1、2018-2019 学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填答题卡相应位置上接填答题卡相应位置上. 1 （5 分）命题“对任意的 xR，x210”的否定是 2 （5 分）已知命题 p：多面体 ABCD 为正三棱锥，命题 q：多面体 ABCD 为正四面体，则 命题 p 是命题 q 的 条件 （填“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充 分又不必要”之一） 3 （5 分）以 x1 为准线的抛物线的标准方程是 4 （5 分）
2、鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是 推理（在“演绎” 、 “类比” 、 “归纳”中选一个合适的填空） 5 （5 分）直线 x+2y0 与圆（x3）2+（y1）225 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长 为 6 （5 分）函数 f（x）sinx 在，上的平均变化率是 7 （5 分）若双曲线 C：1 的焦距为 8，点 M（1，）在其渐近线上，则双曲线 C 的准线方程为 8 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） 9 （5 分）现有一个底面半径为 8cm，高为 4cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一 个实心铁球（不计损耗） ，则该铁球的半径是 cm 10 （5 分）已知
3、e 是自然对数的底数，n 是自然数，函数 f0（x），设 fn+1（x）为 fn （x）的导函数，f1（x）f0（x），f2（x）f1（x），f3（x）f2（x） ，根据以上结果，推断 f2019（x） 11 （5 分）设椭圆的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 12（5 分） 若方程a （x+2） 有两个不相等的实数解， 则实数 a 的取值范围是 13 （5 分）做一个正四棱柱形状容积为 256m3的无盖水箱，则高为 m 时，所用材料 第 2 页（共 21 页） 最省 14 （5 分）若函数 f（x），恰有两个不同零点
4、，则实数 a 的取值范围 为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD， APAD，M，N 分别为棱 PD，PC 的中点求证： （1）MN平面 PAB； （2）AM平面 PCD 16 （14 分） （1）已知 ab0，m0，用分析法证明：； （2）已知实数 a，b，c，d 满足 ac2（b+d） ，用反证法证明：方程 x
5、2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 至少有一个方程有实根 17 （14 分）已知函数 f（x）x34x+的定义域为3，4 （1）求函数 yf（x）的最大值和最小值； （2）试求函数 yf（x）的零点个数 18 （16 分）某小区边角有块空地，空地由半圆 O 和矩形 EFGH 两部分组成，其中 EF 为半 圆直径，长度为 200 米，矩形 EFGH 的宽 FG 长度为 100 米开发商准备利用这块区域 建一个矩形游泳池 ABCD，设计要求 A，B 在半圆周边界上，C，D 在 GH 边界上，如图 所示设AOE （1）求游泳池的面积 S 关于 的函数关系式； （2）试确定 的值，使得游泳池的面
6、积 S 最大，并求出最大值 第 3 页（共 21 页） 19 （16 分）如图，已知椭圆 C：1（ab0）过点（0，1）和（1，） ，圆 O： x2+y2b2直线 AB 与圆 O 相切，切点在第一象限内，且与椭圆 C 交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 和圆 O 的标准方程； （2）若OAB 的面积为，求直线 AB 的方程； （3）设圆 O 与 x 轴正半轴的交点为 D，求证：DAB 的周长为定值 20 （16 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx，其中 e 为自然对数的底数 （1）求函数 yf（x） g（x）的图象在 x1 处的切线方程； （2）若对任意 0x1x2，均有 g（x2）
7、g（x1）成立，求实数 的取值范围； （3）设函数 h（x）（x2）f（x）+g（x）x，求证：对任意的 x，h（x） 3 恒成立 附加卷附加卷 21 （10 分）求函数 y3cos（2x）在 x处的切线方程 22 （10 分）已知定点 A（2，0） ，点 B 是圆 x2+y28x+120 上一动点，求 AB 中点 M 的 轨迹方程 第 4 页（共 21 页） 23 （10 分）已知 n 为正整数，请用数学归纳法证明：1+ 24 （10 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， ADCDAB90，SDADAB2，DC1 （1）求二面角 SBCA 的
