1、只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z（1+2i） （1i） ，则 z 的虚部为（ ） A1 B3 C1 Di 2 （5 分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 0.4，甲不输的概率为 0.9，则甲、乙下成平局 的概率为（ ） A0.5 B0.3 C0.1 D0.6 3 （5 分） “”是“log7alog7b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知直线 l 的一个方向向量 （2，1，3） ，且直线 l 过 A（0，y，3）和 B（ 1，2，z）两点，则 yz（ ） A0 B1 C D3 5 （
2、5 分）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02，03，32，33 这 33 个二位 号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列和第 10 列的数字开始从左到右依次选取两个数字， 则第四个被选中的红色球号 码为（ ） 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A12 B33 C06 D16 6 （5 分
3、）函数 f（x）（x23x+1）ex的极大值是（ ） A3e Be2 C2e2 D 7 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 则其和等于 11 的概率是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 8 （5 分）已知抛物线 C：y28px（p0）的焦点为 F，C 与抛物线 x2py 在第一象限的交 点为 M，且|MF|4，则 p（ ） A6 B4 C2 D1 9 （5 分） 十七世纪， 法
4、国数学家费马提出猜想； “当整数 n2 时， 关于 x、 y、 z 的方程 xn+yn zn没有正整数解” ，经历三百多年，1995 年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使 它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ） 对任意正整数 n，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn都没有正整数解； 当整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解； 当正整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解； 若关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解，则正整数 n2； A B C D 10 （5 分）函数 f（x）ln|x|+
5、|sinx|（x 且 x0）的图象大致是（ ） A 第 3 页（共 23 页） B C D 11 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 M， N， 设四边形 F1NF2M 的周 长为 p，面积为 S，且满足 32SP2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 12 （5 分）若关于 x 的方程有三个不等的实数解 x1，x2，x3，且 x10x2 x3， 其中 mR， e2.71828为自然对数的底数， 则 的值为（ ） Ae Be2 Cm（2+m）4 Dm（1+m）4 二、填空题：本大题共二、填空题
6、：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设 z2i，则|z| 第 4 页（共 23 页） 14 （5 分）某班甲、乙两位同学在高二第一学期的 5 次物理考试成绩的茎叶图如图所示， 则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是 15 （5 分）在区间4，4上任取一个实数 a，使得方程1 表示双曲线的概率 为 16 （5 分）已知 M 是圆 C： （x1）2+（y1）25 上一动点，A 为圆 C 所在平面内一定点 （C 为圆 C 的圆心） ，线段 MA 的垂直平分线与直线 MC 交于点 P，则点 P 的轨迹可能 是 （写出所有正确结论的序号） 圆； 椭圆
7、； 双曲线； 抛物线； 一个点； 直线 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项 目现统计了 4 月份 100 名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图 （1）若将购买金额不低于 80 元的游客称为“优质客户” ，现用分层抽样的方法从样本的 “优质客户”中抽取 5 人，求这 5 人中购买金额不低于 100 元的人数； （2）从（1）中的 5 人中随机抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村
8、游项目，请列出所有 的基本事件，并求 2 人中至少有 1 人购买金额不低于 100 元的概率 18 （12 分）已知命题 p：复数 z（m2）+（m+2）i5（mR）在复平面上对应的点位于 第二象限，命题 q：椭圆1（m0）的离心率 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； 第 5 页（共 23 页） （2）若命题 p（q）为真命题，求实数 m 的取值范围 19 （12 分）在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们 把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生 的偏科情况，对学生数学偏差 x（单位：分）与物理偏差 y（单位
9、：分）之间的关系进行 学科偏差分析，决定从全班 56 位同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析，得到他 们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差 x 20 15 13 3 2 5 10 18 物理偏差 y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 0.5 2.5 3.5 （1）已知 x 与 y 之间具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若这次考试该班数学平均分为 118 分，物理平均分为 90.5，试预测数学成绩 126 分 的同学的物理成绩 参考公式： ， x， 参考数据：324，1256 20 （12 分）如图，在四棱锥 PA
10、BCD 中，ABCD 为矩形，PAPB，PAPB，平面 PAB 平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）若 M 为 PC 的中点，直线 PD 与平面 PAB 所成的角为 45，求二面角 AMDB 的正弦值 第 6 页（共 23 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的 左、右焦点，B1为椭圆上顶点，B1F1F2的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于不同两点 M，N，已知 P， |MP|NP|，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）x2+
11、ax（aR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 f（x）图象在点（1，0）处的切线与 g（x）的图象相切，求 a 的值； （3）若函数 F（x）+g（x）存在两个极值点 x1，x2，且|x1x2|，求|F（x1） F（x2）|的最大值 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年湖学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷南省张家界市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
12、只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z（1+2i） （1i） ，则 z 的虚部为（ ） A1 B3 C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i） （1i）1i+2i+23+i， z 的虚部为 1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 0.4，甲不输的概率为 0.9，则甲、乙下成平局 的概率为（ ） A0.5 B0.3 C0.1 D0.6 【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解 【解答】解：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 0.4，甲不输的概率为 0.
