1、2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分. 1 （5 分）复数 z（1+sin）+（cossin）i 是实数，0，2则 2 （5 分）若 a，bR+，f（x）4x3ax22bx+2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值为 3 （5 分）i+i2+i3+i2007 4 （5 分）5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 5 （5 分）已知 f（x）2x3+6x2+m（m 为常数）在2，2上有最小值 3，那么此函数在 2，2上的最大值为 6 （5 分）来自高一、高二、
2、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球 裁判工作， 每个场地由两名来自不同年级的裁判组成， 则不同的安排方案共有 种 7 （5 分）若关于 x 的方程 x33x+m0 在0，2上有根，则实数 m 的取值范围 8 （5 分）已知函数（a 为常数）在 x处取得极值，则 a 值 为 9 （5 分）若函数 f（x）在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数 m 的取值 范围是 10 （5 分）质点运动的速度 v（18t3t2）m/s，则质点由开始运动到停止运动所走过的路 程是 11 （5 分）从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选 5 台，其中至少有原装与组装计 算机各两
3、台，则不同的取法有 种 12 （5 分） （1+x+x2） （1x）10展开式中 x4的系数为 13 （5 分）给出如图程序框图，那么，输出的数是 第 2 页（共 17 页） 14 （5 分）观察下列几个三角恒等式： tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101； tan5tan100+tan100tan（15）+tan（15）tan51； tan13tan35+tan35tan42+tan42tan131 一般地，若 tan，tan，tan 都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论 为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分 1
4、5 （15 分）已知复数 z（2+i）m22（1i） 当实数 m 取什么值时，复数 z 是： （1）零； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数 16 （15 分）已知展开式中的倒数第三项的系数为 45，求： （1）含 x3的项； （2）系数最大的项 17 （15 分）已知函数 （1）求函数 f（x）在区间1，e上的最大、最小值； 第 3 页（共 17 页） （2）求证：在区间（1，+）上，函数 f（x）的图象在函数的图象的下方 18 （15 分）设函数 f（x）2x3+3ax2+3bx+8c 在 x1 及 x2 时取得极值 （1）求 a，b 的值；
5、（2）若对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立，求 c 的取值范围 19 （15 分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度 x（km/h） 的函数解析式可以表示为（0x120） ，已知甲、乙两地相距 100km （1）当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 20 （15 分）设函数，g（x）2x2+4x+c （1）试问函数 f（x）能否在 x1 时取得极值？说明理由； （2）若 a1，当 x3，4时，函数 f（x）与 g（x）的图象有两个公共点，求 c 的 取
6、值范围 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年学年江苏省常州市高二（上）期中数学试卷江苏省常州市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分. 1 （5 分）复数 z（1+sin）+（cossin）i 是实数，0，2则 或 【分析】由复数 z 的虚部为 0 求得 tan，再由 的范围得答案 【解答】解：z（1+sin）+（cossin）i 是实数， cossin0，即 tan1， 又 0，2，或 故答案为：或 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查利
7、用三角函数值求角，是基础 题 2 （5 分）若 a，bR+，f（x）4x3ax22bx+2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值为 9 【分析】a，bR+，f（x）4x3ax22bx+2，可得 f（x） ，根据函数 f（x）在 x1 处 有极值，可得 f（1）0，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：a，bR+，f（x）4x3ax22bx+2， f（x）12x22ax2b， 函数 f（x）在 x1 处有极值， f（1）122a2b0，化为：a+b6 62，化为：ab9，当且仅当 ab3 时取等号 则 ab 的最大值为 9 故答案为：9 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、基
