1、 1 陕西省咸阳市陕西省咸阳市 2020 届高三第二次模拟考试届高三第二次模拟考试(网考网考)数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求要求. 1集合 = *| = 1 +，N1，0，1，2，则 MN（ ） A0，1 B1，0，1 C1，1 D0，1，2 2已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 3“一带一路”是“丝绸之路经济带”
2、和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合 作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体自 2015 年以来，“一带一路”建设成果 显著 右图是 20152019 年， 我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图， 下列描述错误的是 （ ） A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 4已知数列 a1，2 1， 3 2， 1是首项为 8，公比为 1 2的等比数列，则 a3等于（ ） A64 B32 C2 D4 5“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的
3、一种传统纹样为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所 示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 200 个点，己知恰有 80 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ） 2 A16 5 B32 5 C10 D18 5 6已知 a，b 为两条不同直线， 为三个不同平面，下列命题： 若 ，则 若 a，a，则 若 ，则 若 a，b，则 ab 其中正确命题序号为（ ） A B C D 7双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0）的一个焦点为 F（c，0） （c0） ，且双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2：( )2+ 2= 2 4 均相切，则双曲线 C1的渐近线
4、方程为（ ） A 3 = 0 B3 = 0 C5 = 0 D 5 = 0 8函数 f（x）= 2 |;1|的图象大致为（ ） A B C D 9已知 AB 是过抛物线 y24x 焦点 F 的弦，O 是原点，则 =（ ） A2 B4 C3 D3 10正四棱锥 PABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，则它的外接球的表面积 为（ ） A4 B8 C16 D20 3 11关于函数 f（x）= 2 1:2 +cos2x，下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）的定义域为 R B函数 f（x）一个递增区间为 3 8 ， 8 C函数 f（x）的图象关于直线 x= 8对称 D将函数
5、y= 2sin2x 图象向左平移 8个单位可得函数 yf（x）的图象 12已知函数 f（x）ex+b 的一条切线为 ya（x+1） ，则 ab 的最小值为（ ） A 1 2 B 1 4 C 1 D 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13若向量 = ( 1，2)与向量 = (2，1)垂直，则 x 14 （1x） （1+x）4展开式中，含 x2项的系数为 15为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 y（mg/m3） 与时间 t（h
6、）的函数关系为 y= ，0 1 2 1 ， 1 2 ， （如图所示）实验表明，当药物释放量 y0.75（mg/m3） 对人体无害 （1）k ； （2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分 钟人方可进入房间 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若3 = 1，a2，则ABC 的面积的最 大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a3+a718，S636 （I）求数
7、列an的通项公式及前 n 项和为 Sn； （II）设 Tn为数列* 1 :+的前 n 项的和，求证：Tn1 4 18为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起“的知识问卷 作答， 随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分， 作出如图所示的茎叶图， 成绩大于 70 分的为“合格“ （I）由以上数据绘制成 2 2 联表，是否有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关？ 男 女 总计 合格 不合格 总计 （II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，记来自男生的个 数为 X，求 X 的分布列及数学期望 附：
8、 P（k2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= (;)2 (:)(:)(:)(:)，na+b+c+d 19如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90 ，AB2DC2BC，E 为 AB 的中点，沿 DE 将 ADE 折起， 使得点 A 到点 P 位置， 且 PEEB， M 为 PB 的中点， N 是 BC 上的动点 （与点 B， C 不重合） （I）求证：平面 EMN平面 PBC； （II）是否存在点 N，使得二面角 BENM 的余弦值 6 6 ？若存在，确定 N 点位置；若不存在，说明理 由 20椭圆
9、C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面积为22 （I）求椭圆 C 的方程： 5 （II）设 P 是直线 xa2上任意一点，过点 P 作圆 x2+y2a2的两条切线，切点分别为 M，N，求证：直 线 MN 恒过一个定点 21已知函数 f（x）axex（aR，a0） ，g（x）x+lnx+1 （I）讨论 f（x）的单调性； （II）若对任意的 x0，f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C
