1、2018-2019 学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修 物理）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置分请把答案填写在答题纸相应位置 上上 1 （5 分）双曲线1 的渐近线方程是 2 （5 分）焦点为（0，5）的抛物线标准方程是 3 （5 分）命题“若 x0，则 x20”的逆否命题为 4 （5 分）若 x0，y0，且 x+y1，则 zxy 的最大值是 5（5 分） 已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为， 则其标准方程为 6 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+tanx，则 7 （5 分）函数的极小值是 8 （5
2、 分）已知 p：x2（a+1）x+a0，q：1x3，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 9 （5 分）若直线 yx+b 是曲线 yex的一条切线，则实数 b 的值是 10 （5 分）已知 P（x，y）是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则 PF1 PF2的最大值与最小值的差是 11 （5 分）设集合 Ax|x2+2（1a）x+3a0，Bx|0x3，若 AB，则实数 a 的取值范围是 12 （5 分）已知 a，bR+，且 a+3b4ab，则 3a+4b 的最小值是 13 （5 分）已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是 ，则椭圆离心率的取值范围是 14 （5 分）已知，
3、若，使 f（x1） f（x2）+a 成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 第 2 页（共 19 页） 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知 p：函数 f（x）mx2sinx 在 R 上是单调增函数，q：m2m60 （1）若p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 16 （14 分）如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在棱 CC
4、1上，且 CC1 3CP （1）求异面直线 AP 与 BD1所成角的余弦值； （2）求二面角 PAD1B 的正弦值 17 （14 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC3，BAC90，点 D，E 分别为 BC， AC 边上的动点，且ADE45设 BDx，DEC 的面积为 y （1）试用 x 的代数式表示 EC； （2）当 x 为何值时，DEC 的面积最大？求出最大面积 18 （16 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 T（2，2） ，过 T 作直线 l 与抛物线相切 （1）求直线 l 的方程； （2）如图，直线 lOT，与抛物线 C 交于，B 两点，与直线 l 交于 P 点，是否存在常数
5、 ，使|PT|2|PA|PB| 第 3 页（共 19 页） 19 （16 分）已知椭圆的离心率，且经过点，A， B，C，D 为椭圆的四个顶点（如图） ，直线 l 过右顶点 A 且垂直于 x 轴 （1）求该椭圆的标准方程； （2）P 为 l 上一点（x 轴上方） ，直线 PC，PD 分别交椭圆于 E，F 两点，若 SPCD2S PEF，求点 P 的坐标 20 （16 分）已知函数，aR （1）若函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，求 a 的值； （2）求函数 f（x）在 x1，3上的最大值； （3）当 a0 时，若 f（f（x） ）有 3 个零点，求 a 的取值范围 第
6、 4 页（共 19 页） 2018-2019 学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修 物理）物理） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置分请把答案填写在答题纸相应位置 上上 1 （5 分）双曲线1 的渐近线方程是 yx 【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出 a 和 b 的值，再根据焦点在 x 轴上，求出渐 近线方程 【解答】解：双曲线， a2，b3，焦点在 x 轴上， 故渐近线方程为 yxx， 故答案为 y 【
