1、绝密启用前绝密启用前 2020 年四川省自贡市富顺县兜山镇起凤中学中考数学模拟试卷年四川省自贡市富顺县兜山镇起凤中学中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1已知点 A（1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（ ） A B C Dy5x 2如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 ycm 与宽 xcm 之间的函数关系用图象表示大致是 （ ） A B C D 3已知反比例函数 y，下
2、列结论中不正确的是（ ） A图象必经过点（3，2） B图象位于第二、四象限 C若 x2，则 0y3 D在每一个象限内，y 随 x 值的增大而减小 4以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与 ABC 相似的三角形图形为（ ） A B C D 5 在下列网格中， 小正方形的边长为 1， 点 A、 B、 O 都在格点上， 则A 的正弦值是 （ ） A B C D 6如图，在ABCD 中，F 是 AD 延长线上一点，连接 BF 交 DC 于点 E，则图中相似三角形 共有（ ）对 A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 7如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4
3、，3），那么 cos 的值是（ ） A B C D 8在同一坐标系中（水平方向是 x 轴），函数 y和 ykx+3 的图象大致是（ ） A B C D 9如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC 和DEF，则BAC 的度数为（ ） A105 B115 C125 D135 10如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，过点 C 作 CDAB 于点 D，若 AB 10，BC6，则 CD 的长为（ ） A1.2 B2.4 C4.8 D5 11如图，点 P 是 x 轴正半轴上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交函数于点 Q，连接 OQ， 当点 P 沿 x 轴方向运动时，RtOPQ 的面积（ ）
4、 A逐渐增大 B逐渐变小 C不变 D无法判断 12 已知正方形 ABCD 内接于O， O 的半径为 3， 点 E 是弧 AD 上的一点， 连接 BE， CE，CE 交 AD 于 H 点，作 OG 垂直 BE 于 G 点，且 OG，则 EH：CH（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 已知函数 y （m+1）是反比例函数， 且图象在第二、 四象限内， 则 m 的值是 14在ABC 中，（cosA）2+|tanB1|0，则C 15如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点 P 处放一水平的平 面镜，光
5、线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD， CDBD， 测得 AB2 米， BP3 米， PD15 米， 那么该古城墙的高度 CD 是 米 16反比例函数 y与一次函数 ykx+m 的图象有一个交点是（2，1），则它们的另一 个交点的坐标是 17如图，在平面直角坐标系中，已知点 O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为 位似中心，作出AOB 的位似CDE，则位似中心的坐标为 18如图，平面直角坐标系中，已知点 P（2，2），C 为 y 轴正半轴上一点，连接 PC，线 段 PC 绕点 P 顺时针旋转 90至线段 PD，过点 D 作直线 ABx 轴
6、，垂足为 B，直线 AB 与直线OP交于点A， 且BD4AD， 直线CD与直线OP交于点Q， 则点Q的坐标为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19（8 分）计算： sin45|3|+（2018）0+（） 1 20（8 分）在 RtABC 中，C90，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，请根据 下面的条件解直角三角形 （1）a10，A45； （2）b7，C7（角度精确到 0.01） 21（8 分）在ABC 中，AB6，AC8，D、E 分别在 AB、AC 上，连接 DE，设 BDx （0x6），CEy（0y8） （1）当 x2，y5 时，求证：AEDABC；
7、（2）若ADE 和ABC 相似，求 y 与 x 的函数表达式 22（8 分）如图，已知 O 是坐标原点，B、C 两点的坐标分别为（3，1）、（2，1） （1） 以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍 （即新图与原图的相似比为2） ， 画出图形； （2）分别写出 B、C 两点的对应点 B、C的坐标； （3）如果OBC 内部一点 M 的坐标为（x，y），写出 M 的对应点 M的坐标 23（10 分）如图，一次函数 yax+图象与 x 轴，y 轴分别相交于 A、B 两点，与反比例 函数 y（k0）的图象相交于点 E、F，过 F 作 y 轴的垂线，垂足为点 C，已知点 A （3，0），点 F（
8、3，t） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点 E 的坐标并求EOF 的面积； （3）结合该图象写出满足不等式ax的解集 24（10 分）已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，B30，延长 BA 到 D，使 BDC30 （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若 AB2，求 DC 的长 25（12 分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示某班学生在一节数学 课中的注意力指数 y 随上课时间 x（分钟）的变化图象如图上课开始时注意力指数为 30，第 2 分钟时注意力指数为 40，前 10 分钟内注意力指数 y 是时间 x 的一次函数10 分钟以后注意力指数 y 是
