1、2020 年高考模拟高考数学模拟试卷（文科） （年高考模拟高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题 1已知全集U0，1，2，3，4，若A0，2，3，B2，3，4，则（UA）（UB） （ ） A B1 CC、0，2 D1，4 2已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“（a+bi） 22i”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3AC为平行四边形ABCD的一条对角线，则（ ） A（2，4） B（3，7） C（1，1） D（1，1） 4一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率 是 0.3，摸出
2、白球的概率是 0.2，那么摸出黑球的概率是（ ） A0.4 B0.5 C0.6 D0.95 5设alog2e，bln2，clog，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dcba 6如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上，则这个球的表面积是（ ） A4 B7 C16 D28 7已知 cos，（，0），则 tan2（ ） A B C D 8中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳计数”如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕 鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（ ） A89 条 B113 条 C
3、324 条 D445 条 9已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若m，n，则mn B若m，mn，则n C若m，n，则mn D若m，mn，则n 10将函数ycos（2x+）（）的图象向右平移个单位长度单位后得 函数f（x）图象，若f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间，上单调递减 Bf（x）在区间，匀上单调递增 Cf（x）在区间，上单调递减 Df（x）在区间，上单调递增 11已知直线x+ay10 是圆C：x 2+y24x2y+10 的对称轴，过点 A（4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|（ ） A2 B6 C4 D2 12 函数f（x） x 3+a
4、x2 （3+2a） x+1 在x1 处取得极大值， 则实数a的取值范围为 （ ） A（，3） B（3，+） C（，3） D（3，+） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量 为 80 的样本进行质量检测，若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品 总数为 件 14已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（c+b） sinC，则A 15如果双曲线C：1（a0，b0）的离心率是椭圆D：+1 离心率的 倒数，那么C的渐近线方程为 16定义在
5、 R 上的奇函数f（x）又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0）（0， 2上，f（x），则f（2020） ；b 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在PD上 （1）若E为PD的中点，证明：PB平面AEC； （2）若PA1，PD2AB，三棱锥EACD的体积为，证明：E为PD的中点 182014 年，中央和国务院办公厅印发关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度
6、规模经营的意见，要求大力发展土地流转和适度规模经营某种粮大户 2015 年开始承 包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随 着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5 年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 养护费用y（万 元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8 （1）从这 5 年中随机抽取 2 年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年多于 2 万元的概率； （2）求y关于x的线性回归方程； （3）若该水稻收割机的
7、购买价格是每台 16 万元，由（2）中的回归方程，从每台水稻收 割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满 5 年就淘汰，还是继续使用 到满 8 年再淘汰？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b， 19设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与 2 的等差 中项等于Sn与 2 的等比中项 （1）求数列an的通项公式； （2）设bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn1 20已知函数f（x）lnxax，a0 （1）若a，求函数g（x）xf（x）的单调区间； （2）证明：af（x）+2a1 21经过抛物线C：y 22px（p0）焦点 F的
8、直线与C相交于点A（x1，y1），B（x2，y2） （1）证明：y1y2p 2，x 1x2 （2）经过点A，B分别作C的切线，两条切线相交于点M，证明： （i）MAMB；（ii）点M在C的准线上 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程. 22 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为（其中t为参数，m0） 以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 2 sin，l被C截得的弦长为 （1）求实数m的值； （2）设l与C交于点A，B，若点P的坐标为（m，），求|PA|+
