1、高三文科数学第 1页共 6 页 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 文科数学 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上，写在本试卷上无效。卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结
2、束后，将本试卷和答题卡一并交回。、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合,11|xZxM0)2(|xxZxN，则 NM() A2 , 1B.1 , 0C.1 , 0 , 1D.2 , 1 , 0 , 1 2若iz i i z 1 43 （i是虚数单位），则z（） A 2 3 B2C 2 5 D3 3 已知向量 a， b满足2 a，1 b且2 ba， 则 a与 b夹角的余弦值为 （）
3、A 2 2 B 3 2 C 8 2 D 4 2 4已知数列 n a是公比不为 1 的等比数列， n s为其前 n 项和，满足2 2 a，且 741 2 ,9 ,16aaa成等差数列，则 3 s（） A5B6C7D9 5若 1 2 9 4 a ， 8 3log 3b ， 1 3 2 3 c ，则a，b，c的大小关系是（） AcbaBabcCbacDcab 6如图 1 为某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务 收入统计图，下列对统计图理解错误的是() 高三文科数学第 2页共 6 页 A2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值
4、接近 2000 万件 B2019 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图看 2019 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 7函数 2 ( )1 cos 1 x f xx e 图象的大致形状是（） AB CD 8已知实数 , x y满足约束条件 1 21 xy xy ya ，若目标函数3zxy的最大值为 2，则a 的值为（）A-1B 1 2 C1D2 9.已知曲线sin(2) 6 yx 向左平移(0) 个单位，得到的曲线( )yg x经过点 (,1) 12 ，则（）
5、 A函数( )yg x的最小正周期 2 T B函数 yg x在 1117 , 1212 上单调递增 C曲线 yg x关于点 2 ,0 3 对称 D曲线 yg x关于直线 6 x 对称 高三文科数学第 3页共 6 页 10在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， FE, 分别为线段CD和 11 AB上的动点 且满足 1 CEAF，则四边形 1 D FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方 体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（） A.有最小值 3 2 B有最大值 5 2 C为定值 3D为定值 2 11斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线” ，是根据斐波那契数列 1，1，
6、2，3，5，画 出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为 1 的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋 线，它是依次在以 1，2，3，5 为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧 连接起来得到的.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A 4 B 39 160 C 191 80 D 192 80 12设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线交椭圆 于A，B两点，且 1 2 0AFAF ， 22 2AFF B ，则椭圆E的离心率为() A 2 3 B 3 4 C 5 3 D 7 4 二、二、填空题：本题
7、共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按 1， 2， ， 360 随机编号， 则抽取的 20 人中， 编号落入区间181,288的人数为_ 高三文科数学第 4页共 6 页 14已知圆 22 :(3)(1)3Cxy及直线:220l axya，当直线l被圆C截得 的弦长最短时，直线l的方程为_. 15如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折成 1 AB M， 连结 1 B D，N为 1 B D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_. 存
8、在某个位置，使得CNAB； 翻折过程中，CN的长是定值； 若ABBM，则 1 AMB D； 若1ABBM，当三棱锥 1 BAMD的体积最大时，三棱锥 1 BAMD的外接球的 表面积是4. 16在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，4c ， 4 2sinaA ，且C为锐角， 则ABC面积的最大值为_. 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一
9、）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 4S ， 5 25S （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 12 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 高三文科数学第 5页共 6 页 18 （12 分）如图，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，2PDDC， 点E，F分别为AD，PC的中点 （）证明：/ /DF平面PBE； （）求点F到平面PBE的距离 19（12 分）近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但 也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C省的发展情况，
10、某调查机构 从该省抽取了 5 个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y，数据如下表所示： 城市 1城市 2城市 3城市 4城市 5 A指标24568 B指标34445 （1）试求y与x间的相关系数r，并说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若 | | 0.75r ， 则认为y与x具有较强的线性相关关系， 否则认为没有较强的线性相关关系） . （2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标为 7 时，B指标的估计值. （3）若某城市的共享单车A指标x在区间(3 ,3 )xs xs的右侧，则认为该城市共享单 车数量过多， 对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理， 直至A指标x在 区间
11、(3 ,3 )xs xs内现已知C省某城市共享单车的A指标为 13，则该城市的交通管理 部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线ybxa中斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 参考数据： 5 2 1 1 2 5 i i sxx ，0.30.55，0.90.95. 高三文科数学第 6页共 6 页 20 （12 分）已知椭圆： 22 22 :1(0) xy Cab ab 的四个顶点围成的四边形的面积为 2 15，原点到直线 1 xy ab
