1、2020 年高考（理科）数学二模试卷年高考（理科）数学二模试卷 一、单选题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|0x3，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（2，3） B（0，3） C（1，2） D（0，1） 2设复数 z 满足（1+i）z3+i，则|z|（ ） A B2 C D 3已知实数 1，m，9 成等比数列，则椭圆+y21 的离心率为（ ） A2 B C或 2 D或 4在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 是 BC 的中点，则（ ） A B C D9 5由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通 信行业整体的快速发展，进而对
2、GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波 及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据， 对今后几年的 5G 经济产出所做的预测 结合右图， 下列说法错误的是 （ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 6已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）可以为（ ） Af （x） Bf （x） Cf （x） Df （x）xe|x| 7孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有
3、木，方三尺，高三尺， 欲方五寸作枕一枚问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把 它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周 已涂上油漆， 则从切割后的正方体枕头中任取一块， 恰有一面涂上油漆的概率为 （ ） A B C D 8下列说法正确的是（ ） A命题“x00，2x0sinx0”的否定形式是“x0，2xsinx” B若平面 ， 满足 ，则 C随机变量 服从正态分布 N（1，2）（0），若 P（01）0.4，则 P（ 0）0.8 D设 x 是实数，“x0”是“”的充分不必要条件 9将函数 f（x）2sin（2x+）（0）的图象向左平
4、移个单位后得到函数 yg （x） 的图象， 若函数 yg （x） 为偶函数， 则函数 yf （x） 在的值域为 （ ） A1，2 B1，1 C D 10若双曲线的一条渐近线与函数 f（x）ln（x+1）的图象相 切，则该双曲线离心率为（ ） A B C2 D 11如图，在四棱锥 CABCD 中，CO平面 ABOD，ABOD，OBOD，且 AB2OD 12，AD6，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30，点 O，B，C，D 都在同一个球面 上，则该球的半径为（ ） A3 B4 C D 12已知函数 f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y1 的对称点在 ykx1 的图象上，则实数 k
5、的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（2x2+）5展开式中4系数为 14在各项均为正数的等比数列n中，12，且2，4+2，5成等差数列，记n是数 列n的前 n 项和，则6 15已知直线 L 经过点 P（4，3），且被圆（x+1）2+（y+2）225 截得的弦长为 8， 则直线 L 的方程是 16已知 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 yf（x2+2）+f（2xm）只有 一个零点，则函数 g（x）mx+（x1）的最小值为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题
6、， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，底面 ABCD 满足 ADBC， 且 ABADAA12，BDDC2 （）求证：AB平面 ADD1A1； （）求直线 AB 与平面 B1CD1所成角的正弦值 18在ABC 中，角 A，B，C 对边分别为，若 2AB+A （1）求角 A； （2）若 2+，且ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 192019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人现
7、从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随 机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图： （）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （） 为便于联络， 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 （每组人数不少于 5000） ， 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成 绩在 70 分以上的概率大于 90% 根据图表中数据， 以频率作为概率， 给出 m 的
8、最小值（结 论不要求证明） 20已知 F1，F2分别是椭圆 E：的左，右焦点，点在 椭圆 E 上，且抛物线 y24x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点 （1）求 a，b 的值： （2）过点 F2作不与 x 轴重合的直线 l，设 l 与圆 x2+y2a2+b2相交于 A，B 两点，且与椭 圆 E 相交于 C，D 两点，当时，求F1CD 的面积 21已知 f（x）x2+aexlnx （1）设 x是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，求证：f（x） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4