9、|PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数f（x）|xa| （1）若a2，解关于x的|x|+f（x）1 不等式； （2）当x时，|x|+f（x）x，求实数a的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知全集U0，1，2，3，4，若A0，2，3，B2，3，4，则（UA）（UB） （ ） A B1 CC、0，2 D1，4 【分析】进行交集、补集的运算即可 解：UA1，4，UB0，1； （UA）（UB）1 故选：B 2已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“（a+bi） 22i”的（ ） A充
10、分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用复数的运算性质，分别判断“ab1”“（a+bi） 22i”与“ab1” “（a+bi） 22i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论 解：当“ab1”时，“（a+bi） 2（1+i）22i”成立， 故“ab1”是“（a+bi） 22i”的充分条件； 当“（a+bi） 2a2b2+2abi2i”时，“ab1”或“ab1”， 故“ab1”是“（a+bi） 22i”的不必要条件； 综上所述，“ab1”是“（a+bi） 22i”的充分不必要条件； 故选：A 3AC为平行四边形ABCD的一条对角线，则（ ） A（2，4
11、） B（3，7） C（1，1） D（1，1） 【分析】利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出 解：由平行四边形的性质可得（1，3）（2，4）（1，1） 故选：D 4一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率 是 0.3，摸出白球的概率是 0.2，那么摸出黑球的概率是（ ） A0.4 B0.5 C0.6 D0.95 【分析】由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事 件的概率公式即可求解 解：根据题意可知，从中摸出 1 个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件， 故其概率P10.30.20.5 故选：B 5设
12、alog2e，bln2，clog，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dcba 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 解：clog23log2ea1ln2b bac 故选：B 6如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上，则这个球的表面积是（ ） A4 B7 C16 D28 【分析】 几何体是一个三棱柱ABCA1B1C1， 该三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形ABC， 侧棱长是 2，求出球的半径，可得这个球的表面积 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABCA1B1C1，该三棱柱的底面是边长为 3 的正三 角形ABC，侧棱长是 2， 三棱柱的两个底
13、面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接 球的半径， ABC是边长为 3 的等边三角形，MN2，AM（3），OM1， 这个球的半径r，这个球的表面积S42 216， 故选：C 7已知 cos，（，0），则 tan2（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求出 tan 的值，再利用二倍角公式的 正切公式，求得 tan2 的值 解：已知 cos，（，0），（，）， sin，tan， 则 tan2， 故选：A 8中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳计数”如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用
14、来记录捕 鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（ ） A89 条 B113 条 C324 条 D445 条 【分析】利用进位制的定义可得答案， 解：该图的五进制数为 324， 根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324（5）45 0+251+35289， 故选：A 9已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若m，n，则mn B若m，mn，则n C若m，n，则mn D若m，mn，则n 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答 解：对于选项A，若m，n，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误； 对于B，若m，mn，则n与 可能平行或者n
15、在 内；故B错误； 对于C，若m，n，根据线面垂直的性质可得mn；故C正确； 对于D，若m，mn，则n 或者n；故D错误； 故选：C 10将函数ycos（2x+）（）的图象向右平移个单位长度单位后得 函数f（x）图象，若f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间，上单调递减 Bf（x）在区间，匀上单调递增 Cf（x）在区间，上单调递减 Df（x）在区间，上单调递增 【分析】根据三角函数平移关系求出f（x）的解析式，结合f（x）是偶函数求出 ，利 用三角函数的单调性进行求解即可 解：将函数ycos（2x+）（）的图象向右平移个单位长度单位 后得函数f（x）图象， 则f（x）cos2（x）+co
