1、教师姓名 彭高钢 学生姓名 年 级 初二 上课时间 2019/ / 学 科 数学 课题名称 四边形的综合复习 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：多边形知识点一：多边形 1、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于2 180n； 2、从 n 边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，n 边形共有 3 3 2 n n n 条对角线； 3、多边形的外角和等于360。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：平行四边形知识点二：平行四边形 四边形的综合复习 1.平行四边形与特殊的平行四边形
2、的关系： 矩形 有一个角是直角，有一个角是直角， 平行四边形 且有一组邻边相等且有一组邻边相等 正方形 菱形 用集合表示为： 2.平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定： 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行， 四边相等 对边平行，四边相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对 角 线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分， 且每 条对角线平分一组 对角 互相垂直平分且相 等,每条对角线平分 一组对角 判定 两组对边分别平行； 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等； 两组对角分别相等； 两条对角
3、线互相平分. 有三个角是直角; 是平行四边形且 有一个角是直角; 是平行四边形且 两条对角线相等. 四边相等的四边形； 是平行四边形且有 一组邻边相等； 是平行四边形且两 条对角线互相垂直. 是矩形，且有一组邻 边相等； 是菱形，且有一个角 是直角. 对称 性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 S= ah S=ab S= 12 1 2 d d S= a2 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点三：梯形知识点三：梯形 1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。 2、特殊的梯形： 直角梯形：有一个角是直角的梯形； 等腰梯形： 两条腰相等的梯形； 3、
4、梯形的面积公式：梯形的面积等于它两底和与高的乘积的一半； 4、等腰梯形的性质： （1）等腰梯形同一底边上的两个角相等，同一腰上的两个角互补； （2）等腰梯形两条对角线相等； 5、等腰梯形的判定： （1）在同一底边上的两个内角相等的梯形； （2）对角线相等的梯形； 6、梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半； 梯形中常见辅助线的作法：梯形中常见辅助线的作法： 1、平移腰： （1）两底角互余，构造直角三角形； （2）等腰梯形，构造两底之和或两底之差，以及等腰三角形； （3）已知底角度数的梯形； （4）求一腰长的范围，构造三角形，利用三角形三边之间的关系； 2、平移对角线： （
5、1）对角线互相垂直，构造直角三角形； （2）对角线长度已知，求两底角之和的范围； （3）已知上下底之和，构造两底之和的线段； 3、作双高： （1）等腰梯形，构造矩形和直角三角形； （2）底角含有特殊角； 4.三角形中位线定理. 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 下列说法错误的是 ( ) A.平行四边形的对角相等 B
6、.等腰梯形的对角线相等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 【解题策略解题策略】由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现 A，B，C 都是正确的.D 不正确，对角线 互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.答案：D 例例 1-2 如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，E 为 BC 的中点，设DEA 的面积为 1 S，梯形 ABCD 的 面积为 2 S，则 1 S与 2 S的关系为 【解题策略解题策略】由 E 为 BC 的中点，延长 DE 与 AB 的延长线交于点 F，由 CDAB，得CEBF， 又因为,CEDBEF CEBE 所以CED
7、BEF， 所以 DE=EF，所以 S菱形ABCD= SDAF.由等底等 高的三角形面积相等，得 1 S= SAFE= 2 1 2 S，即 12 1 2 SS或 12 2SS.答案： 12 1 2 SS（或 12 2SS） 例例 1-3 如图所示，ABCD 是正方形，G 是 BC 上一点，DEAG于点 E，BFAG于点 F. （1）求证ABFDAE； （2）求证DEEFFB. 分析分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和 ,DEAF AEBF，则问题可证. 证明： （1）在正方形ABCD中， ,90ABADBAD 1290 . ,DEAG2390 ，13 . 又,BFAG90
8、,AFBDEAABFDAE（AAS）. （2）由（1）可知ABFDAE，,DEAF BFAE ,DEAFAEEFBFEF即DEEFFB. 二、二、平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 如图 19-127 所示，将一张矩形纸片 ABCD 沿着 GF 折叠（F 在 BC 边上，不与 B，C 重合） ，使得 C 点落在矩形 ABCD 的内部点 E 处，FH 平分BFE，则GFH的度数 a 满足（ ） A.90a180 B.a=90 C.0a90 D.a 随关
