北京四中九年级下册数学锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

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1、第 1 页 共 10 页 锐角三角函数全章复习与巩固锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解知识讲解(提高)(提高) 【学习目标】【学习目标】 1.了解锐角三角函数的概念,能够正确使用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比;记忆 30、 45、60的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数; 2能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数; 3理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有

2、关知识解决简单的实际问题; 4通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,通过解直角三角的学习, 体会数学在解决实际问题中的作用,并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、锐角三角函数锐角三角函数 1.1.正弦、余弦、正切的定义正弦、余弦、正切的定义 如右图、在 RtABC 中,C=90,如果锐角 A 确定: (1)sinA=,这个比叫做A 的正弦. (2)cosA=,这个比叫做A 的余弦. (3)tanA=,这个比叫做A 的正切. 要点诠释:要点诠释: (1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的,

3、其本质是两条线段的比值,它只是一个数值, 其大小只与锐角的大小有关,而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号,即表示A 三个三角函数值,书写时习惯上省略符号“”, 但不能写成 sinA,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号“”不能省略,应 第 2 页 共 10 页 写成 sinBAC,而不能写出 sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2,而不能写成 sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等. 2.2.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数. 要点诠释:要点诠释: 1.

4、函数值的取值范围 对于锐角 A 的每一个确定的值,sinA 有唯一确定的值与它对应,所以 sinA 是A 的函数.同样,cosA、 tanA 也是A 的函数,其中A 是自变量,sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量A 的取值范 围是 0A90,函数值的取值范围是 0sinA1,0cosA1,tanA0. 2锐角三角函数之间的关系: 余角三角函数关系:“正余互化公式” 如A+B=90, 那么:sinA=cosB; cosA=sinB; 同角三角函数关系:sin 2Acos2A=1;tanA= 3.30、45、60角的三角函数值 A 30 45 60 sinA cosA tan

5、A 1 30、45、60角的三角函数值和解 30、60直角三角形和解 45直角三角形为本章重中之重, 是几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、要点二、解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图: 角角关系:两锐角互余,即A+B=90; 边边关系:勾股定理,即; 第 3 页 共 10 页 边角关系:锐角三角函数,即 要点诠释:要点诠释: 解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形: (1)已知两条边(一直角边和一斜边;两直角边); (2)已知一条边和

6、一个锐角(一直角边和一锐角; 斜边和一锐角) 这两种情形的共同之处: 有一条边 因 此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边 要点三、要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.1.解这类问题的一般过程解这类问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几 何图形,建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问 题. (3

7、)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 2.2.常见应用问题常见应用问题 (1)坡度:; 坡角:. (2)方位角: (3)仰角与俯角: 第 4 页 共 10 页 要点诠释:要点诠释: 1解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a,b) 由求A, B=90A, 斜边,一直角边(如 c,a) 由求A, B=90A, 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如A,b) B=90A, , 锐角、对边 (如A,a) B=90A, ,

8、 斜边、锐角(如 c,A) B=90A, , 2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是: 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形),就是要舍去实际事物的具体内容,把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义,也有助于把实际 问题抽象为数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求解 第 5 页 共 10 页 3锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性,适用于所有形状的三角形,而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题,所以在直角三

9、角形中先考虑三角函数,可以使过程简洁。 如:射影定理不能直接用,但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单: 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、锐角三角函数锐角三角函数 1在 RtABC 中,C90,若将各边长度都扩大为原来的 2 倍,则A 的正弦值是( ) A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D不变 【答案】 D; 【解析】根据 A sinA 的对边 斜边 知 sinA 的值与A 的大小有关,与 A 的对边 斜边 的比值有关 当各边长度都扩大为原来的 2 倍时,其 A 的对边 斜边 的比值不变故选 D. 【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系

