1、2020 年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）预测卷 数学数学 I 参考公式： 1样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n ； 2圆柱的体积VSh，其中S是圆柱的底面圆面积，h是高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1.已知集合0Ax x，21 0 2B ， ，则AB . 2.已知复数z满足1i 12i z （i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数为. 3. 某地区有小学生、初中生、高中生的人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的眼睛视力状 况，
2、在抽取的样本中初中生有 320 人，则该样本中的高中生人数为 . 4.一个算法的流程图如图所示，则输出的a的值为 5.函数 2 ( )ln 9f xx的定义域为 6.有 3 名学生甲、乙、丙，在分发数学作业时，从他们 3 人作业中各随机取出 1 份作业，则这 3 名学生恰好都拿到自己作业的概率为 7.已知等比数列 n a满足 1 1 2 a ，且 243 4(1)a aa ，则 5 a 8已知( )f x是定义在 R R 上的奇函数，当0x 时， 2 ( )log3f xx，则( ( 16)f f 的值为 9某品牌汽车 4S 店一年销售汽车 4000 辆，每次从汽车公司购置x辆，运费为 4 万
3、元/次，一年的 总储存费用为 0.4x万元.要使一年的总运费与总储存费用之和最小的，则x的值为 类别 小学生 初中生 高中生 合计 人数 18000 16000 9000 43000 （第 3 题） 10na， nn +1 输出 a 结束 开始 N Y n1， a0 n4 aa +3 （第 4 题） 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签
4、字笔填写在答题 卡上。 3 作答题目必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 ( ) 10.在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线 2 20ypx p的准线l与双曲线 2 2 x a 2 1y0a 的两 条渐近线围成等边三角形，且面积为3，则pa 11.如图，在正四棱柱形容器内盛有水和相同高度的实心圆柱（其中圆柱底面内切于正四棱柱底面， 水面恰与正四棱柱上底面齐平） ，将实心圆柱拿去后，则水面高度与正四棱高度比为 （不 计水的损耗） 12.如图， ABC中，M为AB中点，AB=5，C
5、M=3，EF为圆心为C， 半径为 1 的圆的动直径， 则BE AF 的取值范围是 13.在平面直角坐标系xOy中， 圆 22 1: 4Oxy与圆 222 2:( 4)(0)Oxyrr， 在圆 2 O上存在点Q， 过点Q作圆O1的切线，切点为PN，使得 5 9 QP QN，则实数r的最小值为 14.已知函数 3 1 ( ) 1 xax f x xaxx ， ， 若函数( )yff x恰有 5 个不同零点，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中
6、，以x轴正半轴为始边作两个钝角，它们的终边分别与单位圆 交于A，B两点已知A，B的横坐标分别为 3 10 10 ， 2 10 求： （1）cos的值； （2）2的值 C A B E F M （第 12 题） （第 11 题） 16 （本小题满分 14 分） 如图，三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ACBC，且PAAC，点E，F分别是 棱PC，PB的中点 （1）求证： AE BC； （2）点G为棱AB上一点，满足2GBGA， 求证： AE平面CFG 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 2 2 22 10 y x ab ab ，圆C： 2 2 2 4 b xy
7、b A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线AC交圆C于D，P两点（D在线段AC上） ，且2ADDC （1）求椭圆的离心率； （2）直线BP与椭圆相交于点Q，直线AQ被圆C截得弦长为 6 3 ，求椭圆的标准方程 18 （本小题满分 16 分） 如图为某野生动物园一角，MOK内区域为陆地动物活动区，NOK内区域为水上动物活 动区为满足游客游览需要，现欲在OM，ON上分别选一处A，B，修建一条贯穿两区域的 直路AB，AB与KO相交于点P若PA段，PB段每百米修路费用分别为 1 万元和 2 万元，已知 30NOK，OMOK，2OP 百米，设PAO （1）试将修路费用表示为的函数( )S； （2）求修路费用
