1、2018-2019 学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置 1 （5 分）抛物线 y2x 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （，0） C （0，1） D （0，） 2 （5 分）命题“x0R，x1”否定是（ ） AxR，x1 Bx0R，x01 CxR，x1 Dx0R，x01 3 （5 分）已知复数，则以下说法正确的是（ ） A复数 z
2、 的虚部为 Bz 的共轭复数 C D复平面内与 z 对应的点在第二象限 4 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 值为 10，则输出的 N 值为（ ） A1 B0 C1 D2 5 （5 分）已知 （2，3，1） ， （2，0，4） ， （4，6，2） ，则下列结论正 确的是（ ） A ， B ， C ， D以上都不对 6 （5 分）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9已知这 组数据的平均数为 10，方差为 2，则|xy|的值为（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 为椭圆的焦点，顶点 C，D 在椭圆上，则此
3、椭圆 的离心率为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 8 （5 分） 从图示中的长方形区域内任取一点 M， 则点 M 取自图中阴影部分的概率为 （ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，对任意 xR，都有 f（x）f（x）成立，则 （ ） Ae3f（2）e2f（3） Be3f（2）e2f（3） Ce3f（2）e2f（3） De3f（2）与 e2f（3）的大小不确定 10（5分）已知数组 ，记该数组为（a1） ， （a2，a3） ， （a4，a5，a6） ，则 a200等于（ ） A B C D 11 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点
4、为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且 满足AFB120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的 最大值为（ ） A B1 C D2 12 （5 分）若关于 x 的不等式 a（1x）ex（2x1） ， （其中 a1）有且只有两个整数 解，则实数 a 的取值范围是（ ） A （， B （1， C （， D （，） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卷中对应题号后的分把答案填在答题卷中对应题号后的 第 3 页（共 23 页） 横线上横线上 13 （5 分）我国古代数学算经十书之一的九章
5、算术中有一“衰分”问题 “今有北乡八 千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七 人则西乡遣 人” 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB1，BC，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成角是 15 （5 分）若函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）2f（2）x+x3，则 f（2） 16 （5 分）已知 P（4，4）是抛物线 C：y22px 上的一点，F 为抛物线 C 的焦点，定点 M （1，4） ，则MPF 的外接圆的面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过
6、程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q：函数 无极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 a 的取值范围 18 （12 分） 已知 Sn1+， Tn+（nN*） （1）求 S1，S2，T1，T2； （2）猜想 Sn与 Tn的关系，并证明之 19 （12 分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了 一部分学生进行“掷实心球”的项目测试成绩低于 6 米为不合格，成绩在 6 至 8 米（含 6 米不含 8 米）的为及格
7、，成绩在 8 米至 12 米（含 8 米和 12 米，假定该市初二学生掷实 心球均不超过 12 米）为优秀把获得的所有数据，分成2，4） ，4，6） ，6，8） ，8， 10） ，10，12五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间 （1）求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数； （2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人， “掷实心 球”成绩为优秀的概率； （3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试，求所 抽取的 2 名学生来自不同组的概率 第 4 页（共 23 页） 20 （1
8、2 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD 1，AB2，F 为 PD 的中点，E 是线段 AB 上的一动点 （1）当 E 是线段 AB 的中点时，证明：AF平面 PEC； （2）当，求二面角 PCED 的大小 21 （12 分）已知椭圆+1 经过点 P（，） ，离心率是，动点 M（2，t） （t 0） （1）求椭圆的标准方程； （2）求以 OM 为直径且别直线 3x4y50 截得的弦长为 2 的圆的方程； （3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 做 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线 段 ON 长是定值，并求出定值 第 5 页
