1、2018-2019 学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案分不需写出解题过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上直接填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）写出命题“xN，x21”的否定： 2 （5 分）某中学生一周内每日睡眠时间分别是 6，6，7，x，7，8，9（单位：小时） ，若该 组数据的平均数为 7，则该组数据的方差为 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（3，0）到抛物线 y22px（p0）准线的 距离为 4，则 p 的值为 4 （5 分）运行如图所示的伪代
2、码，其结果为 5 （5 分）如图，圆 O 和其内接正三角形 ABC，若在圆面上任意取一点 P，则点 P 恰好落 在三角 形 ABC 外的概率为 6 （5 分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出 S 的值为 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 只小球，其中有 3 只红球、2 只黄球和 1 只蓝球若从中 1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球颜色相同的概率为 8 （5 分）若曲线 yx3+ax 在 x1 处切线的斜率为 2，则实数 a 的值为 9 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点坐标为（2，0） ，且它的 一条渐近线与直线 l：x+
3、y0 垂直，则双曲线 C 的标准方程为 10 （5 分）若从甲、乙、丙、丁 4 位同学中选出 2 名代表参加学校会议，则甲、乙两人至 少有一人被选中的概率为 11 （5 分）若直线 yx+t 与方程 x1所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数 t 的取值范围为 12 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B若 点 F 到直线 AB 的距离为，则该椭圆的离心率为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+（yt）24 圆 C2： （x2）2+y2 14若圆 C1上存在点 P，过点 P 作圆 C2的切线，切点为 Q，且 POPQ，则实数 t
4、 的取值范围为 14 （5 分）已知函数 f（x）ax+ex（a 为常数，e 为自然对数的底数） ，若对任意的 x1， 2，f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，小题，15-17 每题每题 14 分，分，18-20 每题每题 16 分，共计分，共计 90 分请在答题分请在答题 卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤 15 （14 分）命题 p：指数函数 y（3m+a）x是减函数；命题 q：mR，使关于 x 的方 第 3 页（共 20 页） 程 x2x+m0
5、有实数解，其中 a，mR （1）当 a0 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）当 a2 时，若 p 且 q 为假命题，求 m 的取值范围 16（14 分） 随着 “互联网+交通” 模式的迅猛发展，“共享助力单车” 在很多城市相继出现 某 “共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调 查了 100 名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为 5 组，如表： 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10 频数 5 10 a 32 16 频率 0.05 b 0.37 c 0.16 （1）求表格中的 a，b，c 的
6、值； （2）估计用户的满意度评分的平均数； （3）若从这 100 名用户中随机抽取 25 人，估计满意度评分低于 6 分的人数为多少？ 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点坐标分别是 A（0，0） ，B（2，2） ， C（1，） ，记ABC 外接圆为圆 M （1）求圆 M 的方程； （2）在圆 M 上是否存在点 P，使得 PA2PB24？若存在，求点 P 的个数；若不存在， 说明理由 18 （16 分）如图，已知 A、B 两个城镇相距 20 公里，设 M 是 AB 中点，在 AB 的中垂线上 有一高铁站 P，PM 的距离为 10 公里为方便居民出行，在线段 PM
