1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布
2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C
3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 知识内容 期望与方差 2 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 (
4、)C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(
5、 ,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表
6、示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，
7、 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是
8、1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离
9、散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (
10、1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积）
11、， 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则()D X等于（ ） A0 B0.8 C2 D1 【考点】期望与方差 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】()1 0.42 0.23 0.42E X ， 222 ()(1 2)0.4(22)0.2(32)0.40.8D X 【答案】B； 【例2】 同时抛掷两枚相同的均匀硬币， 随机变量1表示结果中有正面向上，0表 示结果中没有正面向上，则E ，D_ 【考点】期望与方差 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略 【答案】同时抛掷两枚相同的均匀硬币，有4种
12、可能：正正、正负、负正、负负， 于是易知， 有正面向上的概率 3 (1)0.75 4 P，没有正面向上的概率 1 (0)0.25 4 P， 从而0.75 10.25 00.75E ， 22 13 (10.75)(1)(00.75)(0) 64 DPP 【例3】 袋中编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以表示取出的 球的最大号码，则E_，D_ 【考点】期望与方差 【难度】2 星 【题型】填空 典例分析 5 【关键字】无 【解析】略 【答案】的可能取值为3 4 5， ， 2 2 3 5 C (3)0.1 C P， 2 3 3 5 C (4)0.3 C P， 2 4 3 5 C (5
13、)0.6 C P， 于是0.1 30.3 40.6 54.5E ， 222 (34.5)0.1 (44.5)0.3(54.5)0.60.315D 【例4】 已知离散型随机变量X的分布列如下表若0EX ，1DX ，则a ， b 210-1 1 12 cbaP X 【考点】期望与方差 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2009 年，广东高考 【解析】 由题知 11 12 abc， 1 0 6 ac ， 222 1 1121 12 ac ， 解得 51 124 ab， 【答案】 51 , 124 ； 【例5】 两封信随机投入A B C， ，三个空邮箱，求A邮箱的信件数X的数学期望()E X 与
14、方差()D X 【考点】期望与方差 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】由题意知0 1 2X ，且 224 (0) 3 39 P X ， 11 22 C C4 (1) 3 39 P X ， 11 (2) 3 39 P X ； 故X的分布列为： X 0 1 2 P 4 9 4 9 1 9 故 4412 ()012 9993 E X ， 6 222 2424214 ()012 3939399 D X 【例6】 编号1 2 3， ，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生的个数是X 求随机变量X的概率分布； 求随机变量X的
15、数学期望和方差 【考点】期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】 3 3 21 (0) 3 P X ， 1 3 3 3 C1 (1) 2 P X ， 3 3 11 (3) 6 P X 随机变量X的概率分布为 X 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 111 ()0131 326 E X 222 111 ()(10)(1 1)(3 1)1 326 D X 【例7】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分 别为、，和的分布列如下： 0 1 2 0 1 2 P 6 10 1 10 3 10 P 5 10 3 10 2 10 则比较两
16、名工人的技术水平的高低 【考点】期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望； 二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小 工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为： 613 0120.7 101010 E ， 222613 00.71 0.720.70.891 101010 D； 工人乙生产出次品数的期望和方差分别为： 7 532 0120.7 101010 E ， 222532 00.71 0.720.70.664 101010 D 由EE知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DD，可见乙
17、的 技术比较稳定 【例8】 甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致 相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别 为： 甲保护区： 1 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： 2 X 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平 【考点】期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】甲保护区的违规次数 1 X的数学期望和方差为： 1 00.3 1 0.320.23 0.21.3;EX 2222 1 (0 1.3)0.3(1 1.3)0.3(2 1.3)0.2(3
