1、1 华附、省实、深中、广雅华附、省实、深中、广雅 2020 届高三年级四校联考届高三年级四校联考 数数 学（理科）学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，页， 满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟. 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2答案一律做在答题卡上答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡
2、各题目指定区域内的相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 第一部分第一部分选择题选择题 (共共 60 分分) 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 集合 1 , 24 k Mx xkZ ， 1 , 42 k Nx xkZ ，则（*） AMNBM NCN MDMN 2.
3、原命题为“若 12 ,z z互为共轭复数， 则 12 zz”， 其逆命题， 否命题， 逆否命题真假性依次为 （*） A真，假，真B真，真，假C假，假，真D假，假，假 3. 已知平面向量 a， b是非零向量，2 a， 2 aab， 则向量 b在向量 a方向上的投影为 （*） A.1B. 1C.2D. 2 4. 平面平面的一个充分条件是（*） A存在一条直线aaa， ， B存在一条直线aaa， C存在两条平行直线ababab， ， ， D存在两条异面直线ababab， ， ， 5. 函数 2 ( )log3sin() 2 f xxx零点的个数是（*） A2B3C4D5 2 6. 已知函数 sin2
4、cos2fxaxbx（a，b为常数，0a，xR）在 12 x处取得最大值， 则函数 3 yfx是（*） A. 奇函数且它的图象关于点,0 2 对称B. 偶函数且它的图象关于点,0 2 对称 C. 奇函数且它的图象关于x对称D. 偶函数且它的图象关于x对称 7. 已知函数 fx的图象连续且在2,上单调，又函数2yf x的图象关于y轴对称， 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列，且 42016 f af a，则 n a的前 2019 项之和为（*） A0B2019C4038D4040 8函数 2 sincos2fxxx在, 2 2 上的单调减区间为（*） A, 26 和0, 6 B,0 6 和
5、, 6 2 C, 26 和, 6 2 D, 6 6 9. 函数 2 11 2 x x xf的值域是（*） A. 4 4 , 3 3 B. 4 ,0 3 C.0,1D. 4 0, 3 10. 已知圆 22 1xy，点(1,0)A，ABC内接于圆，且60 BAC，当B，C在圆上运动时， BC中点的轨迹方程是（*） A 22 1 2 xyB 22 1 4 xy C 22 11 22 xyxD. 22 11 44 xyx 11. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M， 交另一条渐近线于N，若2MFFN ，则双曲线的离心率（*） A 2
6、3 3 B 14 3 C2D. 2 12. 若正四面体 SABC 的面 ABC 内有一动点 P 到平面 SAB，平面 SBC，平面 SCA 的距离依次成等差 数列，则点 P 在平面 ABC 内的轨迹是（*） A一条线段B一个点C一段圆弧D抛物线的一段 第二部分第二部分非选择题非选择题 (共共 90 分分) 3 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.请将答案填在答题卡的相应位置上请将答案填在答题卡的相应位置上. 13. 在区间0,2上分别任取两个数 m，n，若向量, am n，1,1 b，则满足1 a b的概率 是* 14. 已 知 两
7、个 等 差 数 列 n a和 n b的 前 n 项 和 分 别 为 n A和 n B， 且 31 1 n n An Bn ， 则 258 37 aaa bb * 15. 已知随机变量 XB(2，p)，YN(2，2)，若 P(X1)0.64，P(0Y4)* 16. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 222 22bac，当tanBA取最 大值时，角A的值为* 三三、解答题解答题：满分满分 70 分分. 解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每个每个 试题考生都必须做答，第试题考生都必须做答，第 22、23
