著名机构讲义春季期末02-8年级数学冲刺培优版-四边形的综合复习-教师版

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1、教师姓名 彭高钢 学生姓名 年 级 初二 上课时间 2019/ / 学 科 数学 课题名称 四边形的综合复习 (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识梳理知识梳理(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点一:多边形知识点一:多边形 1、多边形的内角和定理:n 边形的内角和等于2 180n; 2、从 n 边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,n 边形共有 3 3 2 n n n 条对角线; 3、多边形的外角和等于360。 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点二:平行四边形知识点二:平行四边形 四边形的综合复习 1.平行四边形与特殊的平行四边形

2、的关系: 矩形 有一个角是直角,有一个角是直角, 平行四边形 且有一组邻边相等且有一组邻边相等 正方形 菱形 用集合表示为: 2.平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定: 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行, 四边相等 对边平行,四边相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对 角 线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分, 且每 条对角线平分一组 对角 互相垂直平分且相 等,每条对角线平分 一组对角 判定 两组对边分别平行; 两组对边分别相等; 一组对边平行且相等; 两组对角分别相等; 两条对角

3、线互相平分. 有三个角是直角; 是平行四边形且 有一个角是直角; 是平行四边形且 两条对角线相等. 四边相等的四边形; 是平行四边形且有 一组邻边相等; 是平行四边形且两 条对角线互相垂直. 是矩形,且有一组邻 边相等; 是菱形,且有一个角 是直角. 对称 性 只是中心对称图形 既是轴对称图形,又是中心对称图形 面积 S= ah S=ab S= 12 1 2 d d S= a2 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点三:梯形知识点三:梯形 1、梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形。 2、特殊的梯形: 直角梯形:有一个角是直角的梯形; 等腰梯形: 两条腰相等的梯形; 3、

4、梯形的面积公式:梯形的面积等于它两底和与高的乘积的一半; 4、等腰梯形的性质: (1)等腰梯形同一底边上的两个角相等,同一腰上的两个角互补; (2)等腰梯形两条对角线相等; 5、等腰梯形的判定: (1)在同一底边上的两个内角相等的梯形; (2)对角线相等的梯形; 6、梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并等于两底和的一半; 梯形中常见辅助线的作法:梯形中常见辅助线的作法: 1、平移腰: (1)两底角互余,构造直角三角形; (2)等腰梯形,构造两底之和或两底之差,以及等腰三角形; (3)已知底角度数的梯形; (4)求一腰长的范围,构造三角形,利用三角形三边之间的关系; 2、平移对角线: (

5、1)对角线互相垂直,构造直角三角形; (2)对角线长度已知,求两底角之和的范围; (3)已知上下底之和,构造两底之和的线段; 3、作双高: (1)等腰梯形,构造矩形和直角三角形; (2)底角含有特殊角; 4.三角形中位线定理. 三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半. (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识精析知识精析(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 一、一、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 1-1 下列说法错误的是 ( ) A.平行四边形的对角相等 B

6、.等腰梯形的对角线相等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 【解题策略解题策略】由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现 A,B,C 都是正确的.D 不正确,对角线 互相垂直的四边形不一定是菱形,还可能是正方形或等腰梯形.答案:D 例例 1-2 如图所示,在梯形 ABCD 中,ABCD,E 为 BC 的中点,设DEA 的面积为 1 S,梯形 ABCD 的 面积为 2 S,则 1 S与 2 S的关系为 【解题策略解题策略】由 E 为 BC 的中点,延长 DE 与 AB 的延长线交于点 F,由 CDAB,得CEBF, 又因为,CEDBEF CEBE 所以CED

7、BEF, 所以 DE=EF,所以 S菱形ABCD= SDAF.由等底等 高的三角形面积相等,得 1 S= SAFE= 2 1 2 S,即 12 1 2 SS或 12 2SS.答案: 12 1 2 SS(或 12 2SS) 例例 1-3 如图所示,ABCD 是正方形,G 是 BC 上一点,DEAG于点 E,BFAG于点 F. (1)求证ABFDAE; (2)求证DEEFFB. 分析分析 (1)根据正方形的性质证明全等的条件.(2)由全等和 ,DEAF AEBF,则问题可证. 证明: (1)在正方形ABCD中, ,90ABADBAD 1290 . ,DEAG2390 ,13 . 又,BFAG90

8、,AFBDEAABFDAE(AAS). (2)由(1)可知ABFDAE,,DEAF BFAE ,DEAFAEEFBFEF即DEEFFB. 二、二、平行四边形(含特殊的平行四边形)的判定与性质之间的区别与联系平行四边形(含特殊的平行四边形)的判定与性质之间的区别与联系 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 2-1 如图 19-127 所示,将一张矩形纸片 ABCD 沿着 GF 折叠(F 在 BC 边上,不与 B,C 重合) ,使得 C 点落在矩形 ABCD 的内部点 E 处,FH 平分BFE,则GFH的度数 a 满足( ) A.90a180 B.a=90 C.0a90 D.a 随关

