1、绝密启用前绝密启用前 2020 年南阳市卧龙区九年级数学模拟试题 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1的相反数是（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （a3）2a6 C （ab）2a2b2 D2a6a32a2 3随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已 成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210 万，请将“210 万”用科学记数 法表示为（ ） A0.21107 B2.
2、1106 C21105 D2.1107 4下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（ ） A B C D 5关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A当x2 时，函数有最大值3 B当x2 时，y随x的增大而增大 C抛物线可由经过平移得到 D该函数的图象与x轴有两个交点 6某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A10，10 B10，20 C20，10 D20，20 7 如图， 直线mn， ABC的顶点B，C分别在直线n，m上
3、， 且ACB90， 若130， 则2 的度数为（ ） A140 B130 C120 D110 8不等式组的所有整数解的和为（ ） A13 B15 C16 D21 9在一个不透明的口袋里装有 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球，它们除颜色不同外其余都 相同从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ） A B C D 10如图，在 RtABC中，B90，BC3，AB4，点D，E分别是AB，AC的中点，CF 平分 RtABC的一个外角ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（ ） A4 B5 C5.5 D6 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11计算： 12若关于
4、x的一元二次方程x23x+2+m0 无实数根，则m的取值范围是 13 如图， 在ABCD中， 点O是对角线AC，BD的交点，ACBC， 且AB5，AD3， 则OB 14 如图， 正方 形ABCD的面积为 36cm2， 点E在BC上， 点G在AB的延长线上， 四边形EFGB 是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积 为 15如图，在 RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E，将 AED沿DE翻折， 点A的 对应点为点F 如果EFC是直角三角形， 那么AD的长为 三、简答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 （8 分
5、）化简：，并从1，0，1，2 中选择一个合适的数 求代数式的值 17 （8 分）某校为了解学生每天的自主学习时间，随机调查了部分学生，根据调查结果， 作了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）求扇形统计图中角 的度数； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校约有 1200 名学生，请估算该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的人数 18 （8 分）如图，在ACE中，ACCE，O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F， 点B是劣弧AC上的一点，且，连接AB，BC，CD求证：CDEABC 19 （10 分）如图，一起重机的吊杆AB长
6、 36 米，吊杆与水平线的夹角BAC可从 30升到 80，若起重机位置不变，不考虑吊杆和吊绳可以伸缩的因素，求起重机在水平和垂直 两个方向可以使用的最大距离（精确到 0.1 米， sin800.98， cos800.17， tan80 5.67，） 20 （10 分）如图，直线ykx+b与反比例函数的图象分别交于点A（1，2） ，点B （4，n） ，与x轴，y轴分别交于点C，D （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB的面积 21 （10 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗 共 17 棵，已知A种树苗每棵 80 元，B种树苗每棵 60 元
7、（1）若购进A、B两种树苗刚好用去 1220 元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ （2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式； （3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用 22 （10 分）如图，在 RtABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是直线AC 上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F （1）探究发现： 如图 1，若mn，点E在线段AC上，则 ； （2）数学思考： 如图 2，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示） ； 当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形
8、给出证明； （3）拓展应用：若AC，BC2，DF4，请直接写出CE的长 23 （11 分）如图 1，抛物线yax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4， 矩形OBDC的边CD1，延长DC交抛物线于点E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线 EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数 关系式（不必写出m的取值范围） ，并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足
9、条件的点M的坐标；若不存 在，请说明理由 参考答案 一、选择题 1的相反数是（ ） A B C D 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 解：的相反数是： 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （a3）2a6 C （ab）2a2b2 D2a6a32a2 【分析】 根据同类项的定义、 幂的乘方、 完全平方公式和整式的除法逐一计算即可判断 解：A、2a与 3b不是同类项，不能合并，此选项错误； B、 （a3）2a6，此选项正确； C、 （ab）2a22ab+b2，此选项错误； D、2a6a32a3，此选项错误；
10、 故选：B 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的乘方、完全 平方公式和整式的除法等法则 3随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已 成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有 210 万，请将“210 万”用科学记数 法表示为（ ） A0.21107 B2.1106 C21105 D2.1107 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数 解：2