8、 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足：2 1 a，24 1 naa nn （2n）. （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足： n n bbbb) 12(73 321 n a，求数列 n b的通项公式. 18. （本小题满分 12 分） 某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日 销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （）求在未来的 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝 且另外
9、 2 天不低于 150 枝的概率； （）用表示在未来的 4 天日销售量不低于 100 枝的天 数，求随机变量的分布列和数学期望. 19. （本小题满分 12 分） 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直 线PC 平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点. （）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与 平面PAC的位置关系，并加以证明； （）设2PCAB，求二面角ElC 大小的取值范围. 4 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab） 的离心率为 2 2 ， 过左焦点F的直线与椭圆交于A，B 两点，且线段AB的中点为 2 1
10、 , 3 3 （）求椭圆C的方程； （）设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为 1 l，过点F与MF垂 直的直线为 2 l，求证： 1 l与 2 l的交点在定直线上，并求出该定直线的方程 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )f x ln ,xax aR （）求函数( )f x的单调区间； （）当1,2x时，都有( )0f x 成立，求a的取值范围； （）试问过点(1,3)P可作多少条直线与曲线( )yf x相切？并说明理由 （二（二）选考题选考题：共共 10 分分. 请考生从给出的第请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，并用并用 2B
11、 铅笔在答题卡上把铅笔在答题卡上把 所选题目对应的题号涂黑所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 一题计分一题计分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 cos sin xmt yt (t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos，射线， 4 ， 4 ，分别与曲线C交于,A B C三点(不包括极点O)，其中(,) 4 4 （）求证：2OBOCOA； （）当 12 时，若,B C两点在直线l上
12、，求m与的值 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 222f xxaxa （）若 13f，求实数a的取值范围； （）若关于 x 的不等式 2f x恒成立，求实数a的取值范围. 5 数学数学（理科理科）参考答案参考答案 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分. 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13. 4 14. 21 5 15. 0.116. 6 三、解答题三、解答题：满分：满分 70 分分. 解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演
13、算步骤证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 解： （）由24 1 naa nn （2n）可化为 1 2220 nn anan. 令2 nn can，则 1 0 nn cc，即 1 nn cc. 因为 1 2a，所以 11 20ca， 所以0 n c， 即20 n an，故2 . n an6 分 （若用不完全归纳，没有证明，可给 4 分） （）由 123 3721 n nn bbbba， 可知 1 12311 37212 n nn bbbban， 两式作差得 1 2122 n nnn baan， 即 2 2 21 n n bn.10 分 又当1n时，也 11 2ba满足上式，1
14、1 分 故 2 21 n n b.12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （）设日销售量为 x，“有 2 天日销售低于 100 枝，另外 2 天不低于 150 枝”为事件 A. 则1000.002 50 0.006 500.4P x，1 分 1500.005 500.25P x ，2 分 222 4 0.40.250.06.P AC4 分 题号题号123456789101112 答案答案BCADBACBCDAA 6 （）日销售量不低于 100 枝的概率0.6P，则4,0.6B.6 分 于是 4 4 0.60.40,1,2,3,4 . kkk PkCk 8 分 则分布列为 01234