7、上任取一点 O（点 O 与 P、M 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到 O 处，再铺设快速路分别到 A、B 两处因地质条件等各种因素，其中快速路 PO 造价为 1.5 百万元/公里，快速路 OA 造价为 1 百万元/公里，快速路 OB 造价为 2 百万元/公里，设OAM（rad） ，总造 价为 y（单位：百万元） （1）求 y 关于 的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）求总造价的最小值，并求出此时 的值 第 4 页（共 20 页） 19 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，）在椭圆 M：+1（a b0）上，且椭圆 M 的离心率为 （1）求椭圆 M 的标准方
8、程； （2）记椭圆 M 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 C 是 x 轴上任意一点（异于点 A1，A2， O） ，过点 C 的直线 l 与椭圆 M 相交于 E，F 两点若点 C 的坐标为（，0） ，直线 EF 的斜率为1，求AEF 的面积；若点 C 的坐标为（1，0） ，连结 A1E，A2F 交于点 G， 记直线 A1E，GC，A2F 的斜率分别为 k1，k2，k3，证明：是定值 20 （16 分）设函数 f（x）x+alnx1（aR） ，g（x）xlnx （1）当 a1 时，求曲线 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）在1，e上的最小值（e 为自然对数的底数） ； （3
9、）是否存在实数 a，使得 f（x）g（x）对任意正实数 x 均成立？若存在，求出所有 满足条件的实数 a 的值；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案分不需写出解题过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上直接填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）写出命题“xN，x21”的否定： xN，x21 【分析】直接利用特称命题的
10、否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以： “xN，x21”的否定是：xN， x21 故答案为：xN，x21 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定故选，基本知识的考查 2 （5 分）某中学生一周内每日睡眠时间分别是 6，6，7，x，7，8，9（单位：小时） ，若该 组数据的平均数为 7，则该组数据的方差为 【分析】由该组数据的平均数为 7，求出 x6，由此能求出该组数据的方差 【解答】解：某中学生一周内每日睡眠时间分别是 6，6，7，x，7，8，9（单位：小时） ， 该组数据的平均数为 7， （6+6+7+x+7+8+9）7， 解得 x6， 该
11、组数据的方差为： S2（67）2+（67）2+（77）2+（67）2+（77）2+（87）2+（97）2 故答案为： 【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（3，0）到抛物线 y22px（p0）准线的 距离为 4，则 p 的值为 2 【分析】由 3+4 可得 p2 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：抛物线的准线为 x，可得 3+4 所以 p2， 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的准线，属于基础题 4 （5 分）运行如图所示的伪代码，其结果为 19 【分析】根据伪代码所示的顺序
12、，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序 的作用是累加并输出 S 的值 【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知： 该程序的作用是累加并输出 S1+2+6+10 的值， 所以 S1+2+6+1019 故答案为：19 【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的 S，I 的值是解题的 关键，是基础题目 5 （5 分）如图，圆 O 和其内接正三角形 ABC，若在圆面上任意取一点 P，则点 P 恰好落 在三角 形 ABC 外的概率为 1 【分析】由几何概型中的面积型 P（A）1P（ ）1， 结合三角形及三角形外接圆的面积公式运算即可 第 7 页
13、（共 20 页） 【解答】解：设正三角形的外接圆的半径为 R，边长为 a，由正弦定理得：， 即 a， 设事件 A 为”点 P 恰好落在三角形 ABC 外“， 由几何概型中的面积型可得： 则 P（A）1P（ ）111， 故答案为：1 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及三角形及三角形外接圆的面积，属简单题 6 （5 分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出 S 的值为 41 【分析】运行程序框图可得结果 【解答】解：运行程序得，n1，S1+415 n2，S5+4213 n3，S13+4325 n4，S25+4441 满足 S30 输出 S41 故答案为 41 【点评】本题考查程序框图的简单应用
