1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平移 了解图形平移， 理解平移中对应点连 线平行(或在同一条直线上)且相等的 性质 能按要求作出简单平面图形平移后 的图形； 能依据平移前后的图形， 指 出平移的方向和距离 能运用平移的知识 解决简单的计算问 题； 能运用平移的知 识进行图案设计 一、几何变换 几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何 变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用 图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中 几何变换可以分为以下几类： 1 平移：即保持点
2、沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换平移的性质有：保持角度不变， 保持几何图形全等 2 轴对称：将图形沿直线翻折轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在 对称轴上，保持几何图形全等 3 中心对称：将图形关于一个点对称中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持 几何图形全等 4 旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应 直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等 5 位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换初中几何暂时不涉及这部分内容 二、平移变换 1平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样
3、的图形运动称为平移，平移不 改变图形的形状和大小 注：平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依 据 图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形 的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距 离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相 等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等
4、 平移变换前后的图形具有如下性质： 对应线段平行(或共线)且相等； 对应角的两边分别平行且方向一致； 对应的图形是全等形 注：要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征“对应点所连的线段平行且 知识点睛 中考要求 平移 相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据 3简单的平移作图 想一想： 生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面 我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出 它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如： 平移不改变图形的大小和形状等)作图
5、，要找出图形的关键点 平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：图形原来的位置；平移的方向；平移的 距离 平移变换的方法应用 平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的 条件与结论有机地联系起来 平移法在应用时有三种情况： 平移条件：把条件中的某条线段或角平移； 平移结论：把结论中的线段或角平移； 同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移 5平移变换的主要功能： 把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深 入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”或者通过平移产生新的图形，而使问
6、题得以转化 应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置也可以使线段在 保持平行且相等的条件下移动位置， 从而达到相关几何元素相对集中、 使元素之间的关系明朗化的目的 因 为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平 行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变 换以集中条件、解决问题 平移的基本概念 【例 1】 (海口)观察图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案的平移得到的是( ) A B C D 【解析】 C，平移后，对应点的连线平行且相等 【巩固】在下面的六幅
7、图中，中的图案_可以通过平移图案得到的 【解析】 【例 2】 以下现象： 电梯的升降运动； 飞机在地面沿直线滑行； 风车的转动， 汽车轮胎的转动 其 中属于平移的是( ) A B、 C D 【解析】 C，是平移，是旋转 【例 3】 如图，由三角形变换到三角形，下列说法错误的是( ) A先向右平移2个单位长度，再往上平移3个单位长度； 例题精讲 (2) (1) B先向上平移3个单位长度，再往右平移2个单位长度； C三角形移动5个单位长度得到三角形 D三角形可以通过轴对称得到三角形 【解析】 【例 4】 平行四边形ABCD中，4AB ，6BC O是对角线交点，将OAB平移至EDC位置 说出平移的方
8、向与距离 四边形OCED是什么四边形，为什么？ 若平行四边形ABCD的面积是20，求五边形ABCED面积 O E D CB A 【解析】 沿BC方向平移了6个单位 由平移的基本概念可知，DEAC，CEBD，根据平行四边形定义可知，其为平行四边形 1 25 4 ABCEDABCDCEDABCDABOABCDABCD SSSSSSS 【点评】教师在此课复习巩固一下暑期学习的平行四边形的基本性质 本题主要帮助学生认识平移的基本概念及性质 【巩固】如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC D
9、P CB A Q D P CB A 【解析】 如图所示，将PAB平移至QDC的位置，易证DQAP，CQBP，则四边形DPCQ恰好是一 个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边 【例 5】 (第15届希望杯2试)如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将该三角形 以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平形移动2秒，这时，该三角形扫过的面积(阴影部分) A CB CB A 【解析】 三角形ABC扫过面积相当于矩形BCC B的面积，当然也可直接计算，为18平方厘米 【巩固】一个水平放置的半圆，直径为10cm，向上平移6cm，求其扫过的面积
