1、20192019 年中考数学总复习巅峰冲刺年中考数学总复习巅峰冲刺 专题专题 1010 折叠翻转性问题折叠翻转性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；疑难突破； 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴 对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平 分进行相关计算,折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在 图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见的问题类型有以下 3 种： （1）求线段的取值范 围； （2）求最值问题； （3）分类讨论线段长
2、度. 其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此 类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创【原创 1】如图，把一张长方形纸片 ABCD 进行折叠之后，恰好使其对角顶点 A 与 C 能够重合，且使的折 痕与 BC 的交点恰好在其三等分点处，则下列图形长度能够满足题意的是（ ） AAB=10，BC=20 B AB=10，BC=30 C AB=103，BC=20 D AB=103，BC=30 【解析】 ：根据折叠图形的性质，利用勾股定理求出 AF=
3、2BF，AB=3BF，由此即可判定 D 正确 解：选项 D 正确理由是根据题意可知 AF=2BF，利用勾股定理或者 30 的直角三角形判断计算 AB= AB=3BF， 根据线段之间的关系可选得答案。故选 D 【原创【原创 2】如图，D 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：3，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重 合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF=_ 【解析】【解析】设 AD=k，则 DB=3k， ABC 为等边三角形， AB=AC=4k，A=B=C=EDF=60 ， EDA+FDB=120 ， 又EDA+AED=120 ， FDB=A
4、ED，AEDBDF， 由折叠，得 CE=DE，CF=DF AED 的周长为 5k，BDF 的周长为 7k， AED 与BDF 的相似比为 5：7 CE：CF=DE：DF=5：7 故答案为 5：7 【原创【原创 3】如图 1，矩形 OABC 的对角线 OB、AC 相交于点 D,，OC6，sinBOC= 4 5 .反比例函数 y k x (x 0)的图像经过点 D， （1）求反比例函数的关系式； （2）如图 2，将 AOC 沿过 C 点的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，折痕所在直线交 y 轴正半轴 于点 F，求直线 CF 的解析式. （3）如图 3，将图 2 中的直线 CF 向上平
5、移 m 个单位，与反比例函数 y k x (x0)的图像相交，当直线与反 比例函数的图像只有一个交点时，求 m 的值. 解解:（1）作 DMx 轴,四边形 OABC 是矩形，D 为 BO 的中点， OCBC，DMxDM= 1 2 BC，OM= 1 2 OC OC6，sinBOC= 4 5 设 BC=4x，OC=3x，则 OB=5x 得，OC6，解得 x=2，所以 BC=8,DM=4 D（3，4） 代入 y k x ，k12反比例函数的关系式为：y 12 x （2）OC=6,BC=8 M OB=AC=10 将 AOC 沿过 C 点的直线折叠得到 CEF, ACFECF AF=EF,AC=EC=1
6、0 OE=4 设 OF=x，则 AF=EF=8-x 由勾股定理得（8-x）2-x2=16 解得 x=3， F 点的坐标为（0,3） 设直线 CF 的解析式为 y=tx+b,把 C（6,0）C（0,3）代入得 t=- 1 2 ，b=3 直线 CF 的解析式为 y= 1 2 x+3 （3）设平移后的直线解析式为 y= 1 2 x+3+m 由 12 x = 1 2 x+3+m 得 x2-(6+2m)x+24=0 平移后的直线与反比例函数的图像只有一个交点 =(6+2m)2-96=0 解得 m1=2 63m2=2 63（舍去） m 的值为2 63 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【典题精练】
7、典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题【例题 1】求线段的取值范围求线段的取值范围: 如图，有一矩形纸片 ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点 A 落在 BC 边的 A处，折痕所在 直线同时经过边 AB、AD（包括端点） ，设 BA=x，则 x 的取值范围是 分析：作出图形，根据矩形的对边相等可得 BC=AD，CD=AB，当折痕经过点 D 时，根据翻折的性质可得 AD=AD，利用勾股定理列式求出 AC，再求出 BA；当折痕经过点 B 时，根据翻折的性质可得 BA=AB， 此两种情况为 BA的最小值与最大值的情况，然后写出 x 的取值范围即可 解：如图，四边形 ABCD 是矩