16、s（2x+）， 若f（x）为偶函数，则 k，kZ， 即 +k，kZ， ，当k1 时， 即f（x）cos（2x）cos（2x）cos2x， 当x时，2x，此时f（x）cos2x不具备单调性，故A，B错 误， 当x时，2x，此时f（x）cos2x为增函数，故D周期， 故选：D 11已知直线x+ay10 是圆C：x 2+y24x2y+10 的对称轴，过点 A（4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|（ ） A2 B6 C4 D2 【分析】 求出圆的标准方程可得圆心和半径， 由直线l：x+ay10 经过圆C的圆心 （2， 1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的
17、值 解：圆C：x 2+y24x2y+10，即（x2）2+（y1）24， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于 2 的圆 由题意可得，直线l：x+ay10 经过圆C的圆心（2，1）， 故有 2+a10，a1，点A（4，1） AC2，CBR2， 切线的长|AB|6 故选：B 12 函数f（x） x 3+ax2 （3+2a） x+1 在x1 处取得极大值， 则实数a的取值范围为 （ ） A（，3） B（3，+） C（，3） D（3，+） 【分析】分析可知，f（x）的一个零点为x11，另一个零点为，且x1 x2，由此建立关于a的不等式，解出即可 解：f（x）3x 2+2ax（3+2a），f（1）0，f（
18、x）的一个零点为 x11， 由韦达定理可知，f（x）的另一个零点为， 因为f（x）在x1 处取得极大值， 所以f（x）在x1 的左侧附近大于 0，右侧附近小于 0， 因为二次函数f（x）是开口向上的抛物线， 所以x1x2，即，解得a3 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量 为 80 的样本进行质量检测，若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品 总数为 1800 件 【分析】根据样本容量为 80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数， 乙设备生产的产
19、品总数 解：样本容量为 80，抽取的比例为， 又样本中有 50 件产品由甲设备生产，样本中 30 件产品由乙设备生产， 乙设备生产的产品总数为 30601800 故答案为：1800 14已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（c+b） sinC，则A 【分析】先利用正弦定理角化边得到b 2+c2a2bc，再利用余弦定理即可求出角 A 解：（a+b）（sinAsinB）（c+b）sinC， 由正弦定理得：（a+b）（ab）（c+b）c，即a 2b2c2+bc， b 2+c2a2bc， 由余弦定理得：cosA， 又A（0，）， A， 故答案为： 15如果双
20、曲线C：1（a0，b0）的离心率是椭圆D：+1 离心率的 倒数，那么C的渐近线方程为 yx 【分析】由椭圆的方程可得椭圆的离心率，再由椭圆可得双曲线的离心率，进而可得a， b的关系，再由双曲线的方程与渐近线方程的关系求出渐近线的方程 解：由椭圆的方程可得椭圆的离心率为：， 所以由题意可得双曲线的离心率为：2，即2，可得b 23a2，即 ， 所以双曲线的渐近线的方程为：yx， 故答案为：yx 16定义在 R 上的奇函数f（x）又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0）（0， 2上，f（x），则f（2020） 0 ；b 1 【分析】由定义在 R 上的奇函数f（x）又是周期为 4 的周期函数，得
21、f（0）0，由f （x）是周期为 4 的周期函数，得f（2020）0，由f（x+4）f（x）和奇函数性质， 得f92）f（2）0，由此能求出结果 解：定义在 R 上的奇函数f（x）又是周期为 4 的周期函数， f（0）f（0），解得f（0）0， f（x）是周期为 4 的周期函数，f（2020）0， f（x）周期为 4 的周期函数，f（x+4）f（x）， f（42）f（2），f（2）f（2）， 定义在 R 上的奇函数f（x），f（2）f（2）f（2）， f（2）f（2）0， 在区间2，0）（0，2上，f（x）， ，解得a，b1 故答案为：0，1 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明，
22、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在PD上 （1）若E为PD的中点，证明：PB平面AEC； （2）若PA1，PD2AB，三棱锥EACD的体积为，证明：E为PD的中点 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接EO，可得EOPD，再由线面平行的判定可得PB 平面AEC； （2）由题设AD，CD，求出ADC的面积，结合棱锥EACD的体积为求得E 到平面ABCD的距离，再证明平面PAD平面ABCD，过E在平面内作EFAD，垂
23、足为F， 则EF平面ABCD，可得EFPA，结合PA的长度可得E为PD的中点 【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接EO， ABCD为矩形，O为BD的中点， 又E为PD的中点，EOPD， EO平面AEC，PB平面AEC， PB平面AEC； （2）由题设AD，CD，ADC的面积为 棱锥EACD的体积为，E到平面ABCD的距离为 PA平面ABCD，平面PAD平面ABCD， 过E在平面内作EFAD，垂足为F，则EF平面ABCD， 而PA平面ABCD，于是EFPA PA1，E为PD的中点 182014 年，中央和国务院办公厅印发关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度 规模经营的意见，要求大力
24、发展土地流转和适度规模经营某种粮大户 2015 年开始承 包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随 着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5 年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 养护费用y（万 元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8 （1）从这 5 年中随机抽取 2 年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年多于 2 万元的概率； （2）求y关于x的线性回归方程； （3）若该水稻收割机的购买价格是每台 16 万