9、x 的反比例函数 （1）当 0x10 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 10x40 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （3） 如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于 50， 为了保证教学效果本 节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 26（14 分）如图，直线 yx+a 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y x2+bx+c 经过点 A，B点 M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线 分别交直线 AB 及抛物线于点 P，N （1）填空：点 B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点 M 在线段 OA 上运动时（不与
10、点 O，A 重合）， 当 m 为何值时，线段 PN 最大值，并求出 PN 的最大值； 求出使BPN 为直角三角形时 m 的值； （3）若抛物线上有且只有三个点 N 到直线 AB 的距离是 h，请直接写出此时由点 O，B， N，P 构成的四边形的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1【分析】设出反比例函数解析式，将 P（1，5）代入解析式求出 k 的值即可 【解答】解：将 P（1，5）代入解析式 y得， k（1）55， 解析式为：y 故选：C 【点评】解答此题要明确待定系数法：现设某些未知的系
11、数，然后根据已知条件求出未 知系数的方法叫待定系数法 2【分析】根据题意有：xy6；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x、y 实 际意义 x、y 应0，其图象在第一象限，即可得出答案 【解答】解：由矩形的面积公式可得 xy6， y（x0，y0）图象在第一象限 故选：C 【点评】考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象现实生活中存在大量成反比例 函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际 意义确定其所在的象限 3【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可 【解答】解：A、图象必经过点（3，2），故 A 正确； B、图象位于第二、四象限，故 B 正
12、确； C、若 x2，则 y3，故 C 正确； D、在每一个象限内，y 随 x 值的增大而增大，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键 4【分析】根据已知分别求得各个小三角形的边长，从而根据三组对应边的比相等的三个 三角形相似，得到与ABC 相似的三角形图形 【解答】解：设每个小正方形的边长为 1，则ABC 的各边长分别为：2， 同理求得： A 中三角形的各边长为：， 1， 与ABC 的各边对应成比例， 所以两三角形相似； 故选：A 【点评】此题是识图题，既考查相似三角形判定，又考查观察辨别能力，同时还考查计 算能力 5【分析】根据勾股定理
13、求出 OA，根据正弦的定义解答即可 【解答】解：由题意得，OC2，AC4， 由勾股定理得，AO2， sinA， 故选：A 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 6【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对 数 【解答】解：ABCD 是平行四边形， ADBC，DCAB， ABFDEFCEB， 相似三角形共有三对 故选：B 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形 的判定是解题的关键 7【分析】由点 A 的坐标为（4，3），那么 OA5，根据锐角三角
14、函数的定义 即可求解 【解答】解：由点 A 的坐标为（4，3），那么 OA5， cos 的值为 A 的横坐标：OA4：5， 故选：B 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定 义 8【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答 【解答】解：A、由函数 y的图象可知 k0 与 ykx+3 的图象 k0 一致，故 A 选项 正确； B、因为 ykx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 B 选项错误； C、因为 ykx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 C 选项错误； D、由函数 y的图象可知 k0 与 ykx+3 的图象 k0 矛盾，故 D 选项错误 故
15、选：A 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的 性质才能灵活解题 9【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出 【解答】解：ABCEDF，BACDEF，又DEF90+45135，所 以BAC135，故选 D 【点评】熟练掌握相似三角形的性质 10 【分析】根据圆周角定理得到ACB90， 根据勾股定理得到 AC8， 根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， AB10，BC6， AC8， CDAB， SABCACBC ABCD， CD， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握圆周角定
16、理 是解题的关键 11【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成 的直角三角形面积 S 是个定值， 即 S|k|， 所以当点 P 沿 x 轴的正方向运动时， RtQOP 的面积保持不变 【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所 围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S|k|所以OPQ 的面积等于|k|1 故选：C 【点评】 主要考查了反比例函数中 k 的几何意义， 即图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S|k| 12 【分析】连接 AC、BD、DE，根据垂径定理和三角形