14、 7 （5 分）一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 只小球，其中有 3 只红球、2 只黄球和 1 只蓝球若从中 1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球颜色相同的概率为 【分析】 基本事件总数 n15， 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m4， 第 8 页（共 20 页） 由此能求出 2 只球颜色相同的概率 【解答】解：一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 只小球， 其中有 3 只红球、2 只黄球和 1 只蓝球，从中 1 次随机摸出 2 只球， 基本事件总数 n15， 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m4， 2 只球颜色相同的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概
15、型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 8 （5 分）若曲线 yx3+ax 在 x1 处切线的斜率为 2，则实数 a 的值为 1 【分析】求出函数的导数，代入 x 的值，得到 y|x13+a2，解出 a 即可 【解答】解：y3x2+a， y|x13+a2， 解得 a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了切线的意义，考查导数的应用，是一道基础题 9 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点坐标为（2，0） ，且它的 一条渐近线与直线 l：x+y0 垂直，则双曲线 C 的标准方程为 x21 【分析】先求出 c2，再由它的一条渐近线与直线 l：x+y0 垂直可得 ba，根 据 c2a
16、2+b2，解得即可 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点坐标为（2，0） ， c2， 它的一条渐近线与直线 l：x+y0 垂直， （）1，即 ba， c2a2+b2， 第 9 页（共 20 页） a1，b， 双曲线 C 的标准方程为 x21， 故答案为：x21 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线垂直的条件，考查渐近线方程的运 用，考查运算能力，属于基础题 10 （5 分）若从甲、乙、丙、丁 4 位同学中选出 2 名代表参加学校会议，则甲、乙两人至 少有一人被选中的概率为 【分析】基本事件总数 n6，甲、乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲、乙两 人都没有选中，由此能求
17、出甲、乙两人至少有一人被选中的概率 【解答】解：从甲、乙、丙、丁 4 位同学中选出 2 名代表参加学校会议， 基本事件总数 n6， 甲、乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲、乙两人都没有选中， 甲、乙两人至少有一人被选中的概率为 p1 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 11 （5 分）若直线 yx+t 与方程 x1所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数 t 的取值范围为 （1，2 【分析】根据题意画出曲线x 的图象，结合圆与直线的位置关系的判定进而得到答案 【解答】解：由 x1平方得（x1）21y2， 即（x1）2+y21
18、， （1y1，x1） 方程 x1对应的曲线是以（1，0）为圆心，半径为 1 的右半圆， 当直线 yx+t 经过点 A（1，1）时，直线和曲线有两个不同的交点， 此时11+t，得 t2， 第 10 页（共 20 页） 当直线 yx+t 在第四象限与圆相切时，有一个交点， 此时圆心到直线的距离 d， 得|t+1|，得 t1（舍）或 t1， 要使直线和曲线有两个不同的交点， 则直线位于切线 yx1 和直线 yx2 之间， 则 t 满足1t2， 即实数 t 的取值范围是（1，2， 故答案为： （1，2 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，利用数形结合以及 直线和圆相切的条件是解
19、决本题的关键 12 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B若 点 F 到直线 AB 的距离为，则该椭圆的离心率为 【分析】求出直线 AB 的方程，通过椭圆的中心到直线的距离列出方程，得到 a、b、c 的关系式，然后求解椭圆的离心率 【解答】解：由题意可得 F（c，0） ，A（a，0） ，B（0，b） ， 则直线 AB 的方程为 bxay+ab0， 由点 F 到直线 AB 的距离为， ， 整理可得 9a234ac+21c20， 第 11 页（共 20 页） 即 21e234e+90， 即（3e1） （7e9）0， 解得 e或 e（舍去） ， 故答案为： 【点评
