1、一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1已知函数 2 ( )2f xxx，集合 |( )0Axf x, |'( )0Bxfx，则AB （） A 1,0B 1,2 C0,1D(,12,) 2设i是虚数单位，若复数1iz ，则 2 2 | z z z （） A1 iB1 iC1i D1i 3命题“(0,1)x ,ln x ex ”的否定是（） A(0,1)x ,ln x ex B 0 (0,1)x, 0 0 ln x ex C 0 (0,1)x, 0 0 ln x ex D 0 (0,1)x, 0 0 ln x
2、 ex 4已知|3a,|2b，若()aab，则向量a + b在向量b方向的投影为 （） A 1 2 B 7 2 C 1 2 D 7 2 5在ABC中，“sinsinAB”是“tantanAB”的 （） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条 件 同学们：在举国防控疫情期间，我们全民动员、同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大 拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课自律。岁月不蹉跎，未来才可 期！努力充实丰盈自己，才能赢得精彩人生！ 同学们：在举国防控疫情期间，我们全民动员、同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大 拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备
3、考，学会了人生的必修课自律。岁月不蹉跎，未来才可 期！努力充实丰盈自己，才能赢得精彩人生！ 绝密启用前 2 6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（） A11 12 B6 C11 2 D22 3 7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为 A249 3B489 3 C4818 3D14418 3 8函数cos23sin2yxx(0,) 2 x 的单调递增区间是（） A0, 6 B0, 3 C, 62 D, 32 9在平面直角坐标系中，若不等式组 440 2100 5220 xy xy xy 所表示的平面区域内存在点 00 (,)xy，
4、使不等式 00 10xmy 成立，则实数m的取值范围为（） A 5 (, 2 B 1 (, 2 C4,)D(, 4 10已知函数 1 2 x f xex 的零点为m，若存在实数n使 2 30xaxa且1mn，则实数 a的取值范围是（） A2,4B 7 2, 3 C 7 ,3 3 D2,3 11 已知双曲线 22 22 :1 xy E ab (a0,b0)满足以下条件： 双曲线E的右焦点与抛物线 2 4yx的焦 点F重合；双曲线E与过点(4,2)P的幂函数( )f xx的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的 切线过点F关于原点的对称点则双曲线的离心率是 （） A 31 2 B 51 2 C 3 2
5、 D51 3 12已知函数 1 ( ) x f xxe ，若对于任意的 0 0,xe，函数 2 0 ( )ln()1g xxxaxf x在0,e内 都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 （） A(1, eB 2 (, ee e C 22 (,ee ee D 2 (1,e e 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分将答案填在题中的横线上） 13 6 (12 )(1)xx的展开式中 2 x的系数为 14我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称 为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，
6、取相减后余数 的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被 4 除， 所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、 “隅”指的是在方程 2 pxq 中 ， p 为 “ 隅 ” ， q 为 “ 实 ” 即 若ABC的 大 斜 、 中 斜 、 小 斜 分 别 为, ,a b c， 则 2 222 222 1 42 acb Sa c .已知点D是ABC边AB上一点， 815 3,2,45 ,tan 7 ACBCACDBCD ，则ABC的面积为 15过直线7ykx上一动点( , )M x y向圆 22 :20C xyy引两条切线,MA MB，切点
7、为,A B， 若1,4k，则四边形MACB的最小面积 3, 7S的概率为 16三棱锥SABC中，点P是RtABC斜边AB上一点给出下列四个命题： 若SA 平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； 若4,4,4ACBCSC，SC 平面ABC，则三棱锥SABC的外接球体积为32 3； 若3,4,3ACBCSC，S在平面ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC的体积 为 2； 若3,4,3ACBCSA，SA 平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60 其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过
