1、尚孔教育培养孩子终生学习力 第1页 教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 无理方程 知识模块：无理方程的概念知识模块：无理方程的概念 （1）无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，无 理方程也叫根式方程。 （2）有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程. （3）代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程. （4）无理方程、有理方程和代数方程三者的关系： 无理方程 第2页 尚孔教育培养孩子终生学习力 代数方程 无理方程 分式方程 整式方程 有理方程 【例 1】在方程（1）0xx， （2）120x （3） 2 3270xx
2、（4） 2 30 1 x x （5） 3 2 11 x xx （6） 12 0 5 x x 中， 是无理方程的是_ 【答案】 （1） （2） （4） 【例 2】不解方程，说明下列方程是否有实数根； （1） 12120xx （2） 2 (a b)4(a b)(ab)xx 【答案】 （1）有实数根，实数根为12x （2）当ab时，原方程的根为40xx或的一切实数 当ab时，原方程无实数根 知识模块：无理方程的解法知识模块：无理方程的解法 1、解无理方程的基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解。 2、解简单的无理方程的一般步骤： （1）变形：当方程中只有一个含未知数的二次根式时
3、，可先把方程通过移项变形，使这个二次根式单 独在等号的一边 （2）去根号：方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程； （3）解有理方程 （4）验根：由于去根号这一步骤必需且可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤 尚孔教育培养孩子终生学习力 第3页 【例 3】将下列无理方程化成有理方程： 2 231xxx ； 22 4623150xxxx 【答案】 2 310xx ； 2 270tt 【例 4】解下列方程： （1） 2 221xx； （2） 2 2780xx 【答案】（1）3x ；（2） 1 19x ， 2 3x 【例 5】解下列方程： （1）2431xx （2）3283 2xx 【答案】 （1
4、）6x（2） 12 10,16xx 【例 6】解下列方程： 无 理 方 去 根 号 解有理 方程 检验 舍去增根 是原方 程的根 写出无理方 程的根 第4页 尚孔教育培养孩子终生学习力 （1） 22 352 3510xxxx （2） 22 41025217xxxx 【答案】 （1） 12 5 0, 3 xx （2） 12 7 1, 2 xx 【例 7】解方程： 111 3 113 xx xx 【答案】 1 5 4 x ， 2 5 4 x 【例 8】解方程：3418611xxxx 【答案】510x的一切实数 【提示】原方程可化为 22 12131xx 即 12131xx 由绝对值的几何意义知，
5、方程表示： 在数轴上， 表示1x的点到表示数 2 的点的距离与表示1x 的点到表示数 3 的点的距离之和等于 1. 因此21310xx 且，解得510x 知识模块：无理方程的根的讨论知识模块：无理方程的根的讨论 尚孔教育培养孩子终生学习力 第5页 无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是 方程的增根. 【例 9】已知关于 x 的无理方程1k1xx （1）将无理方程化成整式方程并求出整式方程的根； （2）若整式方程的根都是增根，求 k 的取值范围； 【答案】 （1） 12 21 0, k xx k （2） 1 0 3 kk 或 【例 10】若关于
6、 x 的方程632230xxk有实数根，求 k 的取值范围 【答案】 1 2 k 【例 11】已知关于 x 的方程axx42=1 有一个增根 x=4. 求： （1）a的值； （2）方程的根 【答案】 （1）a=5（2）x=20 【例 12】已知 a 为非负整数，若关于 x 的方程2140xaxa至少有一个整数根，求 a 的取值 范围。 【答案】a=6 或 2 或 0 第6页 尚孔教育培养孩子终生学习力 【提示】可求出 x 的取值范围为21x ，对这个区间的数字逐一尝试即可。 【习题 1】下列方程是哪些是无理方程? （1）0xx； （2）120x ； （3） 2 2230xx； （4） 2 3
7、1 x x ； （5） 2 2 11 x xx ； （6） 12 0 5 x x 【答案】（1） ， （2） ， （4） 【习题 2】关于x的方程 22 22xmm有一个根为 2，则_.m 【答案】2m 【习题 3】用换元法解方程 22 3351xxxx时，设 2 35xxy则该方程转换整式方程是 _ 【答案】 2 60yy 【习题 4】下列方程中，有实数根的是（ ） A313x B334xx C03212xx Dxx32 【答案】D 【习题 5】下列四个无理方程中，有一个根是 x=2 的方程是（ ） 尚孔教育培养孩子终生学习力 第7页 A21xx B62x C2xx D 2 10xx 【答案
8、】C 【习题 6】将下列方程化成有理方程： （1） 2 120xx ； （2）3232xx； （3）21xx 【答案】（1） 2 310x ；（2） 2 2760xx；（3）410x 【习题 7】解下列无理方程： （1）2431xx； （2）3283 2xx； （3）562335xxx 【答案】（1） 1 6x ；（2） 12 1016xx，；（3）2x 【习题 8】解方程： （1） 22 235 2393xxxx ； （2） 2 2513 (5)2xxx x 【答案】（1） 1 9 2 x ， 2 3x ；（2） 1 5x ， 2 0x 第8页 尚孔教育培养孩子终生学习力 【习题 9】解下列
9、方程： （1） 22 352 3512xxxx ； （2） 9 121 9 x xx ； （3） 22 46610xxx xx 【答案】（1） 12 5 0 3 xx ，；（2）3x ；（3） 12 293 29 310 xx ， 尚孔教育培养孩子终生学习力 第9页 【习题 10】不解方程，说明下列方程是否有实数根： （1）12120xx； （2） 22 ()4() ()abxxabab 【答案】（1）有唯一实数根12x ； （3）当a b 时，方程无实数根；当a b 时，方程有无数个实数根 【习题 11】若方程 22 22xmxm有一个根 x=1，求 m 的值及方程的其他的根 【答案】0mx ，为一切非负数 第10页 尚孔教育培养孩子终生学习力