20、】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用， 考查计算能力 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+（yt）24 圆 C2： （x2）2+y2 14若圆 C1上存在点 P，过点 P 作圆 C2的切线，切点为 Q，且 POPQ，则实数 t 的取值范围为 4，4 【分析】设 P（m，n） ，由两点的距离公式和切线长公式可得 P 在以（4，0）为圆心，6 为半径的圆上，且 P 在圆 C1：x2+（yt）24 上，由两圆有交点的条件，可得 t 的不等 式，解得可得 t 的范围 【解答】解：设 P（m，n） ，由，由 POPQ， 可得 PO22PQ2
21、，即 m2+n22（m2）2+n214， 化为 m2+n28m200， 可得 P 在圆 C1：x2+（yt）24 上，也在圆（x4）2+y236 上， 即有 626+2，解得4t4 故答案为：4，4 【点评】本题考查直线和圆相切的性质和两圆有交点的条件，考查方程思想和运算能力， 属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x）ax+ex（a 为常数，e 为自然对数的底数） ，若对任意的 x1， 2，f（x）0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 e， 【分析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出 a 的取值范围 【解答】解：f（x）ax+ex， f（x）a+ex，x1，2， 当
22、a0 时，f（x）0 恒成立， f（x）在1，2上单调递增， 第 12 页（共 20 页） f（x）minf（1）a+0， 即 0a， 当 a0 时，令 f（x）a+ex0，解得 xln（a） ， 当 f（x）0 时，解得 xln（a） ，函数 f（x）单调递增， 当 f（x）0 时，解得 xln（a） ，函数 f（x）单调递减， 若 ln（a）1，即 a时，若 ln（a）2，即 ae2时， 当a0 时，即 ln（a）1，函数 f（x）在1，2上单调递增， f（x）minf（1）a+0，解得a0， 当 ae2时，即 ln（a）2，函数 f（x）在1，2上单调递减， f（x）minf（2）2a+
23、e20，此时无解， 当e2a时，1ln（a）2，函数 f（x）在1，ln（a） ）单调递减，在 ln（a） ，2上单调递增， f（x）minf（ln（a） ）aln（a）a0，解得ea， 综上所述实数 a 的取值范围为e， 故答案为：e， 【点评】本题考查了函数恒成立的问题，考查了导数和函数的最值得关系，以及考查了 分类讨论的思想，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，小题，15-17 每题每题 14 分，分，18-20 每题每题 16 分，共计分，共计 90 分请在答题分请在答题 卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步卡指定区域内作答，解答时应写出
24、文字说明、证明过程或演算步骤骤 15 （14 分）命题 p：指数函数 y（3m+a）x是减函数；命题 q：mR，使关于 x 的方 程 x2x+m0 有实数解，其中 a，mR （1）当 a0 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）当 a2 时，若 p 且 q 为假命题，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据指数函数单调性的性质求出 m 的取值范围即可 （2）根据复合命题真假关系讨论 p，q 的真假即可 【解答】解（1）当 a0 时，指数函数 y（3m+a）x（3m）x， 因为指数函数是减函数，所以 03m1，即 2m3， 第 13 页（共 20 页） 所以实数 m 的取值范围为（2
25、，3） （2）当 a2 时，指数函数 y（3m+a）x化为 y（1m）x， 若命题 p 为真命题，则 01m1，即 0m1， 所以 p 为假命题时 m 的取值范围是 m1 或 m0， 命题 q 为真命题时，即关于 x 的方程 x2x+m0 有实数解， 所以14m0，解得 m， 所以命题 q 为假命题时 m 的取值范围为 m， 因为 p 且 q 为假命题，所以 p 为假命题或者 q 为假命题， 所以实数 m 满足 m1 或 m0 或 m，即 m0 或 m， 所以实数 m 的取值范围为（，0（，+） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条 件是解决本题的关键
26、16（14 分） 随着 “互联网+交通” 模式的迅猛发展，“共享助力单车” 在很多城市相继出现 某 “共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调 查了 100 名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为 5 组，如表： 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10 频数 5 10 a 32 16 频率 0.05 b 0.37 c 0.16 （1）求表格中的 a，b，c 的值； （2）估计用户的满意度评分的平均数； （3）若从这 100 名用户中随机抽取 25 人，估计满意度评分低于 6 分的人数为多少？ 【分析】 （1）