8、余弦值； （2） 设 P 是棱 BC 上一点， E 是 SA 的中点， 若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为， 求线段 CP 的长 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填答题卡相应位置上接填答题卡相应位置上. 1 （5 分）命题“对任意的 xR，x210”的否定是 “存在 xR，x
9、210” 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“对任意的 xR，x210” 的否定是 “存在 xR，x210” 故答案为： “存在 xR，x210” 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 2 （5 分）已知命题 p：多面体 ABCD 为正三棱锥，命题 q：多面体 ABCD 为正四面体，则 命题 p 是命题 q 的 必要不充分 条件 （填 “充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既 不充分又不必要”之一） 【分析】根据正三棱锥和正四面体的概念进行判断即可 【解答】解：底面是正三
10、角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱 锥，侧棱和底面三角形的边长不一定相等， 二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体， 则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正三棱锥和正四面体的概念是 解决本题的关键 3 （5 分）以 x1 为准线的抛物线的标准方程是 y24x 【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得抛物线的开口方向以及的值，分析 可得抛物线的标准方程，即可得答案 【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为 x1， 则抛物线的开口向左，且1， 则抛物线的标准方程为：y24x； 第 6 页（共 2
11、1 页） 故答案为：y24x 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，涉及抛物线的标准方程，注意分析抛物线的 开口方向 4 （5 分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是 “类比” 推理（在“演绎” 、 “类 比” 、 “归纳”中选一个合适的填空） 【分析】类比推理根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其 他属性上也相同的推理过程 【解答】解：鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理 故答案为： “类比” 【点评】本题考查了类比推理的应用问题，是基础题 5 （5 分）直线 x+2y0 与圆（x3）2+（y1）225 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长 为 【
12、分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的 距离，结合垂径定理求弦长 【解答】解：圆（x3）2+（y1）225 的圆心坐标为（3，1） ，半径为 5 圆心（3，1）到直线 x+2y0 的距离 d， 线段 AB 的长为 2 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题 6 （5 分）函数 f（x）sinx 在，上的平均变化率是 【分析】利用平均变化率的定义即可求出 【解答】解：函数 f（x）sinx 在，上的平均变化率为： 故答案为： 【点评】本题考查了平均变化率的定义及其求法问题，是基础题 第 7 页（共 21 页）
13、7 （5 分）若双曲线 C：1 的焦距为 8，点 M（1，）在其渐近线上，则双曲线 C 的准线方程为 x1 【分析】根据题意，由双曲线的焦距可得 c 的值，又由点在其渐近线上，分 析可得双曲线的渐近线方程，进而可得，由双曲线的几何性质可得 a2+b2c2 16，解可得 a24，b212，将其值代入双曲线的方程即可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为 8，即 2c8，则 c4， 若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为 yx， 又由双曲线的方程为， 则有， 又由 c4，则 a2+b2c216， 解可得 a24，b212， 则双曲线的方程为：， 其中1，则其准线方程为 x1， 故答案为
