1、1 绝密启用前绝密启用前 潍潍潍坊坊坊一一一中中中高高高7 7 71 1 1级级级数数数学学学科科科一一一模模模第第第七七七次次次模模模拟拟拟试试试题题题 2020.03.292020.03.29 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
2、号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第卷第卷 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1.若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 的非空真子集个数 是（） A62B32C64D30 2.命题“0x ，使 2 310xx ”的否定是（） A0x ，使 2 310xx B0x ，使 2 310xx C0x ，使 2 310xx D
3、0x ，使 2 310xx 3.若复数z满足 (1)2zii （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数是（） A1iB1 iC1i D1i 4.设，为两个平面，则/的充要条件是（） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 2 5.已知函数 ln ,0 ( ) ,0 ex xxx f x x x 则函数 1yfx 的图象大致是（） A.B. C.D. 6.若x 时，函数 3sin4cosf xxx 取得最小值，则sin（） A. 3 5 B. 3 5 -C. 4 5 D. 4 5 7.已知正项等比数列 n a，满足 2 27202
4、0 16aaa，则 121017 a aa（） A. 1017 4 B. 1017 2 C. 1018 4 D. 1018 2 8.已知函数 2 63 x eex f xxxg x ex ，实数m，n满足0mn，若 1 xmn， 2 0 x ，使得 12 f xg x成立，则nm的最大值为（） A2 2B2 3C.4D2 5 二、多项选择题二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的 得 0 分） 9.若幂函数 ( ) yfx=的图象经过点( ) 3,27，则幂函数 ( )
5、fx是() A奇函数B偶函数C增函数D 减函数 10.已知由样本数据点集合,|1,2, ii x yin， 求得的回归直线方程为1.5.50yx ， 且3x ，现发现两个数据点(1.2 2.2) ， 和 )8 . 78 . 4(， 误差较大，去除后重新求得的回 归直线l的斜率为 1.2，则() A.变量x与y具有正相关关系B.去除后的回归方程为4 . 12 . 1xy 3 C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后,当x=4时，y的估计值为6.2 11.已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两 点 11 ,P x y ， 22 ,Q xy ，点P在l上的射影
6、为 1 P，则 （ ） A. 若 12 6xx ，则8PQ B. 以PQ为直径的圆与准线l相切 C. 设 0,1M ，则 1 2PMPP D. 过点 0,1M 与抛物线C有且仅有一个公共点的直 线至多有 2 条 12.在正方体 1111 ABCDABC D 中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为线段 11 AD上的动 点（不包括两个端点） ，M 为线段 AP 的中点，则（） A. CM 与 PN 是异面直线B.CMPN C. 平面PAN 平面 11 BDD B D. 过 P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 第卷 三、填空题 第卷 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 2
7、0 分.） 13.已知向量a ,b 满足| | 1a ，|2b ，()aab ，则a 与b 夹角的大小是 _ 14.某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B 肯定是受A感染的对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定 他受A和受B感染的概率都是 1 2 ， 同样也假设D受A、B和C感染的概率都是 1 3 在 这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的 可能取值为，并求X的均值(即数学期望)为 15.设函数 fx的定义域为R， 若存在常数0， 使 f xx对一切实数x均 成立，则称 fx为“条件约束函数”. 现给出下列函数：
8、4 4fxx ； 2 2f xx ； 2 2 25 x f x xx ； fx是定义在实数集R上的奇函数，且对一切 12 xx， 均有 1212 4f xf xxx . 其中是“条件约束函数”的序号是_（写出符合条件的全部序号）. 16.已知 1 F、 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且 12 3 FPF ， 设 椭 圆 离 心 率 为 1 e， 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 e， 则 22 12 13 ee . 四四、解答题解答题（本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） 17.（本题满分 10 分） 在各项均不相等的等差数列
9、 n a 中， 1 1a ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，数列 n b 的前 n 项和 1 22 n n S （1）求数列 n a 、 n b 的通项公式； （2）设 2 2log n a nn cb，求数列 n c 的前 n 项和 n T 18.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PAD为等边三角形，边长为 2，ABC为等腰 直角三角形，ABBC，1AC ，90DAC ，平面 PAD 平面 ABCD. (1)证明：AC 平面 PAD； (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值； (3)棱 PD 上是否存在一点 E，使得/ /AE平面 PBC？若存
10、在，求出 PE PD 的值；若 不存在，请说明理由. 5 19.在条件( )(sinsin )()sinabABcbC ，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，6bc ，2 6a ，. 求ABC的面积. 20.（本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点，直线y kx 与椭 圆交于A，B两点， 8AFBF . （1）求椭圆的标准方程； （2）设 3,0Q ，若 AQB 为锐角，求实数k的取值范围.