11、10 万2.1106， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其 中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 4下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（ ） A B C D 【分析】根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左视图可以 看出右边一列有两个，俯视图中左边的一列有两个，综合起来可得解 解：从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第二行） ； 从左视图可以看出右边的一列有两个，左边的一列只有一行（第二行） ； 从俯视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第
12、一行） 故选：A 【点评】 本题考查由三视图想象立体图形 做这类题时要借助三种视图表示物体的特点， 从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左 视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图 后，再检验是否符合题意 5关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A当x2 时，函数有最大值3 B当x2 时，y随x的增大而增大 C抛物线可由经过平移得到 D该函数的图象与x轴有两个交点 【分析】利用二次函数的最值以及开口方向和增减性分别判断得出即可 解：A当x2 时，函数有最大值为3，故此选项正确，不符合题意； B 当x2 时，y
13、随x的增大而减小，x2 时，y随x的增大而增大， 故此选项正确， 不符合题意； C抛物线可由经过平移得到，故此选项正确，不符合题意； D该函数的图象与x轴无交点，故此选项错误，符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用函数解析式正确得出二次函数的性质是 解题关键 6某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A10，10 B10，20 C20，10 D20，20 【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找
14、出 最中间两个数的平均数； 根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数， 进行判断即可 解：共有 50 个数， 中位数是第 25、26 个数的平均数， 中位数是（20+20）220； 金额 10 元出现的次数最多， 众数为 10， 故选：C 【点评】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大（或从 大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） 7 如图， 直 线mn， ABC的顶点B，C分别在直线n，m上， 且ACB90， 若130， 则2 的度数为（ ） A140 B130 C120 D110 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由ACB90得出4 的
15、度数，根据 补角的定义即可得出结论 解：如图： mn，130， 3130 ACB90， 4ACB3903060， 2180418060120 故选：C 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等 8不等式组的所有整数解的和为（ ） A13 B15 C16 D21 【分析】先求出每 个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集 即可 解： 解不等式得：x6， 解不等式得：x， 不等式组的解集为x6， 不等式组的整数解为 0，1，2，3，4，5， 所有整数解的和为：0+1+2+3+4+515， 故选：B 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的
16、整数解的应用，能根据不等式的 解集找出不等式组的解集是解此题的关键 9在一个不透明的口袋里装有 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球，它们除颜色不同外其余都 相同从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ） A B C D 【分析】先画树状图求出所有等可能的结果数，再找出从口袋中随机摸出 2 个球，摸到 的两个球是一白一黄的结果数，然后 根据概率公式求解 解：根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中从口袋中随机摸出 2 个球，摸到的两个球是一白一黄的 结果数为 2， 所以从口袋中随机摸出 2 个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是： 故选：D 【点评】此
17、题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还 是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总 情况数之比 10如图，在 RtABC中，B90，BC3，AB4，点D，E分别是AB，AC的中点，CF 平分 RtABC的一个外角ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（ ） A4 B5 C5.5 D6 【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理求出DE、EC，根据等腰三角形的 性质求出EF，计算即可 解：B90，BC3，AB4， AC5， D，E分别是AB，AC的中
18、点， DEBC，ECAC，DEBC， FCMEFC， CF平分 RtABC的一个外角ACM， FCMFCE， EFCFCE， EFEC， DFDE+EF4， 故选：A 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的外角性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边 ，并且等于第三边的一半是解题的关键 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11计算： 712 【分析】利用乘方的意义和二次根式的乘法法则运算 解：原式82+912 16+912 712 故答案为712 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点
19、，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 12若关于x的一元二次方程x23x+2+m0 无实数根，则m的取值范围是 m 【分析】利用判别式的意义得到（3）24（2+m）0，然后解不等式即可 解：根据题意得（3）24（2+m）0， 解得m 故答案为m 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相 等的两个实数根；当0 时，方程无实数根 13如图，在ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，ACBC，且AB5，AD3，则OB 【分析】根据平行四边形的性质得到BC