9、-4：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 x0y 中， 曲线 C1的参数方程为（t 为参数且 t0， a0， ） ） ， 曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 4cos （1）求 C2的普通方程及 C3的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2C3分别交于点 A，B，求|AB|的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+a|x3|（aR） （1）若 a1，求不等式 f（x）+10 的解集； （2）已知 a0，若 f（x）+3a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、单
10、选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|0x3，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（2，3） B（0，3） C（1，2） D（0，1） 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|0x3（0，3），Bx|log2x1（2，+），则 AB（2，3）， 故选：A 2设复数 z 满足（1+i）z3+i，则|z|（ ） A B2 C D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式 求解 解：由（1+i）z3+i，得 z， |z| 故选：D 3已知实数 1，m
11、，9 成等比数列，则椭圆+y21 的离心率为（ ） A2 B C或 2 D或 【分析】先根据等比数列中项公式求出 m 的值，然后根据椭圆的几何性质即可求出离心 率 解：实数 1，m，9 成等比数列，m29，即 m3， m0，m3，椭圆的方程为，a，b1，c 离心率为， 故选：B 4在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 是 BC 的中点，则（ ） A B C D9 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计 算即可 解：如图所示，边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60， 22cos602；又 E 为 BC 中点， +，且+， （+） （+）
12、+4+2+49 故选：D 5由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通 信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波 及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据， 对今后几年的 5G 经济产出所做的预测 结合右图， 下列说法错误的是 （ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【分析】本题结合图形即可得出结果 解
13、：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 D 项表达错误 故选：D 6已知函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）可以为（ ） Af （x） Bf （x） Cf （x） Df （x）xe|x| 【分析】由图象可知，函数的定义域为 R，且为奇函数，当 x0 时，f（x）0，结合选 项即可得出正确答案 解： 由图象可知， 函数的定义域为 R， 而选项 B 中函数的定义域为x|x0， 故可排除 B； 又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项 C 不具有奇偶性，故可排除 C； 又 x0 时，f（x）0，而选项 D 当 x+时，f（x）+，故可排
14、除 D 故选：A 7孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺， 欲方五寸作枕一枚问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把 它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周 已涂上油漆， 则从切割后的正方体枕头中任取一块， 恰有一面涂上油漆的概率为 （ ） A B C D 【分析】有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 61696 个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有
15、一面涂 上油漆的概率 解：有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个， 由正方体的结构及锯木块的方法， 可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 61696 个， 从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 故选：C 8下列说法正确的是（ ） A命题“x00，2x0sinx0”的否定形式是“x0，2xsinx” B若平面 ， 满足 ，则 C随机变量 服从正态分布 N（1，2）（0），若 P（01）0.4，则 P（ 0）0.8 D设 x 是实数，“x0”是“”的充分不必要条件 【分析】在 A 中，由特称命题的否定可知：
