1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1下列各数中，无理数是（ ） A B9 C D 2不等式2x3 的解集是（ ） A B C D 3下列方程中，有实数根的是（ ） Ax B+ 0 C Dx2+2020x10 4已知反比例函数 y，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大，下列四个选项中，可 能是二次函数 y2kx2xk 图象的选项是（ ） A B C D 5要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（ ） A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等 C测量对角线是否互相垂直 D测量其中三个角是否是直角 6如果两个圆的圆心距为 3，
2、其中一个圆的半径长为 4，另一个圆的半径长大于 1，那么这 两个圆的位置关系不可能是（ ） A内含 B内切 C外切 D相交 二、填空题（共 12 题） 7计算：a2 a3 8在实数范围内分解因式：x22x2 9已知 f（x）2x21，且 f（a）3，那么 a 10如图函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）的图象如图，则关于 x 的不等式 kx+b0 的 解集为 11某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表 中码 CHN 220 225 230 250 255 260 美码 USA 4.5 5 5.5 7.5 8 8.5 如果美码 （y） 与中码 （x） 之间满足一
3、次函数关系， 那么 y 关于 x 的函数关系式为 12 一个不透明的袋子中装有 8 个大小、 形状、 都一样的小球， 其中有 3 个红球与 5 个黄球， 从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是： 13如果一段斜坡的坡角是 30，那么这段斜坡的坡度是 （请写成 1：m 的形式） 14如图，在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，设向量 ， ，如果用向量 ， 表示向量，那么向量可以表示为 15已知正三角形的边长为 2，那么该三角形的半径长为 16如果两点 A（2，a）和 B（x，b）在抛物线 yx24x+m 上，那么 a 和 b 的大小关系为： a b（从“”“”“”“”中选择） 17平移抛物
4、线 y2x24x，可以得到抛物线 y2x2+4x，请写出一种平移方法 18如果三角形的两个内角 与 满足 2+90，那么，我们将这样的三角形称为 “准互余三角形”在ABC 中，已知C90，BC3，AC4（如图所示），点 D 在 AC 边上， 联结 BD 如果ABD 为 “准互余三角形” ， 那么线段 AD 的长为 （写 出一个答案即可） 三、解答题（共 7 题） 19计算：|1|+8 20解方程组： 21如图，在ABC 中，C90，A30，BC1，点 D 在边 AC 上，且DBC 45，求 sinABD 的值 22某电脑公司 2019 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 800 万元，占
5、全年经营 总收入的 40%，该公司预计 2021 年经营总收入要达到 2880 万元，且计划从 2019 年到 2021 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2020 年预计经营总收入为多少万元？ 23已知：如图，ABC 中，ACB90，D 在斜边 AB 上，DEAC，DFBC，垂足分 别为 E，F （1）当ACDBCD 时，求证：四边形 DECF 是正方形； （2）当BCDA 时，求证： 24如图，已知一个抛物线经过 A（0，1），B（1，3），C（1，1）三点 （1）求这个抛物线的表达式及其顶点 D 的坐标； （2）联结 AB、BC、CA，求 tanABC 的值； （3）如果点 E 在该
6、抛物线的对称轴上，且以点 A、B、C、E 为顶点的四边形是梯形，直 接写出点 E 的坐标 25在圆 O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，且弧 AC 与弧 BD 相等点 D 在劣弧 AB 上，联 结 CO 并延长交线段 AB 于点 F，联结 OA、OB当 OA，且 tanOAB （1）求弦 CD 的长； （2）如果AOF 是直角三角形，求线段 EF 的长； （3）如果 SCEF4SBOF，求线段 AF 的长 参考答案 一、选择题：（共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个 选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1下列各数中，无理