10、 【解析】 面积为 2 10 660cm 【例 6】 在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F， 且E FD G 求证：EFDG G F E D CB A M G F E D CB A 【解析】 过点C作EF的平行线，交AB于M易知CMEF从而证的BCMCDG， 从而有DGCM，故EFDG 【例 7】 如图所示， 在直角ABC中，90C，4BC ，4AC ， 现将ABC沿CB方向平移到A B C 的位置 若平移的距离为3，求ABC与A B C 重叠部分的面积； 若平移的距离为a4(0)a，求ABC与A B C 重叠部分的面积S的取值范围 A B C D A B C 【解析】
11、 由已知得1BCC D，所以 11 22 BCD SBCDC ； 8S0 【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于BC，垂足为E试画出将ABE平移后的图形，使其 平移的方向为点A到点D的方向，平移的距离为线段AD的长 E D C B A F A BC D E 【解析】 如图，DCF为将ABE以点A到点D的方向，以线段AD的长为平移距离，平移后得到的图形 【巩固】如上右图所示，Rt ABC沿AC边所在的直线向上平移2cm，若4cmBC ，求Rt ABC扫过的面 积 A C B CB A 【解析】 Rt ABC扫过的面积相当于矩形CBB C的面积为 2 8cm 【例 8】 在公园的一块长方
12、形草地上，准备辟一条小径，现有三种设计方案三种方案中小径(阴影部分) 各处夹在小径间且平行于草地较长边的线段长都是a米，试比较三种情况下草地面积的大小，并 简单说明理由 a 【解析】 将图形中右边的草地向右水平平移a，可得下面的矩形，所以三种情况下草地面积大小一样 借助中点、中位线进行平移借助中点、中位线进行平移 【例 9】 已知四边形ABCD的对角线ACBD，E、F分别是AD、BC的中点， 连结EF分别交AC、BD 于M、N，求证：AMNBNM C M F E N D BA C M F E G N D BA 【解析】 设AB的中点为G，连结GE、GF，容易证得 1 2 GEBD， 1 2 G
13、FAC，从而GFGE， GEFGFE，所以 AMNBNM 【巩固】已知，如图四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延 长线分别交于M、N两点 求证：AMEBNE A C D M F E N B A H C D M F E N B 【解析】 连接AC，取AC中点H，连接FH、EH DFCF，AHCH， 1 2 FHAD， 1 2 FHAD， 同理， 1 2 EHBC，EHBC ADBC，EHFH，HFEHEF FHAM，EHBC AMEHFE，HEFBNE ，AMEBNE 【点评】“题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这
14、两个是常 用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也 有类似功效 【例10】 AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E求证： 1 3 AEAC F A D E CB F A D E G CB 【解析】 取EC的中点G，连接DG易得DGBE， F为AD的中点，所以AEEG，从而可证得： 1 3 AEAC 【例11】 在ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，60B ，求证： 1 2 DEAC CE D B A M CNE D B A 【解析】 取AB、BC的中点，连结MN，60B ，30BAEBCD 从而得 1 2 BEBMAB，
15、1 2 BDBNBC，BDEBNM，MNDE 又因 1 2 MNAC，故 1 2 DEAC 【巩固】已知在ABC中，2BC ，ADBC于D，M为BC边的中点，求证： 1 2 DMAB A CMDB 3 2 1 A C N MDB 【解析】 取AC的中点N，连接MN、DN，则有 1 2 MNAB， 1 2 MNAB，且1B ADBC， 1 2 DNACNC，2C 2BC ，12 2 123 ，23 ，则DMMN， 1 2 DMAB 这里也可取AB的中点，进而证明，思想与上相同 【例12】 (2005 年四川省中考题)已知：AD是ABC的中线，AE是ABD的中线，且ABBD，求证： 2ACAE C
16、EDB A C F EDB A 【解析】 取AC的中点F， 连结DF， 易得 1 2 DFAB，ADFBADADF， 而 11 22 DEBDAB， 故DFDE再证ADEADF，得AEAF 利用平移进行构造利用平移进行构造 【例13】 过等腰三角形ABC的底边BC上的一点D作直线交AB于E， 交AC的延长线于F， 若D E D F， 求证：BECF A C F E D B A C F E G D B 【解析】 过E点作EGAC交BC于G，易得EGDFCD，可得EGCF； 因为EGAC， ABC为等腰三角形，易得BEGB ， 进而BEEG；所以BECF 【例14】 已知等边ABC，分别延长BA到
17、E，BC到D，使AEBD求证：ECED A D E CB A D F E CB A D F E CB 【解析】 (方法 1)： 如图，延长BD到F，使DFBC，连EF因为ABC是等边三角形， 所以60B，且ABBCCADF 又因为AEBD，DFBC，所以BE BF，BEF是等边三角形，即60F， 且BEFE易证EBCEFD，所以ECFD (方法 2)： 如图，过D作DFCA交BE于F，则根据题意，FBD也是等边三角形 在ACE和FED中，易证120CAEEFD，ACBCBDCDAEAFFE， AEBDFD，所以ACEFED，所以ECED 【例15】 (07 年北京中考)如图，已知ABC 请你在
18、BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两 对 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； 请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAE CB A DECB A D F E G CB A F DO E G C B A 【解析】 如图相应的条件是：BDCEDE ； 两对面积相等的三角形分别是：ABD和ACE，ABE和ACD (方法 1)： 如图， 分别过点D、B作CA、EA的平行线， 两线交于F点，DF与AB交于G点 所以ACEFDB ，AECFBD 在AEC和FBD中，又CEBD，可证AECFBD 所以ACFD，AEFB 在AGD中，AGDG
