1、2019 年湖南省长沙市中考数学一模试卷年湖南省长沙市中考数学一模试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题请在答题卡中填涂符合题 意的选项本大题共意的选项本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）给出下列四个数：1，0，3.14，其中为无理数的是（ ） A1 B0 C3.14 D 2 （3 分）如图，点 A、B 在数轴上表示的数的绝对值相等，且 AB4，那么点 A 表示的数 是（ ） A3 B2 C1 D3 3 （3 分）甲骨文是我国古代的一
2、种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化， 体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有 5 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不 相同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，不仅要了解自己的成绩，还要了 解这 5 名学生成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 5 （3 分）若点 P（a3，a1）是第二象限内的一点，则 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba3 Ca1 D1a3 6 （3 分）已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3，则第三条边的长是（ ） A3 B4 C7 D3
3、或 7 7 （3 分）如图，已知 AB 是O 的直径，D40，则CAB 的度数为（ ） A20 B40 C50 D70 8 （3 分）若一个圆锥的母线长为 6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为 第 2 页（共 25 页） （ ） A1cm B2cm C3cm D6cm 9 （3 分）如图，用直尺和圆规作射线 OC，使它平分AOB，则ODCOEC 的理由是 （ ） ASSS BSAS CAAS DHL 10 （3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设该厂五、 六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x）2182
4、 B50+50（1+x）+50（1+x）2182 C50（1+2x）182 D50+50（1+x）+50（1+2x）2182 11 （3 分）如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别 是 BC、CD，测得 BC6 米，CD4 米，BCD150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的 仰角为 30，则电线杆 AB 的高度为（ ） A B C D 12 （3 分）王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达 A 地，再上坡到达 B 地，最后 下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示若王老师下班时，还沿着这条 路返回家中，回家途中经
5、过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间 是（ ） 第 3 页（共 25 页） A15 分钟 B14 分钟 C13 分钟 D12 分钟 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：ab2+a2b 14 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 15 （3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 16 （3 分）一个密闭不透明的盒子里有若干个质地、大小均完全相同的白球和黑球，在不 允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机
6、摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不 断重复，共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球，则从中随机摸出一个球是白球的概率 为 17 （3 分）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，ABO 是等边三角形，点 B 在第一象限，若反 比例函数 y的图象经过点 B，则 k 的值是 18（3 分） 如图， 在ABCD 中， 点 F 在 CD 上， 且 CF： DF1： 2， 则 SCEF： SABCD 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19、20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21、22 题每小题题每小题 6
7、 分，第分，第 23、24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25、26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分解答应写出必要的文字说明、分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：2sin60+（）0（） 1 第 4 页（共 25 页） 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 a2，b 21 （8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课： 乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生 必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计 图，请结合
8、图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m 的值是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动， 请写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同 学和 1 名女同学的概率 22 （8 分）如图，在ABCD 中，过点 A 作 AEBC 于点 E，AFDC 于点 F，且 AEAF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若EAF60，CF2，求菱形 ABCD 的面积 23 （9 分）某小区为更好的提高业主垃圾分类