8、( )S的最小值 P A B C E F （第16题） G x O （第 17 题） y A C B P D Q K N B P O A M （第 18 题） 19 （本小题满分 16 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 71 6aa， 4 54S （1）求数列 n a的通项公式； （2）是否存在正整数m，k，使得1 m a ， 3 1 m a ，1 k a 依次成等比数列？并说明理由； （3）设数列 n b满足 2 1 () 5 n n a bn N，将 n a和 n b中相同的项按照从小到大的顺序依次排 列，得到数列 n c，求数列 n c的通项公式 20 （本小题满分 16
9、 分） 已知函数( )yf x的定义域为D，若满足1( )0xDxf x ，则称函数( )f x为“L型函 数”. （1）判断函数exy 和lnyx是否为“L型函数”，并说明理由； （2）设函数( )(1)ln(1)lnf xxxxa（0a ），记( )( )g xfx. 若函数( )g x的最小值为 1，求a的值； 若函数( )f x为“L型函数”，求a的取值范围. 数学数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并 在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A A选修选修 4 4- -2 2：矩阵与变换：
10、矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 40 = 01 A， 10 = 1 0 2 B，记M=ABM=AB，求M M B B选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 12 xl yl ，（ l为参数）与曲线 cos cos2 x y ， （为参数） 的交点为A，B，求线段AB的长 C C选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知x，y，z均是正实数，且 222 9436xyz，求证：7xyz 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
11、 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 【必做题】第【必做题】第 2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文
12、内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分 10 分） 如图 1， 某电视台一档综艺节目的游戏挑战项目“蜂巢迷宫”的道具， 游戏规定挑战者必须“蒙 眼”进行.现简化模型如图 2 所示，共有A,B,C,D,E,F六个房间组成，每个房间各有六扇门分别与相 邻房间或与外部相通，假设打开每扇门都是等可能的.现挑战者从房间A出发，要求到达 房间E. （1）求挑战者“打开两扇门完成挑战”的概率； （2）一次游戏中规定“只要走出道具外部或打开超过四扇门（含四扇）挑战失败”，得 0 分； “打开三扇门完成挑战”，得 1 分，“打开两扇门完成挑战”，得 2
13、分.挑战者共挑战 1 次， 得分设为X，求随机变量X的概率分布和数学期望()E X. 23.（本小题满分 10 分） （1）用数学归纳法证明二项式定理： 011222 ()CCCCC nnnnrn rrnn nnnnn abaabababb ，n * N （2）利用二项式定理求证： 2 2 0 (C )C n kn nn k A B C D E F 图 1 图 2 2020 年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）预测卷解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1.已知集合0Ax x，21 0 2B ， ，则AB . 【答案】【答案
14、】21， 【解析解析】21AB ， 【解题探究解题探究】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，注意交集与并集的差异，属 于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对 于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2.已知复数z满足1i 12i z （i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数为 . 【答案】【答案】1 3i 【解析解析】因为 2 1 i 12i12i3i= 1 3iz ，所以复数z的共轭复数为1 3i 【解题探究解题探究】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算， 要切实掌握
