1、 考试内容考试内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 二次二次函数函数 了解二次函数的意义；会利用描 点法画出二次函数的图像 能通过分析实际问题中的情境 确定二次函数的表达式；能从图 像上认识二次函数的性质；会根 据二次函数的解析式求其图象 与坐标轴的交点坐标，会确定图 像的顶点、对称轴和开口方向； 会利用二次函数的图像求出一 元二次方程的近似解 能用二次函数解决 简单的实际问题；能 解决二次函数与其 他知识结合的有关 问题 一、二次函数的定义 黑体小四 一般地，形如 2 yaxbxc（a b c ，为常数，0a ）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量， y为因变量，a、
2、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而b、c可以为零二次函数的自变量的取值范围是 全体实数 黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四 1二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当0a 时，抛物线开口向上；当0a 时，抛物线开口向下反之亦然 a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若 a互为相反数，则形状相同、开口相反 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： 2 b x a ） 当0b 时，
3、抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧 （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0 c，） 当0c 时，抛物线与y轴的交点为原点； 例题精讲 中考要求 二次函数（二） 当0c 时，交点在y轴的正半轴； 当0c 时，交点在y轴的负半轴 2.二次函数图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点
4、 1 0x ， 2 0x ，（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 3.点的坐标设法 一次函数yaxb（0a ）图像上的任意点可设为 11 x axb，.其中 1 0x 时，该点为直线与y轴 交点. 二次函数 2 yaxbxc（0a ）图像上的任意一点可设为 2 111 x axbxc，. 1 0x 时，该点为抛 物线与y轴交点，当 1 2 b x a 时，该点为抛物线顶点 点 11 xy，关于 22 xx，的对称点为 2121 22xxyy， 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a的正负性 根
5、据抛物线的对称轴判断 2 b a 的大小 根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小 根据抛物线与x轴有无交点，判断 2 4bac的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c，的等式 根据抛物线的顶点，判断 2 4 4 acb a 的大小 三、二次函数的图象及性质 1 二次函数 2 yax0a （）的性质： 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0x （y 轴） 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点； a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2二次函数 2 (0)yaxc a的性
6、质 3 二次函数 2 yaxbxc0a （）或 2 ()ya xhk（0a ）的性质 开口方向： 0 0 a a 向上 向下 对称轴： 2 b x a （或xh） 顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa （或( , )h k） 最值： 图1 图2 O y x 0a 时有最小值 2 4 4 acb a （或k） （如图 1） ； 0a 时有最大值 2 4 4 acb a （或k） （如图 2） ； 单调性：二次函数 2 yaxbxc（0a ）的变化情况（增减性） 如图 1 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ，y随着x的增大而减小， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y
7、随x的增大而增大； 0a 向上 00， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值0 0a 向下 00， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x 时，y随 x的增大而减小；0x 时，y有最小值c 0a 向下 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x 时，y随 x的增大而增大；0x 时，y有最大值c 如图 2 所示， 当0a 时， 对称轴左侧 2 b x a ， y 随着 x 的增大而增
8、大， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而减小； 与坐标轴的交点：与y轴的交点： （0，C） ；与x轴的交点：使方程 2 0axbxc（或 2 ()0a xhk） 成立的x值 【例1】把抛物线 2 yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式 是 2 35yxx，则abc_ 【解析】略 【答案】11 【例2】如图，ABCD中，4AB ，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线 2 yaxbxc经过 x轴上的点A，B 求点A，B，C的坐标 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式 D C B A O 【解析】 在ABCD中，CDAB
9、且4CDAB， 点C的坐标为(4，8) 设抛物线的对称轴与x轴相交于点H， 则2AHBH， 点A，B的坐标为 (2A，0)，(6B，0) 由抛物线 2 yaxbxc的顶点为(4C，8)， 可设抛物线的解析式为 2 (4)8ya x， 把(2A，0)代入上式，解得2a 设平移后抛物线的解析式为 2 2(4)8yxk 把(0，8)代入上式得32k 平移后抛物线的解析式为 2 2(4)40yx 即 2 2168yxx 【答案】 （1）(2A，0)，(6B，0)；C(4，8) ； （2） 2 2168yxx 【例3】 设抛物线 2 2yx，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使抛物线与直线4y