10、 举一反三:举一反三: 【变式变式 1 1】已知,如图,ABC中,CEAB,BDAC, 2 5 DE BC ,求 cosA及 tanA A B C D E 【答案】易证点 B、C、D、E 四点共圆,ADEABC, 第 6 页 共 10 页 cosA= 2 , 5 ADDE ABBC tanA= 21 . 2 BD AD 【变变式式2 2】 如图所示, 已知ABC是O的内接三角形, ABc, ACb, BCa, 请你证明 sinsinsin abc ABC 【答案】 证明:O 是ABC 的外接圆,设圆的半径为 R,连结 AO 并延长交O 于点 D, 连结 CD,则BD AD 是O 的直径,ACD

11、90即ADC 为直角三角形 sinsin 2 ACb BD ADR ,2 sin b R B 同理可证:2 sin a R A ,2 sin c R C 2 sinsinsin abc R ABC 类型二、类型二、 特殊角三角函数值的计算特殊角三角函数值的计算 2已知 a3,且 2 1 (4tan45)30 2 bb c ,则以 a、b、c 为边长的三角形面积等于( ) A6 B7 C8 D9 【答案】A; 【解析】根据题意知 4tan450, 1 30, 2 b bc 解得 4, 5. b c 所以 a3,b4,c5,即 222 abc,其构成的三角形为直角三角形,且C90, 所以 1 6

12、2 Sab 【总结升华】利用非负数之和等于 0 的性质,求出 b、c 的值,再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直 角三角形,注意 tan45的值不要记错 举一反三:举一反三: 【变式】变式】计算: tan60tan45 tan60tan45 2sin60 【答案】原式= 313 2 2 3 1 = 2 33 3 第 7 页 共 10 页 类型三、类型三、 解直角三角形解直角三角形 3如图所示,在等腰 RtABC 中,C90,AC6,D 是 AC 上一点,若 1 tan 5 DBA,则 AD 的长为( ) A2 B3 C2 D1 【思路点拨】 如何用好 1 tan 5 DBA是解题关解,因此要设

13、法构造直角三角形,若所求的元素不在直角三角 形中,则应将它转化到直角三角形中去,转化的途径及方法很多,如可作辅助线构造直角三角形,或找已 知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等 【答案】 A; 【解析】 作 DEAB 于点 E 因为ABC 为等腰直角三角形,所以A45,所以 AEDE 又设 DEx,则 AEx,由 1 tan 5 DE DBA EB 知 BE5x,所以 AB6x,由勾股定理知 AC 2+BC2AB2, 所以 6 2+62(6x)2, 2x ,AD2AE222 【总结升华】在直角三角形中,若已知两边,宜先用勾股定理求出第三边,再求锐角三角函数值;若已知 一边和角,应先求另一角,

14、再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解 类型四类型四 、锐角锐角三角函数与相关知识的综合三角函数与相关知识的综合 4如图所示,直角ABC 中,C90,AB2 5,sin B 5 5 ,点 P 为边 BC 上一动点,PDAB, PD 交 AC 于点 D,连接 AP, (1)求 AC,BC 的长; (2)设 PC 的长为 x,ADP 的面积为 y,当 x 为何值时,y 最大,并求出最大值 【思路点拨】 第 8 页 共 10 页 (1)在 RtABC 中,由 AB2 5,sin B 5 5 AC AB ,易得 AC2,再由勾股定理求 BC (2) 1 2 ADP SAD PC ,只要

15、把 AD 用 x 表示即可求出ADP 的面积 y, 由 PDAB 可得 PCCD BCAC ,从而求出 1 2 CDx,则 1 2 2 ADx 【答案与解析】 (1)在 RtABC 中,由 5 sin 5 B ,AC2,由勾股定理得 BC4 (2)PDAB,ABCDPC, 1 2 DCAC PCBC PCx,则 22 1111 2(2)1 2244 yxxxxx , 当 x2 时,y 有最大值,最大值是 1 【总结升华】 近几年,锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频 率越来越大如圆中的垂径定理,直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形在函数中,在直角坐

16、标 系中求点的坐标,离不开求直角三角形两直角边的问题,相似三角形中可将有些元素进行转换或替代 举一反三:举一反三: 【变式变式】 如图, 设P是矩形ABCD的AD边上一动点,PEAC于点E,PFBD于F,3AB,4AD 求PEPF的值 【答案】如图,sin1=. PE PA sin2=. PF PD 由矩形 ABCD 知1=2, 则 PE=PAsin1,PF=PDsin2,sin1= CD3 = AC5 , 所以 PE+PF= PAsin1+ PDsin2=(PA+PD)sin1= 312 4= 55 类型五、三角函数与实际问题类型五、三角函数与实际问题 5某乡镇中学教学楼对面是一座小山,去年