9、折痕位置的变化而变化 分析分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由GCFGEF 得GFCEFG,又有 EFHBFH ,所以 1 18090 , 2 GFH所以90a .答案:B 例例 2-2 如果菱形的一条对角线长是 12 , 面积是 30 2 cm, 那么这个菱形的另一条对角线长为 . 分析分析 由于菱形的对角线互相垂直,所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示,故另一条对角 线的长为 30 2 5 12 ().答案:5 例例 2-3 如图所示,ABCD的周长为 16 ,AC,BD相交于点O,OEAC,交AD于点E,则的DCE 周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 分

10、析分析 因为ABCD的周长为 16 ,,ADBC ABCD所以 1 168 2 ADCD() ,因为O为AC的中点,又因为OEAC于 点O, 所以AEEC, 所以DCE 的周长为8DCDECEDCDEAEDCAD() . 答案:C (二)限时巩固、练一练(二)限时巩固、练一练 1.以下四个命题中真命题的是 ( C ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形 C.一组邻边相等且两条对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 2.顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是 ( B ) (A) 正方形; (B)菱形;

11、(C) 矩形; (D)等腰梯形. 3.已知四边形 ABCD 是菱形,周长是 40,若 AC=16, 则菱形 ABCD 的面积= 96 4.在梯形 ABCD 中,AD/BC,ACBD,AC=12,BD=9,那么梯形 ABCD 的中位线长为_7.5_. 5.如图,在平面直角坐标系中,OBCD 的顶点 O、C、B 的坐标分别是(0,0) , (5,0) (2,3) ,则 顶点 D 的坐标是_(3,-3)(注意有顺序性,所以舍了(-3,3) (7,3) )_; 6.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线 BD 折叠,使得点 C 落在点 C处,CB 与 AD 交于点 E,则

12、EBD 的面积是_ 16 75 _; 7. 已知梯形ABCD中,/ADBC,则:ABCD不可能是( B ) (A) 3:7:5:5; (B)5:4:5:4 ; (C)4:5:6:3 ; (D)8:1:4:5. 8.如果菱形的边长是 a,一个内角是 60,那么菱形较短的对角线长为( A ) (A) a; (B) 1 2 a; (C) 3 2 a; (D) 3a. 9.下列命题中,假命题有( B ) 有两个角相等的梯形是等腰梯形; 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形; 一组对角互补的梯形是等腰梯形; 等腰梯形是轴对称图形. 第 14 题 (A) 1 个; (B) 2 个; (C) 3

13、个; (D) 4 个. 10.若十边形的每个内角都相等,则该十边形每个内角度数为 144 . 11.顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形周长为 16,那么原来的三角形周长是 32; . 12.已知梯形的中位线长为 10 cm,高为 5 cm,则此梯形的面积为 50 cm2. 13.如果要使ABCD 成为一个矩形,需要添加一个条件,那么你添加的 条件是_A=90或 AC=BD_. 14.如图, 四边形 ABCD 为矩形纸片. 把纸片 ABCD 折叠, 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处, 折痕为 AF, 若 CD=6, 则 AF 等于 34 . 15.已知四边形 ABCD 是平行四边形

14、,下列结论中不正确的是( C ) A当 AB=BC 时,它是菱形; B当 ACBD 时,它是菱形; C当 AC=BD 时,它是正方形; D当ABC=900时,它是矩形 16.如果一个 n 边形的内角和等于 1080,那么 n= 8 17.正方形 ABCD 中,延长 BC 到点 E,使 CE=AC,那么BAE= 67.5 18.任意四边形 ABCD 各边中点分别是 E、 F、 G、 H, 若对角线 AC 和 BD 的长都为 20, 那么四边形 EFGH 的周长是 40 19.已知直角梯形的一个锐角等于45,它两底分别为10cm,20cm,那么这个直角梯形的面积为150 cm2 20.如图, 将矩

15、形纸片ABCD折叠, B、 C两点恰好重合落在AD边上点P处, 已知MPN=90 , PM=3, PN=4, 那么矩形纸片ABCD的面积为 5 144 _ 三、三、 构造中位线解决线段的倍分关系构造中位线解决线段的倍分关系 (一)典例分析,学一学(一)典例分析,学一学 四边形 ABCD 为平行四边形,,ADa BEAC,DE 交 AC 的延长线于 F 点,交 BE 于 E 点. (1)求证;DFFE(2)若 2,60 ,ACFCADCACDC求 BE 的长; (3)在(2)的 条件下,求四边形 ABED 的面积. 证明:证明: (1)如图 19-129 所示,延长DC交BE于点M, BEAC,