8、形，AB=8，AD=17，BC=AD=17，CD=AB=8， 当折痕经过点 D 时，由翻折的性质得，AD=AD=17， 在 RtACD 中，AC= 22 A DCD= 22 178=15， BA=BCAC=1715=2； 当折痕经过点 B 时，由翻折的性质得，BA=AB=8， x 的取值范围是 2x8故答案为：2x8 归纳：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出 BA的最小值与最大值时的情况，作 出图形更形象直观 【例题【例题 2】求最值问题求最值问题: 如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A，D 重合)，将正方 形纸
9、片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于点 H，折痕为 EF，连结 BP，BH. (1)求证：APBBPH. (2)当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 (3)设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 关于 x 的函数表达式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 解：(1)由折的叠性质，得 PEBE，EPHEBC90 ，EBPEPB， EPHEPBEBCEBP，即PBCBPH. 又ADBC，APBPBC. APBBPH. (2)PHD 的周长不变，为定值 8.证明如下：
10、如解图，过点 B 作 BQPH，垂足为 Q. 由(1)知APBBPH， 又ABQP90 ，BPBP， ABPQBP.APQP，ABBQ. 又ABBC，BCBQ. 又CBQH90 ，BHBH， BCHBQH.CHQH. PDH 的周长PDPHDHPDPQQHDHPDHCAPDHADCD8. (3)如解图，过点 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FMBCAB. 又EF 为折痕，EFBP. EFMMEFABPBEF90 ， EFMABP. 又AEMF90 ，EFMPBA. EMAPx. 在 RtAPE 中，AE2AP2PE2，即(4BE)2x2BE2， 解得 BE2x 2 8 . CFBEEM2x
11、2 8 x. 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， S1 2(BECF) BC 1 2 4x 2 4 x 4， 即 S1 2x 22x8. 配方得，S1 2(x2) 26， 当 x2 时，S 有最小值 6. 【例题【例题 3】分类讨论线段长度分类讨论线段长度. 对一张矩形纸片 ABCD 进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开 第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BE，同时，得到线段 BA，EA，展开，如图. 第三步：再沿EA所在的直线折叠，使点B落在AD上的点B处，得到折痕EF，同时得
12、到线段BF，展开， 如图. (1)求证：ABE30 . (2)求证：四边形 BFBE 为菱形 解：(1)对折后 AD 与 BC 重合，折痕是 MN， 点 M 是 AB 的中点， A是 EF 的中点 BAEA90 ， BA垂直平分 EF， BEBF， ABEABF. 由折叠的性质，得ABEABE， ABEABEABF， ABE1 3 90 30 . (2)由折叠的性质，得 BEBE，BFBF. BEBF， BEBEBFBF，故四边形 【例题 4】涉及折叠的函数与几何图形综合问题： 已知抛物线 yx22xa(a0)与 y 轴相交于点 A，顶点为 M.直线 y1 2xa 分别与 x 轴，y 轴相交于
13、 B，C 两点，并且与直线 AM 相交于点 N. (1)填空：试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标，则点 M()1，a1 ，N 4 3a， 1 3 a . (2)如图，将NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N恰好落在抛物线上，AN与 x 轴交于点 D，连结 CD， 求 a 的值和四边形 ADCN 的面积 (3)在抛物线 yx22xa(a0)上是否存在一点 P，使得以 P，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求出 P 点的坐标；若不存在，试说明理由 解：(1)点 M()1，a1 ，N 4 3a， 1 3 a . (2)由题意得：点 N 与点 N关于 y 轴对称
14、， 点 N 4 3a， 1 3a ， 将点 N的坐标代入 yx22xa 得1 3a 16 9 a28 3aa，解得 a10(不合题意，舍去)，a2 9 4. 点 N 3，3 4 ，点 N 到 y 轴的距离为 3. 点 A 0，9 4 ，N 3，3 4 ， 直线 AN的表达式为 yx9 4，它与 x 轴的交点为 D 9 4，0 ， 点 D 到 y 轴的距离为9 4. S四边形ADCNSACNSACD 1 2 9 2 3 1 2 9 2 9 4 189 16 . (3)当点 P 在 y 轴的左侧时，若 ACPN 是平行四边形，则 PN 平行且等于 AC， 把点 N 向上平移2a 个单位得到点 P，