9、（共 23 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）x2x+ln（x+1） （1）求曲线 yf（x）在原点 O（0，0）处的切线方程； （2）求函数 yf（x）的单调区间及最大值； （3）证明： 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省张家界市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置有一
10、项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置 1 （5 分）抛物线 y2x 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （，0） C （0，1） D （0，） 【分析】根据抛物线的标准方程，求出 p 值，确定开口方向，从而写出焦点坐标 【解答】解：抛物线 y2x，开口向右，p， 故焦点坐标为 （，0） ， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题 2 （5 分）命题“x0R，x1”否定是（ ） AxR，x1 Bx0R，x01 CxR，x1 Dx0R，x01 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以
11、命题“x0R，x1”否定是xR，x1 故选：C 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 3 （5 分）已知复数，则以下说法正确的是（ ） A复数 z 的虚部为 Bz 的共轭复数 C D复平面内与 z 对应的点在第二象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，然后逐一计算得答案 【解答】解：， 第 7 页（共 23 页） 复数 z 的虚部为，z 的共轭复数，|z|，复平面内 与 z 对应的点的坐标为（，） ，在第二象限 正确的是复平面内与 z 对应的点在第二象限 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 4 （5
12、 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 值为 10，则输出的 N 值为（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 N 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 N10 满足条件 N 为偶数，N5 不满足条件 N2，执行循环体，不满足条件 N 为偶数，N2 满足条件 N2，退出循环，输出 N 的值为 2 故选：D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）已知 （2，3，1） ， （2，0，4） ， （
13、4，6，2） ，则下列结论正 确的是（ ） A ， B ， C ， D以上都不对 【分析】利用空间向量平行与垂直的性质求解 【解答】解： （2，3，1） ， （2，0，4） ， （4，6，2） ， ， 第 8 页（共 23 页） ， 故选：C 【点评】本题考查空间向量平行与垂直的判断，是基础题，解题时要注意空间向量平行 与垂直的性质的合理运用 6 （5 分）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9已知这 组数据的平均数为 10，方差为 2，则|xy|的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由题意知这组数据的平均数为 10，方差为 2 可得到关于 x，y
14、的一个方程组，解 这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x、y，只要求出|xy|，利用换元法来解 出结果 【解答】解：由题意这组数据的平均数为 10，方差为 2 可得：x+y20， （x10）2+（y 10）28， 解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出 x、y，只要求出|xy|， 设 x10+t，y10t，由（x10）2+（y10）28 得 t24； |xy|2|t|4， 故选：D 【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公 式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现 7 （5 分）已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 为椭圆的焦点，
15、顶点 C，D 在椭圆上，则此椭圆 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设椭圆方程为（ab0） ，可得正方形边长 AB2c，再根据正方 形的性质，可计算出 2aAC+BC2c+2c，最后可得椭圆的离心率 e 【解答】解：设椭圆方程为， （ab0） 正方形 ABCD 的顶点 A，B 为椭圆的焦点， 第 9 页（共 23 页） 焦距 2cAB，其中 c0 BCAB，且 BCAB2c AC2c 根据椭圆的定义，可得 2aAC+BC2c+2c 椭圆的离心率 e 故选：A 【点评】本题给出椭圆以正方形的一边为焦距，而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上， 求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质
16、，属于基础题 8 （5 分） 从图示中的长方形区域内任取一点 M， 则点 M 取自图中阴影部分的概率为 （ ） A B C D 【分析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积， 然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案 【解答】解：图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为 13 3， 因此，点 M 取自图中阴影部分的概率为 故选：C 【点评】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题 第 10 页（共 23 页） 9 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，对任意 xR，都有 f（x）f（x）成立，则 （ ） Ae3f（2）e2f