13、9， 则甲、乙下成平局的概率为 P0.90.40.5 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分） “”是“log7alog7b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可 【解答】解：由“”得 ab， 由 log7alog7b 得 ab0， 第 8 页（共 23 页） 则“”是“log7alog7b”成立的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条
14、件，结合充分 条件和必要条件的定义是解决本题的关键比较基础 4 （5 分）已知直线 l 的一个方向向量 （2，1，3） ，且直线 l 过 A（0，y，3）和 B（ 1，2，z）两点，则 yz（ ） A0 B1 C D3 【分析】根据k ，即可得出 【解答】解：（1，2y，z3） k 12k，2yk，z33k 解得 k，yz yz0 故选：A 【点评】本题考查了直线的方向向量、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5 （5 分）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02，03，32，33 这 33 个二位 号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方
15、法是从第 1 行第 9 列和第 10 列的数字开始从左到右依次选取两个数字， 则第四个被选中的红色球号 码为（ ） 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A12 B33 C06 D16 【分析】根据随机数表进行选择即可 【解答】解：第 1 行第 9 列和第 10 列的数字为 63， 从左到右依次选取两个数字，依次为 17，12，33，06， 则第四个被选中的红
16、色球号码为 06， 第 9 页（共 23 页） 故选：C 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，利用随机数表法是解决本题的关键比较 基础 6 （5 分）函数 f（x）（x23x+1）ex的极大值是（ ） A3e Be2 C2e2 D 【分析】f（x）（x23x+1）ex，f（x）（x2） （x+1）ex，令 f（x）0，解得 x1，2，利用导数研究其单调性极值即可得出 【解答】解：f（x）（x23x+1）ex，xR f（x）（2x3）ex+（x23x+1）ex（x2x2）ex（x2） （x+1）ex 令 f（x）0，解得 x1，2 令 f（x）0，解得 x2，或 x1 令 f（x）0，解得1
17、x2 函数 f（x）在（，1） ， （2，+）上单调递增，在（1，2）上单调递减 x1 时，函数 f（x）取得极大值，f（1） 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 7 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 则其和等于 11 的概率是（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D 【分析】基本事件总数 n4520，
18、利用列举法求出其和等于 11 包含的基本事件有 4 个，由此能求出其和等于 11 的概率 【解答】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 基本事件总数 n4520， 其和等于 11 包含的基本事件有： （9，2） ， （3，8） ， （7，4） ， （5，6） ，共 4 个， 其和等于 11 的概率 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 8 （5 分）已知抛物线 C：y28px（p0）的焦点为 F，C 与抛物线 x2py 在第一象限的交 点为 M，且|MF|4，则 p（ ） A6 B4 C2 D1 【分析】根据抛物线的定义与
19、简单几何性质，求出抛物线 C 的准线方程以及 C 与抛物线 x2py 的交点横坐标，再求 p 的值 【解答】解：抛物线 C：y28px 的准线方程是 x2p，焦点为 F， 由，解得 x2p， 所以抛物线 C 与抛物线 x2py 在第一象限的交点 M， 则|MF|2p（2p）4， 解得 p1 故选：D 【点评】本题考查了抛物线的定义与简单几何性质应用问题，是基础题 9 （5 分） 十七世纪， 法国数学家费马提出猜想； “当整数 n2 时， 关于 x、 y、 z 的方程 xn+yn zn没有正整数解” ，经历三百多年，1995 年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使 它终成费马大定理，则下面命题正
20、确的是（ ） 对任意正整数 n，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn都没有正整数解； 当整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解； 第 11 页（共 23 页） 当正整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解； 若关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解，则正整数 n2； A B C D 【分析】考虑 n1，n2 求得方程的解，可判断；由费马大定理可判断，；进 而判断 【解答】解：由题意可得当整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn没有正整数解， 对于，当整数 n2 时，关于 x、y、
