2，所以 a 1 2. 综上，a1 2或 a1.10 分 （3）由
8、（2）可知当1a时，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，此时 x x x x xf 1 ln 1 ln )( 当 2 3 1 x时， 2 3 ln2) 2 3 ()( fxf，而032x，所以 )32( 2 3 ln2 )1 ( ln )32()32( 2 3 ln2)()32( x x x xxxfx )32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( x x xx 12 分 当2 2 3 x时， 2 3 ln2) 2 3 ()( fxf，而032x，所以 )32( 2 3 ln2 )1 ( ln2 )32()32( 2 3 ln2)()32( x x x xxxfx )32( 2 3 ln
9、2 ) 1( ln)32( x x xx 14 分 综上，对于任意)2 , 1 (x，都有)32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( x x xx 故 0)622( 2 3 ln2)32( 2 3 ln2)32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( ) 1( ln)32( yxyx y yy x xx 16 分 另解：因为3 yx，所以yxxxx332，xyyyy332 要证 23)ln23)ln 0 11 xxyy xy （ ，即证 )ln)ln 0 11 xyxyxy xy （ 12 分 不妨设y x ，当y x 时 )ln)ln 0 11 xyxyxy xy （ 成立； 当y
10、x 时，即证 lnln 11 xy xy ，14 分 由（2）知，当1a 时， ln ( ) 1 x f x x 在1,2（）上递增 所以 lnln 11 xy xy 成立，综上 23)ln23)ln 0 11 xxyy xy （ 16 分 数学数学（附加题）第（附加题）第 1页页 （共（共 4 页）页） 南京师大附中南京师大附中 2020 年期初数学学科调研测试试卷年期初数学学科调研测试试卷 数学数学II（附加题）（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤 A选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 曲线 22 1xy在矩阵 0 (0,0) 0 a Aab b 对应的变换下得到曲线 2 2 1 9 x y （1）求矩阵A； （2）求矩阵A的特征向量 B选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程： 1 2, 2 3 1 2 xt yt (t为参数)，以原点为极点， x轴非负半轴为极轴 （取相同单位长度） 建立极坐标系， 圆C的极坐标方程为：2cos0 （1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C上的点到直线l的距离的最小值 C选修 45
12、：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知a，b，c为正实数，满足3abc，求 149 abc 的最小值 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页，均为解答题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，
13、描写清楚。 数学数学（附加题）第（附加题）第 2页页 （共（共 4 页）页） 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 五个自然数 1、2、3、4、5 按照一定的顺序排成一列 （1）求 2 和 4 不相邻的概率； （2）定义：若两个数的和为 6 且相邻 ，称这两个数为一组“友好数”随机变量表示上述五 个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求的概率分布和数学期望( )E 23 （本小题满分 10 分） 已知n N， 数列T：1 2 , n a aa中的每一项均在集
14、合1,2, Mn中， 且任意两项不相等， 又对于任意的整数, (1 )i jijn ，均有 ij iaja 例如2n 时，数列T为1,2或2,1 （1）当3n 时，试求满足条件的数列T的个数； （2）当n N，求所有满足条件的数列T的个数 数学数学（附加题）第（附加题）第 3页页 （共（共 4 页）页） 南京师大附中南京师大附中 2020 年期初数学学科调研测试试卷年期初数学学科调研测试试卷 数学数学II（附加题）参考答案（附加题）参考答案 21 【选做题】 A解析： （1） 30 01 A 5 分 （2） 1 0 和 0 1 10 分 B解： （1）直线l的普通方程为312 3yx . 2
15、分 圆C的普通方程为 22 20xyx. 4 分 （2）在圆C上任取一点( 1cos ,sin )(0,2 )P ，6 分 则P到直线l的距离为 2 |3 312sin()| |33cossin12 3 | 3 2 1(3) d 8 分 当 6 时， min 3 31 2 d ，此时 3 1 ( 1, ) 22 P . 10 分 C已知 a、b、c 为正实数，满足3cba，求 cba 941 的最小值 解：因为 a、b、c 为正实数，由柯西不等式可知， 36)321 () 941 ( ) 9 () 4 () 1 )()()()() 941 )( 22 222222 c c b b a a cb
16、a cba cba cba 5 分 即12 3 3636941 cbacba 8 分 当且仅当 c c b b a a 941 即 32 cb a，也即 2 3 , 1, 2 1 cba时取等号 所以 cba 941 的最小值为 1210 分 【必做题】 22解： （1）记“2 和 4 不相邻”为事件A，则 5 3 )( 5 5 2 4 3 3 A AA AP3 分 答：2 和 4 不相邻的概率为 5 3 4 分 数学数学（附加题）第（附加题）第 4页页 （共（共 4 页）页） （2）0,1,2的所有可能取值为， 5 1 )2( 5 5 3 3 2 2 2 2 A AAA P， 5 22 )
17、1( 5 5 2 3 2 2 2 2 A AAA P， 5 222 )0( 5 5 2 2 2 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 4 A AACACAC P（先确定 3 的位置） （或 5 2 ) 1()2(1)0(PPP） 012 P 5 2 5 2 5 1 8 分 所以 2214 ( )0+1+2 5555 E10 分 23解： （1）若 1 3a ，则 2 13 2a，故 2 2a ，则 3 1a ； 若 2 3a ，则 23 23aa，则 3 2a，故 3 2a ，则 1 1a ； 若 3 3a ，则 12 1,2aa或 12 2,3aa 所以当3n 时，满足条件的数列T为3,2
18、,1;1,3,2;1,2,3;2,1,3 故满足条件的 T 的个数为 4 3 分 （2）设满足条件的数列T的个数为 n b，显然 12 1,2bb， 3 4b ， 不等式 ij iaja中取1ji ，则有 1 1 ii iaia ，即 1 1 ii aa ， 当 1 an时，则 2 1an，同理 3 2an，1 n a ， 即满足条件的数列只有 1 个； 当 i an(2)i n ，则 1 1 i an ，同理 2 2, in anai ， 即 i an以后的各项是唯一确定的， 5 分 i an之前的满足条件的数列的个数为 1i b； 所以当2n时， 121 1 nnn bbbb ( ) ，9 分 当n3时， 121 1 nn bbb ， 代入( ) 式得到 111 2 nnnn bbbb ，且满足 21 2bb 所以对任意 2n ，都有 1 2 nn bb 成立，又 1 1b ，所以 1 2n n b . 综上，满足条件的数列T的个数为 1 2n.10 分