20、AD3，根据勾股定理求出AC，得出OC，再由 勾股定理求出OB即可 解：四边形ABCD是平行四边形， BCAD3，OBOD，OAOC， ACBC， AC4， OCAC2， OB； 故答案为： 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾 股定理求出AC得出OC是解决问题的关键 14如图，正方形ABCD的面积为 36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB 是正方形，以点B为圆心，BC的长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积 为 9cm2 【分析】根据正方形的性质得出GABCCEF90，ABBC6，EFBEGF BG，设EFBEGFBG
21、a，则阴影部分的面积SS 扇形BAC+S正方形EFGB+SCEFSAGF，代入 求出即可 解：四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为 36cm2， GABCCEF90，ABBC6，EFBEGFBG， 设EFBEGFBGa， 则阴影部分的面积SS扇形BAC+S正方形EFGB+SCEFSAGF +a2+a （6a） （6+a）a 9， 故答案为 9cm2 【点评】本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影 部分的面积 15如图，在 RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E， 将AED沿DE翻折， 点A的对应点为点F
22、 如果EFC是直角三角形， 那么AD的长为 或 5 【分析】根据勾股定理得到AB10，如图 1，若CFE90，根据余角的性质得到1+ 2B+A90， 根据折叠的性质得到A2，AEEF， 根据勾股定理得到AE， 根据相似三角形的性质得到AD；当ECF90时，点F与B重合，得到ADAB 5； 当CEF90时， 根据平行线的性质得到AFEB， 推出ACBC（与题设矛盾） ， 这种情况不存在，于是得到结论 解：在 RtABC中，AC8，BC6， AB10， 如图 1，若CFE90， 在 RtABC中，ACB90， 1+2B+A90， 将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F， A2，AEEF， 1B，
23、CFBC6， CE2EF2+CF2， CE2（8CE）2+62， CE， AE， ADEACB90， ADEACB， ， AD； 当ECF90时，点F与B重合， ADAB5； 当CEF90时， 则EFBC， AFEB， AAFE， AB， ACBC（与题设矛盾） ， 这种情况不存在， 综上所述：如果EFC是直角三角形，那么AD的长为或 5 故答案为：或 5 【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质，勾股定理，此题难度适中，注意 数形结合思想与分类讨论思想的应用 三、简答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 （8 分）化简：，并从1，0，1，2 中选择一个合适的数 求代数式的值
24、 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把x2 代入计算即可求出值 解：原式， 当x2 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （8 分）某校为了解学生每天的自主学习时间，随机调查了部分学生，根据调查结果， 作了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）求扇形统计图中角 的度数； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校约有 1200 名学生，请估算该校学生自主学习时间少于 1.5 小时的人数 【分析】 （1）根据 1 小时的人数和所占的百
25、分比，即可求出总人数； （2）用 0.5 小时的人数除以抽查的人数，再乘以 360 度，即可求出圆心角 的度数； （3）用 1.5 小时的人数所占的百分比乘以抽查的人数即可求出 1.5 小时的人数，从而补 全统计图； （4）用总人数乘以该校生自主学习时间少于 1.5 小时所占的百分比，即可求出该校学生 自主学习时间少于 1.5 小时的人数 解： （1）1230%40（名） ， 答：共调查了 40 名学生； （2）圆心角 的度数是 36054； （3）自主学习时间等于 1.5 小时的 有 4035%14（名） ； 条形统计图如图所示： （4）1200540（名） 故该校学生自主学习时间少于 1.
26、5 小时的有 540 名学生 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了利用样本估计总体 18 （8 分）如图，在ACE中，ACCE，O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F， 点B是劣弧AC上的一点，且，连接AB，BC，CD求证：CDEABC 【分析】连接DF，根据圆内接四边形的性质得到CAEDFE、BCDE，根据圆心 角、弧、弦的关系定理得到BCDE，根据全等三角形的判定定理证明即可 证明：连接DF， ACCE， CAE
27、E， 四边形ACFD内接于O， CAEDFE， DFEE， DFDE， ， BCDF， BCDE， 四边形ABCD内接于O， BCDE， 在CDE和ABC中 ， CDEABC（SAS） 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质， 掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键 19 （10 分）如图，一起重机的吊杆AB长 36 米，吊杆与水平线的夹角BAC可从 30升到 80，若起重机位置不变，不考虑吊杆和吊绳可以伸缩的因素，求起重机在水平和垂直 两个方向可以使用的最大距离（精确到 0.1 米， sin800.98， cos800.17， tan80 5.67，）
28、 【分析】分别求出BAC30和 80时，AC，BC的长即可判断 解：当CAB30时，ACB90，AB36m， BC3618（m） ，AC1831.14（m） ， 当BAC80时，BCABsin8035.28（m） ， ACABcos806.12（m） ， 起重机在水平可以使用的最大距离31.146.1225.0（m） ， 起重机在垂直方向可以使用的最大距离35.281817.3（m） 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题 20 （10 分）如图，直线ykx+b与反比例函数的图象分别交于点A（1，2） ，点B （4，n） ，与x轴，y轴分别交于点C
29、，D （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB的面积 【分析】 （1）先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，再根据反比例函数 解析式求出n的值，得到B点坐标，然后将A、B两点的坐标代入ykx+b，利用待定系 数法求出一次函数的解析式； （2）先求出C点坐标，再根据SAOBSAOCSBOC列式计算即可 解： （1）将点A（1，2）代入中， 得 2，解得m2 所以反比例函数解析式为y 将B（4，n）代入y中，得n； 则B点坐标为（4，） 将A（1，2） 、B（4，）分别代入ykx+b中， 得，解得 一次函数的解析式为yx+； （2）当y0 时， x+0，解得x5， C点坐