8、本不等式的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 3 （5 分）i+i2+i3+i2007 1 【分析】利用等比数列前 n 项和变形，再由虚数单位 i 的运算性质及复数代数形式的乘 除运算化简得答案 【解答】解：i+i2+i3+i2007 第 5 页（共 17 页） 故答案为：1 【点评】本题考查虚数单位 i 的运算性质，考查等比数列的前 n 项和，是基础的计算题 4 （5 分）5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 240 【分析】由题意知先把 5 本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个 元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结
9、果数相乘得到结果 【解答】解：由题意知先把 5 本书中的两本捆起来看做一个元素共有 C52， 这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有 A44， 分法种数为 C52A44240 故答案为：240 【点评】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约 束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件 5 （5 分）已知 f（x）2x3+6x2+m（m 为常数）在2，2上有最小值 3，那么此函数在 2，2上的最大值为 43 【分析】先根据已知条件 f（x）2x3+6x2+m（m 为常数）在2，2上有最小值 3， 求导数，判断单调性和极值，求出 m 的值， 再根
10、据单调性和极值求出函数在2，2上的最大值即可 【解答】解：f（x）2x3+6x2+m，f（x）6x2+12x6x（x2） ；图象如图 所示； 令 f（x）0，解得 x0 或 x2， 当2x0 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 0x2 时，f（x）0，f（x）单调 递增；当 x2 时，f（x）0，f（x）单调递减； f（x）在 x0 时有极小值，也是2，2上的最小值，f（0）m3； 函数在2，2上的最大值在 x2 或 x2 时取到，f（x）的大致图象如图所示： f（2）2（2）3+6（2）2+343； f（2）223+622+311； 函数在2，2上的最大值为：43 故答案为：43 第 6
11、页（共 17 页） 【点评】本题考查了一元三次函数的图象与性质，利用导数求函数的极值与最值问题， 属于基础题 6 （5 分）来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球 裁判工作，每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有 48 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，先将 6 个裁判分为 3 组，将分好的三组 安排到三个比赛场地，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 6 个裁判分为 3 组， 由于将每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，只能分为高一、高二； 高一、高三； 高二、高三的三组， 则有 A22A2
12、2A228 种分组方法； ，将分好的三组安排到三个比赛场地，有 A336 种排法， 则不同的安排方案总数有 8648 种； 故答案为：48 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 7 （5 分） 若关于 x 的方程 x33x+m0 在0， 2上有根， 则实数 m 的取值范围 2， 2 【分析】由题意可得 m3xx3，x0，2，利用导数判断函数在0，1上增，在1，2 上减，由此求得函数 m 在 0，2上的值域，从而求得 m 的范围 【解答】解：本题即求函数 m3xx3 在0，2上的值域 第 7 页（共 17 页） m33x2，令 m0，结合 x0，2，解得 x0，1
13、） ，故此函数在0，1）上是增函 数 令 m0，结合 x0，2，求得 1x2 故函数 m3xx3 在0，1）上是增函数，在1，2上是减函数 故当 x1 时，m 取得最大值为 2； 又当 x0 时，m0；当 x2 时，m2，故 m2，2， 故答案为：2，2 【点评】本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的 利用，体现了转化的数学思想，属于基础题 8 （5 分）已知函数（a 为常数）在 x处取得极值，则 a 值为 1 【分析】先对函数进行求导，根据函数 f（x）在 x处有极值应有 f（）0，进 而可解出 a 的值 【解答】解：f（x）2acos2xcos3x， 根据函数