14、：x1 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦距为 2c 8 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） 【分析】根据导数的运算法则计算即可 【解答】解：f（x） ， 故答案为： 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 9 （5 分）现有一个底面半径为 8cm，高为 4cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一 第 8 页（共 21 页） 个实心铁球（不计损耗） ，则该铁球的半径是 4 cm 【分析】设铁球的半径是 Rcm，由圆锥体积等于球的体积列式求解 【解答】解：设铁球的半径是 Rcm， 则 V圆锥V球，即， 解得：R4（cm） 故答案为：4 【点评】本题考查圆锥与
15、球的体积公式，是基础的计算题 10 （5 分）已知 e 是自然对数的底数，n 是自然数，函数 f0（x），设 fn+1（x）为 fn （x）的导函数，f1（x）f0（x），f2（x）f1（x），f3（x）f2（x） ，根据以上结果，推断 f2019（x） 【分析】根据规律即可求出答案 【解答】解：f1（x）f0（x），f2（x）f1（x），f3（x）f2（x） ， f4（x）f3（x）， 依此类推，fn（x）（1）n， f2019（x）， 故答案为： 【点评】本题考查了导数的运算法则，以及归纳推理的问题，属于中档题 11 （5 分）设椭圆的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x
16、 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 【分析】先求出过 F1且垂直于 x 轴的弦长和点 F1到 l1的距离，由条件：F1且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，建立方程， 再利用 a、b、c 的关系求出 的值 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：过 F1且垂直于 x 轴的弦长等于 ，点 F1到 l1的距离为 c，由条 件知， c，即 ， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，通过解方程求出离心率值 12 （5 分）若方程a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数 a 的取值范围是 0， ） 【分析】画出 y，与 ya（x+2）的图象，利用圆心到直线的距离小于
17、半径， 结合图象即可得到所求范围 【解答】解：画出函数 y，与 ya（x+2）的图象， 即以 O 为圆心，1 为半径的上半圆与恒过定点（2，0） 的直线 ya（x+2） ， 如图：方程a（x+2）有两个不相等实数解， 可得1，解得 a（，） ， 结合图象可得：a0，） 故答案为：0，） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，函数的图象的交点个数的应用，考查数 形结合以及函数零点个数的判 13 （5 分）做一个正四棱柱形状容积为 256m3的无盖水箱，则高为 4 m 时，所用材料最 第 10 页（共 21 页） 省 【分析】设底边长为 x， （x0） ，用料x2+4xhx2+，利用基本不等式
18、可求满足 最小时的 x，即可得出结论 【解答】解：设底边长为 xm， （x0）由题意可得，高 hm 用料 yx2+4xhx2+x2+ 3192， 当且仅当 x2即 x8 时取等号 故它的底边长为 8，高为 4 时最省材料 故答案为：4 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解实际问题中的最值的应用，解题的关键是把 实际问题转化为数学问题 14 （5 分）若函数 f（x），恰有两个不同零点，则实数 a 的取值范围为 a0 或 a 【分析】根据函数与方程的关系，转化为两个图象之间的交点个数问题，构造函数，利 用导数研究函数的单调性进行求解即可 【解答】解：当 x0 时，由 f（x）2x+3x0 得
19、3x2x，由图象知此时方程 3x2x 有一个根，即此时函数 f（x）有一个零点， 若 f（x）恰有两个不同零点，则等价为当 x0 时，函数 f（x）axlnx 有一个零点， 由 f（x）axlnx0 得 a， 设 g（x），则函数的导数 g（x）， 由 g（x）0 得 1lnx0，得 lnx1，得 0xe，此时函数 f（x）单调递增， 由 g（x）0 得 1lnx0，得 lnx1，得 xe，此时函数 f（x）单调递减， 即当 xe 时，函数 f（x）取得极大值 g（e）， 当 x1 时，0g（x）， 当 0x1 时，g（x）0， 第 11 页（共 21 页） 则 g（x）的对应图象为， 若 a
