1、第5讲 力的合成与分解相声大师马季在春晚上表演过一个五官争功的相声，教育大家做事如果不同心协力，必将一事无成。在物理学中，如果几个力沿不同方向，会产生什么效果呢？这一讲我们来研究力的合成与分解。*教师版说明：蚂蚁通常被看成是同心协力工作的典型，其实蚂蚁的工作方式是各行其是，根本没有帮助同伴的意思。趣味物理中有一段有意思的描述，摘录在下面。这个内容不是特别重要，如果老师愿意用来做阅读材料或改编成引入可以参考。生物学家E叶拉契奇在本能一书中对蚂蚁的工作这样描写道：几十只蚂蚁在平地上拖一个猎物，它们都一样地卖劲，看似在齐心协力地工作着。然而，当这个猎物，如毛虫之类的东西被什么（草梗或碎石）绊住，前进
2、不了，得绕开时，你就会清楚地看到，每只蚂蚁都不管同伴如何，只是自顾自地奋力拉拽，以期绕过障碍物（如图1和图2）。它们有的向右有的向左，有的向前，有的向后拖拉，谁也不管谁。它们还常常改变衔毛虫的部位和拖拉的方向，假如有四只蚂蚁朝着一个方向拉毛虫，而有六只蚂蚁向另一个方向施力，那么毛虫就在合力的作用下克服了四只蚂蚁的反作用力向六只蚂蚁施力的方向移动了。 我们再举一个更好说明蚂蚁并不真正合作的例子（它引自别一位生物学家的著作）。图中为25只蚂蚁拖拉一块方形奶酪的示意图。奶酪缓缓地朝着箭头所指方向上的蚁窝移动。可以想当然的认为前排的蚂蚁在向前拉，后排的蚂蚁在向前推，两侧的蚂蚁也在向前助力。但实际上并非
3、如此，这并不难证明：用刀片把后排的蚂蚁全部拨开，就会发现奶酪移动得更快！原来，后排的11只蚂蚁并不是在向前拉，而是在向后拖，它们这样做也是为了把奶酪拖到窝里去。由此看来，后排的蚂蚁对前排的蚂蚁不但没有帮助，反而起了阻碍的作用：抵消了它们的力量。本来有四只蚂蚁就足够了，可由于动作不一致，却动用了25只。马克吐温早就发现了蚂蚁的这种合作特点。他叙述了一只蚂蚁找到一要根蚂蚱腿后，另一只蚂蚁协助它拉的故事。他叙述道：“它们分别咬住蚂蚱腿的两端，使足力气向两个方向拉拽。两只蚂蚁都发现有些不大对劲，却又搞不清楚怎么会这样。于是便争吵起来；后来竟大打出手最后又归于和解，又一起重复刚才那种荒唐的动作。这时那只
4、打架受伤的蚂蚁不肯放弃猎物，吊在蚂蚱腿上，于是那个未受伤的同伴就竭尽全力将猎物连同这个累赘一起拖走。”于是，马克吐温诙谐而又中肯地说：“只有那些没有经验却又乱下结论的自然科学家才会草率地认为，蚂蚁的工作是得法的。”*5.1 力的合成 知识点睛1共点力如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但力的作用线的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力。2合力与分力如果一个力的作用效果与另外几个力的共同作用效果相同，那么这个力与另外几个力等效，这个力称为另外几个力的合力，另外几个力称为这个力的分力。 等效替代是一种重要的物理思想，它可以使复杂的问题
5、变简单。*教师版说明：这里的叙述与教材略有区别，专门说了一下等效替代的物理思想。希望能向学生逐渐渗透高中常见的物理思想方法。*3共点力的合成法则求几个已知力的合力叫力的合成。 平行四边形定则求互成角度的两个共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。 三角形定则如图乙所示，把表示、的有向线段首尾相接地画出来，从线段的首端至线段的末端的有向线段就表示了合力的大小和方向。注意：力的合成的平行四边形法则，只适用于共点力。*教师版说明：这部分直接给出了结论，主要是考虑到上课时无法演示实验。如果只把实验过程描述一遍，很难有力的支持结论，意义不大
6、。但是如果有条件，老师还是应该通过实验讲解，让学生自己得出结论。高中不讲力矩，碰到的基本都是共点力的问题，不过老师最好还是强调一下平行四边形法则只适用于共点力，让学生知道一下。*4合力的大小由余弦定理易知，合力的大小（为两个力的夹角），无论为多少，必然有 成立。 例题精讲例题说明：例1考察合力的概念；例2考察合力与分力的大小关系；例3考察两个力合力的范围；例4考察三个力的合成；例5考察三个力合力的范围；例6稍微复杂一些，考察多个力的合力。【例1】 关于几个力与其合力，下列说法正确的是A合力的作用跟原来那几个力共同作用产生的效果相同B合力与原来那几个力同时作用在物体上 C合力的作用可以替代原来那