8、程或演算步骤） 17（12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 46 18aa， 11 121S （1）求数列 n a的通项公式； （2）设(3)2n nn ba，数列 n b的前n项和为 n T，求 n T 4 18（12 分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生 和 50 名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制 出如图所示的频率分布直方图 如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于 90 本，则称该学生为“书虫” （1）根据频率分布直方图填写下面 22 列联表，并据此资料，在犯
9、错误的概率不超过 5%的前提 下，你是否认为“书虫”与性别有关？ 男生女生总计 书虫 非书虫 总计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P kk0.250.150.100.050.025 k1.3232.0722.7063.8145.024 （2）从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望 19（12 分）如图，己知边长为 2 的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且 60DAB，点F是BC的中点 （1）求证：BDEF； （2）求二面角EDFB的余弦值 5 20（12 分）已知 12
10、 ,F F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，点 3 (1, ) 2 P在椭圆上，且过点 2 F的直线l交椭圆于,A B两点， 1 AFB的周长为 8 （1）求椭圆E的方程； （ 2）我们知 道抛物线 有性质： “过抛物 线 2 2ypx(0)p 的焦点 为F的弦AB满足 2 | |AFBFAFBF p . ” 那 么 对 于 椭 圆E， 问 否 存 在 实 数， 使 得 2222 | |AFBFAFBF成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由 21（12 分）已知函数 2 ( )1 x f xe . （1）求函数(2 )fx在1x 处的切线方程； （2）若不等
11、式()()f xyf xymx对任意的0,)x，0,)y都成立，求实数m的取值 范围. 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22（10 分）选修 44 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 1 3 2 1 xt yt (t 为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos() 4 . （1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l与圆C相交于,A B两点，求AB 23（10 分）选修 45 不等式选讲 已知函数( ) |2|f xx. （1）求不等式(2
12、 )(4)2fxf x的解集； （2）当0a 时，不等式()( )1f axaf xa恒成立，求实数 a 的取值范围. 6 2020 普通高等学校招生全国统一考试线上测试（四） 数学（理科）参考答案 1 【答案】C【解析】 2 |20 |02Ax xxxx , | 220 |1Bxxx x ， | 01ABxx 故 选 C 2【答案】A【解析】复数 1iz , |2z , 22 (1i)2iz ， 则 2 2 |z z z 22(1i) 2i2i1i2i1i 1i(1i)(1i) ，故选 A 3【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“ (0,1)x , ln x ex ”的否定是
13、： 0 (0,1)x , 0 0 ln x ex 故选 D 4【答案】B【解析】 ()aab , 2 ()30 aabaa b =a b = , 3 a b ， 向量a + b在向量b方向的投影为 2 ()347 |cos, |22 a+ bba b+ b a+ ba+ b b bb 故选 B 5【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得： sinsin 22 ab ABabAB RR ，而函数 tanyx 在(0, ) 上不是单调函数，所以“sin sinAB ”是“tan tanAB ”的既不充分也不必要条件， 故选 D. 6 【答案】 D 【解析】 执行程序框图， 可得 S=0， n=
14、2， 满足条件， 1 2 S ， n4， 满足条件， 113 244 S ， n=6，满足条件， 11111 24612 S ，n8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值 为 1122 8 123 ，故选 D 7【答案】C【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为 22 6 3 3()6 2 r ，圆锥的高 22 (3 5)36h ，圆锥母线 22 666 2l ，截去的底面弧的圆心角为120，底面剩余部分的面 积为 2222 2121 sin12066sin120249 3 3232 Srr ，故几何体的体积为： 11 (249 3)64818 3 33 VSh ，故选 C.