15、坐标为 4 3a， 7 3a ，代入抛物线的表达式， 得7 3a 16 9 a28 3aa， 解得 a10(不合题意，舍去)，a23 8， 点 P 1 2， 7 8 . 当点 P 在 y 轴的右侧时，若 APCN 是平行四边形，则 AC 与 PN 互相平分， OAOC，OPON. P 与 N 关于原点对称，点 P 4 3a， 1 3a ， 将点 P 的坐标代入抛物线的表达式，得1 3a 16 9 a28 3aa，解得 a10(不合题意，舍去)，a2 15 8 ， 点 P 5 2， 5 8 . 存在这样的点 P1 1 2， 7 8 或 P2 5 2， 5 8 ，能使得以 P，A，C，N 为顶点的
16、四边形是平行四边形 【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。 一、选择题：一、选择题： 1. 如图，D 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 AD=1，BD=2，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕 EF，点 E、F 分别在 AC 和 BC 上，若 BF=1.2，则 AE=（ ） A. B. C. D. 【解析】：ABC 为等边三角形， AC=AB=3，A=B=C=60 由翻折的性质可知：EDF=60 FDB+EDA=120 EDA+AED=120 ， AED=FDB AEDBDF AEBD ADFB ，即 2 11.2 AE 解得：AE=
17、 5 3 CE=3-AE=3- 5 3 = 4 3 故选：B 2. 如图，将边长为 4的菱形 ABCD 纸片折叠，使点A 恰好落在对角线的交点O 处若折痕 EF2 3，则A ( ) A120 B100 C60 D30 【解析】 如答图，连结 AC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD， A 沿 EF 折叠与 O 重合，EFAC，EF 平分 AO， ACBD，EFBD，E，F 分别为 AB，AD 的中点， EF 为ABD 的中位线，EF1 2BD， BD2EF4 3，BO2 3，AO AB2BO22， AO1 2AB，ABO30 ，BAO60 ， BAD120 . 3. 如图， 正方形 ABCD
18、的边长为 9， 将正方形折叠， 使顶点 D 落在 BC 边上的点 E 处， 折痕为 GH， 若 BEEC 21，则线段 CH 的长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】【分析】 本题考查正方形的性质、 图形的折叠、 勾股定理， 解题的关键是设出恰当的未知数， 使能在 RtECH 中利用勾股定理列方程，进而求解 【解答】 解【解答】 解： 设 CHx， BEEC21， BC9， EC3， 由折叠知性质知， EHDH9x， 在 RtECH 中，由勾股定理，得 222 (9)3xx，解得 x4，故选 B 4. 如图，在菱形纸片 ABCD 中，A60 ，将纸片折叠，点 A，D 分别落在点
19、A，D 处，且 AD经过点 B，EF 为折痕，当 DFCD 时，CF FD的值为( ) A. 31 2 B. 3 6 C.2 31 6 D. 31 8 【解析】：如解图，延长 DC 与 AD交于点 M. 在菱形纸片 ABCD 中，A60 ， DCBA60 ，ABCD， D180 A120 . 根据折叠的性质，得ADFD120 ， FDM180 ADF60 . DFCD， DFM90 ，M90 FDM30 . BCM180 BCD120 ， CBM180 BCMM30 ， CBMM，BCCM. 设 CFx，DFDFy， 则 BCCMCDCFDFxy， FMCMCF2xy. 在 RtDFM 中，t
20、anMtan 30 DF FM y 2xy 3 3 ，x 31 2 y， CF FD x y 31 2 . 二、填空题：二、填空题： 5. （2017 周口商水县一模）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、AC 上的点，沿直线 EF 将B 折叠，使点 B 恰好落在 BC 上的 D 处，当ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长 为 分析分析 先在 RtABC 中利用勾股定理求出 AC=6cm，再根据折叠的性质得到 BE=DE，直线 EF将B 折叠， 使点 B 恰好落在 BC 上的 D 处，ADE 恰好为直角三角形，有两种可能：ADE=90 ，AED
21、=90 ， 设 BE=x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解 解答解答 解：在 RtABC 中，C=90 ，AC=8cm，AB=10cm， BC=6cm直线 EF将B 折叠，使点 B 恰好落在 BC 上的 D 处，当ADE 恰好为直角三角形时，根据折 叠的性质：BE=DE，设 BE=x，则 DE=x，AE=10-x 当ADE=90 时，则 DEBC， DEAE CBAB 10 610 xx 解得：x= 15 4 当AED=90 时， 则AEDACB DEAE CBAC 10 68 xx 解得：x= 30 7 故所求 BE 的长度为：15 4 或 30 7 故答案为：15 4 或 30 7 6