15、其运算技巧和常规思路. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数i()ab abR，的实 部为a、虚部为b、模为 22 ab、共轭复数为iab. 3. 某地区有小学生、初中生、高中生的人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的眼睛视力状 况，在抽取的样本中初中生有 320 人，则该样本中的高中生人数为 . 【答案】【答案】180 【解析解析】设高中生人数为x，则 9000 32016000 x ，所以180x . 【解题探究解题探究】本题考查的是抽样方法，重点考查了分层抽样，属于简单题.认真梳理统计学的基础理 论，特别是层抽样、频率分布直方图、方差，平均数等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直 观了
16、解本考点的考查方式，强化相关计算能力. 4.一个算法的流程图如图所示，则输出的a的值为 【答案】【答案】9 类别 小学生 初中生 高中生 合计 人数 18000 16000 9000 43000 （第 3 题） 10na， 【解析解析】第一次循环：03=3a ，1 1= 2n ； 第二次循环：33= 6a ，2 1=3n ； 第三次循环：63=9a ，3 1= 4n ； 所以答案是 9 【解题探究解题探究】本题是算法与流程图的考查，侧重于对流程图 循环结构的考查，.先明晰算法及流程图的相关概念，包括 选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、 循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律
17、，明确流程图 研究的数学问题，是求和还是求项. 针对训练近几年的江苏 高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，侧重于对问题 的模拟执行，且执行次数较少. 5.函数 2 ( )ln 9f xx的定义域为 【答案】【答案】33， 【解析解析】令 2 90x，则(3)(3) 0xx，解得33x,并将结果表示为集合或者区间形式，所以 答案为33，（也可以表示为33xx） 【解题探究解题探究】本题是对数函数、一元二次不等式与定义域基本性质的考查，属于基础题.注意解一元 二次不等式时注意函数图象的开口方向，并注意定义域、值域、单调区间的合理表示. 6.有 3 名学生甲、乙、丙，在分发数学作业时，从他们 3
18、 人作业中各随机取出 1 份作业，则这 3 名 学生恰好都拿到自己作业的概率为 【答案】【答案】 1 6 【解析解析】设甲、乙、丙三人的作业分别是A，B，C，分发所有情况枚举如下表 共 6 种情况，所以这 3 名学生恰好都拿到自己作业的概率为 1 6 . 【解题探究解题探究】本题考查的是古典概型，属于基础题.解题基本策略，通过枚举法、树形图解决计数问 题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件. 针对训练近几年的江苏高考类似考题， 甲 A A B B C C 乙 B C A C A B 丙 C B C A B A nn +1 输出 a 结束 开始 N Y 1，0 n4 aa +3 （第
19、 4 题） 直观了解本考点的考查方式，弱化记数方法，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查. 7.已知等比数列 n a满足 1 1 2 a ，且 243 4(1)a aa ，则 5 a 【答案】【答案】8 【解析解析】因为 243 4(1)a aa，所以 3 2 3 4(1)aa，解得 3 2a，又 1 1 2 a ，利用 1 a， 3 a， 5 a成等比数 列， 15 2 3 aaa，解得 5 8a 【解题探究解题探究】本题是等比数列的基本量运算和性质运用的考查，侧重于等比数列基本量的运算等 比、等差数列是高考C级考点，纵观近几年江苏高考属于填空必考问题，在进行等比数列基本量运 算时，注重性质
20、的合理使用有助于简化运算 8已知( )f x是定义在 R R 上的奇函数，当0x 时， 2 ( )log3f xx，则( ( 16)f f 的值为 【答案】【答案】3 【解析解析】因为 2 ( 16)16log 1631ff，所以( 16)1fff 2 1log 1 33f ，所以答案为3 【解题探究解题探究】 本题是函数奇偶性和对数运算的考查， 属于中档题. （1）( ( 16)f f 的计算先算( 16)f ； （2）当0x 时，利用奇函数 f xfx . 9某品牌汽车 4S 店一年销售汽车 4000 辆，每次从汽车公司购置x辆，运费为 4 万元/次，一年的 总储存费用为 0.4x万元.要