7、几个力的作用D求几个力的合力遵循平行四边形定则 【答案】 ACD【例2】 关于合力与其两个分力的关系，下列说法正确的是A合力的大小一定大于小的分力，小于大的分力B合力的大小随分力夹角的增大而增大C合力的大小一定大于任何一个分力D合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力【答案】 D【例3】 作用在同一物体上的两个共点力，一个力的大小是，另一个力的大小是。这两个力的合力值可能为A B C D【答案】 BC【例4】 三个大小相等互成角的力，它们合力大小是A B C D【答案】 A【例5】 有三个力分别是、和，则它们的合力最大值是多少？最小值是多少？若三个力分别是、和，则它们的合力最大值是多少？
8、最小值是多少？【答案】 如果要求三个力或多个力的合力取值范围，可以先求出两个力的合力范围，然后拿它与第三个力进行合成，就可求出三个力的合力的范围。【例6】 右图给出了六个力，它们作用于同一点，大小已在图中标出，相邻的两个力之间的夹角均为，则这六个力的合力大小为A B C D【答案】 B5.2 力的分解 知识点睛1力的分解 定义：已知一个力求分力的过程。力的分解与力的合成互为逆运算。 运算法则：平行四边形定则或三角形定则， 由平行四边形定则可知，力的合成是唯一的，而力的分解则可能有多组解。2力的分解方法 按力的效果分解根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；再根据两个实际分力方向画出平行四边
9、形或三角形；请大家判断图甲中的重力、图乙中斧子对木头向下的力、图丙中吊灯的重力各产生什么效果。 甲 乙 丙*教师版说明： * 正交分解 力的正交分解法把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解。 用正交分解法求共点力的合力当物体受多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，用平行四边形法则求解很不方便，如果采用正交分解法求合力，计算过程就简单多了。力的正交分解法求多个共点力的合力，步骤如下：I 建立一个直角坐标系II 将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上III分别求出两个方向的合力和IV由求出总的合力。建立坐标轴的原则 以少分解力和容易分解力为原则； 尽量不分解未知力或少分解未知力。3
10、矢量和标量 矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量。 标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量。 例题精讲例题说明：例7考察力的分解的概念；例8考察力的分解的多解；例9是正交分解的基础练习，主要是为后面的内容做铺垫。由于按效果分解在解题中用的不多（基本可以用正交分解和三角形法则解决），所以这里没有专门练；另外正交分解的问题大多与后面的平衡问题结合，因此没有放过多的例题，在后面的平衡问题中还会再用到正交分解法（如例12、例13、例14）【例7】 关于力的分解，下列说法正确的是A力的分解的本质就是用同时作用于物体的几个共点力产生的效
11、果代替一个力的效果B分力大小可能大于合力大小C力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则D分解一个力往往根据它产生的效果来分解它【答案】 ABCD【例8】 在已知的一个力的分解中，下列情况具有唯一解的是A已知两个分力的方向，并且不在同一直线上 B已知一个分力的大小和方向 C已知一个分力的大小和另一个分力的方向 D已知两个分力的大小 【答案】 AB【例9】 对物体进行受力分析（涉及的各力可以自己设字母表示），建立合理的直角坐标系，并写出、方向的分力*教师版说明：这道题没有标准答案，学生可以选择不同的直角坐标系。放这个题，主要是让学生练习一下正交分解，因为后面的平衡问题，动力学问题都需要用