11、 21.（本题满分 12 分） 已知函数( )1 x a f xx e （,aR e为自然对数的底数） （1）若曲线 ( )yf x 在点 1,( )f x 处的切线平行于x轴，求a的值； （2）求函数 ( )f x 的极值； （3）当1a 时，若直线: 1l ykx与曲线( )yf x 没有公共点，求k的最大值. 6 22.（本小题满分 12 分） 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一 种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消 费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据 (其中“x=1”表示 2015
12、 年，“x=2”表示 2016 年，依次类推；y 表示人数)： x12345 y(万人)2050100150180 （1）试根据表中的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公 司的网购人数能超过 300 万人； （2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网 购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停 在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券 500 元；若遥控车最终停在“失败 大本营”，则网购者可获得免费购物券 200 元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率 都是 1 2 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2
13、格、第 20 格。遥控车开始在 第 0 格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向 前移动一格（从k到1k ）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k到2k ） ，直 到遥控车移到第 19 格胜利大本营）或第 20 格（失败大本营）时，游戏结束。设 遥控车移到第(1 19)nn 格的概率为 n P，试证明 1nn PP 是等比数列，并求网 购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值. 附：在线性回归方程 ybxa中， 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y bayb x xnx . 1 绝密启用前绝密启用前 潍坊一中高71级数学科一模第七次模拟考试答案 2
14、020.03.292020.03.29 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结
15、束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第卷第卷 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ） 1.若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 的非空真子集个数是（） A62B32C 64D30 答案：D 2.命题“0x ，使 2 310xx ”的否定是（） A0x ，使 2 310xx B0x ，使 2 310xx C0x ，使 2 310xx D0x ，使 2 310xx 答案：C 3.若复数z满足(1)2zii （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数是（） A.1iB.1 iC.1i D.
16、1i 【答案】D 【解析】 【分析】 先将(1)2zii 等式左右两边同时除以(1) i,得到 2 (1) i z i ,整理至zabi的形式, 由此可得共轭复数z abi=- . 【详解】解：(1)2zii 2 22 (1)2 (1)2 (1) 1 (1)(1)(1)12 iiiiiii zi iiii 1zi 故选：D 2 【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的定义,是基础题. 4.设，为两个平面，则/的充要条件是（） A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】 采用排除法，结合面面平行的判定，可得结果
17、. 【详解】易知 A、C、D 选项中与可能相交， 故选：B. 【点睛】本题主要是考查面面平行的判定，属基础题. 5.已知函数 ln ,0 ( ) ,0 ex xxx f x x x 则函数1yfx的图象大致是（） A.B. C.D. 【答案】B 【分析】 本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值1x 故排除 CD； 当3x =时,( 2)0f -,排除 A, 3 当01x 时, 10yfx ,当 1x 时, 10yfx,即可得出最后答案. 【详解】解：当1x 时, 1 100 ln00yff ；故排除 CD; 当3x =时, 2 2 ( 2)0f e- - -=,故排除 A. 当01x 时,
18、011x ,1l11nyfxxx() 011x- ,ln 10x, 1n 101lxxyfx,故 B 符合, 当1x 时, 10x 1 1 e 1 x x x yf , 1 10,0e x x - -, 1 1 0 e 1 x yfx x ,故 B 符合.故选：B 【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 6.若x时，函数 3sin4cosf xxx取得最小值，则sin（） A. 3 5 B. 3 5 -C. 4 5 D. 4 5 【答案】B 【解析】 【分析】 化简函数可得 5sinf xx,且 43 sin,cos 55 ,可知 2 2 kkZ 时取得最小
19、值,进而利用的三角函数值求解sin即可 【详解】由题,则 5sinf xx, 43 sin,cos 55 , 当2 2 kkZ ,即 2 2 kkZ 时, fx取得最小值, 则 3 sinsin2cos 25 k , 故选：B 【点睛】本题考查根据正弦型函数的最值求参,考查三角函数对称轴的应用,考查运算能力 7.已知正项等比数列 n a，满足 2 272020 16aaa，则 121017 a aa（） A. 1017 4 B. 1017 2 C. 1018 4 D. 1018 2 4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等比数列的性质以及等比中项即可求解. 【详解】由 2 272020 16
20、aaa可得 2 71011 16a a，所以 71011 4a a， 509 2a， 所以 508 1017 12101771011509 2a aaa aa. 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题. 8.已知函数 2 63 x eex f xxxg x ex ， 实数m，n满足0mn， 若 1 xmn， 2 0 x ，使得 12 f xg x成立，则nm的最大值为（） A2 2B2 3C.4D2 5 解析： 2 1 1 x x exe gx exex ， 则当01x时， 0gx ； 当1x 时， 0gx ，(1)0g=，( )g x在1x =处取得极小值，且为
21、定义域 内唯一极值， min 12g xg. 2 366f xx ，作函数 yf x的图象如图所 示，当 2f x 时，方程两根分别为5和1，则nm的最大值为154 .故选 C. 二、多项选择题二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分） 9.若幂函数 ( ) yfx=的图象经过点( ) 3,27，则幂函数 ( ) fx是() A奇函数B偶函数C增函数D 减函数 答案：A C 10.已知由样本数据点集合,|1,2,. ii x yin，求得的回归直线方程为1.5.