21、使一年的总运费与总储存费用之和最小的，则x的值为 【答案】【答案】200 【解析解析】 总费用为 40004000040000 40.40.40.42160xxx xxx ， 当且仅当 40000 x x 时， 即200x 时取得等号.所以x的值为200 【解题探究解题探究】 本题是利用基本不等式解决最值问题的实际问题， 侧重建模能力与基本不等式的考查， 改编自课本.纵观近几年高考填空题中，基本不等式属于必考考点，利用基本不等式求最值是常考题 型. 10.在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线 2 20ypx p的准线l与双曲线 2 2 x a 2 1y0a 的两 条渐近线围成等边三角形，且面
22、积为3，则pa 【答案】【答案】3 3 【解析解析】如右图，因为等边三角形OAB，则AOB=60， x y O A B 根据对称性，得斜率 31 tan30 = 3a ，所以= 3a；又因为 面积为3，计算得到O点到准线 2 p x的距离为3即 3 2 p ，所以2 3p.所以3 3pa 【解题探究解题探究】本题是利用抛物线与双曲线标准方程及性质的考查，属于中档题.（1） 抛物线 2 20ypx p的准线方程为 2 p x；（2） 双曲线 2 2 x a 2 1y0a渐近线线方程为 1 yx a 11.如图，在正四棱柱形容器内盛有水和相同高度的实心圆柱 （其中圆柱底面内切于正四棱柱底面，水面恰
23、与正四棱柱上 底面齐平） ，将实心圆柱拿去后，则水面高度与正四棱 高度比为 （不计水的损耗） 【答案】【答案】 4 4 【解析解析】设柱体高度为h，圆柱底面半径为r，则正四棱柱底面边长为 2r 所以水的体积为 2 22 24rhrhr h拿去实心圆柱体后，设水的高度为 h ，则 2 2 42r hr h ，所以 4 4 h h 【解题探究解题探究】本题是考查了圆柱和棱柱的体积运算，属于中档题.利用等量关系正四棱柱的体积减去 实心圆柱的体积等于水的体积 12.如图， ABC中，M为AB中点，AB=5，CM=3，EF为圆心为C， 半径为 1 的圆的动直径， 则BE AF 的取值范围是 【答案】【答
24、案】 13 27 44 ， 【解析解析】方法一、基底法 BE AFBCCEACCFBCCEACCE 22 BC ACACBCCECEBC ACAB CECE 又因为 2 1CE ， BC ACBMMCAMMCAMMCAMMC 22 2511 9 44 MCAM, 所 以 7 4 B EA FA B C E， 设 向 量AB与CE夹 角 为0 ， 77 cos=5cos 44 BE AFABCE 当0时即AB与CE同向时，BE AF有最大值为 27 4 ； C A B E F M （第 12 题） （第 11 题） 当时即AB与CE反向时，BE AF有最小值为 13 4 ； 所以BE AF的取值
25、范围为 13 27 44 ，. 方法二、坐标法 以AB所在直线为x轴，M为原点建立直角坐标系 则 5 0 2 A ， 5 0 2 B， 设C a b，cossinE ab，则cossinF ab， 5 cossin 2 BEab， 5 cossin 2 AFab， 55 coscossinsin 22 BE AFaabb 2 2225 cossin 2 ab 又因为3CM ,所以 22 +9ab 所以 713 27 5cos 444 BE AF ，. 【解题探究解题探究】本题涉及平面向量数量积最值问题. 最值问题一般建立目标函数，针对求解数量积问题主要是 基底法和坐标法.（1）基底法，注意向量
26、间的关系，如MAMB ，CFCE ； （2）坐标法，关键考虑如何建系，如何恰当的表示坐标. 13.在平面直角坐标系xOy中， 圆 22 1: 4Oxy与圆 222 2:( 4)(0)Oxyrr， 在圆 2 O上存在点Q， 过点Q作圆O1的切线，切点为PN，使得 5 9 QP QN，则实数r的最小值为 【答案答案】1 【解析解析】如图，设 1 PQO,则2PQN , 2 2 cos212sinQP QNQP QNQP 2 1 2 1 85 41 9 QO QO , 整理得 22 11 93290QOQO, 则 2 1 32 9 QO或 2 1 9QO ，又 2 1 4QO ， Q x y O1
27、O2 P N x y C A B E F M 所以 2 1 9QO 即 1 3QO ， 又因为 1 44rQOr，所以43r ， 即1r，所以实数r的最小值为 1 【解题探究解题探究】本题涉及圆的标准方程、直线与圆的问题关系及圆与圆的位置关系及数量积等考点， 侧重考查圆中相关知识. 在圆 2 O上存在点Q， 过点Q作圆O1的切线， 切点为PN， 使得 5 9 QP QN， 关键是对 5 9 QP QN的转化，直线与圆相切问题关键在通过特征三角形把等量关系化归到基本量圆 外点Q到圆心的距离 1 QO. 14.已知函数 3 1 ( ) 1 xax f x xaxx ， ， 若函数( )yff x恰
28、有 5 个不同零点，则实数 a的取值范围是 【答案】【答案】 3 3 0 2 ， 【解析解析】作出( )yf x的图像 令( )tf x，则( )0f t ， （1）当0a时，( )0f t 有唯一解0t ，代入( )tf x，则( )0f x ，此时有唯一解0x ，不合题 意； （2）当01a时，当1t时，0ta无解；当1t 时， 3 0tat有三个不等 根 1 ta ， 2 0t ， 3 ta,作出函数( )f x的图象（如图 1） 因为 2 33 aa a ，且 2 33 aa a ，所以 1将 1 ta 代入，( )af x，有唯一解； 2将 3 ta代入，( )af x，有唯一解；