18、1.3)0.21.21;DX 乙保护区的违规次数 2 X的数学期望和方差为： 2 00.1 1 0.520.41.3;EX 222 2 (0 1.3)0.1 (1 1.3)0.5(2 1.3)0.40.41DX ； 因为 1212 ()()()()E XE XD XD X，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次 数是相同的， 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定， 而甲保护区的违规事件 次数相对分散和波动 （标准差 1 122 1.10.64XDXXDX，这两个值在科学计算器上容易获 得，显然， 12 ()()XX） 【例9】 现有甲、乙两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强
19、度指 数如下 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 8 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 和分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度在使用材料时，要求抗拉强度平均不 低于120的条件下，试比较甲、乙两种材料哪一种的质量更好些 【考点】期望与方差 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】先看期望是否合格，然后再比较它们的方差 100 0.1 115 0.2 125 0.4 130 0.1 145 0.2125E 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0
20、.2125E 可见甲、乙两种材料的平均抗拉强度相同，并且都合格再比较方差 22222 0.1 (100 125)0.2 (115 125)0.4 (125 125)0.1 (130 125)0.2 (145 125)165D 22222 0.1 (110 125)0.2 (120 125)0.4 (125 125)0.1 (130 125)0.2 (135 125)50D 可见DD，因此乙材料的质量更好些 【例10】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个 （1 2 3 4n ， ，） 现从袋中任取一球，表示所取球的标号 求的分布列，期望和方差； 若ab，1E，11
21、D，试求a b，的值 【考点】期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2008 年，湖北高考 【解析】略 【答案】的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 11131 012341.5. 22010205 E 22222 11131 (01.5)(1 1.5)(21.5)(3 1.5)(41.5)2.75. 22010205 D 由Da D 2 ，得 2 2.7511a ，即2a 又EaEb，所以 当2a 时， 由2 1.51b， 得2b ； 当2a 时， 由2 1.51b ， 得4b 2 2 a b 或 2 4 a b 即为所求 9 【例
22、11】 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入 下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某 组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练 习中耗用子弹数X的分布列，并求出X的期望()E X与方差()D X（保留两位 小数） 【考点】期望与方差 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】该组练习耗用的子弹数X为随机变量，X可以取值为1 2 3 4 5， ， ， 1X ，表示一发即中，故概率为(1)0.8P X ； 2X ， 表示第一发未中， 第二发命中， 故(2)(1 0.8) 0.80.2
23、0.80.16P X ； 3X ，表示第一、二发未中，第三发命中， 故 22 (3)(1 0.8)0.80.20.80.032P X ； 4X ，表示第一、二、三发未中，第四发命中， 故 33 (4)(1 0.8)0.80.20.80.0064P X ； 5X ，表示第五发命中，故 44 (5)(1 0.8)10.20.0016P X ； 因此，X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016 ()1 0.82 0.163 0.0324 0.00645 0.0016E X 0.80.320.0960.02560.0081.25； 22222 (
24、)(1 1.25)0.8(2 1.25)0.16(3 1.25)0.032(4 1.25)0.0064(5 1.25)0.0016D X 0.050.090.0980.04840.02250.31 【例12】 有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去 试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放 回求试开次数X的数学期望和方差 【考点】期望与方差 【难度】5 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】分析：求()P Xk时，由题知前1k 次没打开，恰第 k 次打开 不过，一般我们应从简单的地方入手，如1 2 3X ， ，发现规律后，推广到
25、一般 X的可能取值为 1，2，3，n 111111 (1)(2)1 11 n P XP X nnnnnn ，； 10 1111211 (3)11 1212 nn P X nnnnnnn ，； 11111 ()1111 1221 P Xk nnnnknk 123111 1221 nnnnk nnnnknkn ； 所以X的分布列为： X 1 2 k n P 1 n 1 n 1 n 1 n 11111 ()123 2 n E Xn nnnn ； 22222 1111111111 ()123 22222 nnnnn D Xkn nnnnn 2 2222 11 (123)(1)(123) 2 n nnn
26、n n 222 1 1(1)(1)1 (1)(21) 62412 n nn nn n nn n 【例13】 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球 采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； 采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数， 求的期望和方差 【考点】期望与方差 【难度】发星 【题型】解答 【关键字】2008 年，北京市海淀区高三统一练习 【解析】略 【答案】 记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A， 摸出一球得白球的概率为 2 5 ，摸出一球得黑球的概率为 3 5 ， 233212 ( ) 555525 P A 由题知可取 0，1，2，依题意得 323 (0) 5410 P， 32233 (1) 54545 P， 211 (2) 5410 P 则 3314 012 105105 E ， 222 4343419 012 5105551025 D