14、 f（x）在 x处有极值，故应有 f（）0， 即 2acoscos（3）a+10， 解得 a1 故答案为：1 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题 9 （5 分）若函数 f（x）在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数 m 的取值 范围是 1m0 【分析】若函数变形为，只要考查函数就行了 【解答】解：函数变形为， 设，只要 g（x）是单调减函数即可 画出 g（x）的图象： 第 8 页（共 17 页） 解得1m0 故填1m0 【点评】 研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题 提供了帮助 10 （5 分）质点运动的速度 v（18t3t2）m/s，则质点由开
15、始运动到停止运动所走过的路 程是 108 【分析】由速度为 0 求出 t 的值为 0 和 6，求出速度函数在0，6上的定积分即可 【解答】解：由 18t3t20，得 t0 或 t6 当 t0，6时，质点运动的路程为 S（18t3t2）dt63+962 108； 故答案为：108 【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的物理意义，关键是对题意的理解，是基础 题 11 （5 分）从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选 5 台，其中至少有原装与组装计 算机各两台，则不同的取法有 350 种 【分析】根据分类计数原理知任意选 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，故需 分两类，3 台原装
16、 2 台组装，2 台原装 3 台组装，用组合数列出结果，根据分类计数原理 求出和 【解答】解：取 5 台且至少有原装与组装计算机各两台，分两类： 第 9 页（共 17 页） 3 台原装 2 台组装，有 C63C52种； 2 台原装 3 台组装，有 C62C53种 根据分类计数原理得到 C63C52+C62C53200+150350（种） 故答案为：350 【点评】本题考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏” 分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和 12 （5 分） （1+x+x2） （1x）10展开式中 x4的系数为 135 【分析】先将多项式展开，转化为二项式系数的和差，
17、利用二项展开式的通项公式求出 各项系数即可 【解答】解：（1+x+x2） （1x）10（1x）10+x（1x）10+x2（1x）10 （1+x+x2） （1x）10展开式中含 x4的系数为 （1x）10的含 x4的系数加上其含 x3的系数加上其含 x2项的系数 （1x）10展开式的通项为 Tr+1C10r（x）r 令 r4，3，2 分别得展开式含 x4，x3，x2项的系数为 C104，C103，C102 故（1+x+x2） （1x）10展开式中含 x4的系数为 C104C103+C102135， 故答案为 135 【点评】本题考查等价转化能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项 问
18、题 13 （5 分）给出如图程序框图，那么，输出的数是 2450 第 10 页（共 17 页） 【分析】 首先根据程序框图， 分析 sum 求和问题， 然后根据等差数列求和问题求解 sum 最 后输出 sum 的值 【解答】解：根据题意，按照程序框图进行运算： sum0 i2 sum2 i4 sum6 i6 sum12 i8 i98 sum2+4+6+10+98 sum 为首项为 2，末项为 98 的等差数列 sum2450 故答案为：2450 【点评】本题考查程序框图，等差数列的通项公式，以及等差数列求和问题，通过程序 框图转化为数列问题，属于基础题 14 （5 分）观察下列几个三角恒等式：
19、 tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101； tan5tan100+tan100tan（15）+tan（15）tan51； tan13tan35+tan35tan42+tan42tan131 第 11 页（共 17 页） 一般地，若 tan，tan，tan 都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 当 +90时，tantan+tantan+tantan1 【分析】 根据已知中的三角恒等式： tan10tan20+tan20tan60+tan60tan10 1；tan5tan100+tan100tan（15）+tan（15）tan51；tan13tan35 +t
20、an35tan42+tan42tan131我们分析式子中三个角的关系，即可得到答案 【解答】解：分析已知中的三角恒等式： tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101； tan5tan100+tan100tan（15）+tan（15）tan51； tan13tan35+tan35tan42+tan42tan131 式子左边的三个角和为 90，式子右边均为 1， 由此推断当 tan， tan， tan 都有意义时， 当 +90时， tantan+tantan+tantan 1 故答案为：当 +90时，tantan+tantan+tantan1 【点评】本题考查的知识点是归纳