27、由频数分布表能求出表格中的 a，b，c 的值 （2）由频数分布表能估计用户的满意度评分的平均数 （3）从这 100 名用户中随机抽取 25 人，由由频数分布表能估计满意度评分低于 6 分的 人数 【解答】解： （1）由频数分布表得： 第 14 页（共 20 页） ， 解得 a37，b0.1，c0.32（3 分） （2）估计用户的满意度评分的平均数为： 10.05+30.1+50.37+70.32+90.165.88（9 分） （3）从这 100 名用户中随机抽取 25 人， 估计满意度评分低于 6 分的人数为： 25（0.05+0.1+0.37）13（14 分） 【点评】本题考查实数值、平均数
28、、频数的求法，考查频数分布表的性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点坐标分别是 A（0，0） ，B（2，2） ， C（1，） ，记ABC 外接圆为圆 M （1）求圆 M 的方程； （2）在圆 M 上是否存在点 P，使得 PA2PB24？若存在，求点 P 的个数；若不存在， 说明理由 【分析】 （1）根据题意，设ABC 外接圆圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，将 A、B、 C 的坐标代入方程，计算可得 D、E、F 的值，代入圆 M 的方程即可得答案； （2）根据题意，设 P 的坐标为（x，y
29、） ；由 PA2PB24，可得 x2+y2（x2）2（y 2）24，化简可得 x+y30；解可得 P 的轨迹，分析 P 的轨迹与圆 M 的位置关系， 分析可得答案 【解答】解： （1）根据题意，设ABC 外接圆圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0， ABC 的顶点坐标分别是 A（0，0） ，B（2，2） ，C（1，） ， 则有， 解可得：D4，E0，F0， 则圆 M 的方程为 x2+y24x0； （2）设 P 的坐标为（x，y） ； 因为 PA2PB24，所以 x2+y2（x2）2（y2）24； 化简可得 x+y30， 即 P 的轨迹为直线 x+y30； 第 15 页（共 20 页）
30、 圆心 M 到直线 x+y30 的距离 d2， 则直线 x+y30 与圆 M 相交，故满足条件的点 P 有 2 个 【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆相交的性质以及轨迹方程的计算， 注意待定系数法求出圆 M 的方程 18 （16 分）如图，已知 A、B 两个城镇相距 20 公里，设 M 是 AB 中点，在 AB 的中垂线上 有一高铁站 P，PM 的距离为 10 公里为方便居民出行，在线段 PM 上任取一点 O（点 O 与 P、M 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到 O 处，再铺设快速路分别到 A、B 两处因地质条件等各种因素，其中快速路 PO 造价为 1.5 百万元/公里
31、，快速路 OA 造价为 1 百万元/公里，快速路 OB 造价为 2 百万元/公里，设OAM（rad） ，总造 价为 y（单位：百万元） （1）求 y 关于 的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）求总造价的最小值，并求出此时 的值 【分析】 （1）由题意可得 y15（tan）+15，0， （2）构造函数 f（）tan，0，利用导数求出函数的最值 即可 【解答】解： （1）OAM，PMAB，OM10tan，OP10 10tan， y1+2+（1010tan）1.515tan+1515（ tan）+15，0， （2）设 f（）tan，0， f（）， 令 f（）0，解得 sin，即 ， 第 16
32、页（共 20 页） 当 0，sin，f（）0，则 yf（）单调递减； 当，sin，f（）0，则 yf（）单调递增； 所以 f（）的最小值为 f（）， 故总造价的最小值 15+15，此时 【点评】本题考查了直角三角形边角关系的应用问题，也考查了三角函数求最值问题， 考查了导数与函最值的关系，属于中档题 19 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，）在椭圆 M：+1（a b0）上，且椭圆 M 的离心率为 （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）记椭圆 M 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 C 是 x 轴上任意一点（异于点 A1，A2， O） ，过点 C 的直线 l 与椭圆 M
33、 相交于 E，F 两点若点 C 的坐标为（，0） ，直线 EF 的斜率为1，求AEF 的面积；若点 C 的坐标为（1，0） ，连结 A1E，A2F 交于点 G， 记直线 A1E，GC，A2F 的斜率分别为 k1，k2，k3，证明：是定值 【分析】 （1）由题意可得，解得即可求出椭圆方程； （2）设 E，F 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，直线 l：x+y0 代入椭圆方程 得：5y22y10，根据弦长公式和面积公式即可求出， 第 17 页（共 20 页） 直线 A1G 的方程 yk1（x+2） ，联立方程组，求出点 E 的坐标，同理求 出点 F 的坐标，根据三点共线，以及斜率公