16、命题“x00，2x0sinx0”的否定形式是“x 0，2xsinx”；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中，P（0）0.4+0.4+0.10.9； 在 D 中，设 x 是实数，则“x0”“”，“”“x0 或 x1” 解：在 A 中，由特称命题的否定可知： 命题“x00，2x0sinx0”的否定形式是“x0，2xsinx”，故 A 错误； 在 B 中，若平面 ， 满足 ，则 与 相交或平行， 如右图的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 平面 ADD1A1平面 ABCD，平面 BCC1B1平面 ABCD，平面 ADD1A1平面 BCC1B1； 平面ABB1A1平面ABCD， 平面BCC1B1
17、平面ABCD， 平面ABB1A1平面BCC1B1BB1 故 B 错误； 在 C 中，随机变量 服从正态分布 N（1，2）（0），正态曲线关于 x1 对 称， P（01）0.4， P（12）0.4， P（2）0.50.40.1， P（0）0.4+0.4+0.10.9，故 C 错误； 在 D 中，设 x 是实数，则“x0”“”，“”“x0 或 x1”， “x0”是“”的充分不必要条件，故 D 正确 故选：D 9将函数 f（x）2sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数 yg （x） 的图象， 若函数 yg （x） 为偶函数， 则函数 yf （x） 在的值域为 （ ） A1，2 B1，1
18、 C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再利 用正弦函数的定义域和值域，求得函数 yf（x）在的值域 解：将函数 f（x）2sin（2x+）（0）的图象向左平移个单位后得到函数 y g（x）2sin（2x+）的图象， 若函数 yg （x） 为偶函数， 则 +， ， 故函数 f （x） 2sin （2x+） x，2x+ ，sin（2x+），1，2sin（2x+） 1，2， 则函数 yf（x）在的值域为1，2， 故选：A 10若双曲线的一条渐近线与函数 f（x）ln（x+1）的图象相 切，则该双曲线离心率为（ ） A B C2 D 【分析】求出双曲
19、线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线 的离心率即可 解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为 函数 f（x）ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0）， ， 故选：A 11如图，在四棱锥 CABCD 中，CO平面 ABOD，ABOD，OBOD，且 AB2OD 12，AD6，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30，点 O，B，C，D 都在同一个球面 上，则该球的半径为（ ） A3 B4 C D 【分析】首先根据异面直线所成的角得到CDO30，求出 OC，利用补形法得到长方 体的对角线长度即为外接球的直径 解：由条件可知 ABOD，所以CDO 为异面直线 C
20、D 与 AB 所成角， 故CDO30，而 OD6，故 OCODtan302， 在直角梯形 ABOD 中，易得 OB6，以 OB，OC，OD 为相邻的三条棱， 补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 R 即为所求的球的半径， 由（2R）2（2）2+62+6284，故 R 故选：C 12已知函数 f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y1 的对称点在 ykx1 的图象上，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由题意可化为函数 f（x）图象与 ykx1 的图象有且只有四个不同的交点， 结合题意作图求解即可 解：函数 f（x）的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y1 的对称
21、点在 ykx1 的图象上， 而函数 ykx1 关于直线 y1 的对称图象为 ykx1， f（x）的图象与 ykx1 的图象有且只有四个不同的交点， 作函数 f（x）的图象与 ykx1 的图象如下， 易知直线 ykx1 恒过点 A（0，1）， 设直线 AC 与 yxlnx2x 相切于点 C（x，xlnx2x）， ylnx1， 故 lnx1， 解得，x1； 故 kAC1； 设直线 AB 与 yx2+x 相切于点 B（x，x2+x）， y2x+， 故 2x+ ， 解得，x1； 故 kAB2+ ； 故1k， 故k1； 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（2x2+
22、）5展开式中4系数为 80 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得展开 式中 x4的系数 解：（2x2+）5展开式的通项公式为 Tr+1 25r x103r，令 103r4，求得 r 2， 故展开式中 x4的系数为 2380， 故答案为：80 14在各项均为正数的等比数列n中，12，且2，4+2，5成等差数列，记n是数 列n的前 n 项和，则6 126 【分析】由 a2，a4+2，a5成等差数列，可得 a2+a52（a4+2），把已知代入解得 q再利 用求和公式即可求得6 解：设正数的等比数列an的公比为 q0，a12， a2，a4+2，a5成等差
23、数列， a2+a52（a4+2）， 2q+2q42（2q3+2），解得 q2 S6 126 故答案为：126 15已知直线 L 经过点 P（4，3），且被圆（x+1）2+（y+2）225 截得的弦长为 8， 则直线 L 的方程是 x4 和 4x+3y+250 【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出 弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程 即可 解：圆心（1，2），半径 r5，弦长 m8， 设弦心距是 d， 则由勾股定理， r2d2+（）2 d3， 若 l 斜率不存在，直线是 x4， 圆心和它的距离是3，符合题意， 若