21、z 的方程 xn+ynzn不存在一组正整数解，故错 误； 对于，比如 n1，存在无数组正整数解；当 n2 时，存在（3，4，5）等正整数解， 当正整数 n2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解，故正确； 对于，若关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解，则正整数 n2，故 正确； 由上面的分析可得，若关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn至少存在一组正整数解，则正整数 n2， 故错误 故选：D 【点评】本题考查三元方程的正整数解的情况，考查分析能力和推理能力，属于基础题 10 （5 分）函数 f（x）ln|x|+|sinx|（x 且 x0）的
22、图象大致是（ ） A B 第 12 页（共 23 页） C D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出 f （）的值，推出结果即可 【解答】解：函数 f（x）ln|x|+|sinx|（x 且 x0）是偶函数排除 A 当 x0 时，f（x）lnx+sinx，可得：f（x）+cosx，令+cosx0， 作出 y与 ycosx 图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点 f（）ln1， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以 及计算能力 11 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以 F1
23、F2 第 13 页（共 23 页） 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 M， N， 设四边形 F1NF2M 的周 长为 p，面积为 S，且满足 32SP2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） Ay By Cy Dy 【分析】根据双曲线的定义和矩形的面积公式、离心率公式可得 【解答】解：依题意 MF1MF22a，MF1+MF2， 联立解得 MF1a+，MF2a， 又 F1F2为直径，所以四边形 F1NF2M 为矩形， SMF1MF2（）2a2，即a2，即 p232a2， 由 MF12+MF22F1F22得 2a2+4c2，即 3a22c2，即 a22b2， 故选：B 【点评】本题考查
24、了双曲线的性质，属中档题 12 （5 分）若关于 x 的方程有三个不等的实数解 x1，x2，x3，且 x10x2 x3， 其中 mR， e2.71828为自然对数的底数， 则 的值为（ ） Ae Be2 Cm（2+m）4 Dm（1+m）4 【分析】令t，则有 t+m0t2+（m+1）t+m+e0，令函数 g（x），画 出其图象，结合图象可得关于 t 的方程 t2+（m+1）t+m+e0 一定有两个实根 t1，t2， （t1 0t2）且t1，t2，即可求解 【解答】解：由关于的 x 方程+m0+m0， 令t，则有 t+m0， t2+（m+1）t+m+e0， 令函数 g（x）， 第 14 页（共
25、23 页） g（x）， g（x）在（，1）递增，在（1，+）递减， 其图象如下： 要使关于 x 的方程+m0 有 3 个不相等的实数解 x1，x2，x3， 且 x10x2x3， 结合图象可得关于 t 的方程 t2+（m+1）t+m+e0 一定有两个实根 t1，t2， （t10t2） 且t1t2，由韦达定理知，t1+t2（m+1） ，t1t2m+e， （+1）2（+1） （+1）（t1+1） （t2+1）2 （t1+1） （t2+1）t1t2+（t1+t2）+1（e+m）（1+m）+1e， 可得（+1）2（+1） （+1）e2， 故选：B 【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档
26、题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设 z2i，则|z| 1 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：z2i， z2iii，则|z|1 故答案为：1 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 14 （5 分）某班甲、乙两位同学在高二第一学期的 5 次物理考试成绩的茎叶图如图所示， 则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是 10 【分析】由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差
27、 【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在 8190 之间，乙组数据分布在 79 91 之间， 所以甲组数据较为稳定，计算（81+82+83+84+90）84， 方差是（8184）2+（8284）2+（8384）2+（8484）2+（9084）2 10 故答案为：10 【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，是基础题 15 （5 分）在区间4，4上任取一个实数 a，使得方程1 表示双曲线的概率 为 【分析】根据双曲线的定义先求出 a 的范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】解：若方程1 表示双曲线， 则满足（a+2） （a3）0， 得2a3， 则对应的概率
28、为， 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合双曲线的定义求出 a 的等价条件是 解决本题的关键比较基础 16 （5 分）已知 M 是圆 C： （x1）2+（y1）25 上一动点，A 为圆 C 所在平面内一定点 第 16 页（共 23 页） （C 为圆 C 的圆心） ，线段 MA 的垂直平分线与直线 MC 交于点 P，则点 P 的轨迹可能是 （写出所有正确结论的序号） 圆； 椭圆； 双曲线； 抛物线； 一个点； 直线 【分析】对 A 与圆 C 的位置关系进行讨论，利用圆锥曲线的定义得出结论； 【解答】解：P 是线段 MA 的中垂线上的点，PAPM， （1）若 A 在圆 C 外