7、数是（ ） A B9 C D 【分析】根据无理数的概念及其三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数， 含有 的数，结合选项解答即可 解：A.，是整数，属于有理数； B.，是整数，属于有理数； C.是无理数； D.是分数，属于有理数 故选：C 2不等式2x3 的解集是（ ） A B C D 【分析】直接把 x 的系数化为 1 即可 解：不等式的两边同时除以2 得，x 故选：D 3下列方程中，有实数根的是（ ） Ax B+ 0 C Dx2+2020x10 【分析】A 选项中，0，x0，则方程无实数根；B 选项中，当 x1 时+ 有最小值 1， 则方程无实数根； C 选项中， 解得 x1 是方程的增
8、根， 则方程无实数根； D 选项中，0，则方程有两个不相等的实数根 解：0，x10， x1， x0， x， A 不正确； 0，0， 当 x1 时+有最小值 1， +1， B 不正确； 两边同时乘以 x21，得 x1， 经检验 x1 是方程的增根， 方程无解； C 不正确； x2+2020x10， 20202+40， 方程有两个不相等的实数根， D 正确； 故选：D 4已知反比例函数 y，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大，下列四个选项中，可 能是二次函数 y2kx2xk 图象的选项是（ ） A B C D 【分析】直接利用反比例函数的性质得出 k 的符号，再利用二次函数的性质得出答案
9、 解：反比例函数 y，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大， k0， 二次函数 y2kx2xk 中，2k0，则图象开口向下， k0，则图象与 y 轴交在正半轴上， 又b10， 二次项与一次项系数相同，则对称轴在 y 轴左侧， 符合题意的只有选项 D 故选：D 5要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（ ） A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等 C测量对角线是否互相垂直 D测量其中三个角是否是直角 【分析】由矩形的判定即可得出结论 解：三个角是直角的四边形是矩形， 在下面四个拟定方案中，正确的方案是 D， 故选：D 6如果两个圆的圆心距为 3，
10、其中一个圆的半径长为 4，另一个圆的半径长大于 1，那么这 两个圆的位置关系不可能是（ ） A内含 B内切 C外切 D相交 【分析】 首先利用一个圆的半径为 4， 另一个圆的半径大于 1 来求得两圆的半径之差的范 围，然后根据圆心距 d 与两半径的关系判断即可 解：一个圆的半径 R 为 4，另一个圆的半径 r 大于 1， Rr41，R+r5 即：Rr3， 圆心距为 3， 两圆不可能外切， 故选：C 二、填空题：（共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：a2 a3 a5 【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可 解：a2 a3a2+3a5 故答案为：a5 8在实数
11、范围内分解因式：x22x2 【分析】先组完全平方，再利用平方差公式而得 解：原式（x1）23 故填： 9已知 f（x）2x21，且 f（a）3，那么 a 【分析】由已知可得 f（a）2a213，解出 a 即可 解：f（x）2x21，f（a）3， f（a）2a213， 2a213 时，a ， 故答案为 10如图函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）的图象如图，则关于 x 的不等式 kx+b0 的 解集为 x2 【分析】 从图象上得到函数的增减性及与 x 轴的交点的横坐标， 即能求得不等式 kx+b0 的解集 解：函数 ykx+b 的图象经过点（2，0），并且函数值 y 随 x 的增大而减小，
12、所以当 x2 时，函数值小于 0，即关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是 x2 故答案为：x2 11某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表 中码 CHN 220 225 230 250 255 260 美码 USA 4.5 5 5.5 7.5 8 8.5 如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么 y 关于 x 的函数关系式为 y 0.1x17.5 【分析】设 y 关于 x 的函数关系式为：ykx+b，利用待定系数法求解析式 解：设 y 关于 x 的函数关系式为：ykx+b， 由题意可得： 解得： y 关于 x 的函数关系式为 y0.1x17.5，
13、故答案为：y0.1x17.5 12 一个不透明的袋子中装有 8 个大小、 形状、 都一样的小球， 其中有 3 个红球与 5 个黄球， 从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是： 【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率 解：在口袋中放有 3 个红球与 5 个黄球，共 8 个，这两种球除颜色外完全相同，随机从 口袋中任取一个球， 从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是： 故答案为： 13如果一段斜坡的坡角是 30，那么这段斜坡的坡度是 1： （请写成 1：m 的形 式） 【分析】坡比等于坡角的正切值，据此即可求解 解：itantan301：， 故答案是：1： 14如图，在ABC 中，