24、l 斜率存在，设直线方程 y+3k（x+4）， 即 kxy+4k30， 则 d3， 即 9k26k+19k2+9， 解得 k，所以所求直线方程为 x+40 和 4x+3y+250， 故答案为：x4 和 4x+3y+250 16已知 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 yf（x2+2）+f（2xm）只有 一个零点，则函数 g（x）mx+（x1）的最小值为 5 【分析】函数的零点转化为方程的根，由函数 f（x）的奇偶性和单调性可得 f（x2+2） f（2x+m）有唯一解，整理可得二次方程由判别式为 0 解出 m 的值，代入 g（x）中，由 均值不等式可得函数 g（x）的最小值 解：函
25、数 yf（x2+2）+f（2xm）只有一个零点，可得：f（x2+2）+f（2xm）0 有唯一解， 即 f（x2+2）f（2xm）， 又 f（x）是奇函数并且是 R 上的单调函数，所以 f（x2+2）f（2x+m），即 x2+22x+m， 所以 x22xm+20 有唯一解，即44（m+2）0，解得 m1， 所以函数 g（x）mx+（x1）x1+1+15，当且仅当 x1 （x1），即 x3 时取等号 所以函数 g（x）mx+（x1）的最小值为 5， 故答案为：5 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23
26、 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，底面 ABCD 满足 ADBC， 且 ABADAA12，BDDC2 （）求证：AB平面 ADD1A1； （）求直线 AB 与平面 B1CD1所成角的正弦值 【分析】（）推导出 ABAA1，ABAD，由此能证明 AB平面 ADD1A1 （）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出直线 AB 与平面 B1CD1所成角的正弦值 解：（）证明：在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD， 底面
27、ABCD 满足 ADBC，且 ABADAA12，BDDC2 ABAA1，AB2+AD2BD2，ABAD， AA1ADA，AB平面 ADD1A1 （）解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2）， （2，0，0），（0，4，2），（2，2，2）， 设平面 B1CD1的法向量为 （x，y，z）， 则，取 y1，得 （1，1，2）， 设直线 AB 与平面 B1CD1所成角为 ， 则直线 AB 与平面 B1CD1所成角的正弦值为： sin 18在ABC 中，角
28、 A，B，C 对边分别为，若 2AB+A （1）求角 A； （2）若 2+，且ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosA，进而可求 A； （2） 由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求 bc， 然后结合三角形的面积公式即可 求解 解：（1）因为 2ccosAacosB+bcosA 由正弦定理得 2sinCcosAsinAcosB+sinBcosA，从而可得 2sinCcosAsinC， 又 C 为三角形的内角，所以 sinC0，于是， 又 A 为三角形内角，因此； （2）设ABC 的外接圆半径为 R，则 R1， 由余弦定理
29、得，即 3123bc， 所以 bc3所以ABC 的面积为： 192019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随 机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图： （）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （） 为便于联络， 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 （每组人数不
30、少于 5000） ， 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成 绩在 70 分以上的概率大于 90% 根据图表中数据， 以频率作为概率， 给出 m 的最小值（结 论不要求证明） 【分析】（I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为，再 求出结论即可； （II）根据题意，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人，X0，1，2，求出分布列和数学期望； （III）根据题意，求出即可 解：（I）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为， 在这 50 万青年学生志愿者中，英语
31、测试成绩在 80 分以上的女生人数约为 500.15 万 人； （II）由图表得，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人， 记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X， 选出的 8 名男生中随机抽取 2 人， 则 X0， 1， 2， 则 P（X0）， P（X1）， P（X2）， X 的分布列如下： x 0 1 2 p 故 E（X）0， （III）m 的最小值为 4 20已知 F1，F2分别是椭圆 E：的左，右焦点，点在 椭圆 E 上，且抛物线 y24x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点 （1）求 a，b 的值： （2）过点 F2作不与 x 轴重合的直线