15、P16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 10 分 169621621681 012342.4. 625625625625625 E 12 分 19. （本小题满分 12 分） 解： （）/平面 lPAC. 1 分 证明如下： /EF AC，AC ABC 平面，EF ABC平面 ， /平面EFABC.2 分 又EFBEF 平面，平面BEF与平面ABC的交线为l， /EF l 3 分 而,lPAC EFPAC平面平面， /平面lPAC4 分 （）解法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连结 DE，FB 由（）知，/ /BDAC，而,ACBCBDBC PC 平面A
16、BC，PCBD 而PCBCC，,BDPBC 平面 又FBPBC平面，BDBF， FBC是二面角ElC 的平面角8 分 1 tan cos FCAB FBC BCBCABC 注意到0,0cos1 2 ABCABC ，tan1FBC 0 2 FBC ，(,) 4 2 FBC ， 7 即二面角ElC 的取值范围是(,) 4 2 12 分 解法二：由题意，ACBC，以 CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB2，BCt(02)t ，则 2 (0, ,0),(0,0,2),( 4, ,0)BtFDtt， 2 (0,2),( 4,0,0)BFtBDt .6 分 设
17、平面 DBF 的法向量为( , , )mx y z ， 则由 0 0 m BF m BD 得 2 20 40 tyz t x ，取2y 得(0,2, )mt 易知平面 BCD 的法向量(0,0,1)n ， 8 分 设二面角ElC 的大小为，易知为锐角 2 2 |12 cos(0,) 2| |4 4 1 m nt mn t t ，11 分 42 ， 即二面角ElC 的取值范围是(,) 4 2 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （）由题可知(, 0)Fc，直线AB的斜率存在. 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，由于点A，B都在椭圆上， 所以 22 11 22 1 x
18、y ab ， 22 22 22 1 xy ab ，化简得 222 12 222 12 yyb axx 又因为离心率为 2 2 ，所以 2 2 1 2 b a .2 分 又因为直线AB过焦点F，线段AB的中点为 2 1 , 3 3 ， 8 所以 12 4 3 xx， 12 2 3 yy， 12 12 1 3 2 3 yy xx c ， 代入式，得 12 1 33 242 33 c ，解得1c.5 分 再结合 222 abc，解得 2 2a， 2 1b， 故所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y.6 分 （）证明：设 00 (,)M xy，由对称性，设 0 0y，由 2 2 1 2 x y，得椭
19、圆上半部分的方程 为 2 1 2 x y， 22 1 () 42 2 1 2 x yx xx ， 又 1 l过点M且与椭圆只有一个公共点，所以 1 00 2 0 0 2 42 l xx k y x ， 所以 0 100 0 :() 2 x lyyxx y ， 因为 2 l过点F且与MF垂直，所以 0 2 0 1 :(1) x lyx y ，10 分 联立，消去y，得 2 2 00 00 1 22 xx x yxx， 又 2 2 0 0 1 2 x y，所以 0 0 2 20 2 x xx，从而可得2 x， 所以 1 l与 2 l的交点在定直线2 x上 12 分 21. （本小题满分 12 分）
20、 解： （）函数( )f x的定义域为0x x ，( )1 axa fx xx 1 分 9 （1）当0a 时，( )0fx恒成立，函数( )f x在(0,)上单调递增； （2）当0a 时， 令( )0fx，得xa 当0xa 时，( )0fx，函数( )f x为减函数； 当xa 时，( )0fx，函数( )f x为增函数2 分 综上所述，当0a 时，函数( )f x的单调递增区间为(0,) 当0a 时，函数( )f x的单调递减区间为(0,)a，单调递增区间为(,+ )a 3 分 （）由（）可知， （1）当1a 时，即1a 时，函数( )f x在区间1,2上为增函数， 所 以 在 区 间1,2上
21、 ， min ( )(1)1f xf， 显 然 函 数( )f x在 区 间1,2上 恒 大 于 零；4 分 （2）当12a 时，即21a 时，函数( )f x在1a，上为减函数，在,2a 上为增函数，所以 min ( )()ln()f xfaaaa 依题意有 min ( )ln()0f xaaa ，解得 ae，所以21a 5 分 （3）当2a 时，即2a 时，( )f x在区间1,2上为减函数， 所以 min ( )(2)2ln2f xfa 依题意有 min ( )2ln20f xa，解得 2 ln2 a ，所以 2 2 ln2 a 6 分 综上所述，当 2 ln2 a 时，函数( )f x