9、的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类 的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，且每个温馨 提示牌比垃圾箱便宜 40 元 （1）问购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问最多购买垃 圾箱多少个？ 第 5 页（共 25 页） 24 （9 分）如图，在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，点 E 在 OC 的延长线上， EACBAC （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 AB8，cosE，求 CD 的长 25 （10 分）定义： （i）如果两个函数
10、y1，y2，存在 x 取同一个值，使得 y1y2，那么称 y1， y2为“合作函数” ，称对应 x 的值为 y1，y2的“合作点” ； （ii）如果两个函数为 y1，y2为 “合作函数” ，那么 y1+y2的最大值称为 y1，y2的“共赢值” （1）判断函数 yx+m 与 y是否为“合作函数” ，如果是，请求出 m2 时它们的合 作点；如果不是，请说明理由； （2）判断函数 yx+m 与 y3x1（|x|2）是否为“合作函数” ，如果是，请求出合作 点；如果不是，请说明理由； （3）已知函数 yx+m 与 yx2（2m+1）x+（m2+3m3） （0x5）是“合作函数” ， 且有唯一合作点 求
11、出 m 的取值范围；若它们的“共赢值”为 18，试求出 m 的值 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx1 与抛物线 yx2+bx+c 相交 于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为6，点 P 是抛物线上位于直线 AB 上方 的一动点（不与点 A，B 重合） （1）求该抛物线的解析式； （2）连接 PA，PB，在点 P 运动的过程中，是否存在某一位置，使得PAB 恰好是一个 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）过点 P 作 PDy 轴交直线 AB 于点 D，以 PD 为直径的E 与直线 AB 相交于
12、点 G， 求 DG 的最大值 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2019 年湖南省长沙市中考数学一模试卷年湖南省长沙市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题请在答题卡中填涂符合题 意的选项本大题共意的选项本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）给出下列四个数：1，0，3.14，其中为无理数的是（ ） A1 B0 C3.14 D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得
13、答案 【解答】解：在所列实数中，无理数是， 故选：D 【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环 小数 2 （3 分）如图，点 A、B 在数轴上表示的数的绝对值相等，且 AB4，那么点 A 表示的数 是（ ） A3 B2 C1 D3 【分析】如果点 A，B 表示的数的绝对值相等，那么 AB 的中点即为坐标原点 【解答】解：如图，AB 的中点即数轴的原点 O 根据数轴可以得到点 A 表示的数是2 故选：B 【点评】此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数 形结合的优点确定数轴的原点是解决本题的关键 3 （3 分）甲骨文是我国古代的一种
14、文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化， 体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； 第 8 页（共 25 页） B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠， 如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形 4 （3 分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有 5 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩
15、各不 相同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，不仅要了解自己的成绩，还要了 解这 5 名学生成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 【分析】由于比赛取前 3 名进入决赛，共有 5 名选手参加，故应根据中位数的意义分析 【解答】解：因为 5 位进入决赛者的分数肯定是 5 名参赛选手中最高的， 而且 5 个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有 3 个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了， 故选：A 【点评】 此题主要考查统计的有关知识， 主要包括平均数、 中位数、 众数、 方差的意义 反 映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、
16、众数、方差等，各有局限性，因此要对统 计量进行合理的选择和恰当的运用 5 （3 分）若点 P（a3，a1）是第二象限内的一点，则 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba3 Ca1 D1a3 【分析】根据点的坐标得出不等式组，求出不等式组的解集即可 【解答】解：点 P（a3，a1）是第二象限内的一点， ， 解得：1a3， 故选：D 【点评】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能得出关于 a 的不等式组是解此 题的关键 6 （3 分）已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和 3，则第三条边的长是（ ） A3 B4 C7 D3 或 7 第 9 页（共 25 页） 【分析】因为腰长与底边不确定，所以分
17、7 为腰长，3 为底边，7 为底边，3 为腰长 两种情况，再根据“三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行讨论 【解答】解：分两种情况讨论： 当 7 为腰长，3 为底边时，三边为 7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为 7， 当 3 为腰长，7 为底边时，三边为 7、3、3，3+367，所以不能组成三角形 因此第三边的长为 7 故选：C 【点评】考查了等腰三角形的性质，本题利用三角形三边的关系求解，需要熟练掌握 7 （3 分）如图，已知 AB 是O 的直径，D40，则CAB 的度数为（ ） A20 B40 C50 D70 【分析】先根据圆周角定理求出B 及ACB 的
18、度数，再由直角三角形的性质即可得出 结论 【解答】解：D40， BD40 AB 是O 的直径， ACB90， CAB904050 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 8 （3 分）若一个圆锥的母线长为 6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为 （ ） A1cm B2cm C3cm D6cm 【分析】由于圆锥的母线长为 6cm，侧面展开图是圆心角为 180扇形，设圆锥底面半径 为 rcm，那么圆锥底面圆周长为 2rvm，所以侧面展开图的弧长为 2rcm，然后利用扇形 第 10 页（