17、（3） Be3f（2）e2f（3） Ce3f（2）e2f（3） De3f（2）与 e2f（3）的大小不确定 【分析】构造函数令 g（x），利用导数可判断 g（x）的单调性，由单调性可得 g（2）与 g（3）的大小关系，整理即可得到答案 【解答】解：令 g（x），则 g（x）， 因为对任意 xR 都有 f（x）f（x） ， 所以 g（x）0，即 g（x）在 R 上单调递增，所以 g（3）g（2） ，即， 所以 e3f（2）e2f（3） ， 故选：C 【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关 键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性 10（5
18、分）已知数组 ，记该数组为（a1） ， （a2，a3） ， （a4，a5，a6） ，则 a200等于（ ） A B C D 【分析】先结合阅读理解有：设 a200在第 n 组中， 则（nN*） ， 由等差数列求和得：a200在第 20 组中，前 19 组的数的个数之和为：190， 再进行简单的合情推理得：a200，得解 【解答】解：由题意有，第 n 组中有数 n 个，且分子由小到大且为 1，2，3n，设 a200 在第 n 组中，则（nN*） ， 解得：n20， 即 a200在第 20 组中，前 19 组的数的个数之和为：190， 第 11 页（共 23 页） 即 a200在第 20 组的第
19、10 个数，即为， a200， 故选：B 【点评】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题 11 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且 满足AFB120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的 最大值为（ ） A B1 C D2 【分析】设|AF|a，|BF|b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|a+b，由余弦定理 可得|AB|2（a+b）2ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答 案 【解答】解：设|AF|a，|BF|b，连接 AF、BF 由抛物线定义，得
20、|AF|AQ|，|BF|BP| 在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得， |AB|2a2+b22abcos120a2+b2+ab 配方得，|AB|2（a+b）2ab， 又ab（） 2， （a+b）2ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2 得到|AB|（a+b） 所以，即的最大值为 故选：A 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定 义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题 12 （5 分）若关于 x 的不等式 a（1x）ex（2x1） ， （其中 a1）有且只有两个整数 解
21、，则实数 a 的取值范围是（ ） A （， B （1， C （， D （，） 【分析】构造函数，作出两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可 【解答】解：由 aaxex（2x1） （a1） ， 设 g（x）aax，h（x）ex（2x1） ， h（x）ex（2x1）+2exex（2x+1） ， 由 h（x）0 得 x， 由 h（x）0 得 x， 即当 x时，函数 h（x）取得极小值 h（） ， 作出 g（x）的图象如图： 若 g（x）h（x）解集中的整数恰为 2 个， 则 x0，1 是解集中的两个整数， 则满足，即， 第 13 页（共 23 页） 则，即a， 即实数 a 的取值范围是（， 故选：
22、C 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据不等式整数根的个数，结合数形结合建 立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卷中对应题号后的分把答案填在答题卷中对应题号后的 横线上横线上 13 （5 分）我国古代数学算经十书之一的九章算术中有一“衰分”问题 “今有北乡八 千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七 人则西乡遣 145 人” 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千
23、三百五十人， 凡三乡，发役四百八十七人 则西乡遣：487145 故答案为：145 【点评】本题考查西乡遣多少人的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB1，BC，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成角是 30 【分析】由 PA平面 ABCD，可得 PC 与平面 ABCD 所成角为PCA，在直角PCA 中， 即可求出 PC 与平面 ABCD 所成角 第 14 页（共 23 页） 【解答】解：PA平面 ABCD PC 与平面 ABCD 所成角为PCA， 矩形 ABCD 中，AB1，BC， AC， PA1，
24、tanPCA， PCA30 故答案为：30 【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，确定PCA 即为直线 PC 与底面 ABCD 所成角是关键 15 （5 分）若函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）2f（2）x+x3，则 f（2） 12 【分析】根据题意，求出函数的导数可得 f（x）2f（2）+3x2，令 x2 可得 f（2） 2f（2）+12，变形可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）2f（2）x+x3， 则 f（x）2f（2）+3x2， 当 x2 时，有 f（2）2f（2）+12， 变形可得：f（2）12； 故答案为：12 【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导