10、x 恰好有一个交点，求p、q的值 把抛物线 2 2yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点1 3，和 49，求p、q的值 把抛物线 2 yaxbxc向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为 2 yax，其图 象经过点 1 1 2 ，求原解析式 【解析】 抛物线 2 2yx向右平移p个单位后，得到 2 2yxp由 2 2 4 yxp yx ， ， 得方程 2 24xpx， 即 22 241240xpxp 因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式 2 2 414 2240pp ， 得 31 8 p ， 这时的交点为 331 88 ， 抛物
11、线 2 2yx向下平移q个单位，得到抛物线 2 2yxq，于是得方程 2 24xqx， 即 2 240xxq， 该方程有两个相同的实数根，故判别式 1 4 240q ， 得 31 8 q ， 这时的交点为 115 44 ， 把 2 2yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为 2 2yxpq于是， 由题设得 2 2 32 1 92 4 pq pq ， ， 解得 2 1 p q ， ， 即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位 首先，抛物线 2 yax经过点 1 1 2 ，可求得 1 2 a ，设原来的二次函数为 21 2 yxhk ， 可得 30 20 h k ， ， 解得
12、3 2 h k ， ， 所以原二次函数为 21 32 2 yx ， 即 2 15 3 22 yxx 说 明 ： 将 抛 物 线 2 yaxbxc向 右 平 移p个 单 位 ， 得 到 的 抛 物 线 是 2 ya xpb xpc；向左平移p个单位得到 2 ya xpb xpc；向上平移q 个单位，得到 2 yaxbxcq ；向下平移q个单位得到 2 yaxbxcq 【答案】 （1） 31 8 p ， 31 8 q （2） 2 1 p q ， ， （3） 2 15 3 22 yxx 【例4】如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数 2 1 4 yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为 0 1
13、，直线l过01B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴、直线l于CQ、，连 结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R 求证：H点为线段AQ的中点； 求证：四边形APQR为菱形； 除P点外， 直线PH与抛物线 2 1 4 yx有无其它公共点？若有， 求出其它公共点的坐标； 若没有， 请说明理由 A O l x y P R B H Q C 【解析】 方法一：方法一：由题可知1AOCQ 90AOHQCH，AHOQHC， AOHQCH. OHCH，AHQH，即H为AQ的中点. 方法二：方法二：0 1A，01B，OAOB 又BQx轴， HAHQ，即H为AQ的中点. 由可知AHQHAHRQHP， ARP
14、Q，RAHPQH， RAHPQH ARPQ， 又ARPQ， 四边形APQR为平行四边形. 设 2 1 4 P mm ， PQy轴，则1Q m，则 2 1 1 4 PQm 。 过P作PGy轴，垂足为G，在Rt APG中， 22 222222 111 111 444 APAGPGmmmmPQ . 平行四边形APQR为菱形. 设直线PR为ykxb，由OHCH，得0 2 m H ， 2 1 4 P mm ，代入得： 2 0 2 1 4 m kb kmbm 2 2 1 4 m k bm ， 直线PR为 2 1 24 m yxm. 设直线PR与抛物线的公共点为 2 1 4 xx ，代入直线PR关系式得：
15、22 11 0 424 m xxm， 21 0 4 xm，解得xm.得公共点为 2 1 4 mm ， 所以直线PH与抛物线 2 1 4 yx只有一个公共点P. 【答案】见解析；见解析； 2 1 4 mm ， 【例5】如图，已知抛物线(1)23 3()0ya xa经过点( 2)A ，0，抛物线的顶点为D，过O作射线 OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为 ( )t s问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）
16、若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个 长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它 们的运动的时间为t( ) s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值 及此时PQ的长 Q P M O D C B A x y H N E Q P M O D C B A x y 【解析】略 【答案】 （1）抛物线 2 (1)3 3()0ya xa经过点 20A ， 3093a 3 3 a 二次函数的解析式为： 2 32 38 3 333 yxx （2）D为抛物线的顶点 13 3D， 过D作DNOB于N
17、， 则3 3DN ， 3AN ， 2 2 33 36AD 60DAO OMAD 当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形 6OP 6ts 当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形 过O作OHAD于H，2AO ，则1AH （如果没求出60DAO可由RtRtOHADNA求1AH ） 5OPDH， 5ts 当PDOA时，四边形DAOP是等腰梯形 2624OPADAH 4ts 综上所述：当6t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形 （3）由（2）及已知，60OCOBCOBOCB，是等边三角形 则 62OBOCADOPtBQt， ， 62 03OQtt 过P作PEOQ于E，则 3
