1、 知识点 基本要求 略高要求 较高要求 一元二次方程一元二次方程 了解一元二次方程的 概念， 会将一元二次方 程化为一般形式， 并指 出各项系数； 了解一元 二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会 由方程的根求方程中待 定系数的值 一元二次方程的一元二次方程的 解法解法 理解配方法， 会用直接 开平方法、 配方法、 公 式法、 因式分解法解简 单的数字系数的一元 二次方程， 理解各种解 法的依据 能选择恰当的方法解一 元二次方程；会用方程 的根的判别式判别方程 根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定
2、方程中待定系数的 取值范围；会用配方法对代数式做 简单的变形；会应用一元二次方程 解决简单的实际问题 板块一 一元二次方程的概念 一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式： 2 0 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 一元二次方程的识别： 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可
3、以化为一般式 2 0axbxc0a 要特别注意对于关于x的方程 2 0axbxc，当0a 时，方程是一元二次方程；当0a 且0b 时， 方程是一元一次方程 一元二次方程的定义：一元二次方程的定义： 中考要求 例题精讲 中考复习：一元二次方程 关于一元二次方程的定义考查点有三个：二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程 【例1】关于x的方程 22 (1)260axax是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.1a B.0a C.a为任何实数 D.不存在 【巩固】已知关于x的方程 22 (2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围 【例2】若 2 (3)330 n mxnx 是关于x的一元二
4、次方程，则m、n的取值范围是（ ） A.0m 、3n B.3m 、4n C.0m ，4n D.3m 、0n 一元二次方程根的考察一元二次方程根的考察 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。 （将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 【例3】若m是方程 2 3220xx的一个根，那么代数式 2 3 1 2 mm的值为 【巩固】关于x的一元二次方程 22 (1)10axxa 的一个根是0，则a的值为（ ） A.1 B.1 C.1或1 D. 1 2 【巩固】若两个方程 2 0xaxb和 2 0xbxa只有一个公共根，则（ ） A.ab B.0ab C
5、.1ab D.1ab “降次”思想“降次”思想 【例4】已知a是方程 2 310xx 的一个根，则代数式 3 102aa的值为_ 【巩固】已知m是方程 2 200610xx 的一个根，试求 2 2 2006 2005 1 mm m 的值 板块二 一元二次方程的解法 【例5】解关于x的方程： 22 2332xx 【巩固】解方程： 22 69(52 )xxx 【例6】用配方法解下列方程 2 640xx (1)(3)50yy 2 11 0 63 xx 2 241yy 2 23546xxx 【例7】用公式法解下列方程 2 2310xx 2 362xx 1 (61)432(2) 2 xxxx 2 322
6、0xx 【例8】解关于x的方程： 2 (41)3(1 4 )40xx 【例9】解分式方程： 2 2 2(1)6(1) 7 11 xx xx 【例10】解无理方程（换元法） 22 235 23930xxxx 板块三 根的判别式 定义：定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ， 显然只有当 2 40bac时， 才能直接开 平方得： 2 2 4 24 bbac x aa 也就是说，一元二次方程 2 0(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件 2 40bac 时才有 实数根这里 2 4bac叫做一元二次方程根的判别式 判别式与根的关系判别式与根
7、的关系 在实数范围内，一元二次方程 2 0(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是 否有实数根）由 2 4bac 确定 设一元二次方程为 2 0(0)axbxca，其根的判别式为： 2 4bac 则 0 方程 2 0(0)axbxca有两个不相等的实数根 2 1,2 4 2 bbac x a 0 方程 2 0(0)axbxca有两个相等的实数根 12 2 b xx a 0 方程 2 0(0)axbxca没有实数根 【例11】不解方程，判别一元二次方程 2 261xx的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D无法确定 【巩固】若方程
8、2 (2)2(1)0mxmxm只有一个实数根，那么方程 2 (1)220mxmxm（ ） A没有实数根 B有 2 个不同的实数根 C有 2 个相等的实数根 D实数根的个数不能确定 【例12】如果关于x的一元二次方程 2 690kxx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A 1k B 0k C10kk且 D 1k 【巩固】若关于x的二次方程 2 (1)220mxmxm有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【例13】关于x的一元二次方程 2 (12 )2110k xkx 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【例14】当m为何值时，关于x的方程 22 (4)2(1)10mxmx 有实根
9、 【例15】已知关于x的方程 22 1 210 2 xab xbb有两个相等的实数根，且a、b为实数，则 32ab_ 【例16】当a b、为何值时，方程 222 2 134420xa xaabb有实根？ 【例17】对任意实数m，求证：关于x的方程 222 (1)240mxmxm无实数根 【巩固】求证：关于x的一元二次方程 2 (2)10xm xm 有两个实数根 板块四 韦达定理 【例18】设方程 2 4730xx的两个根为 1 x、 2 x，不解方程求下列各式的值 12 (3)(3)xx； 21 12 11 xx xx ； 12 xx 【例19】若方程 2 10xpx 的一个根为12，则它的另