25、数的计算公式，属于基础题 16 （5 分）已知 P（4，4）是抛物线 C：y22px 上的一点，F 为抛物线 C 的焦点，定点 M （1，4） ，则MPF 的外接圆的面积为 【分析】 代入 P 的坐标， 由抛物线方程可得 p， 求得焦点坐标， 由两点距离公式可得 MP， MF，PF，再由余弦定理可得 cosMPF，由同角平方关系可得 sinMPF，由正弦定理 第 15 页（共 23 页） 可得MPF 的外接圆的半径，进而得到所求圆的面积 【解答】解：点 P（4，4）是抛物线 C：y22px 上的一点， 可得 168p， 解得 p2， 即抛物线的方程为 y24x， 由 F（1，0） ，M（1，4
26、） ，P（4，4） ，可得 MP5，PF5，MF2， cosMPF， 则 sinMPF， 设MPF 的外接圆的半径为 R， 则 2R， 解得 R， 可得MPF 的外接圆的面积为 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查三角形的正弦定理和外接圆的面积的求法， 考查运算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q：函数 无极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“pq”
27、为假命题， “pq”为真命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆的性质得：当 p 为真时：有解得：4a6，得解； （2）利用导数研究函数的极值有：当 q 为真时，即函数无 第 16 页（共 23 页） 极值，又 f（x）x2+3（3a）x+9，则 f（x）0 恒成立，即9（3a）236 0 解得：1a5 再由复合命题及其真假列不等式组即可得解 【解答】解： （1）当 p 为真时：即方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则有： 解得：4a6， 所以实数 a 的取值范围为： （4，6） ， 故答案为： （4，6） ； （2）当 q 为真时，即函数无极值， 又 f（x）x2+3（3a）x+9，
28、则 f（x）0 恒成立，即9（3a）2360 解得： 1a5 由“pq”为假命题， “pq”为真命题，可知 p，q 一真一假， 即或，解得：1a4 或 5a6， 故答案为：1，4（5，6） 【点评】本题考查了命题的真假及复合命题及其真假、椭圆的性质、利用导数研究函数 的极值，属简单题 18 （12 分） 已知 Sn1+， Tn+（nN*） （1）求 S1，S2，T1，T2； （2）猜想 Sn与 Tn的关系，并证明之 【分析】 （1）由已知等式，分别计算 S1，S2，T1，T2； （2）猜想：SnTn（nN*） ，将等式的左边变形为 1+2 （+） ，即可得到猜想成立 【解答】解： （1）S11
29、， S21+， T1， 第 17 页（共 23 页） T2+； （2）猜想：SnTn（nN*） 即 1+（nN*） 证明：1+1+2（+ +） 1+（1+） + 则猜想成立 【点评】本题考查归纳推理的运用和证明，注意运用变形和化简整理的运算能力，属于 中档题 19 （12 分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了 一部分学生进行“掷实心球”的项目测试成绩低于 6 米为不合格，成绩在 6 至 8 米（含 6 米不含 8 米）的为及格，成绩在 8 米至 12 米（含 8 米和 12 米，假定该市初二学生掷实 心球均不超过 12 米）为优秀把获得的所有数据，分成2，4
30、） ，4，6） ，6，8） ，8， 10） ，10，12五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间 （1）求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数； （2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人， “掷实心 球”成绩为优秀的概率； （3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试，求所 抽取的 2 名学生来自不同组的概率 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）21，解方程即 可得到 a 的值；再根据样本容量频数频
31、率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数； （2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为 0.15+0.05，由频率计算公式即可 算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生 中任意选取一人， “掷实心球”成绩为优秀的概率； （3）由频率计算公式得样本中第一组共有 2 人，得第二组共有 6 人用列举的方法计算 出基本事件的总数共有 28 个， 而抽取的 2 名学生来自不同组构成的基本事件有 12 个 由 此结合古典概型计算公式即可算出所求概率 【解答】解： （1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）21，解得 a0.05 所以此次测试总人
32、数为40 答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人 （2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为 （0.15+0.05）20.4， 则估计从该市初二年级男生中任意选取一人， “掷实心球”成绩为优秀的概率为 0.4 （3）设事件 A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组 由已知，测试成绩在2，4）有 2 人，记为 a，b；在4，6）有 6 人，记为 c，d，e，f，g， h 从这 8 人中随机抽取 2 人共 28 种情况 ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf， bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，d