22、50yx， 且3x ，现发现两个数据点(1.2 2.2)，和)8 . 78 . 4(，误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为 1.2，则() A.变量x与y具有正相关关系B.去除后的回归方程为4 . 12 . 1xy C.去除后y的估计值增加速度变快D.去除后当x=4时，y的估计值为6.2 5 答案：A BD答案：A BD 11.已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点 11 ,P x y， 22 ,Q xy，点P在l上的射影为 1 P，则 （） A. 若 12 6xx，则8PQ B. 以PQ为直径的圆与准线l相切 C. 设0,1M，则 1 2PM
23、PP D. 过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可 【详解】对于选项 A,因为2p ,所以 12 2xxPQ ,则 8PQ ,故 A 正确； 对于选项 B,设N为PQ中点,设点N在l上的射影为 1 N ,点 Q在l上的射影为 1 Q,则由梯形 性质可得 11 1 222 PPQQPFQFPQ NN ,故 B 正确； 对于选项 C,因为1,0F,所以 1 2PMPPPMPFMF,故 C 正确； 对于选项 D,显然直线0x ,1y 与抛物线只有一个公共点,设过M的直线为1ykx, 联立 2 1 4
24、 ykx yx ,可得 22 2410k xkx ,令0 ,则1k ,所以直线1yx与抛 物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故 D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用,考查直线与抛物线的的交点个数问题,考查抛物 线的定义的应用,考查数形结合思想和运算能力 12.在正方体 1111 ABCDABC D中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为线段 11 AD上的动点（不 包括两个端点） ，M 为线段 AP 的中点，则（） 6 A. CM 与 PN 是异面直线B.CMPN C. 平面PAN 平面 11 BDD BD. 过 P，A，C 三点的正方体的截面一定是等腰
25、梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由,CN PM交于点A得共面，可判断 A，利用余弦定理把,CM PN都用,AC AP表示后可 比较大小，证明AN与平面 11 BDD B后可得面面垂直，可判断 C，作出过 P，A，C三点的 截面后可判断 D 【详解】,C N A共线，即,CN PM交于点A，共面，因此,CM PN共面，A 错误； 记PAC，则 22222 1 2coscos 4 PNAPANAP ANAPACAP AC， 22222 1 2coscos 4 CMACAMAC AMACAPAP AC，又APAC， 2222 3 ()0 4 CMPNACAP， 22 CMPN ，即CMPN
26、B 正确； 由于正方体中，ANBD， 1 BB 平面ABCD，则 1 BBAN， 1 BBBDB，可得 AN平面 11 BB D D，AN 平面PAN，从而可得平面PAN 平面 11 BDD B，C 正确； 7 取 11 C D中点K，连接 11 ,KP KC AC，易知 11 /PKAC，又正方体中， 11/ / ACAC， / /PKAC，,PK AC共面，PKCA就是过 P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯 形D 正确 故选：BCD. 【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明 判断难度较大 第第卷卷 三三、填空题、填空题（本大题共 4 小题，每
27、小题 5 分,共 20 分.） 13.已知向量a ,b 满足| 1a ，|2b ，()aab ，则a 与b 夹角的大小是_ 【答案】 3 4 【解析】 【分析】 由向量垂直的充分必要条件可得 2 a ba ， 据此求得向量夹角的余弦值， 然后求解向量的 夹角即可. 【详解】由()aab 得，()0aab ，即 2 0aa b rr r ， 据此可得： 2 cos,a ba ba ba ， 12 cos, 212 a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为0, ，故a 与b 的夹角为 3 4 . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知 识，意在考查学生的
28、转化能力和计算求解能力. 14.某地有A、B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A 感染的对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概 率都是 1 2 ，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是 1 3 在这种假定之下，B、C、D中直 接受A感染的人数X就是一个随机变量， 写出X的可能取值为， 并求X的均值 (即数学期望)为 8 答案：答案： 1,2,3 11 6 【分析】【分析】由题意分析得 X 可取的值为 1、2、3，用“Xk”(k1、2、3)表示被 A 直接感染 的人数四个人的传染情形共有 6 种：ABCD， 每种情况发生的可能性都
29、相等，所以 A 传染 1 人有两种情况，传染 2 人有三种情况， 传染 3 人有一种情况 “x1”表示 A 传染 B，没有传染给 C、D； “x2”表示 A 传染给 B、 C，没有传染给 D，或 A 传染给 B、D，没有传染给 C； “x3”表示 A 传染给 B、C、D于 是有 6 1 3 1 2 1 1)3(, 2 1 3 2 2 1 1 3 1 2 1 1)2(, 3 1 3 2 2 1 1) 1(xPxPxP 解析：解析：X 可取的值为 1、2、3，其中 6 1 )3(, 2 1 )2(, 3 1 ) 1(XPXPXP，分布列 为 X123 P 3 1 2 1 6 1 E(X) 6 11