21、推理，其中根据已知的三角恒等式，分析出式子中三 个角的关系，是解答本题的关键 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分 15 （15 分）已知复数 z（2+i）m22（1i） 当实数 m 取什么值时，复数 z 是： （1）零； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数 【分析】首先把复数进行整理，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭 复数，把复数化成代数形式的标准形式， （1）当这个数字是 0 时，需要实部和虚部都等 于 0， （2）当复数是一个虚数时，需要虚部不等于 0， （3）当复数是一个纯虚数时，需要
22、实部等于零而虚部不等于 0， （4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数，得 到实部和虚部的和等于 0解方程即可 【解答】解：复数 z（2+i）m22（1i）2 2m23m2+（m23m+2）i 第 12 页（共 17 页） （1）当这个数字是 0 时， 有 2m23m20， m23m+20， m2 （2）当数字是一个虚数， m23m+20， m1 m2 （3）当数字是一个纯虚数 有 2m23m20， m23m+20， m （4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数 有 2m23m2+m23m+20， m0 或 m2 【点评】本题考查复数的意义和基本概念，解题的关键是整理出复数
23、的代数形式的标准 形式，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件 16 （15 分）已知展开式中的倒数第三项的系数为 45，求： （1）含 x3的项； （2）系数最大的项 【分析】 （1）利用二项展开式的通项公式求出倒数第三项的系数列出方程求出 n； 利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 3 求出展开式含 x3的项 （2）由通项得到项的系数与二项式系数相等，据二项式系数的性质：展开式中间项的二 项式系数最大求出系数最大的项 【解答】解： （1）由题设知nn 245，即 n245， n10.， 令，得 r6， 含 x3的项为 T7C106x3C104x3210x3 第 13
24、 页（共 17 页） （2）由通项知，展开式项的系数是二项式系数 据二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大 故系数最大的项为中间项，即 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；二项式系 数的性质：展开式中间项的二项式系数最大 17 （15 分）已知函数 （1）求函数 f（x）在区间1，e上的最大、最小值； （2）求证：在区间（1，+）上，函数 f（x）的图象在函数的图象的下方 【分析】 （1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端 点函数值，进而求出函数的最大值、最小值； （2）构造函数设 F（x）x2+lnxx3，利用导数可知函数
25、 F（x）的单调性为递减， 从而可得 F（x）F（1）0 可证 【解答】解： （1）由 f（x）x2+lnx 有 f（x）x+， 当 x1，e时，f（x）0 f（x）maxf（e）e2+1， f（x）minf（1）， （2）设 F（x）x2+lnxx3， 则 F（x）x+2x2， 当 x1，+）时，F（x）0， 且 F（1）0 故 x1，+）时 F（x）0 x2+lnxx3，得证 【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不 等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性 18 （15 分）设函数 f（x）2x3+3ax2+3bx+8c 在 x1 及 x
26、2 时取得极值 （1）求 a，b 的值； 第 14 页（共 17 页） （2）若对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立，求 c 的取值范围 【分析】 （1）方法一：根据已知条件可得关于 a，b 的方程组，解出并验证即可； 方法二：由题意可得：则 1，2 是方程 6x2+6ax+3b0 的两个根，根据韦达定理即可求得 a 和 b 的值； （2）利用导数先求出函数 f（x）在区间0，3上的极大值，再求出区间端点的函数值， 进行比较，得出最大值又已知要求的问题：对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成 立f（x）maxc2，x0，3进而解出即可 【解答】 解： （1） 方法一： 函数 f （