10、 的极坐标方程是 cos24sin0，直线 l1和直线 l2的极坐标方程分别是 （R）和 = + 2 ( )，其中 k（kz） （I）写出曲线 C 的直角坐标方程； （I）设直线 l1和直线 l2分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A，B，求OAB 的面积最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x+m|2x0 解集为1，+） （m0） （I）求正数 m 的值； （II）设 a，b，cR+，且 a+b+cm，求证： 2 + 2 + 2 1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出
11、的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求要求. 1Mx|x1，N1，0，1，2， MN1，0，1 故选：B 2z（1+i） （2+i）2+i+2i11+3i， = 1 3 故选：B 3对于 A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故 A 对； 对于 B，2015 出口额最少，故 B 对； 对于 C，这五年，2019 年进口增速最快，故 C 对； 对于 D，根据蓝色线斜率可知，这五年，出口增速前三年逐年下降，第四年后增速开始增加，故 D 错 故选：D 4由 题意可得， 1 =8 (1 2) ;1，a18， 6 所以2 1 =4 即 a232，3 2 =
12、2， 所以 a364 故选：A 5由题意可得： 阴影 正方形 = 80 200， S阴影= 2 5 32= 18 5 故选：D 6若 ，则 ，故正确； 若 a，a，则 或 与 相交，故错误； 若 ，则 或 与 相交，故错误； 若 a，b，则 ab，故正确 正确命题序号为 故选：C 7双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2：( )2+ 2= 2 4 均相切， 点（c，0）到渐近线 y= 的距离为 2 2:2 = 2，c2b， = 3 双曲线 C1的渐近线方程为 y= = 1 3 即 x3 =0 故选：A 8函数 f（x）为非奇非偶函数，图象不对称，排除 C， 当 x+，f（x）+0，排除 D， f（
13、x）0 恒成立，排除 A， 故选：B 9抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ，设直线 l 的方程为 y0k（x1） ，A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 把直线 l 的方程代入抛物线的方程可得 k2x2（2k2+4）x+k20， 故有 x1x21 把直线 l 的方程代入抛物线的方程可得 ky24y4k0， y1y24y1+y2= 4 ， 向量 =x1x2+y1y2x1x2+2（y1+y2）3； 故选：D 7 10正四棱锥 PABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，设它的外接球的半径为 R，球心为 O，底面 ABCD 的中心为 M 设 OMx 则 R2x2+(
14、3)2，R+x3 解得：R24 可得球的表面积为 16 故选：C 11f（x）= 2 1:2 +cos2x= 2 1: 2 2 + 2 = 2 2:2 + 2 = 2 + 2 = 2(2 + 4)， 对于 A，tanx 有意义，则 2 + ， ，所以函数的定义域为*| 2 + ， +，即 A 错误； 对于 B，令2 + 4 , 2 + 2， 2 + 2-，则 , 3 8 + ， 8 + -， ， 当 k0 时，x 3 8 ， 8，即 B 正确； 对于 C，函数 f（x）的定义域不关于直线 x= 8对称，即 C 错误； 对于 D，y= 2sin2x 图象向左平移 8个单位得到的函数为 = 2,2
15、( + 8)- = 2(2 + 4) =f（x） ， 但两个函数的定义域不同，即 D 错误 故选：B 12设切点为（m，n） ， f（x）ex+b 的导数为 f（x）ex， 可得 ema，a（m+1）em+b，则 balna， 可得 aba2lna， 设 g（a）a2lna， g（a）2alna+aa（2lna+1） ， 由 a 1 时，g（a）0，g（a）递增；当 0a 1 时，g（a）0，g（a）递减， 可得 a= 1 时，g（a）取得最小值 1 2 8 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置
16、分，把答案填在答题卡的相应位置. 13向量 = ( 1，2)与向量 = (2，1)垂直， 则 =2（x1）+2 10，解得 x0 故答案为：0 14在（1x） （1+x）4的展开式中， 设含 x2项的系数是 b， x2的项可分成第一个括号里取常数项第二个括号里取 x2项和第一个括号里取（x）项第二个括号里取 x 项 所求为 b= 4 2 4 1=2 故答案为：2 15 （1）由图象可知，当 t= 1 2时，y1， 2 = 1， k2； （2）由（1）可知：y= 2，0 1 2 1 2 ， 1 2 ， 当 t 1 2时，y= 1 2，令 y0.75 得，t 2 3， t 2 3， 在消毒后至少经
17、过 2 3小时，即 40 分钟人方可进入房间， 故答案为：2，40 16ABC 中，由3 = 1， 得 3 2 sinA 1 2cosA= 1 2， 所以 sin（A 6）= 1 2； 又 A（0，） ，所以 A 6（ 6， 5 6 ） ， 所以 A 6 = 6，解得 A= 3； 又 a2，由余弦定理得， a2b2+c22bccosA， 9 即 4b2+c22bccos 3； 所以 42bcbcbc， 所以 bc4，当且仅当 bc 时“”成立； 所以ABC 面积的最大值为 S= 1 2bcsinA 1 2 4 3 2 = 3 故答案为：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共
18、小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （I）解： （I）由题意，设等差数列an的公差为 d，则 21+ 8 = 18 61+ 65 2 = 36，解得 1= 1 = 2 数列an的通项公式为 an1+2（n1）2n1，nN* Snn1+ (;1) 2 2n2 （II）证明：由（I）知， 1 : = 1 2: = 1 (:1) = 1 1 :1 则 Tn= 1 1:1 + 1 2:2 + + 1 : 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 :1 1 1 :11 即 Tn1 18 （I）根据茎叶图填写 2 2 联表，如