18、2 PEt 113 3 222 6 3(62 ) BCPQ tSt = 2 3363 3 228 t 当 3 2 t 时， BCPQ S 的面积最小值为 63 3 8 此时 33 3 24 OQOPOE，=， 393 3 444 3PEQE 2 2 22 3 393 3 442 PEQEPQ 【例6】在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=mx2+（m3）x3（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两 点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A 的坐标； （2）当ABC=45 时，求 m 的值； （3）已知一次函数 y=kx+b，点 P（n，0）是 x 轴上的一个
19、动点，在（2）的条件下，过点 P 垂直 于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 y=mx2+（m3）x3（m0）的图 象于 N若只有当2n2 时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解析式 【解析】 （1）令 y=0 则求得两根，又由点 A 在点 B 左侧且 m0，所以求得点 A 的坐标； （2）二次函数的图象与 y 轴交于点 C，即求得点 C，由ABC=45 ，从而求得； （3）由 m 值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得 【答案】 （1）点 A、B 是二次函数 y=mx2+（m3）x3（m0）的图象与 x 轴的交点， 令 y=0，即 mx
20、2+（m3）x3=0，解得 x1=1，又点 A 在点 B 左侧且 m0 点 A 的坐标为（1，0） （2）由（1）可知点 B 的坐标为 二次函数的图象与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为（0，3）ABC=45 m=1 （3）由（2）得，二次函数解析式为 y=x22x3 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2 和 2， 由此可得交点坐标为（2，5）和（2，3） ，将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kx+b 中， 得 25 2 3 kb kb 解得： 2 1 k b 一次函数解析式为 y=2x+1 【点评】本题考查了二次函数的综合运用， （1）令 y=0 则
21、求得两根，又由 AB 位置确定 m0，即求得； （2） 二次函数的图象与 y 轴交于点 C，再由 45 度从而求得 （3）由 m 值代入求得二次函数式，求得 交点坐标，则代入一次函数式即求得本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得 【例7】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+x+m23m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和 点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上 （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E延长 PE 到点 D使得 ED=PE以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形
22、PCD（当 P 点运动时， C 点、D 点也随之运动）j 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； k 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同 时停止运动） 过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F延长 QF 到点 M，使得 FM=QF， 以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当 Q 点运动时，M 点，N 点也随之 运动） 若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三
23、角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求 此刻 t 的值 【解析】 （1）由抛物线 y=x2+x+m23m+2 与 x 轴的交点分别为原点 O，令 x=0，y=0，解得 m 的值，点 B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得 n （2）设直线 OB 的解析式为 y=k1x，求得直线 OB 的解析式为 y=2x，由 A 点是抛物线与 x 轴的 一个交点，可求得 A 点的坐标，设 P 点的坐标为（a，0） ，根据题意作等腰直角三角形 PCD，如 图 1可求得点 C 的坐标，进而求出 OP 的值，依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB 的解 析式为 y=k2x+b，求出直线 AB
24、 的解析式，当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一 条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间 t 【答案】 （1）抛物线 y=x2+x+m23m+2 经过原点， m23m+2=0，解得 m1=1，m2=2，由题意知 m1，m=2，抛物线的解析式为 y= x2+ x， 点 B（2，n）在抛物线 y= x2+ x 上，n=4，B 点的坐标为（2，4） （2）设直线 OB 的解析式为 y=k1x，求得直线 OB 的解析式为 y=2x，A 点是抛物线与 x 轴的一 个交点，可求得 A 点的坐标为（10，0） ，设 P 点的坐标为（a，0） ，则 E 点的坐标为（a
25、，2a） ， 根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图 1，可求得点 C 的坐标为（3a，2a） ，由 C 点在抛物线上， 得：2a= （3a）2+ 3a，即 a2a=0，解得 a1=，a2=0（舍去） ，OP= 依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB 的解析式为 y=k2x+b， 由点 A（10，0） ，点 B（2，4） ，求得直线 AB 的解析式为 y= x+5， 当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情 况： 第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上 如图 2 所示可证DPQ 为等腰直角三角形此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示