7、点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求 出 a、b 的值，要注意双曲线在 x 轴还是 y 轴上，是基础题 2 （5 分）焦点为（0，5）的抛物线标准方程是 x220y 【分析】根据题意，由抛物线的焦点坐标分析，设抛物线的标准方程为 x22py，由焦 点坐标公式可得 5，解可得 p 的值，将 p 的值代入抛物线的方程即可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线的焦点为（0，2） ，在 y 轴上， 设抛物线的标准方程为 x22py， 又由抛物线的焦点为（0，5） ，则有5，解可得 p10， 故抛物线的标准方程为 x220y； 故答案为：x220y 【点评】本题考查抛
8、物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的 标准方程 3 （5 分）命题“若 x0，则 x20”的逆否命题为 若 x20，则 x0 第 5 页（共 19 页） 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可 【解答】解：命题若 p 则 q 的逆否命题为若q 则p， 即命题的逆否命题为：若 x20，则 x0， 故答案为：若 x20，则 x0 【点评】 本题主要考查四种命题之间的关系， 根据逆否命题的定义是解决本题的关键 比 较基础 4 （5 分）若 x0，y0，且 x+y1，则 zxy 的最大值是 1 【分析】先根据约束条件画出可行域，设 zxy，再利用 z 的几何意义求最值，只需求 出
9、直线 zxy 过可行域内的点 A 时，从而得到 z 最大值即可 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 设 zxy， 将最大值转化为 y 轴上的截距的最小值， 当直线 zzxy 经过区域内的点 A（1，0）时，z 最大， 最大值为：1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结 合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分 三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 5 （5 分）已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为 第 6 页（共 19 页） 【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线
10、的离心率，求解 a，c， 得到 b，即可求出双曲线方程 【解答】解：双曲线与椭圆有公共焦点，可得 c5， 双曲线的离心率为，可得 a3，则 b4， 则该双曲线方程为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 6 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+tanx，则 3 【分析】根据题意，求出函数的导数，将 x带入其中计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）sin2x+tanxsin2x+， 其导数 f（x）2cos2x+， 则2cos+3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 7 （5 分）函数的极小值是 【
11、分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论 【解答】解：函数的 f（x）的导数 f（x），令0， 解得 x1， 由 x1 可得 f（x）0，函数单调递增， 由 x1，可得 f（x）0，函数单调递减， 故当 x1 时，函数取得极小值 f（1）， 故答案为： 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查函数极值的判断，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的 关键 8 （5 分）已知 p：x2（a+1）x+a0，q：1x3，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 （3，+） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可 【解答】解：由 x
12、2（a+1）x+a0 的（x1） （xa）0， 若 p 是 q 的必要不充分条件， 即 qp， 当 a1 时，由（x1） （x1）0 得 x1，此时不满足条件， 当 a1 时，由（x1） （xa）0 得 ax1，此时不满足条件 当 a1 时，由（x1） （xa）0 得 1xa， 若 qp，则 a3， 即实数 a 的取值范围是（3，+） ， 故答案为： （3，+） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系 是解决本题的关键 9 （5 分）若直线 yx+b 是曲线 yex的一条切线，则实数 b 的值是 1 【分析】先设出切点坐标 P（x0，ex0） ，再利用导数
