1、山东省山东省 20202020 届届青岛天龙中学青岛天龙中学高三第一次模拟考试数学高三第一次模拟考试数学试卷试卷 本试卷共本试卷共 4 页，分第页，分第 1 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 ）要求的 ） （1）已知集合 2 |430, |24Ax xxBxx ,则AB （ ） （A） （1，3） （
2、B） （1，4） （C） （2，3） （D） （2，4） （2）若复数z满足 1 z i i ，其中i为虚数为单位，则z （ ） （A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i （3）要得到函数sin(4) 3 yx 的图像，只需要将函数sin4yx的图像（ ） （A）向左平移 12 个单位 （B）向右平移 12 个单位（C）向左平移 3 个单位 （D）向右平移 3 个单位 （4）已知菱形ABCD的边长为a，60ABC，则BD CD（ ） （A） 2 3 2 a （B） 2 3 4 a （C） 2 3 4 a （D） 2 3 2 a （5）若“0,tan 4 xxm ”是真命题，则实数
3、m的最小值为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）0 （6）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36， 则球 O 的表面积为（ ） A36 B.64 C.144 D.256 （7）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则E的离心 率为（ ） （A）5 （B）2 （C）3 （D）2 （8）已知点P在曲线 y= 4 1 x e 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A0, 4 ) B,) 4 2 C 3 (, 24 D 3 , ) 4 二、多项选择题： （本大
4、题共二、多项选择题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，漏选得分，漏选得 3 分，错选分，错选 0 分，全选对分，全选对 5 分）分） （9）函数( )cos()f xx）（ 2 , 0 的部分图像如图所示，则下 列结论正确的是（ ） (A) (B) 3 （C） 4 3 x 是函数的一条对称轴 (D) ）（0 , 4 1 k 是函数的对称轴心 （10）在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出 3 个球，下列事件是互 斥事件的是 （ ） （A）摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件 （B）恰好有一黑球事件和都是黑球事件 （C）至少一个黑球事件和至多
5、一个白球事件 （D）至少一个白球事件和全是白球事件 （11）下列命题正确的是（ ） A.平行于同一直线的两条直线互相平行. B.垂直于同一平面的两个平面互相平行. C.若直线 12 ,l l与同一平面所成的角相等,则 12 ,l l互相平行.D.若直线 12 ,l l垂直于同一平面，则 12 ,l l平行； （12）已知函数( )yf x是定义在 R R 上的奇函数，对xR 都有(1)(1)f xf x成立，当(0,1x且 12 xx时，有 21 21 ()() 0 f xf x xx 。则下列说法正确的是（ ） A.(1)0f B.( )f x在-2，2上有 5 个零点 C.f(2014)=
6、0 D.直线1x 是函数( )yf x图象的一条对称 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. （13）的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则_ （14）已知两个单位向量a，b的夹角为 60 ，bac)1 (tt.若cb=0，则t=_. （15）已知函数( )(0,1) x f xab aa 的定义域和值域都是1,0 ，则ab （16） 平面直角坐标系xOy中， 双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线与抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p 交于点, ,O A B。若OAB的垂心为 2
7、C的焦点，则 1 C的离心率为 _ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. （17） （本小题满分 10 分） 已知数列的前 n 项和，其中0 （I）证明是等比数列，并求其通项公式 （II）若 ，求 （18） （本小题满分 12 分） 设 2 ( )sin coscos () 4 f xxxx . （）求( )f x的单调区间； （） 在锐角ABC中， 角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若()0,1 2 A fa， 求ABC面积的最大值。 (19)(本小题满分 12 分) 如图，在三棱台DEFABC中，2,ABDE G H分别为 ,AC BC
8、的中点。 （）求证：/BD平面FGH； （ ） 若CF 平 面,ABC ABBC CFDE， 45BAC，求平面FGH与平面ACFD所成的角 （锐角）的大小. （20） （本小题满分 12 分） 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三 位递增数” （如 137，359，567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取 一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1分；若能被 10 整除，得 1 分. （）