26、为 t、4t、 2t 个单位 PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t= 第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上如图 3 所示可证PQM 为等腰直角三 角形此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位OQ=102t，F 点在直线 AB 上， FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2 第三种情况：点 P、Q 重合时，PD、QM 在同一条直线上，如图 4 所示此时 OP、 AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位t+2t=10，t= 综上，符合题意的 t 值分别为，2， 【点评】本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐
27、，做题多加用 心 【例8】如图所示，抛物线 2 yaxbxc经过原点O，与x轴交于另一点N,直线4ykx与两坐标轴 分别交于A、D两点，与抛物线交于(1,)Bm、(2,2)C两点. （1）求直线与抛物线的解析式. （2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点( , )P x y，设PON，求当PON的面积最大时 tan的值. （3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得POA的面积等于PON面积的 8 15 ？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 【解析】略 【答案】 （1）将点(2,2)C代入直线4ykx可得1,k 所以直线的解析式为4.yx 当1x 时,3y ，所以B点
28、的坐标为（1，3） ， 将,B C O三点的坐标分别代入抛物线 2 yaxbxc,可得 3, 422, 0. abc abc c B C A x y F O D E 解得 2, 5, 0. a b c 所以所求的抛物线为 2 25yxx . 4 分 （2）因ON的长是以定值，所以当点P为抛物线的顶点时，PON的面积最大，又该抛物线的顶 点坐标为 5 25 , 48 ，此时 255 tan 82 y x 5 4 :. 8 分 （3）存在 把0x代入直线4yx 得4y ,所以点(0,4)A 把0y 代入抛物线 2 25yxx 得0x或 5 2 x ,所以点 5 ,0 2 N . 设动点P坐标为(
29、, )x y，其中 2 5 250 2 yxxx 则得： 1 |2 2 OAP SOA xx 115 | 222 ONP SONy 22 5 ( 25 )( 25 ) 4 xxxx 由 8 , 15 OAPONP SS 即 2 8 2 =( 25 ) 15 xxx 5 4 解得0x或1x ,舍去0x得1x ,由此得3y 所以得点P存在，其坐标为（1，3） 【例9】如图，已知直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OAAB2，OC 3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D将DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴 的正半轴、x 轴
30、的正半轴于 E 和 F （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （3）连结 EF，设BEF 与BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时 S 最小，并求出这个最小值 【分析】 （1）先由图形信息确定 A（0，2） 、B（2，2） 、C（3，0） ，然后利用待定系数法确定解析式； （2）先确定抛物线顶点 G（1，8 3 ） ，过 G 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N，利用GEN GFM，列出比例式即可； （3）先写出 S 与 FC 的函数关系式，再利用函数的性质求出最小值 【答案】（1） 由题意得： A
31、（0， 2） 、 B （2， 2） 、 C （3， 0） ， 设经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式为 2 yaxbxc， 则 2 422 930 c abc abc ，解得： 2 3 4 3 2 a b c ，所以 2 24 2 33 yxx （2） 由 2 24 2 33 yxx 2 28 (1) 33 x，所以顶点坐标为 G（1， 8 3 ） ，过 G 作 GHAB，垂足 为 H，则 AHBH1，GH 8 3 2 2 3 ，EAAB，GHAB，EAGH，GH 是BEA 的 中位线，EA3GH 4 3 ，过 B 作 BMOC，垂足为 M，则 MBOAAB，EBFABM 90 ，EBA
32、FBM90ABF，R tEBAR tFBM，FMEA 4 3 ，CMOC OM321，CFFMCM 7 3 （3） 设 CFa， 则 FM a1 或 1 a， BF2FM2BM2(a1)222a22a5， 又EBA FBM，BMBF， 则 22 111 (25) 222 BEF SBEBFBFaa，又 11 2 22 BFC sFCMBaa ， S 22 115 (25)2 222 aaaaa，即 S 2 11 (2) 22 a，当 a2（在 2a3 时， 1 2 S 最小值 【点评】整个问题围绕圆和二次函数展开，并将二次函数、三角形等多个问题紧密地结合在一起，无论 是题设的给出还是思维方式的
33、考查都很新颖一道考题不仅考查了一次函数、二次函数、三角形 相似等初中数学中的重点内容，还从从数学思想方法上还侧重考查了待定系数法等数学思想方 法这是中考试卷的创新题型和发展趋势代数的知识与几何的知识得到了很好的整合，是一个 典型的在知识网络交汇点处设计的热点试题 【例10】如图 13，二次函数 )0( 2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， -1） ，ABC 的面积为 4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上