13、的几何意义写出过 P 的切线方程，最 后由直线是 yx+b 是曲线 yex的一条切线，求出实数 b 的值 【解答】解：yex， yex， 设切点为 P（x0，ex0） ， 则过 P 的切线方程为 yex0ex0（xx0） ， 整理，得 yex0xex0x0+ex0， 直线是 yx+b 是曲线 yex的一条切线， ex01，x00， b1 故答案为：1 【点评】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型， 分别采用不同策略解决问题 第 8 页（共 19 页） 10 （5 分）已知 P（x，y）是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则 PF1 PF2的最大值与最小值的差
14、是 1 【分析】求得椭圆的 a，b，c，e，设 P 的横坐标为 m，运用焦半径公式和ama， 即可得到所求最值之差 【解答】解：椭圆的 a2，b，c1， e， 设 P 的横坐标为 m，可得 PF12+m，PF22m， 即有 PF1PF2（2+m） （2m）4m2， 由 m0 可得最大值为 4，由 m2 可得最小值为 3， 则 PF1PF2的最大值与最小值的差是 1 故答案为：1 【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及焦半径的运用，考查椭圆的范围和运算能力， 属于基础题 11 （5 分）设集合 Ax|x2+2（1a）x+3a0，Bx|0x3，若 AB，则实数 a 的取值范围是 2，+） 【分析】由
15、集合交集的运算得：若 AB，得：x2+2（1a）x+3a0 在 x0，3 有解，即（2x+1）ax2+2x+3 在 x0，3有解， 分离变量得： a （t+） ， 再构造函数设 g （t） （t+） ， t1，7，求函数最小值即可得解， 【解答】解：集合 Ax|x2+2（1a）x+3a0，Bx|0x3，若 AB， 得：x2+2（1a）x+3a0 在 x0，3有解， 即（2x+1）ax2+2x+3 在 x0，3有解， 设 t2x+1，则 t1，7，则 x， 则 a（t+） ， 第 9 页（共 19 页） 又设 g（t）（t+） ，t1，7， 由对勾函数的性质可得：yg（t）在（1，3）为减函数，
16、在（3，7）上为增函数，又 gmin （3）2， 所以实数 a 的取值范围是：2，+） ， 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了不等式有解问题及集合交集的运算，属中档题 12 （5 分）已知 a，bR+，且 a+3b4ab，则 3a+4b 的最小值是 【 分 析 】 根 据 a ， b 0 ， 及 a+3b 4ab 即 可 得 出， 从 而 得 出 ， 而根据基本不等式即可得出， 从而求出 3a+4b 的最 小值 【解答】解：a，bR+，且 a+3b4ab； ； ； 3a+4b 的最小值为 故答案为： 【点评】考查基本不等式在求最值时的应用 13 （5 分）已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是
17、 ，则椭圆离心率的取值范围是 【分析】根据题意，由椭圆的短轴长的取值范围是，结合 a，b 关系，然后求 解椭圆的离心率的范围 【解答】解：根据题意，椭圆过点，短 轴长的取值范围是，可得 b2， 即 e， 第 10 页（共 19 页） 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的几何性质，求解椭圆的离心率的范围，注意短轴长为 2b 14 （5 分）已知，若，使 f（x1） f（x2）+a 成立，则实数 a 的取值范围是 【分析】问题等价于“当 xe，e2时，有 f（x）maxf（x）max+a” ，由此利用导数性 质结合分类讨论思想，能求出实数 a 的取值范围 【解答】解：若，使 f（x1）f（x2）+a
18、 成立， 等价于“当 xe，e2时，有 f（x）maxf（x）max+a” ， 当 xe，e2时，lnx1，2，1， f（x）a+（）2+a， f（x）max+a， 问题等价于： “当 xe，e2时，有 f（x）max” ， 当a，即 a时， f（x）a+（）2+a0， f（x）在e，e2上为减函数， 则 f（x）maxf（e）eaee（1a）， a1， 当a0，即 0a时，xe，e2，1， f（x）a+，由复合函数的单调性知 f（x）在e，e2上为增函数， 存在唯一 x0（e，e2） ，使 f（x0）0 且满足：f（x）在e，x0）递减，在（x0，e2 递增， f（x）maxf（e）或 f（
19、e2） ，而 f（e2）ae2， 故ae2，解得：a， 第 11 页（共 19 页） 综上，实数 a 的取值范围为，+） ， 故答案为：，+） 【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方 程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知 p：函数 f（x）mx2sinx 在 R 上是单调增函数，q：m2m60 （1）若p
20、为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用导数研究函数的单调性得：函数 f（x）mx2sinx 在 R 上是单调递增 函数，得 xR 时，f（x）0 恒成立，又即 f（x）m2cosx0，即 m2cosx 恒成立， 所以 m（2cosx）max，又（2cosx）max2，得解； （2）解二次不等式 m2m60，解得：2m3，利用复合命题及其真假列不等式 组得：，可得解 【解答】解： （1）已知 f（x）mx2sinx，则 f（x）m2cosx 由函数 f（x）mx2sinx 在 R 上是单调递增函数，得 xR 时，f（x）0 恒成