12、到正交分解，如果不做一下基础训练，对学生来说后面的题目跨度太大。*5.3 共点力的平衡杂技表演中经常塑造各种人体的平衡，演员需要付出长时间的艰苦训练才能达到动作完美自如的效果。这些精彩的图片体现了平衡的艺术，下面我们从物理学的角度来研究物体的平衡问题。 知识点睛1平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态2共点力作用下物体的平衡条件：物体所受合力为零，即3共点力平衡条件推论 物体在二力作用下平衡时，这两个力必等大、反向、作用在同一条直线上 物体在三力作用下平衡时，若三个力不共线，则三个力的矢量图必为一闭合三角形 物体受到多个力作用平衡时，其中任意一个力必定与余下的其它力的合力等大、反向、共线4
13、正交分解法解平衡问题正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法，其优点是不受物体所受外力多少的限制。运用正交分解，可以将物体的平衡条件表示为*教师版说明：1.由于三力汇交原理基本不会用到，所以这里没有讲。2.由于前面已经讲过正交分解法的步骤，因此没有重复用正交分解法处理平衡问题的步骤。建议老师结合例题讲解具体分析步骤。*5整体法和隔离法 以几个物体构成的整个系统为研究对象进行求解的方法为整体法。把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行受力分析，再列出方程联立求解的方法为隔离法。 通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法。有时在解答一个问
14、题时，需要交替使用整体法与隔离法。若研究对象由多个物体组成，且运动状态一致时，首先考虑用整体法，但整体法不能求解系统内力，这时需要使用隔离法。在同一题目中，常采用先整体后隔离。整体法实际上是隔离法方程的叠加，这两种方法并无神秘之处。整体与隔离的思想也是高中物理中一种重要的思想方法。*教师版说明：整体法与隔离法叙述起来比较抽象，建议老师结合后面的例题讲解方法。* 例题精讲例题说明：例10、例11主要考察“物体受到多个力作用平衡时，其中任意一个力必定与余下的其他力的合力等大反向”的推论；例12、例13、例14考察正交分解法解决平衡问题，其中例13、例14难度较大；例15、例16用正交分解处理也可以
15、，用三角形法则处理也可以，建议让学生两种方法都练习一下。老师也可以选择先讲例15、例16再讲例12、例13、例14，因为例14比较难。例17、例18考察用整体法解决平衡问题例19、例20需要综合运动整体法与隔离法，例20难度较大【例10】 如图所示，物体静止在斜面上，斜面对物体的作用力的合力方向是A沿斜面向上 B垂直斜面向上C竖直向上 D无法确定【答案】 C【例11】 如图所示，某物体在四个共点力作用下处于平衡状态，若将的方向逆时针转过而保持其大小不变，其余三个力大小和方向保持不变，则此时物体所受合力的大小为A B C D【答案】 B【例12】 如图所示，物体的重力为，当它受到一个与水平方向成
16、角的拉力时，仍静止在水平面上，求物体受到的支持力和摩擦力。【答案】 【例13】 如图所示，粗糙斜面上一物体的重力为，斜面的倾角为，当它受到一个水平方向的推力时，物体沿斜面向上做匀速直线运动，求斜面对物体的支持力，物体受到的摩擦力和物体与斜面之间的滑动摩擦因数。【答案】 【例14】 如图所示，物体质量为，靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为，若要使物体沿着墙匀速运动，则外力的大小可能是A BC D【答案】 CD【例15】 如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员与独轮车的总质量为80kg，两侧的钢索互成的夹角，求钢索所受的拉力为多大？（取）【答案】【例16】 如图所示
17、，物体处于静止状态，三条细绳的拉力之比为A B C D 【答案】 B【例17】 如图所示，三个物体静止于粗糙水平面上，已知，则地面对的摩擦力是A水平向左 B水平向右C摩擦力为零 D摩擦力不为零，但方向不能确定【答案】 C【例18】 如图所示，质量为的物体，在沿斜面向上的拉力作用下，沿质量为的斜面匀速下滑，此过程中斜面仍静止，则水平面对斜面 A有水平向左的摩擦力B无摩擦力C支持力为 D支持力小于【答案】 AD【例19】 如图所示，、两物体的重力都等于，各接触面间动摩擦因数都等于，同时有的两个水平力分别作用在和上。和均静止，则地面对和对的摩擦力分别为A6N 3N B1N 1N C0N 1N D0N