14、AD 是边 BC 上的中线，设向量 ， ，如果用向量 ， 表示向量，那么向量可以表示为 + 【分析】如图，延长 AD 到 E，使得 DEAD，连接 BE，CE证明四边形 ABEC 是平行 四边形，利用三角形法则求出即可解决问题 解：如图，延长 AD 到 E，使得 DEAD，连接 BE，CE ADDE，BDCD， 四边形 ABEC 是平行四边形， ， + + ， + 故答案为+ 15已知正三角形的边长为 2，那么该三角形的半径长为 【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案 解：如图所示： 连接 OA、OB、OC，过 O 作 ODBC 于 D， ABC 是边长为
15、2 的等边三角形， ABACBC2，ABC60， OBD30， ODBC， ODB90，BDCDBC1， ODBD tan301， OB2OD， 该三角形的半径长为， 故答案为： 16如果两点 A（2，a）和 B（x，b）在抛物线 yx24x+m 上，那么 a 和 b 的大小关系为： a b（从“”“”“”“”中选择） 【分析】由已知可得当 x2 时函数有最小值，则可求 ba 解：抛物线 yx24x+m 的对称轴为 x2， 当 x2 时函数有最小值， ba， 故答案为 17平移抛物线 y2x24x，可以得到抛物线 y2x2+4x，请写出一种平移方法 向左平移 2 个单位 【分析】把 y2x24
16、x 和 y2x2+4x 改写成顶点式，进而解答即可 解：y2x24x2（x1）22，y2x2+4x2（x+1）22， 两抛物线的顶点坐标分别为（1，2）和（1，2）， 将抛物线 y2x24x 先向左平移 2 个单位长度，可以得到抛物线 y2x2+4x 故答案为：向左平移 2 个单位 18如果三角形的两个内角 与 满足 2+90，那么，我们将这样的三角形称为 “准互余三角形”在ABC 中，已知C90，BC3，AC4（如图所示），点 D 在 AC 边上， 联结 BD 如果ABD 为 “准互余三角形” ， 那么线段 AD 的长为 或 （写 出一个答案即可） 【分析】 作 DMAB 于 M 设ABD，
17、 A 分两种情形： 当 2+90时 当 +290时，分别求解即可 解：过点 D 作 DMAB 于 M设ABD，A 当 2+90时，+DBC90， DBCDBA， DMAB，DCBC， DMDC， DMBC90，DMDC，BDBD， RtBDCRtBDM（HL）， BMBC3， C90，BC3，AC4， AB5， AM532，设 ADx，则 CDDM4x， 在 RtADM 中，则有 x2（4x）2+22， 解得 x AD 当 +290时，+DBC90， DBCA， CC， CBDCAB， BC2CD CA， CD， ADACCD4 故答案为或 三、解答题：（共 7 题，满分 78 分） 19计算
18、：|1|+8 【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少 即可 解：|1| +8 12+2+4 3 20解方程组： 【分析】先将第 2 个方程变形为 x+6y0，xy0，从而得到两个二元一次方程组，再 分别求解即可 解：， 由得：x+6y0，xy0， 原方程组可化为或， 故原方程组的解为， 21如图，在ABC 中，C90，A30，BC1，点 D 在边 AC 上，且DBC 45，求 sinABD 的值 【分析】如图，作 DMAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DM a解直角三角形求出 BD 即可解决问题 解：如图，过点 D 作 D
19、MAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DMa C90，A30， ABC903060， DBC45， ABD604515， HBHD， HBDHDB15， DHMHBD+HDB30， DHBH2a，MHa，BM2a+a， BD（+）a， sinABD 22某电脑公司 2019 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 800 万元，占全年经营 总收入的 40%，该公司预计 2021 年经营总收入要达到 2880 万元，且计划从 2019 年到 2021 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2020 年预计经营总收入为多少万元？ 【分析】设从 2019 年到 20
20、21 年，平均经营总收入增长率为 x，根据等量关系：2019 年 经营总收入（1+增长率）22021 年经营总收入，列出方程求解即可 解：从 2019 年到 2021 年，平均经营总收入增长率为 x，根据题意可得： 80040%（1+x）22880， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意舍去）， 则 80040%（1+20%）2400（万元）， 答：2020 年预计经营总收入为 2400 万元 23已知：如图，ABC 中，ACB90，D 在斜边 AB 上，DEAC，DFBC，垂足分 别为 E，F （1）当ACDBCD 时，求证：四边形 DECF 是正方形； （2）当BCDA 时，求证：