21、立， 即 f（x）m2cosx0，即 m2cosx 恒成立，所以 m（2cosx）max，又（2cosx）max 2， 则 m2，即 p 为真时，m2， 又p 为真命题，则 p 为假命题，则 m2 故答案为： （，2） ； （2）当 q 为真时，即 m2m60，得（m3） （m+2）0，解得：2m3， 又 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题， 即有：解得 m2 所以实数 m 的取值范围为： （，2） ， 故答案为： （，2） 【点评】本题考查了复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式， 属简单题 第 12 页（共 19 页） 16 （14 分）如图，在棱长为 3 的正方体
22、ABCDA1B1C1D1中，点 P 在棱 CC1上，且 CC1 3CP （1）求异面直线 AP 与 BD1所成角的余弦值； （2）求二面角 PAD1B 的正弦值 【分析】 （1）以 D 为原点，分别以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的 空间直角坐标系，求出， 利用空间向量的数量 积求解即可 （2）求出平面 PAD1的法向量，平面 BAD1的法向量，利用空间向量的数量积求解即可 【解答】解：如图建立以 D 为原点，分别以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向的空间直角坐标系， 因为棱长为 3，且 CC13CP 可得 D（0，0，0） ，A（3，0，0） ，B（3，3，0） ， C
23、（0，3，0） ，D1（0，0，3） ，P（0，3，1） （2 分） （1）则， （4 分） 所以 （6 分） 第 13 页（共 19 页） （2）依题意，可得 设为平面 PAD1的法向量， 则即不妨令z1，可得 ； （9 分） 设为平面 BAD1的法向量， 则即不妨令z1，可得 （12 分） 因此有，于是 PAD1BPAD1B 所以，二面角PAD1B的正弦值为 （14 分） 【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角与异面直线所成角的求法，考查空 间想象能力以及计算能力 17 （14 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC3，BAC90，点 D，E 分别为 BC， AC 边上的动点，且
24、ADE45设 BDx，DEC 的面积为 y （1）试用 x 的代数式表示 EC； （2）当 x 为何值时，DEC 的面积最大？求出最大面积 【分析】 （1）通过三角形相似转化求解即可 （2）求出三角形的面积，利用函数的导数，求解函数的极值判断函数的单调性，然后求 解最值 【解答】解： （1）在ABC 中，ADCBAD+BADE+CDE， 又BADE45，则BADCDE（2 分） 第 14 页（共 19 页） 在BAD 和CDE 中，由得BADCDE，（4 分） 所以因直角ABC 中，ABAC3，则，所以， 代入；（6 分） （2）DEC的面积为y，则 ，（9 分） 则0，得（12 分） 当时，
25、y0，所以 y 在上单调递增； 当时，y0，所以 y 在上单调递减（14 分） 所以当时， 答：当时，DEC 的面积最大，最大面积为（16 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 18 （16 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 T（2，2） ，过 T 作直线 l 与抛物线相切 （1）求直线 l 的方程； （2）如图，直线 lOT，与抛物线 C 交于，B 两点，与直线 l 交于 P 点，是否存在常数 ，使|PT|2|PA|PB| 【分析】 （1）将 T（2，2）代入 y22px，然后求解抛物线方程，设直线 l 的方程为 x2 k（y2） ，联立方
26、程组通过0 得 k2，得到直线 l 的方程，另：设 直线 l 的方程为 y2k（x2） ，联立方程组利用相切转化求解即可 第 15 页（共 19 页） （2）设直线 l的方程为 yx+b，联立方程组，解得 P（22b，2b） ，则 PT25b2，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立方程组，利用弦长公式，转化证明 求解即可 【解答】解： （1）将 T（2，2）代入 y22px，则 p1，所以抛物线方程为 y2 2x （2 分） 设直线 l 的方程为 x2k（y2） ，联立方程组 消 x 得 y22ky+4（k1）0，因相切，由0 得 k2， 所以直线 l 的方程为 x2y+20（6