30、 6 1 3 2 1 2 3 1 1 15.设函数 fx的定义域为R， 若存在常数0， 使|( )|f xxw对一切实数x均成立， 则称 fx为“条件约束函数”. 现给出下列函数： 4fxx； 2 2f xx； 2 2 25 x f x xx ； fx是定义在实数集R上的奇函数，且对一切 12 xx，均有 1212 4f xf xxx. 其中是“条件约束函数”的序号是_（写出符合条件的全部序号）. 【答案】 【解析】 对于，取4即可； 9 对于，因为0x 时， f x x ，所以不存在0，使 f xx对一切实数x 均成立； 对于，因为 22 221 252 14 xx f xx xx x ，取
31、 1 2 即可； 对于，由于 fx为奇函数，故 00f，令 12 0xx x，得 4f xx，故 4fxx，即 4f xx，所以 4f xx，取4即可. 点睛点睛： 新定义问题， 是高考命题创新型试题的一个热点， 常见的命题形式有新概念、 新法则、 新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力 16.已知 1 F、 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且 12 3 FPF ， 设椭圆离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e，则 22 12 13 ee . 【答案】 4 【分析】 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲
32、线的离心率分别为 e1，e2, 由余弦定理可 得 4c2=（r1）2+（r2） 22r 1r2cos 3 ，在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r1r2，在 双曲线中，化简为即 4c2=4a12 +r 1r2，22 12 13 4 ee 所以 【详解】设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa1） ，半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,F1PF2= 3 ，则 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos 3 ， 在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r1r2，
33、在双曲线中，化简为即 4c2=4a12 +r 1r2， 22 12 13 4 ee 所以 10 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理是解决本题的关键属于 难题 四、四、解答题解答题（本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分 10 分） 在各项均不相等的等差数列 n a中， 1 1a ，且 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，数列 n b的前 n 项和 1 22 n n S （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）设 2 2log n a nn cb，求数列 n c的前 n 项和 n T 【解析】 （1）设数
34、列 n a的公差为 d，则 21 aad， 51 4aad， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列， 2 215 aa a，即 2 111 4adaad，整理得 2 1 2da d， 解得0d （舍去）或 1 22da， 1 121 n aandn（2 分） 当1n 时， 1 2b ， 当2n时， 1 1 2222 nn nnn bSS 1 222 222 nnnnn 验证：当1n 时， 1 2b 满足上式， 数列 n b的通项公式为2n n b （5 分） （2）由（1）得， 21 2 2log2 n an nn cbn ，.（7 分） 3521 (2 1)22232 n n Tn 3521
35、 2222(123) n n 2(1 4 )(1) 1 42 n nn 212 22 32 n nn .（10 分） 11 18.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中， PAD 为等边三角形，边长为 2，ABC为等腰直角三 角形，ABBC，1AC ，90DAC ， 平面PAD 平面 ABCD. (1)证明：AC 平面 PAD； (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值； (3)棱 PD 上是否存在一点 E，使得/ /AE平面 PBC？若存在，求出 PE PD 的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 30 10 ； （3）棱 PD 上
36、存在一点 E，使得/ /AE平面 PBC， 且 1 3 PE PD . 【解析】 【分析】 （1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直； （2）取AD的中点O，连接PO，得PO 平面ABCD，以AD为x轴，AC为y轴， 过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角 求二面角； （3） 假设棱 PD 上存在一点 E， 使得/ /AE平面 PBC， 设PE PD ， 由AE 与平面PBC 的法向量垂直求得，如果求不出，说明不存在. 【详解】 （1）平面PAD 平面ABCD，ACAD，平面PAD平面 ABCDAD， AC 平面 ABCD， AC 平面PAD； (4 分)