25、元，由（2）中的回归方程，从每台水稻收 割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满 5 年就淘汰，还是继续使用 到满 8 年再淘汰？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b， 【分析】（1）利用古典概型判断即可； （2）根据线性回归方程公式， 求出 ，代入求出 ，求出线性回 归方程； （3）根据（2）线性回归方程，估算满 5 年和满 8 年的平均费用，判断即可 解：（1）根据题意，从这 5 年中随机抽取 2 年，每台水稻收割机每年的养护费所有可能 的结果有 10 种， （1.1，1.6），（1.1，2），（1.1，2.5），（1.1，2.8），（1.6，2），（1.6
26、，2.5）， （1.6，2.8），（2，2.5），（2，2.8），（2.5，2.8）， 其中 2 年的养护费用不多于 2 万元的有 3 种，（1.1，1.6），（1.1，2），（1.6，2）， 故所求概率为 1； （2）根据表格的， ， 20.4330.71， 故线性回归方程为y0.43x+0.71； （3）若满 5 年就淘汰，则每台水稻收割机年平均费用为（万元）， 若 满8年 淘 汰 ， 则 每 台 水 稻 收 割 机 的 年 平 均 费 用 为 4.645（万元）， 所以使用满 8 年的年平均费用低于使用满 5 年的年平均费用， 建议使用到满 8 年再淘汰 19设an是正数组成的数列，其前
27、n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与 2 的等差 中项等于Sn与 2 的等比中项 （1）求数列an的通项公式； （2）设bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn1 【分析】（1）由等差数列和等比数列的中项性质可得，两边平方后，将 n换为n+1，相减变形后，运用等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得bn，运用数列的裂项相消求和，可得Tn，再由不等式的性质， 即可得证 解：（1）an是正数组成的数列，即an0，其前n项和为Sn， 并且对于所有的自然数n，an与 2 的等差中项等于Sn与 2 的等比中项， 可得，平方可得an 2+4a n+48Sn，则an+1 2+4a n+1+
28、48Sn+1， 相减可得an+1 2a n 2+4（a n+1an）8（Sn+1Sn）8an+1， 即为（an+1an）（an+1an4）0，由即an0，可得an+1an4， 又，可得a12， 则数列an为首项为，公差为 4 的等差数列，可得an2+4（n1）4n2； （2）证明：bn， 则前n项和为Tn1+1， 由nN*，可得 0，即有11 则Tn1 20已知函数f（x）lnxax，a0 （1）若a，求函数g（x）xf（x）的单调区间； （2）证明：af（x）+2a1 【分析】（1）把a代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）原不等式可转化为f（x），结合导数与单调性关
29、系及（1）中结论lnxx+1 0 可求 【解答】（1）解：g（x）xlnx，x0，g（x）lnxx+1， 当 0x1 时，g （x）0，g（x）单调递增，当 x1 时，g （x）0，g（x）单 调递减， 故g（x）g（1）0， 故g（x）的单调递减区间（，0），没有递增区间； （2）证明：，x0， 因为a0， 所以当 0x时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当x时，f（x）0， 函数f（x）单调递减， 故f（x）f（）1lna， 由（1）知lnxx+10， 所以ln，即lna+1， 所以lna1即f（x）， 因为a0， 所以af（x）+2a1 21经过抛物线C：y 22px（p0）焦点 F的
30、直线与C相交于点A（x1，y1），B（x2，y2） （1）证明：y1y2p 2，x 1x2 （2）经过点A，B分别作C的切线，两条切线相交于点M，证明： （i）MAMB；（ii）点M在C的准线上 【分析】（1）设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理即可证明； （2）由题设AM，BM的斜率存在，分别设为k1，k2，根据切线的性质可得k1，同理 k2，（i）即可证明， （ii）分别可得直线MA，MB的方程，根据y1y2，即可证明 【解答】证明：（1）C的焦点坐标为（，0），由题设AB不平行于x轴，可是AB：x my+， 代入到y 22px 可得y 22pmyp20， 4m 2p2+4p20， y1
31、y2p 2， x1x2； （2）由题设AM，BM的斜率存在，分别设为k1，k2， 则MA方程为yy1k1（x），将x代入得y2y+y10， 由0 可得（1） 20，k 1，同理k2， （i）由（1）可得k1k21， MAMB， （ii）MA的方程为yx+，MB的方程为yx+， 两方程联立可得x 由题设y1y2，所以x， 因此点M在C的准线上 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程. 22 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为（其中t为参数，m0） 以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
32、标系， 曲线C的极坐标方程为 2 sin，l被C截得的弦长为 （1）求实数m的值； （2）设l与C交于点A，B，若点P的坐标为（m，），求|PA|+|PB|的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数，m0）转换为直角坐 标方程为：x+ym0 曲线C的极坐标方程为 2sin，转换为直角坐标方程为， 由于l被C截得的弦长为 所以：利用垂径定理圆心到直线的距离d， 解得m3 （2）直线l的参数方程，转换
33、为标准式为（t为参数）， 代入得到：， 所，t1t24， 所以：|PA|+|PB| 选修 4-5：不等式选讲 23设函数f（x）|xa| （1）若a2，解关于x的|x|+f（x）1 不等式； （2）当x时，|x|+f（x）x，求实数a的取值范围 【分析】（1）a2 时，可得出，然后根据 即可得出x的范围，即得出原不等式的解集； （2）根据条件即可得出|xa|1，从而得出a1xa+1，根据即可得出 ，解出a的范围即可 解：（1）a2 时， 时，由得，x0； 时，由得，1x2； x2 时，由得，x2， 综上得，原不等式的解集为x|x0 或x1； （2）， ， |xa|1， a1xa+1， ，解得， 实数a的取值范围为