21、 【分析】（1）由垂直的定义可得出DECDFC，结合ECF90可得出四边形 DECF 为矩形，由ACDBCD 可得出 CD 平分ACB，利用角平分线的性质可得出 DEDF，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形 DECF 是正方形； （2）由BCD+ACDACB90，BCDA 可得出A+ACD90，利用 三角形内角和定理可求出ADC90，由DCFA，DFCADC90可证出 CDFACD，再利用相似三角形的性质可证出 【解答】证明：（1）DEAC，DFBC， DECDFC90， 又ECF90， 四边形 DECF 为矩形 ACDBCD， CD 平分ACB， DEDF， 四边形 DECF 是正
22、方形 （2）BCD+ACDACB90，BCDA， A+ACD90， ADC1809090 DCFA，DFCADC90， CDFACD， 24如图，已知一个抛物线经过 A（0，1），B（1，3），C（1，1）三点 （1）求这个抛物线的表达式及其顶点 D 的坐标； （2）联结 AB、BC、CA，求 tanABC 的值； （3）如果点 E 在该抛物线的对称轴上，且以点 A、B、C、E 为顶点的四边形是梯形，直 接写出点 E 的坐标 【分析】（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，将 A（0，1）、B（1，3）、C（1， 1）代入，求 a、b、c 的值，可得结果； （2）如图，过点 B 作 BF
23、x 轴于 F，延长 CA 交 BF 于点 D，过点 A 作 AMBC 于 M， 通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求 AM 和 BM 的长，即可求解； （3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解 解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c（a0） 由题意可得： 解得： 抛物线的解析式为：yx2+x+1， yx2+x+1（x+ ）2+， 顶点 D 的坐标（，）； （2）如图，过点 B 作 BFx 轴于 F，延长 CA 交 BF 于点 D，过点 A 作 AMBC 于 M， BF3， A（0，1），C（1，1）， ACx 轴， CDBF， CDBD2，AD1，CA1， BC2，BCDCBD45
24、， AMBC， MACMCA45， CMAM， CMAM， BMBCCM， tanABC； （3）A（0，1），B（1，3），C（1，1）， 直线 AC 解析式为：y1， 直线 AB 解析式为：y2x+1， 直线 BC 解析式为：yx+2， 若 BEAC，则点 E 的纵坐标为 3，且点 E 在对称轴上， 点 E（，3）； 若 CEAB，则 CE 的解析式为；y2x+3， 点 E 在对称轴上， x， y2， 即点 E（，2）； 若 AEBC，则 AE 解析式为：yx+1， 点 E 在对称轴上， x， y， 即点 E（，）， 综上所述：点 E 的坐标为（，3）或（，2）或（，） 25在圆 O 中，
25、弦 AB 与 CD 相交于点 E，且弧 AC 与弧 BD 相等点 D 在劣弧 AB 上，联 结 CO 并延长交线段 AB 于点 F，联结 OA、OB当 OA，且 tanOAB （1）求弦 CD 的长； （2）如果AOF 是直角三角形，求线段 EF 的长； （3）如果 SCEF4SBOF，求线段 AF 的长 【分析】 （1）如图，过点 O 作 OHAB 于点 H，由锐角三角函数可求 OH1，AH2， 由垂径定理可得 AB4，即可求 CD4 （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）先利用面积关系得出，进而利用OAFEFC 得出比例式，即可得出结 论 解：（1）如图，过点 O 作 O
26、HAB 于点 H， tanOAB， 设 OHa，AH2a， AO2OH2+AH25， a1， OH1，AH2， OHAB， AB2AH4， 弧 AC弧 BD ， ABCD4； （2）OAOB， OAFOBA， OAFECF， 当AFO90时， OA，tanOBA， OCOA，OF1，AB4， EFCF tanECFCF tanOBA； 当AOF90时， OAOB， OAFOBA， tanOAFtanOBA， OA， OFOA tanOAF， AF， OAFOBAECF，OFAEFC， OFAEFC， ， EFOF， 即：EF或； （3）如图，连接 OE， ECBEBC， CEEB， OEOE，OBOC， OECOEB， SOECSOEB， SCEF4SBOF， SCEO+SEOF4（SBOESEOF）， ， ， FOCO， OFAEFC， ， BFBEEFCEEFEF， AFABBF4EF， OAFEFC， ， ， EF3， AF4EF2+