22、. 在三角形纸片 ABC 中，A90 ，C30 ，AC30 cm，将该纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落 在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图413)，剪去CDE后得到双层BDE(如图)，再沿着 过BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四 边形的周长为_ _cm. 【解析】 A90 ，C30 ，AC30，AB10 3，ABC60 ，ADBEDB，ABD EBD1 2ABC30 ，BEAB10 3，DE10，BD20，如答图，平行四边形的边是 DF， BF，且 DFBF20 3 3 ，平行四边形的周长 80 3 3 ，如答图，平行四
23、边形的边是 DE，EG，且 DE EG10，平行四边形的周长40.综上所述，平行四边形的周长为 40 或 80 3 3 . 7. （2017 安阳、林州二模）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0） ， 点 B（0，6） ，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B，C 重合） ，经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP（如图）经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ（如图） ，当点 C恰好 落在 OA 上时，点 P 的坐标是 . 【解析】把OPB 沿 OP 折叠，使点 C 落在点 C处， BP=PB，OB=
24、OB=6，A=OBP=90， 把CPQ 沿 PQ 折叠，使点 D 落在直线 OA 上的点 C处， CP=CP，CQ=CQ，PCQ=C=90 ， 设 BP=BP=x，则 PC=PC=11-x， BCAC， 1=EPOA， 1=2， 2=COP， OC=PC=11-x， BC=11-2x， 在 RtOBC中， OC2=OB2+BC2， 62+（11-2x）2=（11-x）2， 解得 1113 3 x ，AE=11 13 3 或 1113 3 8. 如图，在ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC
25、的平分线 AnBn1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折 叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称ABC 是好三角形，BAC 为该三角形的好角 小丽发现好三角形折叠的次数不同，B 与C 的数量关系就不同并作出展示： 第一种好三角形：如图，沿 AD 折叠 1 次，点 B 与点 C 重合； 第二种好三角形：如图，沿着 AB1，A1B2经过 2 次折叠 (1)小丽展示的第一种好三角形中，B 与C 的数量关系是_ _； (2)如果有一个好三角形 ABC 要经过 5 次折叠，最后一次恰好重合则B 与C 的数量关系是_ _. 【解析】 (1)BC.如图，沿 AD 折叠 1 次，点 B 与点 C 重合，则
26、ABAC.故BC； (2)如答图，根据折叠的性质知，BAA1B1，CA2B2C，A1 B1CA1A2B2， 根据三角形的外角定理知，A1A2B2CA2B2C2C；根据四边形的外角定理知，BACB AA1B1A1B1CBAC2B2C180 ，根据三角形的内角和定理知，BACBC 180 ，B3C； 由小丽展示的第一种好三角形知，当BC 时，BAC 是ABC 的好角；由小丽展示的第二种好三角 形知，当B2C 时，BAC 是ABC 的好角；如答图，当B3C 时，BAC 是ABC 的好角； 故可推得若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C(不妨设BC)之间的数量关系为B nC；所以一个好
27、三角形 ABC 要经过 5 次折叠，最后一次恰好重合则B 与C 的数量关系是B 5C. 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=10.点 E 在 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点F处； 点G在AF上， 将ABG沿BG折叠， 点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论： EBG=450； DEFABG；SABG= 2 3 SFGH；AG+DF=FG.其中正确的是 （把所有正确结论的序号都 选上） 【答案】【答案】. 【分析】【分析】由折叠得到相等的角和相等的线段，结合矩形的性质可求EBG 的度数；在 RtDEF 和 RtFGH 中根据勾股定理建立方程
28、分别求出 DE,GH,FG 的长，根据相似三角形的判定方法对进行判断，根据三角 形面积公式对进行判断.可以根据各线段的长度直接进行判断. 【解答】【解答】解：由折叠知ABG=FBG,FBE=CBE,EBG= 2 1 ABC=450,正确；又 BC=BF=10，由 勾股定理求得 AF= 22 610 =8，DF=2，设 CE=EF=x,由勾股定理得 x2=22+(6-x)2,x= 3 10 ,DE= 3 8 ;又 AB=BH=6，HF=4，设AG=GH=y,由勾股定理 y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5， 3 4 2 3 8 2 3 6 AG AB ,DEF与 ABG 不相似，错误；SA