33、e，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh， 事件 A 包括共 12 种情况ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh， 第 19 页（共 23 页） 所以事件 A 的概率 P 答：随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率 【点评】本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概 率着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD 1，AB2，F 为 PD 的中点，E 是线段 AB 上的一动点 （1）当 E 是线段
34、AB 的中点时，证明：AF平面 PEC； （2）当，求二面角 PCED 的大小 【分析】 （1）设 PC 的中点为 G，连 FG，EG，则 FGCD，从而四边形 AEGF 为平行四边形，进而 AFEG，由此能证明 AF平面 PEC （2）以 A 为原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，利 用向量法能求出二面角 PCED 的大小 【解答】证明： （1）设 PC 的中点为 G，连 FG，EG，则 FGCD， FGAE 且 FGAE，故四边形 AEGF 为平行四边形，（3 分） AFEG， 又 AF平面 PEC，EG平面 PEC（5 分） 故 AF平面 PE
35、C（6 分） 解： （2）以 A 为原点， 分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 第 20 页（共 23 页） ， ， （7 分） 设平面 PEC 的法向量为，则（8 分） 可取 （9分） 平面 DEC 的法向量， 记二面角 PCED 为 ， 则，（11 分） 即二面角 PCED 的大小为（12 分） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 21 （12 分）已知椭圆+1 经过点 P（，） ，离心率是，动点 M（2，t） （t 0） （1）求椭
36、圆的标准方程； （2）求以 OM 为直径且别直线 3x4y50 截得的弦长为 2 的圆的方程； 第 21 页（共 23 页） （3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 做 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N，证明线 段 ON 长是定值，并求出定值 【分析】 （1）由椭圆+1 离心率是，设椭圆方程设为，把点 P （，）代入，得，由此能求出椭圆的标准方程 （ 2 ） 以 OM 为 直 径 的 圆 的 圆 心 是 （ 1 ，） ， 半 径 r ， 方 程 为 ，由以 OM 为直径圆直线 3x4y50 截得的弦长为 2，知 ，由此能求出所求圆的方程 （3）设 N（x0，y0） ，点 N 在以
37、OM 为直径的圆上，所以 x02+y022x0+ty0，又 N 在过 F 垂直于 OM 的直线上，所以 2x0+ty02，由此能求出 ON 【解答】解： （1）椭圆+1 经过点 P（，） ， 离心率是， 椭圆方程设为， 把点 P（，）代入， 得， 第 22 页（共 23 页） 解得 4k22， 椭圆的标准方程是 （2）以 OM 为直径的圆的圆心是（1，） ， 半径 r， 方程为， 以 OM 为直径圆直线 3x4y50 截得的弦长为 2， 圆心（1，）到直线 3x4y50 的距离 d， ， 解得 t4， 所求圆的方程是（x1）2+（y2）25 （3）设 N（x0，y0） ， 点 N 在以 OM
38、为直径的圆上， 所以 x0（x02）+y0（y0t）0， 即：x02+y022x0+ty0， 又 N 在过 F 垂直于 OM 的直线上， 所以， 即 2x0+ty02， 所以 【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简 单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与 转化思想综合性强，难度大，易出错解题时要认真审题，仔细解答 22 （12 分）已知函数 f（x）x2x+ln（x+1） （1）求曲线 yf（x）在原点 O（0，0）处的切线方程； （2）求函数 yf（x）的单调区间及最大值； （3）证明： 【分析】 （1）根据题意，求出
39、函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率 kf（0） 第 23 页（共 23 页） 0，据此分析可得答案； （2）根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系分析函数的单调区间， 据此分析可得函数的最大值； （3）根据题意，由（2）的结论可得 ln（x+1）x2+x，分别令 x1、，可得 ln2，lnln3ln2，lnln4ln3；将这些式子相加即可得的答案 【解答】 解： （1） 根据题意， 函数 f （x） x2x+ln （x+1） ， 则， 则所求切线的斜率 kf（0）0， 从而曲线 yf（x）在原点 O（0，0）处的切线方程为 y0； （2）根据题意， （x1） ； 若 f（x）0，则0，解可得1x0；同理可得：f（x）0x0； 则 f（x）的递增区间为（1，0） ，递减区间为 （0，+） ， 函数最大值是 f（0）0； （3）证明：由（2）可知：f（x）x2x+ln（x+1）f（0）0， 即有 ln（x+1）x2+x， （仅当 x0 时取等号） ； 当 x1 时，有 ln2， 当 x时，有 lnln3ln2； 当 x时，有 lnln4ln3； 当 x时，有 lnln（n+1）lnn； 相加可得： 【点评】本题考查利用导数求切线的方程以及函数的最值，涉及不等式的证明，属于综 合题