9、折痕位置的变化而变化 分析分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由GCFGEF 得GFCEFG，又有 EFHBFH ，所以 1 18090 , 2 GFH所以90a .答案：B 例例 2-2 如果菱形的一条对角线长是 12 ， 面积是 30 2 cm， 那么这个菱形的另一条对角线长为 . 分析分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角 线的长为 30 2 5 12 （）.答案：5 例例 2-3 如图所示，ABCD的周长为 16 ，AC，BD相交于点O，OEAC，交AD于点E，则的DCE 周长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 分
10、析分析 因为ABCD的周长为 16 ，,ADBC ABCD所以 1 168 2 ADCD（） ，因为O为AC的中点，又因为OEAC于 点O， 所以AEEC， 所以DCE 的周长为8DCDECEDCDEAEDCAD（） . 答案：C （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1.以下四个命题中真命题的是 （ C ） A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形 C.一组邻边相等且两条对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 2.顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是 （ B ） (A) 正方形; （B）菱形;
11、(C) 矩形; （D）等腰梯形. 3.已知四边形 ABCD 是菱形，周长是 40，若 AC=16， 则菱形 ABCD 的面积= 96 4.在梯形 ABCD 中，AD/BC,ACBD，AC=12，BD=9，那么梯形 ABCD 的中位线长为_7.5_. 5.如图，在平面直角坐标系中，OBCD 的顶点 O、C、B 的坐标分别是（0，0） ， （5，0） （2，3） ，则 顶点 D 的坐标是_(3,-3)（注意有顺序性，所以舍了（-3，3） （7，3） ）_； 6.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，使得点 C 落在点 C处，CB 与 AD 交于点 E，则
12、EBD 的面积是_ 16 75 _； 7. 已知梯形ABCD中，/ADBC，则:ABCD不可能是( B ) (A) 3:7:5:5； (B)5:4:5:4 ； (C)4:5:6:3 ； (D)8:1:4:5. 8.如果菱形的边长是 a，一个内角是 60，那么菱形较短的对角线长为( A ) (A) a; (B) 1 2 a; (C) 3 2 a; (D) 3a. 9.下列命题中，假命题有( B ) 有两个角相等的梯形是等腰梯形； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； 一组对角互补的梯形是等腰梯形； 等腰梯形是轴对称图形. 第 14 题 (A) 1 个； (B) 2 个； (C) 3
13、个； (D) 4 个. 10.若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为 144 . 11.顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为 16，那么原来的三角形周长是 32； . 12.已知梯形的中位线长为 10 cm，高为 5 cm，则此梯形的面积为 50 cm2. 13.如果要使ABCD 成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的 条件是_A=90或 AC=BD_. 14.如图, 四边形 ABCD 为矩形纸片. 把纸片 ABCD 折叠, 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处, 折痕为 AF, 若 CD=6, 则 AF 等于 34 . 15.已知四边形 ABCD 是平行四边形
14、，下列结论中不正确的是（ C ） A当 AB=BC 时，它是菱形； B当 ACBD 时，它是菱形； C当 AC=BD 时，它是正方形； D当ABC=900时，它是矩形 16.如果一个 n 边形的内角和等于 1080，那么 n= 8 17.正方形 ABCD 中，延长 BC 到点 E，使 CE=AC，那么BAE= 67.5 18.任意四边形 ABCD 各边中点分别是 E、 F、 G、 H， 若对角线 AC 和 BD 的长都为 20， 那么四边形 EFGH 的周长是 40 19.已知直角梯形的一个锐角等于45，它两底分别为10cm,20cm，那么这个直角梯形的面积为150 cm2 20.如图， 将矩
15、形纸片ABCD折叠， B、 C两点恰好重合落在AD边上点P处， 已知MPN=90 ， PM=3， PN=4， 那么矩形纸片ABCD的面积为 5 144 _ 三、三、 构造中位线解决线段的倍分关系构造中位线解决线段的倍分关系 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 四边形 ABCD 为平行四边形，,ADa BEAC，DE 交 AC 的延长线于 F 点，交 BE 于 E 点. （1）求证;DFFE（2）若 2,60 ,ACFCADCACDC求 BE 的长； （3）在（2）的 条件下，求四边形 ABED 的面积. 证明：证明： （1）如图 19-129 所示，延长DC交BE于点M， BEAC，