29、3将 2 0t 代入，0( )f x，有三个不等根； 此时函数( )yff x恰有 5 个不同零点（符合题意）. （3） 当1a时， 当1t时，0ta有唯一解ta； 当1t 时， 3 0tat有两个不等根 1 ta ， 2 0t ,所以( )0f t 共有三个不等根出 1 ta , 2 0t , 3 ta.分两类作出函数( )f x的图象. 1当1 3 a 时即13a 时，要共有函数( )yff x恰有 5 个不同零点， x y O 图 1 x y O 图 2 则需 2 33 2 33 aa a aa a ， ， 解得 3 3 1 4 a . 2当1 3 a 时即3a 时，要共有函数( )yf
30、f x恰有 5 个不同零点， 则需 1 2 33 aa aa a ， ， 无解. 综上述，实数a的取值范围 3 3 0 2 ，. 【解题探究解题探究】本题考查了分段函数、三次函数与函数的零点问题，侧重考查研究函数零点的基本方 法即代数法解方程及图象研究零点个数，体现数形结合思想在研究函数零点问题的应用对于复合 函数零点主要用换元法分离为研究两个方程的根，基本步骤： （1）解方程( )0f t ，研究t的个数和 特征，此方程主要用代数法将t表示出来； （2）将t回代( )tf x研究对应x的个数，此处主要借助 图象研究交点个数 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内
31、作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作两个钝角，它们的终边分别与单位圆 交于A，B两点已知A，B的横坐标分别为 3 10 10 ， 2 10 求： （1）cos的值； （2）2的值 【解析】【解析】 （1）因为A，B两点的横坐标分别为 3 10 10 ， 2 10 ， 结合三角函数的定义得 3 10 cos 10 ， 2 cos 10 2 分 因为，为钝角，所以 2 23 1010 sin1cos1 1010 同理得 7 10 sin 10 4 分 所以 10 3 101057 2 coscos cossi
32、n sin 1010105 2 7 分 （2）因为 2 ， 3 10 cos 10 ， 2 cos 10 ，所以coscos 从而 2 ，所以 0 2 x y O 图 3 由（1）知， 22 5 sin1cos 5 9 分 sin 2sin sincoscossin 2 53 10510 510510 2 2 12 分 因为 0 2 ， 2 ，所以 3 2 22 ， 所以 5 2 4 14 分 【解题探究解题探究】本题涉及的考点有三角函数的定义，诱导公式，两角和与差公式等.第二问中求角 2注意角的变换.江苏高考在三角函数解答题的考查中，注重书写的规范性. 16 （本小题满分 14 分） 如图，
33、三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ACBC，且PAAC，点E，F分别是 棱PC，PB的中点 （1）求证： AE BC； （2）点G为棱AB上一点，满足2GBGA， 求证： AE平面CFG 【解析】【解析】 （1）因为PA底面ABC， 又BCABC平面， 所以 PABC，2 分 又ACBC， PA AC ，平面PAC，PAACA， 所以BC平面 PAC，4 分 又AE平面PAC， 所以AEBC.6 分 P A B C E F （第16题） G P A B C E F O G （2）设BE交CF于点O,连接GO 因为若点E，F分别是棱PC，PB的中点， 所以O为中线CF，BE的交点， 所以O为
34、 PBC的重心， 从而2OBOE9 分 又2GBGA，所以OGAE11 分 OG 平面CFG，AE 平面CFG， 所以AE平面CFG14 分 【解题探究解题探究】 本题主要考查线线，线面平行，垂直的判定与性质. 此题第二问需要用到平面几何中三角形重心的性质，立体几何主要思想 化归为平面几何，常见的平面几何性质结论需要积累.第二问关键先要找处平行线即过AE的平面与 平面CFG的交线.纵观近几年高考，立体几何属于基础题，主要重视书写的规范性. 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 2 2 22 10 y x ab ab ，圆C： 2 2 2 4 b xyb A，B分
35、别为椭圆的左、右顶点，直线AC交圆C于D，P两点（D在线段AC上） ，且2ADDC （1）求椭圆的离心率； （2）直线BP与椭圆相交于点Q，直线AQ被圆C截得弦长为 6 3 ，求椭圆的标准方程 【解析】【解析】 （1）设椭圆的焦距长为 2c 因为2ADDC，DC= 2 b ， 所以AC= 3 2 b 2 分 所以 223 2 b ab，则 2 25 4 b a， 即 222 54aca x O （第 17 题） y A C B P D Q 则椭圆的离心率 5 5 e 4 分 （2）因为椭圆方程 2 2 22 1 5 4 y x bb 则直线AP的方程： 2 5 5 yxb 与圆 2 2 2 4