27、分） 另：设直线 l 的方程为 y2k（x2） ，联立方程组 消 x 得 ky22y+44k0，因相切，由0 得， 所以直线 l 的方程为 x2y+20（6 分） （2）因 kOT1，lOT，设直线 l的方程为 yx+b，联立方程组 解得P（22b，2b），则PT2 5b2 （8 分） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立方程组得 y22y+2b0， 所以 y1+y22，y1y22b；因 （10分） ，（14 分） 所以存在实数，使 （16 分） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求思想方法的应用， 考查分析问题解决问题的能力 19 （16 分）已知椭圆的
28、离心率，且经过点，A， 第 16 页（共 19 页） B，C，D 为椭圆的四个顶点（如图） ，直线 l 过右顶点 A 且垂直于 x 轴 （1）求该椭圆的标准方程； （2）P 为 l 上一点（x 轴上方） ，直线 PC，PD 分别交椭圆于 E，F 两点，若 SPCD2S PEF，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用椭圆的离心率，且经过点，列出方程组求解即可 （2）设 P（2，m） ，m0，直线 PC 的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理， 推出 E 的坐标，结合联立方程组求出 F 点的横坐标，由 SPCD2SPEF， 转化求解即可 【解答】解： （1）因的离心率，且经过点， 所以 （2 分） 解
29、得 a24，b21所以椭圆标准方程为（4 分） （2）由（1）知椭圆方程为，所以直线 l 方程为 x2，C（0，1） ，D（0， 1） （6 分） 设 P（2，m） ，m0，则直线 PC 的方程为，（8 分） 联立方程组消 y 得（m22m+2）x2+4（m1）x0， 所以E点的横坐标为 第 17 页（共 19 页） ； （10 分） 又直线 PD 的方程为， 联立方程组消 y 得（m2+2m+2）x24（m+1）x0， 所以F点的横坐标为 （12 分） 由 SPCD2SPEF得， 则有，则，（14 分） 化简得，解得 m22，因为 m0，所以， 所以点P的坐标为 （16 分） 【点评】本题考
30、查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力 20 （16 分）已知函数，aR （1）若函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，求 a 的值； （2）求函数 f（x）在 x1，3上的最大值； （3）当 a0 时，若 f（f（x） ）有 3 个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出 a 的值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的最大值即可； （3） 求出函数的导数， 根据函数的单调性求出函数的极值， 结合图象判断 a 的范围即可 【解答】解： （1）由，则 f（x）2x2ax 第 18 页（共 19
31、 页） 因函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，得 f（1）0， 当 a2 时，f（x）2x（x1）显然满足要求，所以 a2 （2 分） （2）因 f（x）2x2axx（2xa） ，x1，3， 当，即 a2 时，f（x）0，f（x）在1，3上单调递增， 则； （4 分） 当，即 a6 时，f（x）0，f（x）在1，3上单调递减， 则；（6 分） 当，即 2a6 时，当时，f（x）0； 当时，f（x）0， 所以 f（x）在递减，在递增， 则 f（x）maxf（1） ，f（3） 又，故当时，f（3）f（1） ； 当时，f（3）f（1） ；当时，f（3）f（1） 综上，f（x
32、）在 x1，3上的最大值（8 分） （3）因得 x0 或； 又 a0，x（，0） ，f（x）0，f（x）单调递增； ，f（x）0，f（x）单调递减； ，f（x）0，f（x）单调递增， 则 f（x）极大值f（0）1， 令 f（x）t，因 xR，所以 tR，所以 yf（x）与 yf（t）图象相同 则 yf（f（x） ）的零点个数即为方程 f（f（x） ）0 不同实数解的个数 当（如图 1） ，即时，f（t）0 有唯一负实数解， 第 19 页（共 19 页） 则存在 t0（，0）使 f（t0）0，而 f（x）t0只有一个实数解， 故 f（f（x） ）0 只有一个实数解 （10 分） 当（如图 2） ， 即时， f （t） 0 有两个不同实数解 t0（t00） ， 因，则 f（x）t1与 f（x）t0各有一个实数解， 故 f（f（x） ）0 有两个不同的实数解（12 分） 当时（如图 3） ，即， f（t）0 有三个不同实数解 t0（t00） ， 因，f（x）t2有一个实数解， 则 f（x）t0与 f（x）t1只能各有一个实数解则， 由（2）可知 f（t）在单调递减， （，0）单调递增， 则 综上，a2 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类 讨论思想，转化思想，数形结合，是一道综合题