19、AD 在BFG中，BGFGFB 所以AGDGBGFGADFB 即ABFDADFB 所以ABACADAE (方法 2)：如图取BC中点O，连结AO并延长AO至F，OFAO， 连结BF，DF，延长AD交BF于G 可证得BOFCOA，DOFEOA 所以ACBF，AEDF 在BGA中，BGABGDAD 在GFD中，GDGFFD 所以BGABGDGFGDADFD 所以BGABGFADFD 即BFABADFD 所以ABACADAE 【点评】此题很经典，在这我们介绍的两种方法“平移”和“倍长中线”都是“集散思想”的体现 希望教师能把辅助线最终的目的(将分散的条件集中在一起)告诉学生，而不是一味的见中线就倍
20、长 【例16】 如图所示，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且60AOC，求证：1ACBD O D C B A O DB C B A 【解析】 考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系 作CBAB 且CBAB = ，则四边形ABB C是平行四边形，从而AC BB (教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， 在BBD中可得BBBDBD， 即ACBDB D 由于1CDAB CB ，60BCDAOC， 所以B CD是等边三角形，故1B D，所以1ACBD 【例17】 已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OFAOBBOC COD DOE EOF 6
21、0 且 2A D B E C F求证：3 OABOCDOEF SSS F E D C B A O G H I O A B C D E F 【解析】 可以把OAB平移到IHE，把OCD平移到GFH，显然OFGHIE可以构成一个边长为2的等 边三角形从而 OABOCDOEFOGIEFH SSSSS 3 OGI S 【点评】巩固上题所体现出来的“集散思想” 【例18】 已知：矩形ABCD内有定点M，试证： 2222 AMCMBMDM M D CB A M F E D CB A 【解析】 过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F ABEM，AMBE(根据定义可知
22、其为平行四边形) AMBE，ABEM ABCD，ABCD EMCD，EMCD(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形或用全等知识解决) ECDM为平行四边形 ，CEDM EMBC 222 BMBFFM， 222 CEEFCF， 222 CMCFFM， 222 BEBFEF 2222 AMCMBMDM 【例19】 如图所示，在六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCFE，ABED，AFCD， BCFE又知对角线FDBD，24FD 厘米，18BD 厘米请你回答：六边形ABCDEF的 面积是多少平方厘米？ F A B C D E F A B C D E G 【解析】 本题初看似乎无法下手求解，
23、但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是我们可将图 形平移， 使其拼成一个长方形， 且FDBD、24FD 厘米、18BD 厘米的条件可以得到利用 为 此，如图所示，将DEF平移到BAG的位置；将BCD平移到GAF的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF的面积易知长方形BDFG的面积等于24 18432(平方厘米)，所 以，六边形ABCDEF的面积是 432 平方厘米 【点评】在本题中，静态地看是作BAG与DEF全等，作GAF与BCD全等，这样一来，将六边形 ABCDEF分成三部分，重新拼补在一起，组合成一个长方形BDFG，其面积就可以计算了 【巩固】如图所示，在长方形AB
24、CD中，点M是边AD的中点，点N是边DC的中点，AN与MC交于点 P若33MCBNBC ，求MPA的度数 M P NDC BA QM P NDC BA 【解析】 如图所示，将MC平移至AQ，此时Q为CB的中点 连接MB，则MBCMCB ， 故33MBNMCBNBC 由于ADNBCN，NADNBC ， 故33MPANAQMAQNADMCBNBC 1. 在ABC中，ACBC，D是CA上一点，E是CB延长线上一点， 且ADBE，DE交AB于点F 求 证：DFEF 课后作业 D F E C B A D F E G C B A 【解析】 过点D作DGBC交AB于点G 则GDFE ，DGAABC 因为AC
25、BC，所以AABC ，进而DGAA ，故ADGD 因为ADBE，所以GBBE 又因为DFGEFB ，所以DFGEFB，故DFEF 2. 在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F，且EFDG求证：EFDG G F E D CB A M G F E D CB A 【解析】 过点C作EF的平行线，交AB于M易知CMEF从而证的BCMDCG， 从而有DGCM，故EFDG 3. 如图所示，在ABC的边BC上取两点D、E，且BDCE，求证：ABACADAE A BCDE AA BCDE 【解析】 本题所要证的四条线段分布于不同的三角形中，要比较它们的大小，就要将这四条线段相对集 中为此
26、，可设想将AEC平移到ABD的位置，这样，相当于将AC平移到A D，将AE平移 到A B于是，要证ABACADAE，就相当于证明ABADADAB这个关系是显 然的 如图所示，过B作BAEA ，过D作DACA ， DA 交 BA 于点 A 由于A BDAEC ，A DBACE ，BDEC 故ABDAEC， 则ABAE，A DAC 设A D与AB的交点为O 由于A OOBA B，AOODAD， 所以()()ABADAOOBAOOD()()AOODAOOBADAB 故ABACADAE 4. 如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形， 并且所构成的四
27、边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC D P CB A Q D P CB A 【解析】 如图所示，将PAB平移至QDC的位置，易证DQAP，CQBP，则四边形DPCQ恰好是一 个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻 边 5. 如图所示，在ABC中，90B，M为AB上的一点，且AMBC；N为BC上的一点，且 CNBM连接AN、CM交于点P，求证：45APM P N M C BA K P N M C BA 【解析】 如图所示，过点C作CKMA且使CKMA= 连接AK，则AKCM为平行四边形， 所以90KCNB ，CKAMBC 又因为CNBM， 连接KN，则NCKMBC， 故KNCMKA 而MCBNKC ， 因此90NKCMCKMCBMCK ， 则KNCM，KNKA， 所以KAN为等腰直角三角形 因为45KAP， 故45APMKAP