32、 l，设 l 与圆 x2+y2a2+b2相交于 A，B 两点，且与椭 圆 E 相交于 C，D 两点，当时，求F1CD 的面积 【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出 a，b； （2）联立直线与圆的方程可以求出 t2，再联立直线和椭圆的方程化简，有根与系数的关 系的到结论，继而求出面积 解：（1）y24x 的焦点为 F（1，0）， 则 F1（1，0），F2（1，0）， 2a|PF1|+|PF2 | ， 解得，c1，b1 （2）由已知，可设直线 l 的方程为 xty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得 （t2+1）y2+2ty20， 易知0， 则， （x1+1） （x2
33、+1）+y1y2（ty1+2） （ty2+2）+y1y2（t2+1）y1y2+2t（y1+y2） +4 因为， 所以1，解得 t23 联立，得（t2+2）y2+2ty10，8（t2+1）， 设 C（x3，y3），D（x4，y4），则 ， 21已知 f（x）x2+aexlnx （1）设 x是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，求证：f（x） 【分析】（1） 求得， 利用 f20 求得 a 再 求 f（x）的单调区间 （2） 证法 1， 由 （1） 可得 a0 时， x0 （0， 1） 使得 f （x0） 0， 即 f （x）minf（x0），（0
34、x01） 令利用导数可得 f（x） 方法 2，令 g（x），（x0），利用导数可得即可得 解：（1）函数 f（x）的定义域为（0，+） 又， x是 f（x）的极值点，f20 a f（x）在（0，+）上单调递增，且 f f（x）0 时，x，f（x）0 时， f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+） （2）证法 1，由（1）可得 a0 时，f（x）x+aex在（0，+）上单调递增 又因为 f（1）1+ae1ae0，当 x 趋近于 0 时，f（x）趋近于 x0（0，1）使得 f（x0）0，即 当 x（0，x0）时，f（x0）0，x（x0，+）时，f（x0）0 f（x）在（0，x0）递减，在（
35、x0，+）递增 f（x）minf（x0），（0x01） 令 ，在（0，1）上 g（x）0， g（x）单调递减， 当 a0 时，f（x） 方法 2，令 g（x），（x0） ， 当 x（0，1）时，g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0 g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增 ， a0，aex0 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 x0y 中， 曲线 C1的参数方程为（t 为参数且 t0， a0， ） ） ， 曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为
36、极轴建立 极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 4cos （1）求 C2的普通方程及 C3的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2C3分别交于点 A，B，求|AB|的最大值 【分析】（1）由消去参数 得 C2的普通方程为：x2+（y1）21；由 4cos 得 24cos 得 C3的直角坐标方程为：x2+y24x，即（x2）2+y24 （2）C1的极坐标方程为：，C2的极坐标方程为：2sin，将 分别代入 C2， C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得 解：（1）由消去参数 得 C2的普通方程为：x2+（y1）21； 由 4cos 得 24cos 得 C3的直角坐标方程为：x2+y24x
37、，即（x2）2+y24 （2）C1的极坐标方程为：，C2的极坐标方程为：2sin 将 分别代入 C2，C3的极坐标方程得：A2sin，B4cos， |AB|AB|2sin4cos|2sin（+）| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+a|x3|（aR） （1）若 a1，求不等式 f（x）+10 的解集； （2）已知 a0，若 f（x）+3a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1 ） 当 a1 吋， 函数 f （x） |2x1|x3|， 利用分段讨论法去掉绝对值， 求出对应不等式的解集； （2）当 a0 吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应 f（x）
38、的最小值 f（x）min， 再解关于 a 的不等式，从而求出 a 的取值范围 解：（1 ）当 a1 吋，函数 f（x）|2x1|x3|， 当 x时，f（x）12x+（x3）x2， 不等式 f（x）+10 化为x2+10，解得 x1； 当x3 时，f（x）2x1+（x3）3x4， 不等式 f（x）+10 化为 3x4+10，解得 x1，取 1x3； 当 x3 时，f（x）2x1（x3）x+2， 不等式 f（x）+10 化为 x+2+10，解得 x3，取 x3； 综上所述，不等式 f（x）+10 的解集为x|x1 或 x1； （2）当 a0 吋，若 x，则 f（x）2xa+（x3）xa3， 此时 f（x）minf（）3，则 f（x）+3aa32，解得 a2； 若x3，则 f（x）2x+a+（x3）3x+a3， 此时 f（x）f（）a3，则 f（x）+3aa32，解得 a2； 若 x3，则 f（x）2x+a（x3）x+a+3， 此时 f（x）minf（3）6+a，则 f（x）+3a4a+62 恒成立； 综上所述，不等式 f（x）+3a2 对任意 x一、选择题恒成立时，a 的取值范围是 a2