20、只有一个根，则 a0 或 a， 即实数 a 的取值范围是 a0 或 a， 故答案为：a0 或 a 【点评】本题主要考查分段函数的应用以及函数与方程根的关系，利用数形结合以及构 造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD， APAD，M，N 分别为棱 PD，PC 的中点求证：
21、 （1）MN平面 PAB； （2）AM平面 PCD 【分析】 （1）推导出 MNDC，ABDC从而 MNAB，由此能证明 MN平面 PAB （2）推导出 AMPD，CDAD，从而 CD平面 PAD，进而 CDAM，由此能证明 AM 平面 PCD 【解答】证明： （1）因为 M、N 分别为 PD、PC 的中点， 所以 MNDC，又因为底面 ABCD 是矩形， 第 12 页（共 21 页） 所以 ABDC所以 MNAB， 又 AB平面 PAB，MN平面 PAB， 所以 MN平面 PAB （2）因为 APAD，P 为 PD 的中点，所以 AMPD 因为平面 PAD平面 ABCD， 又平面 PAD平面
22、 ABCDAD，CDAD，CD平面 ABCD， 所以 CD平面 PAD， 又 AM平面 PAD，所以 CDAM 因为 CD、PD平面 PCD，CDPDD， AM平面 PCD 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合 思想，是中档题 16 （14 分） （1）已知 ab0，m0，用分析法证明：； （2）已知实数 a，b，c，d 满足 ac2（b+d） ，用反证法证明：方程 x2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 至少有一个方程有实根 【分析】 （1）根据分析法的步骤进行证明即可
23、（2） 利用反证法假设结论不成立， 利用一元二次方程根与判别式的关系进行推理即可 【解答】解： （1）要证明：成立， 由于 ab0，m0， 则证明 b（a+m）a（b+m） ， 即证 ab+bmab+am 成立， 即 bmam 成立， 即 ba 成立即可， 第 13 页（共 21 页） 由条件知 ba 成立，则成立 （2）反证法：假设结论不成立，即方程 x2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 都没有实根， 则判别式满足1a24b0，2c24d0， 则 a2+c24d4b0， 即 4d+4ba2+c2， 即 4d+4ba2+c22ac， 即 2（b+d）ac，与条件 ac2（b+d）矛盾，
24、即假设不成立，则原命题成立 【点评】本题主要考查不等式的证明，结合分析法和反证法的步骤是解决本题的关键 17 （14 分）已知函数 f（x）x34x+的定义域为3，4 （1）求函数 yf（x）的最大值和最小值； （2）试求函数 yf（x）的零点个数 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，求得极值点，计算极值、区间端点处的函数值，比较 可得 f（x）的最值； （2）求得 f（x）在区间3，4的单调性，即有 f（x）的极值，判断符号以及端点处的 函数值符号，可得 f（x）的零点个数 【解答】解： （1）函数 f（x）x34x+的导数为 f（x）x24， 由 f（x）0，可得 x2， 由 f（2），
25、f（2）5，f（3），f（4）， 可得 f（x）的最小值为5，最大值为； （2）由（1）可得 f（x）在（2，2）递减； 在（3，2） ， （2，4）递增，可得 f（x）在 x2 处取得极大值0； f（x）在 x2 处取得极小值50，且 f（3）0，f（4）0， 可得 f（x）在3，4的零点个数为 2 【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力和推理能 力，属于中档题 18 （16 分）某小区边角有块空地，空地由半圆 O 和矩形 EFGH 两部分组成，其中 EF 为半 第 14 页（共 21 页） 圆直径，长度为 200 米，矩形 EFGH 的宽 FG 长度为 100
26、 米开发商准备利用这块区域 建一个矩形游泳池 ABCD，设计要求 A，B 在半圆周边界上，C，D 在 GH 边界上，如图 所示设AOE （1）求游泳池的面积 S 关于 的函数关系式； （2）试确定 的值，使得游泳池的面积 S 最大，并求出最大值 【分析】 （1）由已知分别用 表示两个矩形的长和宽，可得 S（）的表达式； （2）只要 f（）最小，求导，利用导数法分析函数的最小值点，可得答案 【解答】解： （1）由于 EF200，则 AO100，FG100， AD100sin+100100（sin+1） ，AB2100cos200cos， S（）ABAD20000（sin+1）cos，0， （2）
