1、绝密启用前 2020 年高考诊断性测试数学年高考诊断性测试数学试卷试卷 一、 单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求。 1.已知集合ln1 x Mx yxNy ye ( ), ,则MN A 1,0 B 1(, ) C 0( , ) DR 2.已知复数z满足1i2iz( ) (i 为虚数单位) ,则z A 1 i B 1 i C 1 2i D12i 3.设xR,则 2 2123 0xxx“”是“ ”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.数列 1212 :1,(2) nnnn FFFF
2、FFn , 最初记载于意大利数学家斐波那契在 1202 年所著的 算盘 全书 ,若将数列 n F 的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 n a ,则数列 n a 的前 50 项和为 A 33 B 34 C 49 D50 5.设 ABCD 为平行四边形,4,6, 3 ABADBAD 若点 M,N 满足 ,2,BMMC ANND则NM AM A 23 B 17 C 15 D9 6.右图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间 留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球 槽内。若小球下
3、落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落号球槽的概率为 A 3 32 B 15 64 C 5 32 D 5 16 7.设 P 为直线344 0xy 上的动点,PA PB,为圆 C: 22 21xy() 的两条切线,A B,为切点,则 四边形 APBC 面积的最小值为 A 3 B 2 3 C 5 D2 5 8.已知函数( ) xx xx ee f x ee ,实数m n,满足不等式220fm nfn()(),则下列不等关系成立的 是 A 1m n B 1m n C 1m n D1m n 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求全部选
4、对 的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分。 9.2020 年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情就是命令,防控就是责任。在党中央 的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战 争。右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况,根据该折线图,下列结论正确的是 A.16 天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B.16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D.19 至 29 日每日新增治愈
5、病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 10.已知 P 是双曲线 C: 22 1 3 xy m 上任一点, A, B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点, 设直线PA PB, 的斜率分别为 121 20kk k k , (),若 2 kkt 1 恒成立,且实数 t 的最大值为 2 3 3 则下列说法正确的 A.双曲线的方程为 2 2 1 3 x y B.双曲线的离心率为 2 C.函数log10,1 a yxaa() 的图象恒过 C 的一个焦点 D.直线230xy与 C 有两个交点 11.如图, 在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中,P M,分别为棱 1 CDCC,的中点, Q为面
6、对角线 1 AB 上任一点,则下列说法正确的是 A.平面 APM 内存在直线与 11 AD平行 9 B.平面 APM 截正方体 1111 ABCDABC D所得截面面积为 9 8 C.直线 AP 和 DQ 所成角可能为60 D.直线 AP 和 DQ 所成角可能为 30 12.关于函数sin x f xeaxx ( ) ,(,+ ),下列说法正确的是 A.当1a时,f x( )在00f,( )处的切线方程为21xy 0 B.当1a时,f x( )存在唯一极小值点 00 10xf x且( ) C.对任意0a,f x( )在(, )上均存在零点 D.存在0a,f x( )在(, )上有且只有一个零点
7、 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分 13.已知tan2则2 2 cos() 14. 36 1 12)xx x ( ) (的展开式中 3 x项的系数是(用数字作答) 15.已知点 A,B.C 在半径为 2 的球面上,满足1ABAC,3BC.若 S 是球面上任意一点,则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 16.已知 F 为抛物线 2 20xpy p的焦点,点pA(1, )M 为抛物线上任意一点,MAMF的最小值 为 3,则抛物线方程为_若线段 AF 的垂直平分线交抛物线于 P,Q 两点,则四边形 APFQ 的面积为 _(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题:本题
8、共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10 分) 已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为ab c, , 2 cos3cosaAB (bcosCc) (1)求角 A; (2)若2 3b,BC 边上的高为 3,求 c. 18.(12 分) 已知等差数列 n a 的前 n 项和为 n S, n b 是各项均为正数的等比数列, 14 _ab . 213 834bbb ,是否存在正整数 k,使得数列 1 n S 的前 k 项和 15 16 n T 若存在,求出 k 的最小值; 若不存在,说明理由. 从 433342 2023SSaaab , ,这三个条件中任选
9、一个,补充到上面问题中井作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按一个解答计分 19.(12 分) 如图,三棱锥PABC中,点 E,F 分别是ABPB,的中点,点 G 是BCE 的重心. (1)证明:GFPAC平面; (2) 若P A BA B C平面平面,2PA PB PAPB ACBCABBC, 求平面EFG与平面PFG 所成的锐二面角的余弦值. 20.(12 分) 推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对 垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布 表如下: (1)从该社区随机抽取
10、一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率: (2) 将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分) 和“不太了解” (得分低于 60) 两类, 完成 2 2 列联表,并判断是否有 95的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关? (3) 从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中, 按照性别进行分层抽样, 共抽取 10 人, 连同 * n nN() 名男性调查员一起组成 3 个环保宣传队.若从这 n10 人中随机取 3 人作为队长,且男性队长人数的期望 不小于 2.求 n 的最小值 21.(12 分) 已知函数 1ln R x f xa a x (
11、 )() (1)若0f x ( )在0,上恒成立,求a的取值范围,并证明:对任意的 * nN,都 有 111 1ln1 23 n n ( ); (2)设 2 1 x g xxe( )()讨论方程f xg x( )( )实数根的个数 22.(12 分) 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab ( )过点22M ( , ),且焦距为 4. (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)设 P 为直线l:2 2y上一点,Q 为椭圆 C 上一点,以 PQ 为直径的圆恒过坐标原点 O. (i)求 22 4OPOQ的取值范围: (ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 PQ 相切?若存在,求出该定圆的方程; 若不存在,说明理由