15、7 8 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 cos23sin2yxx 2sin(2 )2sin(2) 66 xx ， 由 3 222, 262 kxkk Z ， 解 得 5 , 36 kxkk Z ， 即 函 数 的 增 区 间 为 5 , 36 kkk Z ，所以当 0k 时，增区间为 , 32 ，选 D. 9【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示： 其中 (2,6)A ，直线 10xmy 过定点 ( 1,0)D ， 当 0m 时，不等式 1 0x 表示直线 10x 及其左边的区域，不满足题意； 当 0m 时，直线 10xmy 的斜率 1 0 m ，不等式 10xmy
16、表示直线 10xmy 下方的区域， 不满足题意； 当 0m 时，直线 10xmy 的斜率 1 0 m ，不等式 10xmy 表示直线 10xmy 上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点 00 (,)x y ， 使不等式 00 1 0xmy 成立，只需直线 10xmy 的斜率 1 2 AD k m ， 解得 1 2 m 综上可得实数m的取值范围为 1 (, 2 ，故选 B. 10【答案】D【解析】因为 '1 ( )10 x fxe ，且 (1)0f ，所以函数 1 2 x f xex 单调递增且有惟 一的零点为 1m ， 所以 11n ， 02n ， 问题转化为： 使方程 2
17、 30xaxa 在区间0,2上有解， 即 22 3(1)2(1)44 12 111 xxx ax xxx 在区间0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数 4 12 1 yx x 在区间0,2的值域为2,3， 23a ，故选 D 8 11 【答案】 B 【解析】 依题意可得， 抛物线 2 4yx 的焦点为 (1,0)F ， F 关于原点的对称点( 1,0) ；2 4 ， 1 2 ，所以 1 2 ( )f xxx ， 1 '( ) 2 fx x ，设 00 (,)Q xx ，则 0 0 0 1 12 x xx ，解得 0 1x ， (1,1)Q ，可得 22 11 1 ab ，又 1c ，
18、 222 cab ，可解得 51 2 a ，故双曲线的离心率是 151 251 2 c e a ，故选 B 12【答案】D【解析】函数 2 0 ( )ln()1g xxxaxf x 在 0,e 内都有两个不同的零点，等价于方程 2 0 ln1()xxaxf x 在 0,e 内都有两个不同的根 111 '( )(1) xxx fxexex e ，所以当 (0,1)x 时， '( )0fx ， ( )f x 是增函数； 当 (1, )xe 时， '( )0fx ， ( )f x 是减函数因此0 ( )1f x . 设 2 ( )ln1F xxxax ， 2 121 '
19、;( )2 xax F xxa xx ， 若 '( )0F x 在(0, ) e 无解，则 ( )F x 在 0,e 上是单调函数，不合题意；所以 '( )0F x 在(0, ) e 有解，且易 知只能有一个解设其解为 1 x ，当 1 (0,)xx 时 '( )0F x ， ( )F x 在 1 (0,)x 上是增函数；当 1 ( , )xx e 时 '( )0F x ， ( )F x 在 1 ( , )x e 上是减函数 因为 0 0,xe ，方程 2 0 ln1()xxaxf x 在 0,e 内有两个不同的根，所以 max1 ( )( )1F xF x ，
20、且 ( )0F e 由 ( )0F e ，即 2 ln10eeae ，解得 2 ae e 由 max1 ( )( )1F xF x ，即 2 111 ln11xxax ，所以 2 111 ln0xxax 因为 2 11 210xax ，所以 1 1 1 2ax x ，代入 2 111 ln0xxax ，得 2 11 ln10xx . 设 2 ( )ln1m xxx ， 1 ( )20m xx x ，所以 ( )m x 在(0, ) e 上是增函数， 而 (1)ln11 10m ，由 2 11 ln10xx 可得 1 ()(1)m xm ，得 1 1xe 由 1 1 1 2ax x 在(1, )
21、 e 上是增函数，得 1 12ae e 综上所述 2 1ae e ，故选 D. 13【答案】3【解析】 6 (12 )(1)xx 的展开式中 2 x 的系数为 21 66 C( 2)C3 . 14 【答案】 3 15 4 【解析】 tantan tantan()15 1tantan ACDBCD ACBACDBCD ACDBCD ， 所以 1 cos 4 ACB ， 由余弦定理可知 222 2cos16ABACBCAC BCACB ，得 4AB .根据“三斜求积术”可得 9 2 222 222 1423135 42 4216 S ，所以 3 15 4 S . 15【答案】 157 3 【解析】