27、由（1）可得 S（）20000（sincos+cos） ， 设 f（）sincos+cos，0， f（）cos2sin2sin2sin2sin+1（2sin1） （sin+1） ， 令 f（）0，解得 sin，即 ， 当 0时，即 0sin时，f（）0，函数 f（）单调递增， 当时，即sin1 时，f（）0，函数 f（）单调递减， 故当 ，f（）maxf（）+， Smax2000015000 【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，利用导数分析函数的单 调性，难度中档 第 15 页（共 21 页） 19 （16 分）如图，已知椭圆 C：1（ab0）过点（0，1）和（1，） ，圆
28、 O： x2+y2b2直线 AB 与圆 O 相切，切点在第一象限内，且与椭圆 C 交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 和圆 O 的标准方程； （2）若OAB 的面积为，求直线 AB 的方程； （3）设圆 O 与 x 轴正半轴的交点为 D，求证：DAB 的周长为定值 【分析】 （1）将两点坐标代入椭圆 C 的方程可求出 a2和 b2的值，从而可得出椭圆 C 和 圆 O 标准方程； （2） 先由已知条件得出直线 AB 的斜率为负数， 由OAB 的面积为， 得出， 设直线 AB 的方程为 ykx+m， 利用直线 AB 与圆 O 相切得出原点 O 到直线 AB 的距离等 于 1，从而得出 m 与 k
29、 之间所满足的关系式，然后将直线 AB 与椭圆方程联立，列出韦达 定理，利用弦长公式并结合韦达定理，得出 k 与 m 的值，从而得出直线 AB 的方程； （3）先得出点 D 的坐标，并设直线 AB 与圆 O 的切点为 P（x0，y0） ，由点 P 在圆 O 上， 得出点 P 坐标所满足的关系式，将点 A 的坐标代入椭圆方程，得出点 A 的坐标所满足的 关系式， 然后利用两点间的距离公式求出|AD|的表达式， 利用勾股定理与两点间的距离公 式求出|AP|，同理得出|BD|和|BP|，将这四条线段长度相加可得出ABD 的周长，从而证 明结论成立 【解答】解： （1）将两点坐标代入椭圆 C 的方程可
30、得，得， 所以，椭圆 C 的标准方程为，圆 O 的标准方程为 x2+y21； （2）由于OAB 的高为 1，OAB 的面积为，得 第 16 页（共 21 页） 由题意可知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+m，即 kxy+m0，则 k 0， 由于直线 AB 与圆 O 相切，则，化简得 m2k2+1， 设点 A （x1， y1） 、 B （x2， y2） ， 将直线 AB 的方程与椭圆方程联立， 消去 y 并化简得 （2k2+1） x2+4kmx+2m220， 由韦达定理可得， 所以， ， 化简得 4k4+4k230，即（2k21） （2k2+3）0，由于 k0，解得， 由
31、于直线 AB 与圆的切点在第一象限，则 m0，所以， 因此，直线 AB 的方程为； （3） 易知点 D （1， 0） ， 设直线 AB 与圆 O 的切点为 p （x0， y0） ， 则 x00， y00， 且， 由于点 A（x1，y1） ，则，所以，且， ，同理可得， 由勾股定理可得，同理 可得， 因此，ABD 的周长为|AD|+|BD|+|AP|+|BP| 第 17 页（共 21 页） 所以，DAB 的周长为定值 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用， 同时考查了计算能力与转化能力，属于难题 20 （16 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx，其中
32、 e 为自然对数的底数 （1）求函数 yf（x） g（x）的图象在 x1 处的切线方程； （2）若对任意 0x1x2，均有 g（x2）g（x1）成立，求实数 的取值范围； （3）设函数 h（x）（x2）f（x）+g（x）x，求证：对任意的 x，h（x） 3 恒成立 【分析】 （1）求出函数 yf（x） g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方 程可得切线的方程； （2）令 H（x）g（x）f（x） 1lnx ， （x0） ，求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可； （3）利用 lnxx1，可得 h（x）（x2）ex+lnxx（x2）ex1， 令 G（x