18、 2N【答案】 C【例20】 如图所示，质量为的直角三棱柱放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为。质量为的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，和都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？【答案】 目标班选讲2：摩擦角*教师版说明：摩擦角问题没有过多的新知识，只是一种处理问题的方法。这部分例题中都不涉及三力汇交的问题（这类题目比较难，技巧性强，所以回避了）；但是会涉及一点动态平衡的问题，动态平衡暑假没有讲，不过对于比较好的学生自己探究解决难度也不是很大（秋季会专门讲动态平衡问题）。介绍摩擦角主要是开拓学生思路，给学生介绍一种他们可能自己想不到的解决问题的方法。由于这部分题
19、目都回避了三力汇交问题，因此内容不是很多，老师可以灵活安排时间。*知识点睛1全反力支撑面作用于物体的沿接触面法线方向的弹力和摩擦力的合力称为支撑面对物体的全反力。2摩擦角令动摩擦因数等于某一角的正切值，即，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下），（为静摩擦因数，在一般情况下，近似认为），即全反力与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即。因此，全反力的作用线与接触面法线的夹角不能大于摩擦角，即。摩擦角可作为判断物体是否产生滑动的条件，当全反力与接触面法线夹角时，物体不会滑动。 例题精讲例题说明：这部分所选的几道例题利用正交
20、分解法都是可以做的，不需要额外超纲的知识，主要是为了让学生了解不同的思路。例1、例2利用摩擦角可以转化为动态平衡的问题，主要让学生见识一下这种解法；例3利用摩擦角表示的滑动临界条件比较简单；例4是一道比较难的题，利用全反力可以使问题变简单一些。【例1】 木箱重为，与地面间的动摩擦因数为，用斜向上的力拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图所示，求拉力的最小值。【解析】 本题是物体的平衡问题，可以用正交分解求解。也可以将摩擦力和支持力作为全反力，这样物体受重力、和全反力三个力，利用动态平衡求解计算比较简单。【答案】 【例2】 如图所示，质量为的物体恰好能在倾角为的固定斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个
21、力使物体沿斜面匀速上滑，求这个力与斜面的夹角为多大时力最小，这个力的最小值是多少。【解析】 本题可以用正交分解法列方程求解，也可以利用摩擦角，转化为动态平衡问题求解。【答案】 时最小；【例3】 在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使连杆与滑块所在平面法线的夹角小于某个值，那么无论连杆对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为“自锁”现象。求自锁时应满足什么条件。（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为）【解析】 本题可以在临界情况下，利用正交分解法求解，也可以由摩擦角的概念，根据物体滑动的临界条件求解。【答案】 【例4】 压延机由两轮
22、构成，两轮的直径均为，轮间的间隙为，两轮按反方向转动，如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为 ，求压延机能压延的铁板厚度是多少？（提示：）【解析】 本题可以正交分解列方程求解，这里介绍摩擦角的办法。铁板的、两点和铸铁轮接触，接触点与转轴连线的夹角为。在点铁板受到和两个力，在点铁板受到和两个力，如图所示。要使铁板能压延，铁板所受合力必须向右，则。铁板的最大厚度为 所以能压延的铁板厚度 【答案】*教师版说明：到这一讲为止，静力学的知识基本就介绍完了，下一讲开始是动力学。老师可以先对这一部分进行复习，并用最后一讲的复习题进行练习，也可以最后一节课集中复习。* 第一级（上）第5讲目标班教师版73