9、写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. （21） （本小题满分 12 分） 平面直角坐标系中， 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 左、 右焦点分别是 12 ,F F. 以 1 F为圆心以 3 为半径的圆与以 2 F为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. （）求椭圆C的方程； （） 设椭圆 22 22 :1, 44 xy EP ab 为椭圆C上任意一点， 过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两 点，射线PO交椭圆E于点Q.求 | | OQ OP 的值； （22） （本小题满分 12
10、 分）已知函数 1 ( )ln() a f xxaxaR x （I）求 f（x）的单调区间； （II）若在1，e （e2.71828）上任取一点 0 x，使得 0 ()0f x成立，求 a 的取值范围。 参考答案 一、单项选择：1-4：CABD 5-8：ACDD 二、多项选:9. ACD 10.ABD 11. AD 12.ABC 三、填空题 13. 3 14.2 15. 2 3 - 16. 2 3 四、解答题： 17.（本小题满分 12 分） 解： （）由题意得 111 1aSa，故1， 1 1 1 a，0 1 a. 由 nn aS1， 11 1 nn aS得 nnn aaa 11 ，即 nn
11、 aa ) 1( 1 .由0 1 a，0得0 n a， 所以 1 1 n n a a . 因此 n a是首项为 1 1 ，公比为 1 的等比数列，于是 1 ) 1 ( 1 1 n n a （）由（）得 n n S) 1 (1 ，由 32 31 5 S得 32 31 ) 1 (1 5 ，即 5 ) 1 ( 32 1 ，解得1 18.（）由题意知 1 cos(2) sin2 2 ( ) 22 x x f x sin21 sin2 22 xx 1 sin2 2 x 由222, 22 kxkkZ ，可得, 44 kxkkZ ； 由 3 222, 22 kxkkZ ，可得 3 , 44 kxkkZ ，
12、所以( )f x的单调递增区间是,() 44 kkkZ ； 单调递减区间是 3 ,() 44 kkkZ . （）由 1 ()sin0 22 A fA，得 1 sin 2 A ,由题意知A为锐角，所以 3 cos 2 A 由余弦定理 222 2cosabcbcA ，可得 22 132bcbcbc， 即23bc ，且当bc时等号成立， 因此 123 sin 24 bcA ，所以ABC面积的最大值为 23 4 . 19.（）证法一：连接,DG CD，设CDGFO，连接OH 在三棱台DEFABC中， 2,ABDEG为AC的中点， 可得/,DFGC DFGC， 所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD
13、的 中点，又H为BC的中点， 所以/OHBD， 又OH 平面,FGH BD 平面 FGH，所以/BD平面FGH 证法二：在三棱台DEFABC中， 由2,BCEF H为BC的中点，可得/,BHEF BHEF， 所以四边形BHFE为平行四边形，可得/BEHF 在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以/GHAB 又GHHFH，所以平面/FGH平面ABED 因为BD 平面ABED， 所以/BD平面FGH （）解法一： 设2AB ， 则1CF ， 在三棱台DEFABC中， G为AC的中点，由 1 2 DFACGC， 可得四边形DGCF为平行四边形，因此/DGFC又FC 平面ABC， 所以DG
14、平面ABC 在ABC中，由,45 ,ABBCBACG是AC中点， 所以,ABBC GBGC因此,GB GC GD两两垂直 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz 所以(0,0,0), ( 2,0,0),(0,2,0),(0,0,1)GBCD 可得 22 (,0),(0,2,1) 22 HF，故 22 (,0),(0,2,1) 22 GHGF 设( , , )nx y z是平面FGH的一个法向量，则 由 0, 0, n GH n GF 可得 0, 20. xy yz 可得平面FGH的一个法向量(1, 1,2)n 因为GB是平面ACFD的一个法向量，( 2,0,0)GB ， 所以 2
15、1 cos, 2| |2 2 GB n GB n GBn 所以平面FGH与平面ACFD所成角 （锐角） 的大小为60 20.解： （）个位数是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345； （）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 3 9 84C ， 随机变量X的取值为-1，0，1.因此 3 8 3 9 2 (0) 3 C P X C ， 2 4 3 9 1 (1) 14 C P X C ， 1211 (1)1 14342 P X 所以X的分布列为 X 0 -1 1 P 2 3 1 14 11 42 则 21114 0( 1)1 3144221 EX 21.解： （）由题意知24a，则2a又 3 2 c a ， 222 acb，可得1b， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）由（）知椭圆E的方程为 22 1 164 xy （）设点 00 (,)P x y， | | OQ OP ，由题意知 00 (,)Qxy因为 2 2 0 0 1 4 x y， 又 22 00 ()() 1 164 xy ，即 22 2 0 0 ()1 44 x y ，所以2，即 | 2 | OQ OP 22.