27、x） 2x3+3ax2+3bx+8c， 求导， f （x） 6x2+6ax+3b 函数 f（x）在 x1 及 x2 时取得极值，则，则， ，解得 f（x）6x218x+126（x1） （x2） 经验证当 a3，b4 时，函数 f（x）在 x1 及 x2 时取得极值 a3，b4； 方法二：由函数 f（x）2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f（x）6x2+6ax+3b 函数 f（x）在 x1 及 x2 时取得极值， 则 1，2 是方程 6x2+6ax+3b0 的两个根，则，则 a3，b4， f（x）6x218x+126（x1） （x2） 经验证当 a3，b4 时，函数 f（x）在 x1 及 x
28、2 时取得极值 a3，b4； （2）由（1）可知：f（x）6x218x+126（x1） （x2） 令 f（x）0，解得 x1，2， 令 f（x）0，解得：x2 或 x1，令 f（x）0，解得：1x2， 故函数 f（x）在区间0，1） ， （2，3上单调递增；在区间（1，2）上单调递减 函数 f（x）在 x1 处取得极大值，且 f（1）5+8c 而 f（3）9+8c，f（1）f（3） ， 函数 f（x）在区间0，3上的最大值为 f（3）9+8c 对于任意的 x0，3，都有 f（x）c2成立f（x）maxc2，x0，39+8cc2， 由 c28c90，解得 c9 或 c1 第 15 页（共 17
29、页） c 的取值范围是（，1）（9，+） 【点评】本题考查导数的运用，考查求函数单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒 成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题 19 （15 分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度 x（km/h） 的函数解析式可以表示为（0x120） ，已知甲、乙两地相距 100km （1）当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【分析】 （1）把用的时间求出，再乘以每小时的耗油量 y 即可； （2）求出耗油量 h（x）与速度 x 的关
30、系式，再利用导函数求出 h（x）的极小值即可 【解答】解： （1）当 x40km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了h； 要耗油（升） ； 答：从甲地到乙地要耗油 17.5 升 （2）当速度为 xkm/h，汽车从甲地到乙地行驶了h，耗油量为 f（x）升； 依题意得； （0x120） 令 f（x）0，得 x80； 当 x（0，80）时，f（x）0，f（x）是减函数； 当 x（80，120）时，f（x）0，f（x）是增函数； 当 x80 时，f（x）取得极小值： （升） ； 答：当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升 【点评】本题考查了函数、导数及其应
31、用，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能 力，属中档题 20 （15 分）设函数，g（x）2x2+4x+c （1）试问函数 f（x）能否在 x1 时取得极值？说明理由； 第 16 页（共 17 页） （2）若 a1，当 x3，4时，函数 f（x）与 g（x）的图象有两个公共点，求 c 的 取值范围 【分析】 （1）利用反证法：根据 f（x）的解析式求出 f（x）的导函数，假设 x1 时 f （x）取得极值，则把 x1 代入导函数，导函数值为 0 得到 a 的值，把 a 的值代入导 函数中得到导函数在 R 上为增函数，没有极值与在 x1 时 f（x）取得极值矛盾，所以 得到 f（x）在 x1
32、时无极值； （2）把 a1 代入 f（x）确定出 f（x） ，然后令 f（x）与 g（x）相等，移项并合并得到 c 等于一个函数，设 F（x）等于这个函数，G（x）等于 c，求出 F（x）的导函数，令导 函数等于 0 求出 x 的值，利用 x 的值讨论导函数的正负得到 F（x）的单调区间，进而得 到 F（x）的极大值和极小值，函数 f（x）与 g（x）的图象有两个公共点，则函数 F（x） 与 G（x）有两个公共点，根据 F（x）的极大值和极小值写出 c 的取值范围即可 【解答】解： （1）由题意 f（x）x22axa， 假设在 x1 时 f（x）取得极值，则有 f（1）1+2aa0，a1， 而
33、此时，f（x）x2+2x+1（x+1）20，函数 f（x）在 R 上为增函数，无极值 这与 f（x）在 x1 有极值矛盾，所以 f（x）在 x1 处无极值； （2）令 f（x）g（x） ，则有x3x23xc0，cx3x23x， 设 F（x）x3x23x，G（x）c，令 F（x）x22x30，解得 x11 或 x 3 列表如下： x 3 （3， 1） 1 （1， 3） 3 （3，4） 4 f（x） + 0 0 + f（x） 9 9 由此可知：F（x）在（3，1） 、 （3，4）上是增函数，在（1，3）上是减函数 当 x1 时，F（x）取得极大值；当 x3 时，F（x）取得极小值 F（3）F（3）9，而 如果函数 f（x）与 g（x）的图象有两个公共点，则函数 F（x）与 G（x）有两个公共点， 第 17 页（共 17 页） 所以或 c9 【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会根据函数的增减性 得到函数的极值，掌握函数的零点与方程根的关系，是一道中档题