17、中位线定理得到 DE2OG2， 根据勾股定理求出 BE，利用CDHBED 和ACHEDH 得到成比例线段，计算 即可 【解答】解：连接 AC、BD、DE， OGBE， BGGE，又 BOOD， OGDE， 则 DE2OG2， 由勾股定理得，BE8， EBDECD，BEDCDH90， CDHBED， ， DH， AH6， CH ， CADDEC，ACEADE， ACHEDH， ， 则 EH， ， 故选：B 【点评】本题考查的是圆周角定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相 关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，
18、每小题分，每小题 4 分）分） 13【分析】根据反比例函数的定义得出 m251，再由函数图象在第二、四象限内， 可得出 m+10，两者联立，解方程及不等式即可得出结论 【解答】解：依题意得：， 解得：m2 故答案为：2 【点评】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质、解一元二次方程以及解一 元一次不等式，解题的关键是得出关于 m 的一元二次方程和一元一次不等式本题属于 基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的定义得出方程，根据反比例 函数的性质得出不等式，解方程及不等式即可得出结论 14【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质分别得出 cosA，tanB1，再利 用特殊角
19、的三角函数值得出答案 【解答】解：（cosA）2+|tanB1|0， cosA0，tanB10， 则 cosA，tanB1， A60，B45， C180604575 故答案为：75 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 15【分析】首先证明ABPCDP，可得，再代入相应数据可得答案 【解答】解：如图， 由题意可得：APECPE， APBCPD， ABBD，CDBD， ABPCDP90， ABPCDP， ， AB2 米，BP3 米，PD15 米， ， 解得：CD10 米， 故答案为：10 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例 1
20、6【分析】先将交点（2，1）代入两个函数中，求出 k 与 m 的值，再解方程组就可以 【解答】解：依题意有， 解得 再将代入两个函数中可得， 解得， 故另一个交点的坐标是（，4） 【点评】本题运用了函数的知识，以及解方程组的知识比较简单，同学们要熟练掌握 17【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心 【解答】解：如图所示，点 P 即为位似中点，其坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2） 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似中心的定义是解题关键 18【分析】过点 P 作 PEOC 于 E，EP 的延长线交 AB 于 F首先证明CPEPDF， 得到 DFPE2，推出 BDBF+DF4，由
21、 BD4AD，推出 AD1，ABOB5，CE PF3，D（5，4），C（0，5），利用待定系数法求出直线 CD 的解析式，利用方程 组即可求出点 Q 的坐标 【解答】解：过点 P 作 PEOC 于 E，EP 的延长线交 AB 于 F ABOB， OBFEOBFEO90， 四边形 EOBF 是矩形， P（2，2）， OEPEBF2， CPD90， CPE+DPF90，ECP+CPE90， ECPDPF， 在CPE 和PDF 中， ， CPEPDF， DFPE2， BDBF+DF4， BD4AD， AD1，ABOB5， CEPF3， D（5，4），C（0，5）， 设直线 CD 的解析式为 ykx+
22、b 则有，解得， 直线 CD 的解析式为 yx+5， 由解得， 点 Q 的坐标为（，） 故答案为（，） 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次 方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构 建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19【分析】先代入三角函数值、计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进一步计算可 得 【解答】解：原式3+1+2 13+1+2 1 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握特殊锐角三角函数值、绝对 值
23、性质及零指数幂和负整数指数幂的运算法则 20【分析】（1）根据根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论； （2）根据根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：（1）在 RtABC 中，C90，a10，A45， B90A45， ba10， c10； （2）在 RtABC 中，C90，b7，c7， a14， tanB， B26.57， A90B63.43 【点评】本题考查了解直角三角形，主要利用了锐角三角函数和勾股定理 21【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明； （2）法两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）AB6，BD2， AD4， AC8，CE5， AE3， ，
24、 ，EADBAC， AEDABC； （2）若ADEABC，则， yx（0x6） 若ADEACB，则， yx+（0x6） 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断 方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 22【分析】（1）延长 BO，CO 到 BC，使 OB，OC的长度是 OB，OC 的 2 倍顺 次连接三点即可； （2）从直角坐标系中，读出 B、C的坐标； （3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以2 的坐 标，所以 M 的坐标为（x，y），写出 M 的对应点 M的坐标为（2x，2y） 【解答】解：（1） （2）B（