30、标（5，0） ， OC5 SAOCSAOCSBOC OC|yA|OC|yB| 525 5 【点评】本题考 查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数 与一次函数的解析式，三角形的面积难度适中 21 （10 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗 共 17 棵，已知A种树苗每棵 80 元，B种树苗每棵 60 元 （ 1）若购进A、B两种树苗刚好用去 1220 元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ （2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式； （3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方
31、案所需费用 【分析】 （1）假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，利用购进A、B两 种树苗刚好用去 1220 元，结合单价，得出等式方程求出即可； （2）根据题意可得等量关系：费用WA种树苗a棵的费用+B种树苗（17a）棵的费用 可得函数关系式； （3）根据题意可得：购买 9 棵A种树苗，8 棵B种树苗时，费用最少，然后再结合树苗 的费用计算出费用即可 解： （1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，根据题意得： 80x+60（17x ）1220， 解得：x10， 17x7， 答：购进A种树苗 10 棵，B种树苗 7 棵； （2）W与a的函数关系式：W80a+60（17
32、a）20a+1020； （3）由题意得：购买 9 棵A种树苗，8 棵B种树苗时，费用最少， W809+6081200， 答：购买 9 棵A种树苗，8 棵B种树苗时，费用最少，需要 1200 元 【点评】此题主要考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出 题目中的等量关系，列出方程或函数关系式 22 （10 分）如图，在 RtABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是直线AC 上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F （1）探究发现： 如图 1，若mn，点E在线段AC上，则 1 ； （2）数学思考： 如图 2，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示）
33、； 当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC，BC2，DF4，请直接写出CE的长 【分析】 （1）先用等量代换判断出ADECDF，ADCB，得到ADECDF，再 判断出ADCCDB即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出ADECDF，ADCB，得到ADE CDF，再判断出ADCCDB即可； （3）由（2）的结论得出ADECDF，判断出CF2AE，求出DE，再利用勾股定理， 计算出即可 解： （1）当mn时，即：BCAC， ACB90， A+ABC90， CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FD
34、ECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， 1， 1 （2）ACB90， A+ABC90， CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDECDEADCCDE， 即ADECDF， ADECDF， ， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， ， 成立如图， ACB90， A+ABC90， 又CDAB， DCB+ABC90， ADCB， FDEADC90， FDE+CDEADC+CDE， 即ADECDF， ADECDF， ， ADCB，ADCBDC90， ADCCDB， ， （3）由（2）有，ADECDF
35、， ， ， CF2AE， 在 RtDEF中，DE2，DF4， EF2， 当E在线段AC上时， 在 RtCEF中，CF2AE2 （ACCE） 2 （CE） ，EF2， 根据勾股定理得，CE2+CF2EF2， CE2+2（CE）240 CE2，或CE（舍） 而ACCE， 此种情况不存在， 当E在AC延长线上时， 在 RtCEF中，CF2AE2（AC+CE）2（+CE） ，EF2， 根据勾股定理得，CE2+CF2EF2， CE2+2（+CE）240， CE，或CE2（舍） ， 如图 1， 当点E在CA延长线上时， CF2AE2（CEAC）2（CE） ，EF2， 根据勾股定理得，CE2+CF2EF2，
36、 CE2+2（CE）240， CE2，或CE（舍） 即：CE2或CE 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断 相似是解本题的关键，求CE是本题的难点 23 （11 分）如图 1，抛物线yax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4， 矩形OBDC的边CD1，延长DC交抛物线于点E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线 EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数 关系式（不必写出m的取值范围） ，并求出l的最大值； （3）如果点N是抛
37、物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存 在，请说明理由 【分析】 （1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知PGH45，用m可表示出 PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证 得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的 坐标； 当AC为对角线时， 设AC的中点为K， 可求得
38、K的横坐标， 从而可求得M的横坐标， 代入抛物线解析式可求得M点坐标 解： （1）矩形OBDC的边CD1， OB1， AB4， OA3， A（3，0） ，B（1，0） ， 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为yx2x+2； （2）在yx2x+2 中，令y2 可得 2x2x+2，解得x0 或x2， E（2，2） ， 直线OE解析式为yx， 由题意可得P（m，m2m+2） ， PGy轴， G（m，m） ， P在直线OE的上方， PGm2m+2（m）m2m+2（m+）2+， 直线OE解析式为yx， PGHCOE45， lPG （m+）2+（m+）2+， 当m时，l有最大值，最
39、大值为； （3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MNAC，如图，过M作对称轴的垂 线，垂足为F，设AC交对称轴于点L， 则ALFACOFNM， 在MFN和AOC中 MFNAOC（AAS） ， MFAO3， 点M到对称轴的距离为 3， 又yx2x+2， 抛物线对称轴为x1， 设M点坐标为（x，y） ，则|x+1|3，解得x2 或x4， 当x2 时，y，当x4 时，y， M点坐标为（2，）或（4，） ； 当AC为对角线时，设AC的中点为K， A（3，0） ，C（0，2） ， K（，1） ， 点N在对称轴上， 点N的横坐标为1， 设M点横坐标为x， 根据中点坐标公式：x+（1）2（）3，解得x2，此时y2， M（2，2） ； 综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三 角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨 论思想等知识在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的 关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中