17、“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔甲、乙两位同 学想测出铁塔的高度,他们用测角器作了如下操作:甲在教学楼顶 A 处测得塔尖 M 的仰角为,塔座 N 的 仰角为;乙在一楼 B 处只能望到塔尖 M,测得仰角为(望不到底座),他们知道楼高 AB20 m,通过查 表得:tan0.572 3,tan0.2191,tan0.7489,请你根据这几个数据,结合图形推算出铁塔 第 9 页 共 10 页 高度 MN 的值 【答案与解析】 如图所示,设地平线 BD、水平线 AE 分别交直线 MN 于 D、E,显然 AEBD,不妨设为 m, 则在 RtAEM 中,MEmtan, 在 RtAEN 中,NEmtan M

18、Nm(tantan) 在 RtBDM 中,MDmtan, 而 ABDEMDMEm(tantan), tantan AB m , (tantan) tantan AB MN 将 AB20(m),tan0.5723,tan0.2191,tan0.7489 代入得 MN40(m) 可测得铁塔的高度 MN40m. 【总结升华】构造直角三角形,把实际问题转化为解直角三角形问题. 6如图所示,帆船 A 和帆船 B 在太湖湖面上训练,O 为湖面上的一个定点,教练船静候于 O 点训 练时要求 A,B 两船始终关于 O 点对称以 O 为原点,建立如图所示的坐标系,x 轴,y 轴的正方向分别表 示正东、正北方向设

19、 A,B 两船可近似看成在双曲线 4 y x 上运动湖面风平浪静,双帆远影优美训 练中当教练船与 A,B 两船恰好在直线 yx 上时,三船同时发现湖面上有一遇险的 C 船,此时教练船测得 C 船在东南 45方向上,A 船测得 AC 与 AB 的夹角为 60,B 船也同时测得 C 船的位置(假设 C 船位置不再 改变,A,B,C 三船可分别用 A,B,C 三点表示) (1)发现 C 船时, A, B, C 三船所在位置的坐标分别为 A(_, _), B(_, _) 和 C(_,_); (2)发现 C 船,三船立即停止训练,并分别从 A,O,B 三点出发沿最短路线同时前往救援,设 A,B 两 船的

20、速度相等,教练船与 A 船的速度之比为 3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由 【思路点拨】 第 10 页 共 10 页 作 ADx 轴,在等腰直角三角形 ADO 中 结合点 A 在 4 y x 上,不难求出 A 点坐标,而 B 与 A 关于原点对称注意到ABC 为等边三角形,连 OC,作 CHx 轴解直角三角形,求出 CH、OH 的 长,即可求出点 C 坐标在求点 A、B、C 坐标过程中,可求出 AC、OC 的长再根据两船速度比, 分别用含字母的式子表示所用的时间,再比较大小 【答案与解析】 (1)A(2,2);B(-2,-2);C(2 3,2 3) (2)作 ADx 轴于 D,连接 AC

21、,BC 和 OC如图所示 A 的坐标为(2,2), AOD45,AO2 2 C 在 O 的东南 45方向上, AOC45+4590 AOBO, ACBC又 BAC60 ABC 为正三角形, ACBCAB2AO4 2 OCBCcos30 3 4 22 6 2 由条件设:教练船的速度为 3m,A、B 两船的速度均为 4m 则教练船所用的时间为: 2 6 3m ,A、B 两船所用的时间均为 4 22 4mm 教练船不是最先赶到 【总结升华】 (1)一是通过问题提供的信息,知道变量之间有什么函数关系,在这种情况下,可先设出函 数的表达式,再由已知条件确定表达式中的字母系数即可; (2)从问题本身的条件中不知道变量 之间是什么函数关系,在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系,把变量联系起来就 得到函数的表达式.

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