19、下； 男 女 总计 合格 10 16 26 不合格 10 4 14 总计 20 20 40 计算 K2= 40(104;1016)2 26142020 = 360 91 3.9563.841， 所以有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关； （II）从茎叶图中的数据知，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生人数分别是 4 人和 2 人，从中 任意选 2 人，基本事件总数是6 2 =15，所以 X 的可能取值是 0，1，2； 计算 P（X0）= 2 2 15 = 1 15，P（X1）= 4 121 15 = 8 15P（X2）= 4 2 15 = 6 15 = 2 5； 所以
20、 X 的分布列为： 10 X 0 1 2 p 1 15 8 15 2 5 数学期望为 E（X）0 1 15 +1 8 15 +2 2 5 = 4 3 19 （I）证明：由 PEEB，PEED，EBEDE， 所以 PE平面 EBCD，又 BC平面 EBCD， 故 PEBC，又 BCBE，故 BC平面 PEB， EM平面 PEB，故 EMBC， 又等腰三角形 PEB，EMPB， BCPBB，故 EM平面 PBC， EM平面 EMN， 故平面 EMN平面 PBC； （II）以 E 为原点，EB，ED，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 PEEB2，设 N（2，m，0） ，B（2，0
21、，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，C（2，2，0） ，M（1， 0，1） ， = (1，0，1)， = (2，0，0)， = (2，0)， 设平面 EMN 的法向量为 = (，)， 由 = + = 0 = 2 + = 0 ，得 = (， 2， )， 平面 BEN 的法向量为 = (0，0，1)， 故|cos ， | ; 22:4|= 6 6 ， 得 m1， 故存在 N 为 BC 的中点 11 20 （I）由题意可知， 1 2 2 2 = 22 = = 2 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2，bc1， 所以椭圆的标准方程 2 2 + 2= 1； （II）证明：方法一：设点 P（2
22、，y0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 其中1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，由 PMOM，PNON， 1;0 1;2 1 1 = 1，2;0 2;2 2 2 = 1，即1 2 + 1 2 21 10= 0，2 2 + 2 2 22 20= 0， 注意到1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，于是，22x1y1y00，22x2y2y00， 所以，M，N 满足 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法二：设点 P（2，y0） ，过点 P 且与圆 x2+y22 相切的直线 PM，PN，切点分别为
23、M，N，由圆的知识 可知，M，N 是圆以 OP 为直径的圆( 1)2+ ( 0 2 )2= 1 + (0 2 )2和圆 x2+y22 的两个交点， 由 2 + 2= 2 ( 1)2+ ( 0 2 )2= 12+ (0 2 )2，消去二次项得直线 MN 方程为 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法三：由圆的极点极线可知，已知 M（x0，y0）为圆 C： （xa）2+（yb）2R2外一点， 由点 M引圆C的两条切线MA， MB， 其中 A， B为切点， 则直线 AB 的方程为(0 )( ) + (0 )( ) = 2， 特殊地，知 M（x0
24、，y0）为圆 C：x2+y2R2外一点，由点 M 引圆 C 的两条切线 MA，MB，其中 A，B 为 切点，则直线 AB 的方程为0+ 0= 2 设点 P（2，y0） ，由极点与极线可知，直线 MN 的方程 2x+yy02，即 2x+yy020， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 所以直线 MN 恒过一个定点（1，0） 21 （I）f（x）a（x+1）ex，a0， 当 a0 时，易得 x（，1）时，f（x）0，函数单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0， 函数单调递增， 当 a0 时，易得 x（，1）时，f（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，f（
25、x）0， 函数单调递减， （II）由 f（x）g（x）代入可得，a :1 ，x0， 令 F（x）= :1 ，x0， 12 则() = ;(:1)(:) ()2 ，令 t（x）x+lnx，x0，则 t（x）1+ 1 0，即 t（x）在（0，+）上单调递 增，且 t（1 ）= 1 10，t（1）10， 故存在0 (1 ，1)使得 t（x0）x0+lnx00， 从而有 F（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）上单调递减， 故 F（x）maxF（x0）= 0:0:1 00 =1， 故 a1 法二：令 h（x）exx1，则 h（x）ex1， 易得，当 x0 时，h（x）0，函数单调递增，当 x0
26、时，h（x）0，函数单调递减， 故当 x0 时，h（x）取得最小值 h（0）0，即 exx+1，x0 时取等号， 故 xexex+lnxx+lnx+1，当 x+lnx0 时取等号， 所以当 a1 时，axexxexx+lnx+1 恒成立 综上 a1 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （）曲线 C 的极坐标方程是 cos24sin0，转换为直角坐标方程为 x24y （）直线 l1和直线 l2的极坐标方程分别是 （R）和 = + 2 ( )，其中 k（kz） 所以 2 4 = 0 = 整理得1= | 4 2 |， 同理2= | 4(: 2) 2(: 2) | = | 4 2 |， 所以= 1 2| = 1 2| 4 2 | 4 2 | = | 16 2 | 16 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （）|x+m|2x0（m0） ， |x+m|2x2xx+m2x， 3 ，xm 不等式|x+m|2x0 解集为1，+） ， m1 （）由（）知，a+b+cm1， a，b，cR*，a2+b22ab， 2 2 ，同理 2 2 ， 2 2 ， 13 三式相加，得 2 + 2 + 2 + + ，当且仅当 abc 时等号成立， 2 + 2 + 2 1