29、部，则|PAPC|PMPC|MC4，CA， P 点轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线； （2）若 A 在圆 C 上，则 MA 的中垂线恒过圆心 C， 即 P 的轨迹为点 C； （3）若 A 在圆 C 内部，则 CA4，PC+PAPC+PM4， P 点轨迹是以 C，A 为焦点的椭圆； （4）若 A 为圆 C 的圆心，即 A 与 C 重合时，P 为半径 MC 的中点， P 点轨迹是以 C 为圆心，以为半径的圆 综上，P 点轨迹可能是四种情况 故答案为： 【点评】本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的 数学思想，属于难题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题
30、，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项 目现统计了 4 月份 100 名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图 （1）若将购买金额不低于 80 元的游客称为“优质客户” ，现用分层抽样的方法从样本的 “优质客户”中抽取 5 人，求这 5 人中购买金额不低于 100 元的人数； （2）从（1）中的 5 人中随机抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有 的基本事件，并求 2 人中至少有 1 人购买金额不低于 100 元的概
31、率 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）直接求出其对应的比列即可得到其结果； （2）列出所有的基本事件共有 10 种，其中满足题意的有 7 种，即可求得其对应的概率 【解答】 解：（1） 如图易得， 消费金额在80， 100） 与100， 120） 的人数比为， 这 5 人中消费金额不低于 100 元的人数为 2； （2）由（1）得，抽取的 5 人中购买金额低于 100 元的有 3 人，记为 A，B，C 购买金额不低于 100 元的有 2 人，记为 a，b， 所有基本事件如下： （A，B） ， （A，C） ， （A，a） ， （A，b） ， （B，C） ， （B，a） ， （B，b）
32、 ， （C，a） ， （C，b） ， （a，b） ，共有 10 种， 其中满足题意的有 7 种，所以 【点评】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分 析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想等，属于中档题 18 （12 分）已知命题 p：复数 z（m2）+（m+2）i5（mR）在复平面上对应的点位于 第二象限，命题 q：椭圆1（m0）的离心率 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题 p（q）为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用椭圆列出不等式组，求出 m 的范围； （2）通过 q 是真命题，求出 m 的范围，利用复合命
33、题的真假推出 m 是范围即可 【解答】解： （1）p：，2m2； （2）q：a2m2+1，b2m2，c2（m2+1）m21，则， 由题意，m0，解得 0m1，即 m 的取值范围为（0，1） ， q：m0 或 m1， 由 p（q）为真命题，故q 为真命题且 p 为真命题， 2m0 或 1m2，故 m 的取值范围为（2，01，2） 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数以及椭圆的简单性质的应用，考 查转化思想以及计算能力，是中档题 19 （12 分）在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们 第 18 页（共 23 页） 把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的
34、差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生 的偏科情况，对学生数学偏差 x（单位：分）与物理偏差 y（单位：分）之间的关系进行 学科偏差分析，决定从全班 56 位同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析，得到他 们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差 x 20 15 13 3 2 5 10 18 物理偏差 y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 0.5 2.5 3.5 （1）已知 x 与 y 之间具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若这次考试该班数学平均分为 118 分，物理平均分为 90.5，试预测数学成绩 126 分 的同学
35、的物理成绩 参考公式： ， x， 参考数据：324，1256 【分析】 （1）由题意，计算平均数和回归系数，写出线性回归方程； （2）由题意，设出该同学的物理成绩，写出物理偏差和数学偏差， 利用回归服从求出这位同学的物理成绩 【解答】解： （1）由题意，计算， ， 回归系数， 所以， 所以线性回归方程为； （2）由题意，设该同学的物理成绩为 ， 则物理偏差为：90.5； 第 19 页（共 23 页） 而数学偏差为 1261188， 则（）的结论可得，解得 93， 所以，可以预测这位同学的物理成绩为 93 分 【点评】本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，是中档题 20 （12 分）如图，在四