25、6，2），C（4，2）； （3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以2 的坐 标，所以 M 的坐标为（x，y），写出 M 的对应点 M的坐标为（2x，2y） 【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质 是关键，看图也是关键很多信息是需要从图上看出来的 23【分析】（1）把 A 坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，确定出一次函数解析式，进 而确定出 F 坐标，求出反比例解析式； （2） 联立一次函数与反比例函数解析式求出 E 坐标， 进而确定出三角形 EOF 面积即可； （3）根据图象，确定出所求不等式的解集即可 【解答】解：（1）
26、把 A（3，0）代入一次函数解析式得：03a+， 解得：a，即一次函数解析式为 yx+， 把 F（3，t）代入一次函数解析式得：t3， 则反比例解析式为 y； （2）联立得：， 解得：或， 点 E（6，）， 则 SEOFSAOE+SAOB+SBOF 3+3+3； （3）根据图象得：不等式ax的解集为6x0 或 x3 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练 掌握待定系数法是解本题的关键 24 【分析】 （1） 根据切线的判定方法， 只需证 CDOC 所以连接 OC， 证OCD90 （2）易求半径 OC 的长在 RtOCD 中，运用三角函数求 CD 【解答】（
27、1）证明：连接 OC OBOC，B30， OCBB30 CODB+OCB60 （1 分） BDC30， BDC+COD90，DCOC （2 分） BC 是弦， 点 C 在O 上， DC 是O 的切线，点 C 是O 的切点 （2）解：AB2， OCOB1 在 RtCOD 中，OCD90，D30， DCOC （5 分） 【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线 是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直 25【分析】（1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （3）分别令一
28、次函数和反比例函数值大于等于 50 求得 x 的取值范围后相减即可得到答 案 【解答】解：（1）当 0x10 时，设 ykx+b 将（0，30）、（2，40）两点代入得：解得：k5，b30， 于是 y5x+30 （2）当 10x40 时，设 y，将（10，80）代入得：m800 于是 y； （3）当 0x10 时，y5x+3050，解得：x4 （2）当 10x40 时，y50；解得：x16 16412，所以，老师必须在 12 分钟以内讲完这道题 【点评】主要考查了函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际 意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求
29、算 对应的函数值 26【分析】（1）把点 A 坐标代入直线表达式 yx+a，求出 a3，把点 A、B 的坐标 代入二次函数表达式，即可求解； （2）设：点 P（m， m3），N（m， m2m3）求出 PN 值的表达式，即可 求解；分BNP90、NBP90、BPN90三种情况，求解即可； （3）若抛物线上有且只有三个点 N 到直线 AB 的距离是 h，则只能出现：在 AB 直线下 方抛物线与过点 N 的直线与抛物线有一个交点 N，在直线 AB 上方的交点有两个，分别 求解即可 【解答】解：（1）把点 A 坐标代入直线表达式 yx+a， 解得：a3，则：直线表达式为：yx3，令 x0，则：y3，
30、则点 B 坐标为（0，3）， 将点 B 的坐标代入二次函数表达式得：c3， 把点 A 的坐标代入二次函数表达式得：16+4b30， 解得：b， 故：抛物线的解析式为：yx2x3， 故：答案为：（0，3），yx2x3； （2）M（m，0）在线段 OA 上，且 MNx 轴， 点 P（m， m3），N（m， m2m3）， PNm3（m2m3）（m2）2+3， a0， 抛物线开口向下， 当 m2 时，PN 有最大值是 3， 当BNP90时，点 N 的纵坐标为3， 把 y3 代入抛物线的表达式得： 3m2m3， 解得： m3 或 0 （舍去 m0） ， m3； 当NBP90时，BNAB，两直线垂直，其
31、k 值相乘为1， 设：直线 BN 的表达式为：yx+n， 把点 B 的坐标代入上式，解得：n3，则：直线 BN 的表达式为：yx3， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m或 0（舍去 m0）， 当BPN90时，不合题意舍去， 故：使BPN 为直角三角形时 m 的值为 3 或； （3）OA4，OB3， 在 RtAOB 中，tan，则：cos，sin， PMy 轴， BPNABO， 若抛物线上有且只有三个点 N 到直线 AB 的距离是 h， 则只能出现：在 AB 直线下方抛物线与过点 N 的直线与抛物线有一个交点 N，在直线 AB 上方的交点有两个 当过点 N 的直线与抛物线有一个交点 N， 点
32、M 的坐标为（m，0），设：点 N 坐标为：（m，n）， 则：nm2m3，过点 N 作 AB 的平行线， 则点 N 所在的直线表达式为：yx+b，将点 N 坐标代入， 解得：过 N 点直线表达式为：yx+（nm）， 将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x212x12+3m4n0， 14434（012+3m4n）0， 将 nm2m3 代入上式并整理得：m24m+40， 解得：m2，则点 N 的坐标为（2，）， 则：点 P 坐标为（2，），则：PN3， OB3，PNOB，四边形 OBNP 为平行四边形，则点 O 到直线 AB 的距离等于点 N 到直线 AB 的距离， 即：过点 O 与 AB 平行
33、的直线与抛物线的交点为另外两个 N 点，即：N、N， 直线 ON 的表达式为：yx，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得： x24x40，解得：x22， 则点 N、N的横坐标分别为 2，22， 作 NHAB 交直线 AB 于点 H， 则 hNHNPsin， 作 NPx 轴， 交 x 轴于点 P， 则： ONP， ON （2+2） ， S 四边形OBPNBPh 6， 则：S 四边形OBPNSOPN+SOBP6+6 ， 同理：S 四边形OBNP6 6， 故：点 O，B，N，P 构成的四边形的面积为：6 或 6+6或 66 【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相 关知识，其中（3）中确定点 N 的位置是本题的难点，核心是通过0，确定图中 N 点 的坐标