10、一根等于 ，p等于 【例20】已知、是方程 2 520xx的两根，求 的值 【例21】设 1 x、 2 x是方程 22 2120xkxk的两个不同的实根，且 12 118xx，则k的值 是 【例22】已知方程组 22 20 0 xyx kxyk （x、y为未知数） 求证：不论k为何实数，方程组总有两个不同的实数解 设方程组的两个不同的实数解为 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 求证： 22 1212 ()()xxyy是一个常数 【例23】已知1240m，且关于x的二次方程 22 2(1)0xmxm有两个整数根，求整数m 【例24】若k为正整数，且关于k的方程 22 (1)6(31)7
11、20kxkx有两个相异正整数根，求k的值 【例25】已知关于x的方程 2 (6)0xaxa的两根都是整数，求a的值 板块五、一元二次方程的应用 【例26】某公司成立3年以来，积极向国家上交利税，由第一年的200万元增加到800万元，则平均每年 增长的百分数是 【例27】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005年 连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ） A.降低了2% B. 没有变化 C.上升了2% D.降低了1.99% 【例28】北京市政府为了迎接2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境
12、，计划经过两年时间，绿地面 积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A.10% B.20% C.30% D.40% 【例29】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润， 尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均 每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？ 【例30】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出60件，每件赢利40元为了迎接“十 一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存经市场调查发 现： 如果每件衬衫降价1元，
13、那么平均每天就可多售出6件 要想平均每天销售这种衬衫赢利3600 元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【例31】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为 适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增 加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10 元 能使公司的日租金总收入达到19380元？ 使公司的日租金总收入最高？最高是多少？ 【例32】长20m、宽15m的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地 毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度
14、为 【例33】如图所示，在一个长为40米，宽为26米的矩形广场ABCD上，修建三条同样宽的道路，若使每 块草坪的面积都是144平方米，则道路宽为多少？ 【例34】如图，ABC中，90B，6AB cm，8BC cm， 点P从点A开始， 沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动 （点Q到达点C运动停止） 如 果点P，Q分别从点A，B同时出发t秒（0t ） t为何值时，6PQ cm？ t为何值时，可使得PBQ的面积等于8 2 cm？ Q P C B A 【例35】如图所示， 某海军基地位于A处， 在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方
15、向200 海里处有一重要目标小岛C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发， 经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达 军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船 航行了多少海里（结果保留根号） 北 东 E D CB A F 北 东 E D CB A 1. 已知m、n是一元二次方程 2 310xx 的两根，那么代数式 22 2461999mnn的值为 课堂检测 2. 在斜边为10的Rt ABC中，90C，两直角边a、b是方程 2 360xmxm的两个根，求m的 值 3. 若关于x的方程 22
16、 2(1)(2)0xaxb有两个相等实根 求 19983 ab的值； 求作以a、b为根的一元二次方程 4. 是否存在常数k，使关于x的方程 22 4(35)60xkxk的两个实数根 1 x、 2 x，满足 2 1 3 2 x x ，如果 存在，试求出所有满足条件的k值；如果不存在在，请说明理由 1. 选择恰当的方法解下列方程 课后作业 2 1 9()4 3 x ； 2 60xx； 2 310yy ； 2 211 0 362 xx 22 (54)(43)0xx； 2 2530xx； (27)5(27)xxx； (1)(3)12xx 2. 若方程 2 0axbxc(0)a 的一个根是另一个根的3倍，则a、b、c的关系是（） A. 2 316bac B. 2 316bac C. 2 163bac D. 2 163bac 3. 一元二次方程 2 0axbxc中，0a ，0b ，0c ，且0 ，则两个根的符号（ ） A.同为正 B.同为负 C. 一正一负 D.同号 4. 若一元二次方程 22 (1)5510mxmmxm 有两个相等的实数根，则_m 5. 已知 1 x、 2 x是方程 2 340xx的两个根，不解方程，求 2 1 x x 的值 6. 已知a、b、c是三角形的三边长，求证： 222222 ()0b xbca xc没有实数根