16、ABDC， 四边形ABMC是平行四边形. ,CMABDCC为DM的中点. BEAC，CF是DME的中位线，DFFE. 解：解： （2）由（1）得CF是DME的中位线，故2MECF. 又2,ACCFMEAC. 四边形ABMC是平行四边形，BMAC. 222BEBMMEAC. 又,60ACDCADC， 在 RtADC中，利用勾股定理得 3 2 ACa.3BEa. （3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分. 在 RtADC中利用勾股定理得 2 a DC . 由CF为DME的中位线得 2 a CMDC. 22 aa DMOCCMa. 由四边形ABMC是平行四边形得 3 , 2
17、2 a ABMCBMACa. 梯形ABMD的面积为 2 313 3 2228 aa aa . 由ACDC和BEAC，得三角形DME是直角三角形， 其面积为 2 133 224 aa a， 四边形 ABED 的面积为 22 2 3 335 3 848 aa a . 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）答案 C A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当 AC=BD 时，它是正方形 D当ABC=900时，它是矩形 2.下列说法中正确的有（ ）答案 B （1）梯形两邻角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是 正方形 （3）四边形的外
18、角和等于 360 （4）矩形的两条对角线相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在 点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）答案A （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 4. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在直角梯形 AECD 的中位线 FG 上，若32AB， 则 AE 的长为（ ） 答案 D A. 34 B. 6 C. 3 D. 4 5. 所示，点 D，E 分别在 AB，AC 上，BD=CE，BE，CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB， AC
19、于点 P，Q.求证：AP=AQ. 【分析】分析】取 BC 的中点 H，连接 MH，NH.根据中位线性质可证 MH=NH，进而证明HMN=HNM， HMN=PQA，HNM=APQ，APQ=PQA，AP=AQ. B E C F A BG D 【解答】【解答】取 BC 的中点 H，连接 MH，NH. M，H 分别为 BE，BC 的中点， MHEC，MH= 1 2 EC. N，H 分别为 CD，BC 的中点， NHBD，NH= 1 2 BD. BD=CE，MH=NH. HMN=HNM. MHEC，HMN=PQA. 同理HNM=QPA. APQ=PQA，AP=AQ. 【方法归纳】【方法归纳】已知中点时，
20、常取另一中点，构造三角形的中位线. 6. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD=BC，E，F，G 分别是 AB，CD，AC 的中点.求证：EFG 是等 腰三角形. 证明：E，F，G 分别是 AB，CD，AC 的中点. GF= 1 2 AD，GE= 1 2 BC. 又AD=BC， GF=GE， 即EFG 是等腰三角形. 7.已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BC=CD，ADBD，E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是菱形. 【分析】【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE=BE，再由 ASA 得EBDCBD，从而 有 BC=BE，结合已知 BC=CD 可得四
21、边形 BCDE 的四边都相等，四边形 BCDE 是菱形. 【解答】【解答】ADBD， ABD 是直角三角形. E 是 AB 的中点，BE=DE= 1 2 AB. EDB=EBD. CB=CD，CDB=CBD. ABCD，EBD=CDB. EDB=EBD=CDB=CBD. 又BD=BD，EBDCBD(ASA). BE=BC. 又BE=DE，BC=CD， CB=CD=BE=DE. 四边形 BCDE 是菱形. 8. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE=AD，DFAE，垂足为点 F.求证：DF=DC. 证明：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，ADBC，B=90. DFAE
22、， AFD=B=90. ADBC， DAE=AEB. 又AD=AE， ADFEAB（AAS）. DF=AB. DF=DC. 9. 如图，在ABCD 中，AE=CG，DH=BF，顺次连接 E，F，G，H，E.求证：四边形 EFGH 是平行四 边形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC，AB=CD，A=C，B=D. AE=CG，DH=BF， AH=CF，BE=DG. AEHCGF(SAS)，EBFGDH(SAS). EF=HG，EH=FG. 四边形 EFGH 是平行四边形. 10. 如图， 已知平行四边形ABCD中， 对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点， 且ACE 是等边三角形 （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若2AEDEAD ，求证：四边形ABCD是正方形 答案 证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， AO=CO， 又ACE 是等边三角形， ，即， 平行四边形 ABCD 是菱形； （2）ACE 是等边三角形， ， ， ， ， 四边形 ABCD 是菱形， 四边形 ABCD 是正方形。 E C D B A O