16、ABDC, 四边形ABMC是平行四边形. ,CMABDCC为DM的中点. BEAC,CF是DME的中位线,DFFE. 解:解: (2)由(1)得CF是DME的中位线,故2MECF. 又2,ACCFMEAC. 四边形ABMC是平行四边形,BMAC. 222BEBMMEAC. 又,60ACDCADC, 在 RtADC中,利用勾股定理得 3 2 ACa.3BEa. (3)可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分. 在 RtADC中利用勾股定理得 2 a DC . 由CF为DME的中位线得 2 a CMDC. 22 aa DMOCCMa. 由四边形ABMC是平行四边形得 3 , 2

17、2 a ABMCBMACa. 梯形ABMD的面积为 2 313 3 2228 aa aa . 由ACDC和BEAC,得三角形DME是直角三角形, 其面积为 2 133 224 aa a, 四边形 ABED 的面积为 22 2 3 335 3 848 aa a . 1.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( )答案 C A当 AB=BC 时,它是菱形 B当 ACBD 时,它是菱形 C当 AC=BD 时,它是正方形 D当ABC=900时,它是矩形 2.下列说法中正确的有( )答案 B (1)梯形两邻角的平分线互相垂直 (2)对角线互相垂直平分的四边形是 正方形 (3)四边形的外

18、角和等于 360 (4)矩形的两条对角线相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在 点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )答案A (A)3cm (B)4cm (C)5cm (D)6cm 4. 如图,将矩形纸片 ABCD 沿 AE 折叠,使点 B 落在直角梯形 AECD 的中位线 FG 上,若32AB, 则 AE 的长为( ) 答案 D A. 34 B. 6 C. 3 D. 4 5. 所示,点 D,E 分别在 AB,AC 上,BD=CE,BE,CD 的中点分别是 M,N,直线 MN 分别交 AB, AC

19、于点 P,Q.求证:AP=AQ. 【分析】分析】取 BC 的中点 H,连接 MH,NH.根据中位线性质可证 MH=NH,进而证明HMN=HNM, HMN=PQA,HNM=APQ,APQ=PQA,AP=AQ. B E C F A BG D 【解答】【解答】取 BC 的中点 H,连接 MH,NH. M,H 分别为 BE,BC 的中点, MHEC,MH= 1 2 EC. N,H 分别为 CD,BC 的中点, NHBD,NH= 1 2 BD. BD=CE,MH=NH. HMN=HNM. MHEC,HMN=PQA. 同理HNM=QPA. APQ=PQA,AP=AQ. 【方法归纳】【方法归纳】已知中点时,

20、常取另一中点,构造三角形的中位线. 6. 如图所示,在四边形 ABCD 中,AD=BC,E,F,G 分别是 AB,CD,AC 的中点.求证:EFG 是等 腰三角形. 证明:E,F,G 分别是 AB,CD,AC 的中点. GF= 1 2 AD,GE= 1 2 BC. 又AD=BC, GF=GE, 即EFG 是等腰三角形. 7.已知:如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,BC=CD,ADBD,E 为 AB 中点,求证:四边形 BCDE 是菱形. 【分析】【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE=BE,再由 ASA 得EBDCBD,从而 有 BC=BE,结合已知 BC=CD 可得四

21、边形 BCDE 的四边都相等,四边形 BCDE 是菱形. 【解答】【解答】ADBD, ABD 是直角三角形. E 是 AB 的中点,BE=DE= 1 2 AB. EDB=EBD. CB=CD,CDB=CBD. ABCD,EBD=CDB. EDB=EBD=CDB=CBD. 又BD=BD,EBDCBD(ASA). BE=BC. 又BE=DE,BC=CD, CB=CD=BE=DE. 四边形 BCDE 是菱形. 8. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,AE=AD,DFAE,垂足为点 F.求证:DF=DC. 证明:四边形 ABCD 是矩形, AB=CD,ADBC,B=90. DFAE

22、, AFD=B=90. ADBC, DAE=AEB. 又AD=AE, ADFEAB(AAS). DF=AB. DF=DC. 9. 如图,在ABCD 中,AE=CG,DH=BF,顺次连接 E,F,G,H,E.求证:四边形 EFGH 是平行四 边形. 证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AD=BC,AB=CD,A=C,B=D. AE=CG,DH=BF, AH=CF,BE=DG. AEHCGF(SAS),EBFGDH(SAS). EF=HG,EH=FG. 四边形 EFGH 是平行四边形. 10. 如图, 已知平行四边形ABCD中, 对角线ACBD,交于点O,E是BD延长线上的点, 且ACE 是等边三角形 (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若2AEDEAD ,求证:四边形ABCD是正方形 答案 证明: (1)四边形 ABCD 是平行四边形, AO=CO, 又ACE 是等边三角形, ,即, 平行四边形 ABCD 是菱形; (2)ACE 是等边三角形, , , , , 四边形 ABCD 是菱形, 四边形 ABCD 是正方形。 E C D B A O

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