19、共 25 页） 的面积公式即可得到关于 r 的方程，解方程即可求解 【解答】解：设圆锥底面半径为 rcm， 那么圆锥底面圆周长为 2rcm， 所以侧面展开图的弧长为 2rcm， S圆锥侧面积2r6， 解得：r3， 故选：C 【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算；正确理解圆锥的 侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半 径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 9 （3 分）如图，用直尺和圆规作射线 OC，使它平分AOB，则ODCOEC 的理由是 （ ） ASSS BSAS CAAS DHL 【分析】根据 SSS 证明三角形全等即可 【解答】解
20、：由作图可知，OEOD，DCEC， 在ODC 与OEC 中 ， ODCOEC（SSS） ， 故选：A 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答 10 （3 分）某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设该厂五、 六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x）2182 B50+50（1+x）+50（1+x）2182 第 11 页（共 25 页） C50（1+2x）182 D50+50（1+x）+50（1+2x）2182 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量（1
21、+增长率） ，如果该厂 五、六月份平均每月的增长率为 x，那么可以用 x 分别表示五、六月份的产量，然后根据 题意可得出方程 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为 50（1+x） 、50（1+x）2， 50+50（1+x）+50（1+x）2182 故选：B 【点评】增长率问题，一般形式为 a（1+x）2b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时 间的有关数量 11 （3 分）如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别 是 BC、CD，测得 BC6 米，CD4 米，BCD150，在 D 处测得电线杆顶端 A 的 仰角为 30，则电线杆 AB 的高度为（ ） A B
22、 C D 【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE 于 F，根据直角三角形的性质和勾股 定理求出 DF、CF 的长，根据正切的定义求出 EF，得到 BE 的长，根据正切的定义解答 即可 【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DFBE 于 F， BCD150， DCF30，又 CD4， DF2，CF， 由题意得E30， EF， BEBC+CF+EF6+4， 第 12 页（共 25 页） ABBEtanE（6+4）（2+4）米， 故选：B 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 12 （3 分）
23、王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达 A 地，再上坡到达 B 地，最后 下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示若王老师下班时，还沿着这条 路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间 是（ ） A15 分钟 B14 分钟 C13 分钟 D12 分钟 【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即 可 【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分） ， 所以他从单位到家门口需要的时间是 2+1+115（分钟） 故选：A 【点评】本题考查了一次函数的应用，通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信 息
24、的能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：ab2+a2b ab（a+b） 第 13 页（共 25 页） 【分析】通过提取公因式 ab 进行因式分解 【解答】解：原式ab（a+b） 故答案是：ab（a+b） 【点评】考查了因式分解提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公 因式法 14 （3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题
25、意得，2x0， 解得 x2 故答案为：x2 【点评】 本题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 15 （3 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题 【解答】解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则内角和是 720 度， 720180+26， 这个多边形是六边形 故答案为：6 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关 键 16 （3 分）一个密闭不透明的盒子里有若干个质地、大小均完全相同的白
26、球和黑球，在不 允许将球倒出来的情况下，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不 断重复，共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球，则从中随机摸出一个球是白球的概率为 【分析】可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑 白球总数黑球个数+白球个数“， “黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的 次数” 【解答】解：共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球， 第 14 页（共 25 页） 320 次摸到白球， 从中随机摸出一个球是白球的概率为， 故答案为： 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为： 频率所求情况数与总情况数