37、 （2）取AD的中点O，连接PO，由于PAD是等边三角形，所以POAD，由平面 PAD 平面 ABCD，得PO 平面ABCD，3PO ， 以AP为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)D，(0,1,0)C， 1 1 (,0) 2 2 B ，(1,0, 3)P， 12 ( 1,1,3)PC ， 1 1 ( ,0) 2 2 BC ，设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z ， 则 30 11 0 22 n PCxyz n BCxy ，取3x ，则3y ，2z ，(3, 3,2)n ， 平面PAD的一个法向量为(0
38、,1,0)m ， 2 22 330 cos, 10 1(3)3(2) m n m n m n ， 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 30 10 ；.(8 分) （3）假设棱 PD 上存在一点 E，使得/ /AE平面 PBC，设PE PD (01)， 由（2）(1,0,3)PD ，(1,0, 3)AP ， 1033)AEAPPEAPPD (， ，又平面PBC的一个法向量是 2 3 ( 1,1,) 3 n ， 2 3 1( 33 )0 3 AE n ，解得 1 3 ， 1 3 PE PD . 又AE 平面 PBC棱 PD 上存在一点 E，使得/ /AE平面 PBC，且 1 3
39、PE PD (12 分) 【点睛】 本题考查由面面垂直证明线面垂直， 考查用空间向量法求二面角， 研究线面平行 解 题是建立空间直角坐标系 19.在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，6bc， 2 6a ，. 13 求ABC的面积. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 若选：利用正弦定理可得(ab)()(c b)abc ,即 222 bcabc,再利用余弦定理求 得cos A,进而求得bc,从而求得面积；
40、 若选： 利用正弦定理可得sinsinsincos() 6 ABBA ,化简可得 3 tan 3 A ,即 6 A , 利用余弦定理求得bc,从而求得面积； 若选：根据正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB ,整理可得 3 A ,进而求得面积 【详解】解：若选： 由正弦定理得(ab)()(c b)abc， (3 分) 即 222 bcabc ， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， (6 分) 因为(0, )A，所以 3 A . (7 分) 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6bc，所以4bc ， (10 分) 所以 11 sin4
41、sin3 223 ABC SbcA . (12 分) 若选： 由正弦定理得sinsinsincos() 6 ABBA (3 分) 因为0B，所以sin0B ，sincos() 6 AA ， 化简得 31 sincossin 22 AAA ， (5 分) 即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A . (7 分) 14 又因为 222 2cos 6 abcbc ， 所以 2222 ()6(2 6) = 2323 bca bc ，即 24 12 3bc ， (10 分) 所以 111 sin(24 12 3)63 3 222 ABC SbcA . (12 分) 若选： 由正弦定理得sinsi
42、nsinsin 2 BC BAB ， (3 分) 因为0B，所以sin0B ， 所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA ， 所以cos2sincos 222 AAA ，. (5 分) 因为0A，0 22 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ，所以 3 A (7 分) 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6bc，所以4bc ， (10 分) 所以 11 sin4 sin3 223 ABC SbcA (12 分) 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应 用,考查运算能力 20.（本题满分 12 分）
43、 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点，直线y kx 与椭圆交于 A，B两点， 8AFBF. （1）求椭圆的标准方程； （2）设3,0Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围. 【答案】 （1） 22 1 164 xy （2） 35 10 k 或 35 10 k 15 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆对称性可得4a ,利用离心率可得 3 2 c e a ,则 2 3c ,进而求得标准方 程； （2）联立 22 1 164 xy ykx ,可得 12 0xx, 12 2 16 41 x x k ,由 AQB为锐角可得 0QA QB ,整理可得 2 2 16(1) 90 41 k k ,求解即可 【详解】解： （1）设 1 F为椭圆的左焦点,连接 1 FB,由椭圆的对称性可知, 1 AFFB, 所以 1 28AFBFBFBFa,所以4a , (3 分) 又 3 2 c e a , 222 abc ,