22、由圆的方程得 22 (1)1xy ，所以圆心为(0, 1) ，半径为 1r ，四边形 的面积 2 MBC SS ，若四边形MACB的最小面积 3, 7S ，所以 MBC S 的最小值为 37 , 22 MBC S ， 而 1 2 MBC Sr MB ，即 MB 的最小值 min 3, 7MB ，此时 MC 最小为圆心到直线的距离，此时 2222 2 17 1( 3) , 1( 7) 1 d k ，因为 0k ，所以 7, 15k ，所以 1,4k 的概率为 157 3 16 【答案】 【解析】 对于， 因为SA 平面ABC， 所以SA AC ，SA AB ，SA BC ， 又BC AC ， 所
23、以 BC 平面 SAC ，所以 BCSC ，故四个面都是直角三角形，正确；对于，若 4,4,4ACBCSC ，SC 平面ABC，三棱锥S ABC 的外接球可以看作棱长为 4 的正方体的外接 球， 222 24444 3R ， 2 3R ，体积为 3 4 (2 3)32 3 3 V ，正确；对于，设 ABC 内心是 O，则SO 平面ABC，连接 OC，则有 222 SOOCSC ，又内切圆半径 1 (345)1 2 r ，所 以 2OC ， 222 321SOSCOC ， 故 1SO ， 三 棱 锥 SABC 的 体 积 为 111 34 12 332 ABC VSSO ，正确；对于，若 3SA
24、 ，SA 平面 ABC，则直线PS 与 平面SBC所成的最大角时，P点与A点重合，在Rt SCA 中， 3 tan1 5 ASC ， 45ASC，即直 线PS与平面SBC所成的最大角为45，不正确，故答案为 17【解析】 （1）设数列 n a 的公差为 d， 465 218aaa ， 5 9a ， 111 116 11() 11121 2 aa Sa ， 6 11a ， 65 1192daa ， 5 (5)92(5)21 n aandnn .（6 分） （2）由（1）可知 1 (3)2(213)2(1)2 nnn nn bann ， 数列 n b 的前n项和为 2341 223242(1)2
25、n n Tn ， 34512 22232422(1)2 nn n Tnn ， 两式作差，得 23412 22222(1)2 nn n Tn 10 1 2 8(12) 8(1)2 12 n n n 222 828(1)22 nnn nn ， 2 2n n Tn .（12 分） 18【解析】 （1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为 12,38，女生书虫、非书虫的人数 分别为 4,46，故得如下 22 列联表： 男生女生总计 书虫12416 非书虫384684 总计5050100 根据列联表中数据可得： 2 2 100 (12464 38) 4.762 16 84 50 50 K
26、，（4 分） 由于 4.7623.841， 所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关（6 分） （2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4，X的所有可能取值为 0，1，2， 则 2 46 2 50 C207 (0) C245 P X , 11 464 2 50 C C184 (1) C1225 P X , 2 4 2 50 C6 (2) C1225 P X ，（9 分） 故X的分布列为 X012 P 207 245 184 1225 6 1225 X的数学期望为 20718461964 ()012 24512251225122525 E X .（12 分） 1
27、9【解析】 （1）证明：取AB的中点O，连结 ,EO OF AC ，由题意知EO AB 又因为平面ABCD 平面ABE，所以EO 平面ABCD（2 分） 因为BD 平面ABCD，所以EO BD , 因为四边形ABCD为菱形，所以BD AC ， 11 又因为 /OF AC，所以BDOF ，所以BD 平面EOF.（4 分） 又EF 平面EOF，所以BD EF （6 分） （2）连结DO，由题意知EO AB ，DO AB . 又因为平面ABCD 平面ABE，所以DO 平面ABE， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz . 则 0,0,0O , 33 3,0,0 ,0,0, 3 ,0,0
28、,1,0 22 EDFB ， 33 0,3,0,3 22 DFDE .（8 分） 设平面DEF的一个法向量为 1 ( , , )x y zn ，则 1 1 0 0 DF DE n n ，即 33 0 22 330 yz xz ， 令 1x ，所以 1 3 (1,1) 3 n .（10 分） 又由（1）可知EO 平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为 2 (1,0,0)n ， 设二面角E DFB 的平面角为，则 12 12 21 cos 7 nn nn .（12 分） 20【解析】 （1）根据椭圆的定义，可得 12 | 2AFAFa ， 12 | 2BFBFa ， 1 AFB 的周长为 11