36、棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，PAPB，PAPB，平面 PAB 平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）若 M 为 PC 的中点，直线 PD 与平面 PAB 所成的角为 45，求二面角 AMDB 的正弦值 【分析】 （1）推导出 DA平面 PAB，DAPB，从而 PB平面 PAD，由此能证明平面 PAD平面 PBC （2）由 DA平面 PAB，PA 为 PD 在平面 PAB 内的射影，从而DPA 即为直线 PD 与平 面 PAB 所成的角，取 AB 中点 O，连结 PA，则 POAB，以 O 为原点，建立空间直角坐 标系 Oxyz，利用向量法能求出二面角 AMD
37、B 的正弦值 【解答】解： （1）证明：平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB， 矩形 ABCD 中，DAAB，DA平面 PAB， PB平面 PAB，DAPB， 又PAPB，DAPAA，PB平面 PAD， PB平面 PBC，平面 PAD平面 PBC （2）解：由（1）知 DA平面 PAB，PA 为 PD 在平面 PAB 内的射影， DPA 即为直线 PD 与平面 PAB 所成的角， 由题意，DAP45，DAPA， 取 AB 中点 O，连结 PA，则 POAB， 第 20 页（共 23 页） 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 P （2， 0， 0）
38、 ， A （0， 2， 0） ， B （0， 2， 0） ， 则， 设平面 AMD 的一个法向量为 n（x，y，z） ， 则，令 y1，得 （3，1，0） ， 同理易得：平面 BMD 的一个法向量为 （1，1，） ， 由|cos|， 二面角 AMDB 的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系的求法，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的 左、右焦点，B1为椭圆上顶点，B1F1F2的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx+m（k0，m0）与椭
39、圆 C 交于不同两点 M，N，已知 P， |MP|NP|，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用三角形的面积，结合离心率，求出 a，b，即可得到椭圆方程 第 21 页（共 23 页） （2）由，消去 y 整理得： （4k2+1）x2+8kmx+4m240，设 M（x1，y1） ， N（x2，y2） ，利用韦达定理，又设 MN 中点 D 的坐标为（x0，y0） ，求出 D 的坐标，通过 |MP|NP|，说明垂直推出 4k26m1，然后求解 m 的取值范围 【解答】解： （1）由题意， 又，a2b2+c2，解得：a2，b1， 椭圆 C 的方程为 （2）由，消去 y 整理得： （4k2+1）x
40、2+8kmx+4m240， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则， 由64k2m24（4k2+1） （4m24）04k2m21， 又设 MN 中点 D 的坐标为（x0，y0） ， ， 即， |MP|NP|，DPMN，即，4k26m1， ，解得 m 的取值范围 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达 定理及中点坐标公式，考查转化思想，属于难题 22 （12 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）x2+ax（aR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设 f（x）图象在点（1，0）处的切线与 g（x）的图象相切，求 a 的值； （3）若函数
41、F（x）+g（x）存在两个极值点 x1，x2，且|x1x2|，求|F（x1） F（x2）|的最大值 第 22 页（共 23 页） 【分析】 （1）先对 f（x）求导，令导数大于 0，求出在定义域内的单调递增区间，导数小 于 0，在定义域内求出函数的单调递减区间； （2）由题意求出 f（x）在（1，0）处的切线方程，与函数 g（x）联立得关于 x 的二次方 程，用判别式等于 0 求出 a 的值； （3）求 F（x）的导数，令 F（x）0，由题意得方程有两个不等的实数根，求出两根 之和及两根之积，且求出函数的单调区间，求出|F（x1）F（x2）|的表达式用一个自变 量表示，再令函数，求导求出 F（
42、x）的最大值 【解答】解： （1）f（x）xlnx 的定义域为（0，+） ，f（x）lnx+1， 由 f（x）0，有，由 f（x）0，有， f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）及题意，易得 f（x）图象在点（1，0）处的切线斜率为 f（1）1， 则该切线方程为 yx1， 联立，消去 y 整理得：x2+（a1）x+10， 由（a1）240a3 或1； （3）F（x）x2+ax+2lnx，x（0，+） ， 设 g（x）2x2+ax+2， 由（1）知函数 F（x）的两个极值点 x1，x2满足 2x2+ax+20， 则，x1x21， 不妨设 0x11x2，则 F（x）在（x1，x2）上是减函数，F（x1）F（x2） ， ， 令，则 t1，又，即， 解得 1x22，1t4， 设，则， 第 23 页（共 23 页） h（t）在（1，4上为增函数， ，即； |F（x1）F（x2）|的最大值为 【点评】考查用导数来研究函数的单调区间，及最值问题，属于中难题