29、BG=963 2 1 ，SFGH=43 2 1 =6，故正确；AG+DF=3+2=5=FG,正 确，故答案为. 三、解答题：三、解答题： 10. 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于 E. (1)求证：AFECDE； (2)若 AB4，BC8，求图中阴影部分的面积 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，BD90 ， 将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处， FB，ABAF，AFCD，FD， 在AFE 与CDE 中， FD， AEFCED， AFCD， AFECDE； (2)AB4，BC8，CFAD8，A
30、FCDAB4， AFECDE，AECE，FEDE， DE2CD2CE2，即 DE242(8DE)2， DE3，EF3， S阴影SACESAEF1 2 4 8 1 2 4 310. 11. 如图，将矩形纸片 ABCD(ADAB)折叠，使点 C 刚好落在线段 AD 上，且折痕分别与边 BC，AD 相 交，设折叠后点 C，D 的对应点分别为点 G，H，折痕分别与边 BC，AD 相交于点 E，F. (1)判断四边形 CEGF 的形状，并证明你的结论； (2)若 AB3，BC9，求线段 CE 的取值范围 解：(1)四边形 CEGF 为菱形 证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC， GFEFEC， 图形
31、翻折后点 G 与点 C 重合，EF 为折痕， GEFFEC，GFEFEG，GFGE， 图形翻折后 EC 与 GE 完全重合， GEEC，GFEC，四边形 CEGF 为菱形； (2)如答图，当点 F 与点 D 重合时，CE 取最小值， 由折叠的性质，得 CDDG，CDEGDE45 ， ECD90 ，DEC45 CDE， CECDDG， DGCE，四边形 CEGD 是正方形， CECDAB3； 如答图，当点 G 与点 A 重合时，CE 取最大值， 由折叠的性质，得 AECE，B90 ， AE2AB2BE2，即 CE232(9CE)2，CE5， 线段 CE 的取值范围是 3CE5. 12. 已知：如
32、图 418，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A，点 D 重合)，将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连结 BP，BH. (1)求证：APBBPH； (2)当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 解：(1)证明：PEBE，EBPEPB. 又EPHEBC90 ， EPHEPBEBCEBP， 即PBCBPH，又ADBC， APBPBC，APBBPH； (2)PHD 的周长不变为定值 8. 证明：如答图，过 B 作 BQPH，垂足为 Q. 由(1
33、)知APBBPH， 在ABP 和QBP 中， APBPBH， ABQP， BPBP， ABPQBP(AAS)， APQP，ABQB，又ABBC， BCBQ，又CBQH90 ，BHBH， RtBCHRtBQH(HL) CHQH.PHD 的周长为 PDDHPHAPPDDHHCADCD8. 13. 课程学习：正方形折纸中的数学 动手操作：如图，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕 为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应点为 B. 数学思考： (1)求CBF 的度数 (2)如图，在图的基础上，连结 A
34、B，试判断BAE 与GCB的大小关系，并说明理由 解决问题： (3)如图，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 交于点 O； 第二步：沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应点为 B，再沿直线 AH 折叠，使点 D 落在 EF 上，对应 点为 D； 第三步：设CG，AH分别与MN交于点P，Q，连结BP，PD，DQ，QB，试判断四边形BPDQ的形状， 并证明你的结论 解：(1)由对折可知，EFC90 ，CF1 2CD
35、. 四边形 ABCD 是正方形，CDCB， CF1 2BC. 由折叠的性质知 CBCB，CF1 2CB， 在 RtBFC 中，s inCBF CF CB 1 2，CBF30 . 解 (2)如解图，连结 BB交 CG 于点 K，由对折可知，EF 垂直平分 AB， BABB，BAEBBE. 四边形 ABCD 是正方形， ABC90 ， BBEKBC90 ， 由折叠知，BKC90 ， KBCGCB90 ， BBEGCB. 又由折叠知，GCBGCB， BAEGCB. 图解 (3)四边形 BPDQ 为正方形 证明：如解图，连结 AB. 由(2)可知BAEGCB，由折叠可知，GCBPCN， BAEPCN. 由对折知AEBCNP90 ，AE1 2AB，CN 1 2BC， 又四边形 ABCD 是正方形， ABBC，AECN， 在AEB和CNP， BAEPCN， AECN， AEBCNP， AEBCNP(ASA) EBNP. 同理可得，FDMQ， 由对称性可知，EBFD， EBNPFDMQ. 由两次对折可得，OEONOFOM， OBOPODOQ， 四边形 BPDQ 为矩形， 由对折知，MNEF 于点 O， PQBD于点 O， 四边形 BPDQ 为正方形