29、1122 | | 4AFBFABAFBFAFBFa ， 4 8a ，得 2a ，椭圆E的方程为 22 2 1 4 xy b ， 将 3 (1, ) 2 P 代入椭圆E的方程可得 2 3b ，所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy .（5 分） （2）由（1）可知 222 431cab ，得 2(1,0) F ， 依题意可知直线l的斜率不为 0，故可设直线l的方程为 1xmy ， 12 由 22 1 43 1 y xmy x 消去x，整理得 22 (34)690mymy ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y ，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y
30、 y m ， 不妨设 12 0,0yy ， 222222 2111111 |(1)(1 1)1 |1AFxymyymymy ， 同理 22 222 |1 |1BFmymy ，（9 分） 所以 222 2212 12 1111111 () | 111 AFBFyy mymym 2 2 22 2112 21 222 1212 2 69 ()4 ()41114 3434 . 9 3 111 34 m yyy yyy mm y yy y mmm m 即 2222 4 | | 3 AFBFAFBF ，所以存在实数 4 3 ， 使得 2222 | |AFBFAFBF 成立.（12 分） 21【解析】 （1
31、）设 22 ( )(2 )1 x t xfxe ，则 22 '( )2 x t xe ， 当 1x 时， 2 2 (1)12te ， 2 2 '(1)22te ， 函数 (2 )fx 在 1x 处的切线方程为 22(1)yx ，即2 0xy .（4 分） （2）根据题意可得 22 2 xyxy eemx 对任意的 0,)x ， 0,)y 都成立， 当 0x 时，不等式即为 22 20 yy ee ，显然成立；（5 分） 当 0x 时，设 22 ( )2 xyxy g xee ，则不等式 22 2 xyxy eemx 恒成立， 即为不等式 ( )g xmx 恒成立， 22222
32、( )2()22222 xyxyxyyxyyx g xeeeeeeeee (当且仅当 0y 时取等号)，由题 意可得 2 22 x emx ，即有 2 22 x e m x 对 (0,)x 恒成立， 令 2 22 ( ) x e h x x ，则 222 22 (1)(1)1 '( )22 xxx xeexe h x xx ， 令 '( )0h x ，即有 2 (1)1 x xe ，令 2 ( )(1) x m xxe ，则 222 '( )(1) xxx m xexexe ， 当 0x 时， 2 '( )0 x m xxe ， ( )m x 在(0, ) 上单
33、调递增， 又 2 2 (2)(21)1me ， 2 (1)1 x xe 有且仅有一个根 2x ，（9 分） 13 当 (2,)x 时， '( )0h x ， ( )h x 单调递增，当 (0,2)x 时， '( )0h x ， ( )h x 单调递减， 当 2x 时， ( )h x 取得最小值，为 2 2 22 (2)2 2 e h ， 2m 实数m的取值范围( ,2 .（12 分） 22【解析】 （1）将直线 l 的参数方程 1 3 2 1 xt yt （t 为参数）消去参数t， 可得直线 l 的普通方程为 11 1() 23 yx ，即 22 32 310xy 由 2cos
34、() 4 ，得 cossin ，所以 2 cossin , 得 22 xyxy ，即 22 111 ()() 222 xy （5 分） （2）由 1 3 2 1 xt yt 得 13 22 1 1 2 xm ym (m为参数）， 将其代入 22 111 ()() 222 xy ， 得 2 11 0 24 mm , 12 1 2 mm , 12 1 4 m m ， 22 12121212 ()()4ABmmmmmmm m 2 115 ()4() 242 （10 分） 23【解析】 （1）)函数 (2 )(4)| 22|2|fxf xxx = 4,1 3 , 12 4,2 xx xx xx ， 当 1x 时，不等式即 42x ，求得 6x ， 6x ； 当 12x 时，不等式即3 2x ，求得 2 3 x ， 2 2 3 x ； 当 2x 时，不等式即 42x ，求得 2x ， 2x 综上所述，不等式的解集为 2 | 3 x x 或 6x （5 分） （2）当 0a 时, ()( ) |2|2| |2|2 |(2)(2 )| |22|f axaf xaxa xaxaxaaxaxaa| 14 不等式 ()( )1f axaf xa 恒成立， | 22|1aa ， 221aa 或2 21aa ，解得 3a 或 1 0 3 a ， 实数a的取值范围为 1 (0, 3,) 3 .（10 分）