34、式可得 3k1k3，再求出点 G 的坐标，根据斜 率公式可得 k22k1，即可证明 【解答】解： （1）因为，得 a24，b21， 所以椭圆的标准方程是+y21， （2）设 E，F 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 直线 l：x+y0 代入椭圆方程得：5y22y10， 所以 y1+y2，y1y2， 则|y1y2| 所以 SAEF|AC|（+2） 直线 A1G 的方程 yk1（x+2） ， 联立方程组得：（4k12+1） x2+16k12x+16k12 40 则2x1，所以 x1，则 y1， 所以 E（，） ， 同理可得：F（，） ， 又因为 C，E，F 三点共线，所以 kEC
35、kFC，即，将 C，E，F 三点坐 标 第 18 页（共 20 页） 代入上式得：，化简得 整理得： （3k1k3） （1+4k1k3）0，因为 k1k30，所以 3k1k30 即 3k1k3， 又联立得 G（，） ， 所以 k22k1， 所以2， 当 x11 时，点 E（1，） ，F（1，） ，G（4，） 或 E（1，） ，F（1，） ，G（4，） ，均满足2， 所以为定值 【点评】本题考查了椭圆方程的简单性质，直线和椭圆的位置关系，弦长公式，斜率公 式，直线与直线的交点，考查了运算求解能力，属于难题 20 （16 分）设函数 f（x）x+alnx1（aR） ，g（x）xlnx （1）当 a
36、1 时，求曲线 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）在1，e上的最小值（e 为自然对数的底数） ； （3）是否存在实数 a，使得 f（x）g（x）对任意正实数 x 均成立？若存在，求出所有 满足条件的实数 a 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求出函数的导数，计算 f（1） ，f（1）的值，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小 值即可； （3）令 h（x）f（x）g（x） ，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单 调区间，从而确定 a 的值即可 第 19 页（共 20 页） 【解答】解：
37、 （1）因为函数 f（x）x+alnx1，且 a1， 所以 f（x）x+lnx1，x（0，+） ， 所以 f（x）1+（1 分） 所以 f（1）1，f（1）2， 所以曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程是 y2（x1） ，即 2xy20（2 分） （2）因为函数 f（x）x+alnx1（x0） ，所以 f（x）1+， 1当 a0 时，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增 所以函数 f（x）在1，e上的最小值是 f（1）0（4 分） 2当 a0 时，令 f（x）0，即 x+a0，所以 xa， 令 f（x）0，即 x+a0，所以 xa， （i）当 0a1，即 a1 时，f（x）在1，
38、e上单调递增， 所以 f（x）在1，e上的最小值是 f（1）0； （ii）当 1ae，即ea1 时，f（x）在1，a上单调递减，在（a，e上单 调递增， 所以 f（x）在1，e上的最小值是 f（a）a+aln（a）1， （iii）当ae，即 ae 时，f（x）在1，e上单调递减， 所以 f（x）在1，e上的最小值是 f（e）e+a1（7 分） 综上所述，当 a1 时，f（x）在1，e上的最小值是 f（1）0， 当ea1 时，f（x）在1，e上的最小值是 f（a）a+aln（a）1， 当 ae 时，f（x）在1，e上的最小值是 f（e）e+a1（8 分） （3）令 h（x）f（x）g（x） ，
39、则 h（x）x2lnx1+xlnx，且 h（1）0， 若 h（1）0，即 2+a+ln10，得 a2（9 分） 若 a2 时，h（x）x2lnx1+xlnx，h（x）2+lnx， 令 s（x）2+lnx，则 s（x）+0，则 s（x）在（0，+）上是增函数， 而 h（1）0，则有 当 0x1 时，h（x）h（1）0，当 x1 时，h（x）h（1）0， 所以当 x1 时，h（x）有极小值，也是最小值，则有 第 20 页（共 20 页） h（x）f（x）g（x）h（1）0 成立（10 分） 当 a2 时，h（x）x+alnx1+xlnx， （x0） ，h（x）2+lnx， 则 h（1）2+a0，h
40、（a）ln（a）0， 所以在（1，a）内存在 x0，使 h（x0）0，即当 1xx0时，有 h（x）0， 则 h（x）在（1，x0）是减函数，则有 h（x）h（1）0，即 f（x）g（x）这与 f（x） g（x）不符， 则 a2 不成立；（14 分） 当2a0 时，h（x）2+lnx， h（1）2+a0，h（a）ln（a）0， 则 h（x）在（x0，1）是增函数，则有 h（x）h（1）0，即 f（x）g（x）这与 f（x） g（x）不符； 当 a0 时，则 h（）a10，则有 f（）g（） ，这与 f（x）g（x）不符 合 绽上所述，当且仅当 a2 时，f（x）g（x）在定义域上恒成立（16 分） 【点评】本题考查了函数的切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的 应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题