22、在区间1,2上恒大于零7 分 （）另解：当1x 时，显然ln10xax 恒成立.4 分 当(1,2x时，ln0xax恒成立 ln x a x 恒成立 ln x a x 的最大值. 令( ) ln x m x x ，则 2 1 ln ( )0 ln x m x x ，易知( ) ln x m x x 在(1,2上单调递增， 所以( )m x最大值为 2 (2) ln2 m ，此时应有 2 ln2 a.6 分 综上，a的取值范围是 2 (,) ln2 .7 分 10 （）设切点为 000 ,ln)x xax（，则切线斜率 0 1 a k x ， 切线方程为 000 0 (ln)(1)() a yx
23、axxx x 因为切线过点(1,3)P，则 000 0 3(ln)(1)(1) a xaxx x 即 0 0 1 (ln1)20ax x 8 分 令 1 ( )(ln1)2g xax x (0)x ，则 22 11(1) ( )() a x g xa xxx （1）当0a 时，在区间(0,1)上，( )0g x，( )g x单调递增； 在区间(1,)上，( )0g x，( )g x单调递减， 所以函数( )g x的最大值为(1)20g 故方程( )0g x 无解，即不存在 0 x满足式 因此当0a 时，切线的条数为09 分 （2） 当0a 时, 在区间(0,1)上，( )0g x，( )g x
24、单调递减， 在区间(1,)上，( )0g x，( )g x 单调递增，所以函数( )g x的最小值为(1)20g 取 2 1 1 a xee，则 22 11 1 2 ()(11)20 aa g xaeae a 故( )g x在(1,)上存在唯一零点 取 2 1 2 1 a xe e ，则 22 11 2 2 ()( 11)224 aa g xaeaea a 2 1 2 2(1) a a e a 设 2 1(1)tt a ，( )2 t u tet，则( )2 t u te 当1t 时，( )220 t u tee恒成立 所以( )u t在(1,)单调递增，( )(1)20u tue恒成立 所以
25、 2 ()0g x 11 故( )g x在(0,1)上存在唯一零点 因此当0a 时，过点 P(1,3)存在两条切线11 分 （3）当0a 时，( )f xx，显然不存在过点 P(1,3)的切线 综上所述，当0a 时，过点 P(1,3)存在两条切线； 当0a 时，不存在过点 P(1,3)的切线12 分 （）另解：设切点为 000 ,ln)x xax（，则切线斜率 0 1 a k x ， 切线方程为 000 0 (ln)(1)() a yxaxxx x 因为切线过点(1,3)P，则 000 0 3(ln)(1)(1) a xaxx x ， 即 0 0 1 (ln1)20ax x 8 分 当0a 时
26、，020无解.9 分 当0a 时， 12 ln1x xa ， 令 1 ( )ln1g xx x ，则 2 1 ( ) x g x x ， 易知当01x时， 2 1 ( )0 x g x x ；当1x时， 2 1 ( )0 x g x x ， 所以( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.10 分 又(1)0g，且 0 lim ( )lim( ) xx g xg x ， 故当 2 0 a 时有两条切线，当 2 0 a 时无切线， 即当0a 时有两条切线，当0a 时无切线.11 分 综上所述，0a 时有两条切线，0a 时无切线.12 分 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4
27、：坐标系与参数方程 证明：（）依题意，4cosOA，1 分 4cos 4 OB，4cos 4 OC，3 分 12 则 4cos4cos 44 OBOC8coscos 4 4 2cos2.OA 5 分 解：（）当 12 时，,B C两点的极坐标分别为2, 3 ，2 3, 6 ，6 分 化成直角坐标为 1, 3B， 3,3C.7 分 经过点,B C的直线方程为32 yx，8 分 又直线l经过点,0m，倾斜角为，且0， 故2m， 2 3 .10 分 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（） 13f，123aa.1 分 1当0a时，得123 aa，即 2 3 a， 2 0 3 a； 2 分 2当 1 0 2 a时，得123aa，即2 a， 1 0 2 a；3 分 3当 1 2 a时，得123aa，即 4 3 a， 14 23 a.4 分 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 5 分 （） 222f xxaxa212 2 a xxa 11+2 22 aa xxxa 5 11 22 aa x 5 1 2 a ， 当1 2 a x时，等号成立， f x的值最小为 5 1 2 a .8 分 5 12 2 a ， 解得 2 5 a或 6 5 a9 分 实数a的取值范围是 26 , 55 . 10 分分