36、 b xyb联立 解得 54 63 Pbb ，.6 分 则直线BP的方程： 54 5 52 yxb . 与椭圆方程 2 2 22 1 5 4 y x bb 联立 解得 3 54 105 Qbb ， .8 分 直线AQ的方程：22 550xyb. 圆心C到直线AQ的距离为 30 12 b，10 分 又弦长为 6 3 ，则 22 2 630 6122 b b . 解得 2 4b ， 2 5a . 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 54 y x . 14 分 第二问另解：设 00 ()P xy，则 00 (2)Dxby， 所以 00 (2)ADxaby ， 00 ()DCxby，由2ADDC得 4
37、() 33 ab P，. 所以 4 2 5 BQBP b kk a . 由 2 2 4 5 BQAQ b kk a 得 1 5 AQ k，则直线:50AQ xya， 下面过程可同上解法. 【解题探究解题探究】本题主要考查椭圆方程，圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，着重考查学生分析 问题及计算能力.（1）利用2ADDC，得到基本量abc， ，的关系，从而求出离心率； （2）第二问 中结合条件“直线AQ被圆C截得弦长为 6 3 ”建立基本量abc， ，的第二个关系，求得方程近几年 江苏高考主要以考查椭圆与圆相结合的条件背景较频繁，属于热点问题，处理时更侧重几何关系， 而椭圆则更侧重代数关系，解析
38、几何主要考查分析问题及计算能力. 18 （本小题满分 16 分） 如图为某野生动物园一角，MOK内区域为陆地动物活动区，NOK内区域为水上动物活 动区为满足游客游览需要，现欲在OM，ON上分别选一处A，B，修建一条贯穿两区域的 直路AB，AB与KO相交于点P若PA段，PB段每百米修路费用分别为 1 万元和 2 万元，已知 30NOK，OMOK，2OP 百米，设PAO （1）试将修路费用表示为的函数( )S； （2）求修路费用( )S的最小值 【解析】【解析】 （1）在 RtPOA中，2OP ，PAO， 所以 2 sin PA 2 分 在 RtPOB中，30POB，所以 3 PBO， 由正弦定理
39、，得 sinsin OPPB PBOPOB ， 即 2 sinsin 63 PB ，所以 1 sin 3 PB 4 分 所以 22 ( )= sin sin 3 S ， 0 3 ，6 分 （2）因为 22 ( ) sin sin 3 S 2 2(sin3cos ) 3sincossin 4sin 3 3sin21cos2 22 8sin 3 2sin 21 6 ，8 分 令 sin 3 t，因为 0 3 ，所以 3 1 2 t ， K N B P O A M （第 18 题） 则 22 sin 2sin 2cos 22sin121 63233 t ， 所以记 2 8 ( )( ) 43 t S
40、f t t ，12 分 所以 2 22 8(43) ( )0 (43) t f t t ，所以( )f t在 3 1 2 ，上为单调减函数， 所以当 sin1 3 t，即 6 时， min ( )(1)8Sf 答：修路费用( )S的最小值为 8 万元16 分 【注】亦可利用均值代换 【解题探究解题探究】本题以平面图形为背景，考查与图形相关的函数的最值，涉及解三角形、利用导数研 究函数单调性、求最值等知识，侧重于考查函数建模，解模的能力.应用问题属于必考题型，以平面 图形为背景的应用题， 除利用三角函数建立函数关系外， 还可以通过建系求坐标， 来建立函数关系， 解模主要是以导数，基本不等式为主，
41、在建立目标函数后要注意实际问题中的定义域问题. 19 （本小题满分 16 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 71 6aa， 4 54S （1）求数列 n a的通项公式； （2）是否存在正整数m，k，使得1 m a ， 3 1 m a ，1 k a 依次成等比数列？并说明理由； （3）设数列 n b满足 2 1 () 5 n n a bn N，将 n a和 n b中相同的项按照从小到大的顺序依 【解析】【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d，因为 71 6aa，所以 1 56ad， 又因为 4 54S ，所以 1 2327ad，2 分 得 1 6a ，5d ，所以51 n an4 分 （2）假设存在正整数m，k，使得1 m a ， 3 1 m a ，1 k a 依次成等比数列， 则 2 3 (1)(1)(1) mmk aaa ，化简得 2 (3)mmk， 所以 2 (3)9 6 m km mm 6 分 因为k是正整数，所以m是 9 的约数， 得m=1 或 3 或 9， 当m=1 时，k=16；当m=3 时，k=12