27、之比 17 （3 分）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，ABO 是等边三角形，点 B 在第一象限，若反 比例函数 y的图象经过点 B，则 k 的值是 【分析】首先过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C，根据 AO2，ABO 是等边三角形，得出 B 点坐标，进而求出反比例函数解析式 【解答】解：过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C， 点 A 的坐标是（2，0） ， AO2， ABO 是等边三角形， OC1，BC， 点 B 的坐标是（1，） ， 把（1，）代入 y，得 k 故答案为： 【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质等知识，根 据已知表示出 B 点坐标是解题关
28、键 18 （3 分）如图，在ABCD 中，点 F 在 CD 上，且 CF：DF1：2，则 SCEF：SABCD 第 15 页（共 25 页） 1：24 【分析】设 CFa，DF2a，SCEFS，则 CD3a利用相似三角形的性质求出平行 四边形的面积，即可解决问题 【解答】解：设 CFa，DF2a，SCEFS，则 CD3a 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD3a，ABCF， CFEABE， ， ， SABE9S， SBCE3S， S平行四边形ABCD2SABC24S， SCEF：SABCD1：24， 故答案为 1：24 【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题
29、的关键是 学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19、20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21、22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23、24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25、26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分解答应写出必要的文字说明、分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：2sin60+（）0（） 1 【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式2sin60 +（）0（） 1 的值是多少即可 【解答】解：2sin
30、60+（）0（） 1 第 16 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行 实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外， 有理数的运算律在实数范围内仍然适用 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 a2，b 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 和 b 的值代入计算可 得 【解答】解：原式+ + ， 当 a2，b时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与运算 法则 21
31、 （8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课： 乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生 必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计 图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m 的值是 30% ； 第 17 页（共 25 页） （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动， 请写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同 学和 1 名
32、女同学的概率 【分析】 （1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中 m 的值； （2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可； （3） 列表得出所有等可能的情况数， 找出恰好为一男一女的情况数， 即可求出所求概率 【解答】解： （1）2040%50（人） ，155030%； 故答案为：50；30%； （2）5020%10（人） ，5010%5（人） ，如图所示： （3）523（名） ， 选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学， 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男
33、1 男 2 （男 1 男 2） 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 男 3 （男 1 男 3） 男 2 男 3 女 1 男 3 女 2 男 3 女 1 （男 1，女 1） 男 2 女 1 男 3 女 1 女 2 女 1 女 2 （男 1 女 2） 男 2 女 2 男 3 女 2 女 1 女 2 所有等可能的情况有 20 种， 其中抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的情况 有 12 种， 则 P（一男一女） 第 18 页（共 25 页） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是 解本题的关键 22 （8 分）如图，在ABCD 中
34、，过点 A 作 AEBC 于点 E，AFDC 于点 F，且 AEAF （1）求证：ABCD 是菱形； （2）若EAF60，CF2，求菱形 ABCD 的面积 【分析】 （1）只要证明AEBAFD可得 ABAD 即可解决问题 （2）连接 AC，在 RtACF，根据 AFCFtanACF 计算得出 AF，进而利用菱形的面 积公式解答即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， BD AEBC，AFDC， AEBAFD90， 又AEAF， RtAEBRtAFD（HL） ABAD， 四边形 ABCD 是菱形 （2）连接 AC，如图 AEBC，AFDC，EAF60， ECF12
35、0， 四边形 ABCD 是菱形， ACF60， 在 RtCFA 中，AFCFtanACF2 菱形 ABCD 的面积 第 19 页（共 25 页） 【点评】本题考查菱形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23 （9 分）某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类 的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，且每个温馨 提示牌比垃圾箱便宜 40 元 （1）问购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用