34、是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐 标；若不存在，请说明理由。 【解析】略 【答案】 （1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC AB= 4 5 ,得 AB= 5 2 ， 设 A（a,0）,B(b,0)AB=ba= 2 ()4abab= 5 2 ，解得 p= 3 2 ,但 p0,所以 p= 3 2 。 所以解析式为： 2 3 1 2 yxx （2）令 y=0，解方程得 2 3 10 2 xx ，得 12 1 ,2 2 xx ,所以 A( 1 2 ,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 中可求得 AC= 5 2 ,同样可求得 BC=5,，显然
35、 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC 是直角三 角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为 AB= 5 2 ,所以 55 44 m. （3）存在，ACBC,若以 AC 为底边，则 BD/AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析 式为 y=-2x+b， 把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4， 解方程组 2 3 1 2 24 yxx yx 得 D （ 5 2 ,9） 若以 BC 为底边，则 BC/AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b， 把 A( 1 2 ,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.2
36、5，解方程组 2 3 1 2 0.50.25 yxx yx 得 D( 5 3 , 2 2 ) 综上，所以存在两点： （ 5 2 ,9）或( 5 3 , 2 2 )。 【例11】已知：关于x的方程 4 3(1)230 mxmxm 求证：m取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数 2 1 3(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数 1 y的解析式； 已知一次函数 2 22yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函 数值 12 yy均成立； 在条件下，若二次函数 2 2 yaxbxc的图象经过点( 50) ，且在实数范围内，对于x的 同一个值，这三个函数所对应的函
37、数值 132 yyy，均成立，求二次函数 2 3 yaxbxc的解析 式 【解析】略 【答案】 （1）分两种情况： 当0m 时，原方程化为033x，解得1x ， 当0m ，原方程有实数根. 1 分 当0m时，原方程为关于x的一元二次方程， 2 22 31 4236930mmmmmm . 原方程有两个实数根. 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. 3 分 （2）关于x的二次函数32) 1( 3 2 1 mxmmxy的图象关于y轴对称， 0) 1(3m. 1m. 抛物线的解析式为1 2 1 xy. 4 分 2 2 12 12210yyxxx ， 12 yy（当且仅当1x 时，等号成立）. 5
38、 分 （3）由知，当1x 时， 12 0yy. 1 y、 2 y的图象都经过1,0. 对于x的同一个值， 132 yyy， 2 3 yaxbxc的图象必经过1,0. 6 分 又 2 3 yaxbxc经过5,0， 2 3 1545ya xxaxaxa. 设)22(54 2 23 xaaxaxyyy)52()24( 2 axaax. 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 132 yyy均成立， 32 0yy， 图7 -1 -2 -3 -3 -2 -1 -4 -5 -6 21 1 2 3 2 (42)(25 )0yaxaxa. 又根据 1 y、 2 y的图象可得 0a ， 2 4 (25 )(
39、42) 0 4 aaa y a 最小 . 2 (42)4 (25 )0aaa. 2 (31)0a. 而 2 (31)0a. 只有013a，解得 1 3 a . 抛物线的解析式为 3 5 3 4 3 1 2 3 xxy. 7 分 【例12】已知关于x的方程 2 (32 )(3)0mxm xm，其中0m。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 1 x， 2 x，其中 12 xx，若 2 1 1 3 x y x ，求y与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式ym 成立的m的取值范围。 【解析】 （1）本题需先求出的值，再证出0，
40、即可得出结论 （2）本题需先求出 x 的值，再代入 y 与 x 的关系式即可得出结果 （3）本题需先分别画出反比例函数和正比例函数的图象，再根据图象即可求出使不等式 ym 成立的 m 的取值范围 【答案】 （1）由题意可知，=（32m）4m（m3）=90，即0方程总有两个不相等的实 数根 （2）由求根公式，得 3 1x m 或1x ，m0，x1x2， 即为所求 （3）在同一平面直角坐标系中，分别画出，与 y=m（m0）的图 象由图象可得，由图象可得：当 0m1 时，ym 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，在解题时要注意综合应用根的判别式与反比例函数 的关系式本题的关键 【例13】
41、已知关于 x 的方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0 有两个正整数根. (1) 确定整数 m 值； (2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程(m-1)x2-(2m-1)x+2+ x m =0 的实数根的个数. 【解析】略 【答案】由方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0 可得 = ) 1(2 ) 32(12 ) 1(2 ) 32() 12( 2 m mm m mm 1 1 1 m x，. 2 2 x 21,x x均为正整数，m 也是整数，m=2. （2）由（1）知 x2-3x+2+ x 2 =0.x2-3x+2= - x 2 .画出函数 y= x2-3x+2，y= - x 2 的图象，由图象可知，两个函数图象 的交点个数是 1. 【例14】已知抛物线 2 yaxbxc与y轴交于点0,3A， 与x
