1、南京市南京市、盐城市盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学数学 2020.03 参考公式: 圆锥的侧面积公式:S=rl,其中 r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置 上) 1.已知集合 A=x|x=2k+1,kZ),B=x|x(x-5)0),则 AB=_ 2.已知复数 z=12i,其中 i 为虚数单位,则 z2的模为_ 3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数 x 的值为_ 4.某校初三年级共有 500 名女生,为了了
2、解初三女生 1 分钟“仰卧起坐“项目训练情况,统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐“测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三 女生有_个。 5.从编号为 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能 被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_. 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且周期为 2,当 x(0,1时,( ) 3 a f xx,则 f(a)的值为_. 7.若将函数( )sin(2) 3 f xx 的图象沿 x 轴向右平移 (0)个单位后所得的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对称
3、,则 的最小值为_ 8.在ABC 中,2 5AB ，5AC ，BAC=90,则ABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形成的几何 体的表面积为_. 9.已知数列(an为等差数列,数列b,为等比数列,满足a ，a2，a3=b1,b2,b3)=a,b,-2,其中 a0,b0, 则 a+b 的值为_ 10.已知点 P 是抛物线 x 2 =4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点 A 的坐标为(0,-1),则 PF PA 的最小值为_. 11.已知 x，y 为正实数,且 xy2x+4y=41,则 x+y 的最小值为_ 1 12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C: (x-m) 2 +y2=r 2 (m0).
4、已知过原点 O 且相互垂直的两条直线 l1和 l2, 其中 l1与圆 C 相交于 A、B 两点，l2与圆 C 相切于点 D.若 AB=OD,则直线 l1的斜率为_. 13.在ABC 中,BC 为定长,|2| 3|ABACBC，若ABC 的面积的最大值为 2,则边 BC 的长为_. 14.函数 f()=ex-x-b(e 为自然对数的底数,bR),若函数 1 ( )( ( ) 2 g xf f x恰有 4 个零点,则实数 b 的取 值范围为_. 二、 解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答 题卡的指定区域内. 15.(本小题满分 14
5、 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,点 D,E 分别为 AB,BC 的中点,且平面 PDE平面 ABC. (1)求证:AC平面 PDE; (2)若 PD=AC=2,PE=3,求证:平面 PBC平面 ABC. 16.(本小题满分 14 分) 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=bcosC+csinB. (1)求 B 的值. (2)设BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D,已知 17 7 AD ， 7 cos 25 A ,求 b 的值 17.(本小题满分 14 分) 如图,湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛,岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米， 为
6、方便游人到小岛观光, 从点 A 向小岛建三段栈道 AB,BD,BE,湖面上的点 B 在线段 AC 上,且 BD,BE 均与圆 C 相切,切点分别为 D,E, 其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧(圆C上实线部分)上再修建栈道.DE记CBD为 . (1)用 表示栈道的总长度 f(),并确定 sin 的取值范围； (2)求当 为何值时,栈道总长度最短. 18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 且过点(0, 3). (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知BMN 是椭圆 C 的内接三
7、角形, 若点 B 为椭圆 C 的上顶点,原点 O 为BMN 的垂心,求线段 MN 的长; 若原点 O 为BMN 的重心,求原点 O 到直线 MN 距离的最小值. 19,(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=x 3-x2-(a-16)x,g(x)=a|nx,aR.函数 ( ) ( )( ) f x h xg x x 的导函数 h(x)在 5 ,4 2 存在零点 (1)求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 a,当 x0,b时,函数 f(x)在 x=0 时取得最大值,求正实数 b 的最大值; (3)若直线 l 与曲线 y=f(x)和 y=g(x)都相切,且 l 在 y 轴上的截距为-1
8、2,求实数 a 的值. 20.(本小题满分 16 分) 已知无穷数列an的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,记 Tn为数列an的前 an项和,即 12 n an Taaa. (1)若数列an为等比数列,且 a1=1,S4=5S 2,求 T3的值; (2)若数列an为等差数列,且存在唯一的正整数 n(n2),使得2 n n T a 求数列an的通项公式; (3)若数列(Tn)的通项为 (1) 2 n n n T ,求证:数列an为等差数列 南京市、盐城市 2020 届高三第二次模拟考试 数学附加题 2020.03 本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 21.【选做题】在 A,B,C
9、三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 424 矩阵与变换 已知矩阵 1210 , 2101 MN M (1)求矩阵 N; (2)求矩阵 N 的特征值. B 选修 441 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 , 1 2 xt yt ,(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,直线 l极坐标方程为cos()2 4 .若直线 1 交曲线 C 于 A,B 两点,求线段 AB 的长. C 选终 45:不等式选讲 已知 a0.证明
10、2 2 11 22aa aa 【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖次.抽奖规则如下 x 抽奖者掷各面标有 16点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖 箱中装有 2 个红球与 m(m2,mN*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出 2 个球,若 2 个球均为红球,则获得一等奖, 若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(
11、抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同). (1)若 m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率; (2)若一等奖可获奖金 400 元,二等奖可获奖金 300 元,三等奖可获奖金 100 元,记顾客一次抽奖所获得的 奖金为 X,若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元,求 m 的最小值. 23.(本小题满分 10 分) 已知集合 A n=1,2,n,nN *,n2,将 A n的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M1,M2,Mm),其 中 m=2n.记集合 Mk中元素的个数为 ak,kN*,km,规定空集中元素的个数为 0. (1)当 n=2 时,求 a1+a2+am的值; (2)利用数学归纳法证明:不论 n(n2)为何值,总存在有序集合组(M1,M 2,Mm),满足任意 *, 1, ii mN都 有 1 1 ii aa.