36、不超过 8000 元，问最多购买垃 圾箱多少个？ 【分析】 （1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据费用不超过 8000 元，可得不等式，根据解不等式，可得答案 【解答】 （1）解：设购买 1 个温馨提示牌需要 x 元，购买 1 个垃圾箱需要 y 元，依题意 得 ， 解得： 答：购买 1 个温馨提示牌需要 60 元，购买 1 个垃圾箱需要 100 元 （2）解：设购买垃圾箱 m 个，则购买温馨提示牌（100m）个，依题意得 60（100m）+100m8000， 解得 m50， 答：最多购买垃圾箱 50 个 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得出不等关系是解题
37、关键 24 （9 分）如图，在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，点 E 在 OC 的延长线上， EACBAC （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 AB8，cosE，求 CD 的长 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （1）连接 OA，求出AOCBAE，求出OAE90，根据切线的判定得出 即可； （2）根据垂径定理求出 AD，证明ODAOAE，得到OADE，根据正切的定义 计算即可 【解答】 （1）证明：连接 OA， ABOC，OC 过 O， ， CABAOOC， EACBAC， EABAOC， OCAB， ODA90， OAB+AOC90， OAB+BAE90， 即
38、 OAAE， OA 过 O， AE 是O 的切线； （2）解：ODAB，AB8， ADAB4， OAEODA90，OO， ODAOAE， OADE， cosE， cosOAD， 第 21 页（共 25 页） OA5， OD3， CDOCOD532 【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、 相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 25 （10 分）定义： （i）如果两个函数 y1，y2，存在 x 取同一个值，使得 y1y2，那么称 y1， y2为“合作函数” ，称对应 x 的值为 y1，y2的“合作点” ； （ii）如果两个函数为 y1，y2为 “合作函数
39、” ，那么 y1+y2的最大值称为 y1，y2的“共赢值” （1）判断函数 yx+m 与 y是否为“合作函数” ，如果是，请求出 m2 时它们的合 作点；如果不是，请说明理由； （2）判断函数 yx+m 与 y3x1（|x|2）是否为“合作函数” ，如果是，请求出合作 点；如果不是，请说明理由； （3）已知函数 yx+m 与 yx2（2m+1）x+（m2+3m3） （0x5）是“合作函数” ， 且有唯一合作点 求出 m 的取值范围；若它们的“共赢值”为 18，试求出 m 的值 【分析】 （1）联立解析式消去 y，得到关于 x 的方程，若方程有实根则这两个函数为“合 作函数” ；把 m2 代入函
40、数，联立解析式求出 x 的值即为合作点； （2）联立解析式求出 x 的值即为合作点，x 的值还需要满足条件|x|2，从而得到关于 m 的不等式，求出答案即可； （3）联立解析式求出 x 的值，根据条件“0x5”和有唯一合作点列出关于 m 的不 等式求解即可； 共赢点即为 y1+y2的最大值， 而 y1+y2是二次函数且开口向上， 所以最大值在端点求得， 分别将 x0 或 5 代入解析式求出最大值等于 10，得到关于 m 的方程求解即可 【解答】解： （1）若 y1y2时，则 x+m， x2+mx30 此时m2+120， 方程总有两个不等实根， 函数 yx+m 和 y是“合作函数” 第 22 页
41、（共 25 页） 当 m2 时，由 x+2，则 x2+2x30 解得：x13，x21 所以，当 m2 时它们的合作点为3 和 1； （2）若 y1y2时，则 x+m3x1， 解得，x |x|2， |2 解得，5m3 所以当5m3 时，函数 yx+m 和 y3x1 是“合作函数” ，合作点为 x 当 m5 或 m3 时，函数 yx+m 和 y3x1 不是“合作函数” （3）由 y1y2得，x+mx2（2m+1）x+（m2+3m3） 即 x2（2m+2）x+（m2+2m3）0， x1m1，x2m+3 又0x5 且有唯一合作点， 或 解得，2m6 或3m1 y1+y2x+m+x2（2m+1）x+（m
42、2+3m3） x22mx+m2+4m3 当 x0 取最大值时，y1+y2m2+4m318 解得，m17（舍去） ，m23 当 x5 取最大值时，y1+y22510m+m2+4m318， 解得，m13，m23+ 综上，m 的值为 3 或 3 【点评】本题考查了二次函数性质和一元二次方程根的情况，联立解析式组成方程组， 将合作点问题转化为方程是否有解得问题是解决此题的关键 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx1 与抛物线 yx2+bx+c 相交 于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为6，点 P 是抛物线上位于直线 AB 上方 的一动点（不与点 A，B 重合）
43、第 23 页（共 25 页） （1）求该抛物线的解析式； （2）连接 PA，PB，在点 P 运动的过程中，是否存在某一位置，使得PAB 恰好是一个 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）过点 P 作 PDy 轴交直线 AB 于点 D，以 PD 为直径的E 与直线 AB 相交于点 G， 求 DG 的最大值 【分析】 （1）在函数 yx1 中，求出 A（2，0） 、B（6，4） ，将 A（2，0） ，B（ 6，4）代入 yx2+bx+c 中，即可求解； （2）存在，理由：由 A、B 点坐标得：则点 E（2，2） ，则 AE 2，tanOA
44、C，即：，则 AF5，可得直线 EF 的表达式为： y2x6，联立即可求解； （3）GDPDsinDPG（x2x+4x+1） ，即可求解 【解答】解： （1）在函数 yx1 中， 当 y0 时，x2，A（2，0） ， 当 x6 时，y4，B（6，4） ， 将 A（2，0） ，B（6，4）代入 yx2+bx+c 中， 得， 解得， 第 24 页（共 25 页） 该抛物线得解析式为 yx2x+4； （2）存在，理由： 设直线 AB 交 y 轴于点 C，则点 C（0，1） ， 如图所示，作线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 F、交 y 轴于点 E， 由 A、B 点坐标得：则点 E（2，2） ，则
45、 AE2， tanOAC，即：，则 AF5， 故点 F（3，0） ， 由点 E（2，2） 、F（3，0）得直线 EF 的表达式为：y2x6， 联立并解得：x4 或 6（舍去 x6） ， 故点 P 的坐标为（4，2） ， PE2； （3）如下图所示，PD 为直径，则PGD90， 即：PGAC OAC90PDCDPG， 在 RtAOC 中，sinOACsinDPG， 则 GDPDsinDPG， 第 25 页（共 25 页） 设点 P 坐标为（x，x2x+4） ，则点 D（x，x1） ， GDPDsinDPG（x2x+4x+1） ， 当 x2 时，GD 最大，最大值为： 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系