33、）（x2）ex1，x，利用导数可证明故对任意的 x，h（x） 3 恒成立 【解答】解： （1）函数 F（x）exlnx 的导数为 F（x）ex（lnx+） ， 可得 F（x）在点（1，F（1） ）处的切线斜率为 ke（ln1+1）e， 切点为（1，0） ， 即有 f（x）在点（1，F（1） ）处的切线方程为 y0e（x1） ， 化简为 yexe； （2） ： 由 g （x2） g （x1） 得： g （x1） g （x2）， 令 H（x）g（x）f（x） 1lnx ， （x0） ， 依题意只需 H（x）在（0，+）单调递增即可， H（x）， 第 18 页（共 21 页） 只需 ex+x0 在（
34、0，+）上恒成立即可， 即， 令 m（x）， （x0） ，m 可得 m（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， m（x）m（1）e，故 e； （3）函数 h（x）（x2）f（x）+g（x）x（x2）ex+lnxx， 易得 lnxx1， h（x）（x2）ex+lnxx（x2）ex1， 令 G（x）（x2）ex1，x， G（x）（x1）ex0 G（x）在单调递减， G（x）G（）3， 故对任意的 x，h（x）3 恒成立 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以 及分类讨论思想，考查不等式的证明，转化思想，是一道综合题 附加卷附加卷 21 （10 分）求函数 y
35、3cos（2x）在 x处的切线方程 【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程 【解答】解：函数 y3cos（2x） ，可得 y6sin（2x） ， 可得6 x，可得 y3cos（2）0， 函数 y3cos（2x）在 x处的切线方程：y6（x） 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力 22 （10 分）已知定点 A（2，0） ，点 B 是圆 x2+y28x+120 上一动点，求 AB 中点 M 的 轨迹方程 第 19 页（共 21 页） 【分析】设 M（x，y） ，B（m，n） ，利用中点坐标公式算出 m2x+2，n2y再由 B（m，
36、 n）在圆 C 上运动，将 B 的坐标（2x+2，2y）代入圆 C 的方程，化简即得所求线段 AB 的 中点 M 的轨迹方程 【解答】解：设 M（x，y） ，B（m，n） ，可得 点 A（2，0） ，M 是 AB 的中点， 由中点坐标公式得，解得 m2x+2，n2y B（m，n）在圆 C：x2+y28x+120 上运动，可得（2x+2）2+（2y）28（2x+2）+12 0， （x+1）2+y24x10，化简得（x1）2+y21， 即为 AB 的中点 M 的轨迹方程 【点评】本题考查线段中点的轨迹着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系和 点到直线的距离公式等知识，属于中档题 23 （10
37、分）已知 n 为正整数，请用数学归纳法证明：1+ 【分析】根据数学归纳法的证明步骤先验证 n1 时结论成立，再假设 nk 时，结论成 立，推导 nk+1 时结论成立即可 【解答】证明：当 n1 时，2，不等式成立， 假设 nk 时，不等式成立，即 1+， 当 nk+1 时， 1+2+ 2 当 nk+1 时，不等式成立 由得 1+ n 为正整数，1+ 【点评】本题考查了数学归纳法证明，注意 nk+1 的证明时，必须用上假设条件属于 中档题 24 （10 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， ADCDAB90，SDADAB2，DC1 （1）求二面角
38、 SBCA 的余弦值； 第 20 页（共 21 页） （2） 设 P 是棱 BC 上一点， E 是 SA 的中点， 若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为， 求线段 CP 的长 【分析】以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D（0，0，0） ，B（2， 2，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，2） ，利用空间向量求解 【解答】解： （1）以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D（0，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，2） ， 设面 SBC 的法向量为 由可取 SD面 ABC，取面 ABC 的法向量为 |cos|， 二面角 SBCA 为锐角 二面角 SBCA 的余弦值为 （2）由（1）知 E（1，0，1） ，则， 设， （01） 则， 易知 CD面 SAD，面 SAD 的法向量可取 |cos|， 第 21 页（共 21 页） 解得 或 （舍去） 此时，|， 线段 CP 的长为 【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属 于中档题
