1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布
2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C
3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 知识内容 超几何分布 2 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 (
4、)C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(
5、 ,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表
6、示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，
7、 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是
8、1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离
9、散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (
10、1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积）
11、， 记做DAB（或DAB） 4 【例1】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取 到新球的个数的期望值是 【考点】超几何分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】超几何分布， 47 2.8 10 【答案】2.8； 【例2】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题， 规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试， 每题分数为 20 分， 求他得 分的期望值 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设答对的试题数为，则服从参数为10 6 5， ，的超几何分布，因此 由公式知他答对题数的期望
12、为 56 3 10 E 故他得分的期望值为20360分 【答案】60 【例3】 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女 性委员人数的概率分布、期望值与方差 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设女性委员的人数为X，则X服从参数为(8 3 5)，的超几何分布，其概率分布 为 1153010 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X， 期望 3 515 () 88 E X ，方差 2 5 (85)(83)3225 ()0.5022 8(8 1)448 D X 【答案】概率分布： 1153010
13、 (0)(1)(2)(3) 56565656 P XP XP XP X， 期望： 15 8 ，方差：0.5022 典例分析 5 【例4】 在12个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且 取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数求 ，的期望值 及方差 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】抽取样本连续抽取 3 次，也可认为一次抽取 3 个，所以服从参数为12 2 3， ，的 超几何分布服从参数为12 10 3， ，的超几何分布且3 于是 2 2 3153(123)2(122)15 3 122212 (121)44 EEED
14、 ， 2 15 ( 1) 44 DD 【答案】 1515 2244 EED， 15 44 D 【例5】 某人可从一个内有 2 张100元，3 张50元的袋子里任取 2 张，求他获得钱数的 期望值 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 021120 232323 222 555 C CC CC C361 (0)(1)(2) C10C10C10 P XP XP X， 0 1 2X ，时他所获得的钱数分别为100 150 200， 因此他获得钱数的期望值为： 100 (0)150 (1)
15、200 (2)140P XP XP X元 方法二：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 2 2， ，的超几何分布 由公式知 224 55 EX 因此他获得钱数的期望值为： 44 10050(2)140 55 元 【答案】140 【例6】 某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一 张，求孙儿获得钱数的期望值 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 6 【解析】方法一：设他取出100元的张数为X，则X服从参数为5 1 2，的超几何分布 0211 1414 22 55 C CC C64 (0)(1) C10C10 P XP X， 0 1
16、X ，时他所取出的钱数分别为20 110， 因此他取出钱数的期望值为：20 (0)110 (1)124456P XP X 孙儿获得钱数的期望值为 1 5628 2 方法二：设他取得100元的张数为X，则X服从参数为5 1 2，的超几何分布 由公式知 1 22 55 EX 因此他取出钱数的期望值为： 22 10010(2)56 55 元 【答案】56 【例7】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛， 设随机变量X表示所选3人中 女生的人数 求X的分布列； 求X的数学期望与方差； 求“所选3人中女生人数1X ”的概率 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】
17、X可能取的值为0 1 2， 3 24 3 6 CC ()012 C kk P Xkk ， ， 所以，X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 由，X的数学期望为 131 ()0121 555 E X ； （注：X服从参数为6 3 2，的超几何分布，故由公式得 32 ()1 6 E X ） 222 1312 ()(01)(1 1)(21) 5555 D X ； 由，“所选3人中女生人数1X ”的概率为 4 (1)(0)(1) 5 P XP XP X 【答案】X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 ()1E X ； 2 () 5 D X ； 7 4 5 【例8】
18、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中 的 6 题，乙能答对其中的 8 题规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行 测试，至少答对 2 题才算合格 求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差； 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 【考点】超几何分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 依题意，X可能取的值为0 1 2 3， ， 3 64 3 10 CC ()012 3 C kk P Xkk ， ， ， 甲答对试题数X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 甲答对试题数X的数学期望 13119 ()012
19、3 3010265 E X 2222 91939191 ()0123 5305105256 D X 14 25 ； （注：X服从参数为10 6 3， ，的超几何分布，故由公式得 3 69 () 105 E X ） 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B， 则 112 ( ) 263 P A ， 213 828 3 10 C CC565614 ( ) C12015 P B 因为事件A、B相互独立， 法一： 甲、乙两人考试均不合格的概率为 2141 ()( ) ( )11 31545 P A BP A P B 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 144 1()1 4545 PP A B 法二：
20、甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()PP A BP A BP A B ( ) ( )( ) ( )( ) ( )P A P BP A P BP A P B 2111421444 31531531545 【答案】 甲答对试题数X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 9 () 5 E X ()D X 14 25 ； 44 45 8 【例9】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球， 得到黑球的概率是 2 5 ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 7 9 若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个
21、数的数学期望； 求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 10 并指出袋 中哪种颜色的球个数最少 【考点】超几何分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】2008 年，浙江高考 【解析】设袋中白球的个数为x，则“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”的 概率为： 2 10 2 10 C7 1 C9 x ，解得5x 即白球有 5 个 设从袋中任意摸出 3 个球，得到白球的个数为，则随机变量服从参数为 10 5 3，的超几何分布因此数学期望为： 3 5 1.5 10 E 设袋中有n个球，则由题意其中黑球个数为 2 5 n，因此5*nkkN5() 设从袋中任意摸出
22、2 个球， 得到黑球的个数为X， 则X服从参数为 2 2 5 nn，的 超几何分布因此 02 0.40.6 2 CC (1)1(0)1 C nn n P XP X 要证 02 0.40.6 2 CC7 1 C10 nn n ，只需证 2 0.6 2 C3 C10 n n ，即 0.6 (0.61)3 (1)10 nn n n ， 只需证0.6(0.61) 103(1)nn，该式化简后即为n5，这是成立的 因此从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 10 又已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 77 910 ，所以白球 比黑球多，从而红球的个数最少
23、【答案】1.5E 设袋中有n个球，则由题意其中黑球个数为 2 5 n，因此5*nkkN5() 设从袋中任意摸出 2 个球， 得到黑球的个数为X， 则X服从参数为 2 2 5 nn，的 超几何分布因此 02 0.40.6 2 CC (1)1(0)1 C nn n P XP X 要证 02 0.40.6 2 CC7 1 C10 nn n ，只需证 2 0.6 2 C3 C10 n n ，即 0.6 (0.61)3 (1)10 nn n n ， 只需证0.6(0.61) 103(1)nn，该式化简后即为n5，这是成立的 因此从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 10 又已知从袋中任意摸出 2 个球， 至少得到 1 个白球的概率是 77 910 ， 所以白 球比黑球多，从而红球的个数最少