12、 的距离为 30 4 . （1）求椭圆C的方程； （2） 已知定点(0,2)P， 是否存在过P的直线l， 使l与椭圆C交于A，B两点， 且以|AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程：若不存在，请说明理由. 21 （12 分）已知函数 2 1ln (0) 2 a f xxxx a. （1）讨论 f x的单调性； （2）若1ae，试判断 f x的零点个数. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分的第一题记分 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x
13、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线C：4cos，直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t为参数）.直线l与曲线C分 别交于M，N两点. （1）写出曲线C和直线l的普通方程； （2）若点3,0P，求 11 PMPN 的值. 23 （10 分）已知函数 12f xxaax （）若 13f，求实数a的取值范围； （）若 2 , 3 axR，判断( )f x与1的大小关系并证明. 唐山市 20192020 学年度高三 4 月六校联考 文科数学参考答案 一、选择题 15：BCDCD 610：DBCCD 1112：DC 二、填空题 13：6 14： 0= yx 15： 16：244
14、+ 三、解答题 17： （1）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，因为 2 4S =， 5 25S =， 则： 1 1 24 5 4 525 2 ad ad += += ，解得 1 2 1 a d = = ， 所以12(1)21 n ann= +=-（6 分） （2）由于21 n an=， 所以 ()() 12 11111 21232 2123 n nn b aannnn + = + 则 1 1111111 11 2 355721232 32369 n n T nnnn =+= + - （12 分） 18： （ ）证明：取点G是PB的中点，连接EG， FG，则/ /FGBC，且 1
15、2 FGBC=， / /DEBC且 1 2 DEBC=， / /DEFG且DEFG=， 四边形DEGF为平行四边形， / /DFEG，,PBEEG平面,PBEDF平面/ /DF平面PBE-（6 分） （ ）解：由（ ）知/ /DF平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的 距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d 利用等体积法： D PBEP BDE VV =， 即 11 33 PBEBDE SdSPD DD =， 1 1 2 BDE SDEAB D =， 5PEBE=， 2 3PB =，6 PBE SD=， 6 3 d =-（12 分） 19： （1）由题得 24
16、568 5 5 x + + =， 34445 4 5 y + = 所以()() 5 1 6 ii i xxyy = = ，() 5 2 1 20 i i xx = = ，() 5 2 1 2 i i yy = = 则 6 0.90.95 2 52 r = . 因为0.75r ，所以y与x具有较强的线性相关关系.-（5 分） （2）由（1）得 6 0.3 20 b = ， 40.3 52.5a = ， 所以线性回归方程为 0.32.5yx=+ .-（8 分） 当7x =时，0.3 72.54.6y =+=， 即当A指标为 7 时，B指标的估计值为 4.6.-（10 分） （3）由题得(3 ,3
17、)( 1,11)xs xs+= ， 因为1311， 所以该城市的交通管理部门需要进行治理.- （12 分） 20： （1）直线1 xy ab +=的一般方程为0bxayab+=. 依题意 22 222 22 15 30 4 ab ab ab abc = = + =+ ， 解得 5 3 a b = = ， 故椭圆C的方程式为 22 1 53 xy +=.- （4 分） （2）假若存在这样的直线l， 当斜率不存在时，以AB为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点， 所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为2ykx=+. 由 22 2 3515 ykx xy =+ += ，得() 22 352050kx
18、kx+=. 由() 22 40020 350kkD =+，得 55 , 55 k + . 记A，B的坐标分别为() 11 ,x y，() 22 ,xy， 则 12 2 20 35 k xx k += + ， 12 2 5 35 x x k = + ， 而()() 1212 22y ykxkx=+ () 2 1212 24k x xk xx=+.-（8 分） 要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点()5,0D ，则 0DA DB= ， 即()() 1212 55y yxx+ ()()() 2 1212 1259kx xkxx=+ 0=， 所以() () 2 22 520 1259 3535 k k
19、k kk + + 0=， 整理解得 2 5 5 k = 或 8 5 5 k = ， 所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆C的 左顶点，直线l的方程为 2 5 2 5 yx=+ 或 8 5 2 5 yx=+ .-（12 分） 21： （1）函数( )f x的定义域为() 0,+， ( )() ()()111 11 xax fxa x xx = +=， 令( )0fx = ，则 1 1x =， 2 1 x a =， （i）若1a =，则( )0fx 恒成立，所以( )f x在()0,+上是增函数，-（2 分） （ii）若01a ，( )f x是增函数， 当 1
20、 1,x a 时，( )0fx ，( )f x是增函数，-（4 分） （iii）若1a ，则 1 01 a ，( )f x是增函数， 当 1 ,1x a 时，( )0fx ，( )f x是增函数 综上所述：当1a =时，( )f x在()0,+上是增函数， 当01a， 所以有且仅有 1 个() 0 1,4x ，使() 0 0f x=. 所以当1ae时，( )f x有且仅有 1 个零点.-（12 分） 22： （1）曲线 :4cosC=， 2 4 cos=， 曲线C的直角坐标方程为 22 4xyx+=，即 22 (2)4xy+=， 直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt =+ =
21、（t为参数） ， 直线l的普通方程为： 33 30xy=-（5 分） （2）直线l的参数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt =+ = （t为参数） ， 代入 22 4xyx+=，得 2 30tt+ =， 12 1tt+= ， 1 2 3t t = 2121 12121 2 |111 |3 11tttt tPMPtttt tN + = -（10 分） 23： （I）因为( )13f，所以 1 23aa+. 当0a 时，得( )1 23aa + ，所以 2 0 3 a; 当 1 0 2 a时，得()1 23aa+ ，所以 1 0 2 a; 当 1 2 a 时，得()1 23aa，解得 4 3 a ，所以 14 23 a; 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 -（6 分） （II）( )1f x ，因为 2 , 3 axR, 所以( )12f xxaax=+ () ()121 3311xaaxaa= -（10 分）
