1、广东省佛山市顺德区2020届高三第三次教学质量检测理科数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1在复平面内表示复数（1i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）2已知函数f（x）log2x+3x+b的零点在区间0，1上，则b的取值范围为（）A3，0B（，3C0，3D3，+）3设x1，x2，xn为样本数据，令f（x）=i=1n （xix）2，则f（x）的最小值点为（）A样本众数B样本中位数C样本标准差D样本平均数4在直角坐标系xOy中，动点A在抛物线y2x上，点P满足OP=2OA，则点
2、P的轨迹方程是（）Ay2xBy22xCy24xDy28x5已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）A0.75B0.6C0.52D0.486设正数m，n满足4m+9n=1，则m+n的最小值为（）A26B25C16D97已知函数f（x）（x3）21，则平面图形D内的点（m，n）满足条件：f（m）+f（n）0，且f（m）f（n）0，则D的面积为（）AB3C2D18设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为DD1的中点，M为直线BD1上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为（
3、）A63B66C34D36二、选择题：本题共2小题，每小题4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB异面B在内存在直线与直线AB相交C在内存在直线与直线AB平行D存在过直线AB的平面与垂直E存在过直线AB的平面与平行10对任意A，BR，记ABx|xAB，xAB，并称AB为集合A，B的对称差例如，若A1，2，3，B2，3，4，则AB1，4，下列命题中，为真命题的是（）A若A，BR且ABB，则AB若A，BR且AB，则ABC若A，BR且ABA，则ABD存在A，BR，使得
4、ABRARB三、填空题：本大题共5小题，每小题4分。11设f（x）lna-x2+x为奇函数，则a 12若等比数列an满足a1=12，a2a32，则a7 13已知tan=22，则cos-sincos+sin= ；cos2 14设ABC中AC1，AB2，CAB60，AB=a，BC=b，CA=c，则ab+bc+ca= 1510名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45则第二名选手的得分是 四、解答题：本大题共6小题。解答应写岀文字说明，证明过
5、程或演算步骤。16（15分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asin（A+B）csinB+C2（1）求A；（2）求sinBsinC的取值范围；（3）若ABC的面积为3，周长为8，求a17（15分）已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，ACBD2，BC1，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示（1）求AC与底面所成的角；（2）求该几何体的体积；（3）求二面角ACDB的余弦值18（15分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加
6、社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0），A（a，0），B（0，b），P为C上位于第一象限的动点，PA交
7、y轴于点E，PB交x轴于点F（1）探究四边形AEFB的面积是否为定值，说明理由；（2）当PEF的面积达到最大值时，求点P的坐标20（15分）对于函数f（x），若f（x0）x0，则称x0为f（x）的不动点设f（x）x3+ax2+bx+3（1）当a0时，（i）求f（x）的极值点；（）若存在x0既是f（x）的极值点，也是f（x）的不动点，求b的值；（2）是否存在a，b，使得f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为f（x）的不动点？说明理由21（15分）设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为n，这些三角形的个数为an（1）求数列an的通项公式；（2）在1，2，100中任取三个不同的整数，求它们可以
8、是一个三角形的三条边长的概率附：1+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)61+23+33+n3=n2(n+1)24一、选择题：本题共8小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1（1i）（a+i）a+iaii2a+1+（1a）i，其对应的点（a+1，1a）在第二象限，故1a0且a+10，即a1故选：B2因为函数f（x）log2x+3x+b的零点在区间（0，1上是单调递增，函数f（x）log2x+3x+b的零点在区间（0，1上，x0，log2x+3x，f（x）0，可得bR所以log21+31+b0，解得3b故选：D3f（x）=i=1n （xix）2=i=1n （x2
9、2xxi+xi2）nx22nx+i=1n xi2因为n0，开口向上，对称轴为x=x，故最小值点为平均数，故选：D4设P（x，y），A（a，b）点P满足OP=2OA，则：（x，y）2（a，b）所以a=12x，b=12y，代入抛物线方程，化简可得y22x，故选：B5由题意有：因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，这种元件使用到1年时还未失效的前提下，这个元件使用寿命超过2年的概率为P=0.60.8=0.75，故选：A6m，n满足4m+9n=1，则m+n（m+n）（4m+9n）13+4nm+9mn13+1225，当且仅当4nm=9mn且4m+9n=1，即m10，n15
10、时取等号，此时取得最小值25故选：B7根据题意，函数f（x）（x3）21，若f（m）+f（n）0，则有（m3）21+（n3）210，变形可得（m3）2+（n3）22，设C（3，3），则其对应的区域为圆（x3）2+（y3）22的内部，若f（m）f（n）0，则有（m3）21+（n3）2+1（mn）（m+n6）0，则有m-n0m+n6或m-n0m+n6，故区域D为如图所示的阴影区域：其面积为12（2）2；故选：A8如图，F 为底面中心，连接EF，则BD1EF，BD1平面ACE，M，N之间的最短距离即为直线BD1与平面ACE之间的距离，易知平面ACE平面BB1D1D，EF与BD1的距离即为所求，在DB
11、B1中，求得D到BD1的距离为63，EF与BD1的距离为66，故选：B二、选择题：本题共2小题，每小题4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，所以AB与平面，可能相交也可能平行，对于A，在内存在直线与直线AB异面，正确；对于B，在内存在直线与直线AB相交，如果直线AB与平面平行，则选项B不正确；对于C，在内存在直线与直线AB平行，如果直线AB与平面相交，则选项C不正确；对于D，过A作平面的垂线，此时与直线AB所在的平面与平面垂直，所以存在过直线AB的平面与垂直，所以D正确；对于E，存在过直线
12、AB的平面与平行，当直线AB与平面相交时，选项E不正确；故选：AD10对于A选项，因为ABB，所以Bx|xAB，xAB，所以AB，且B中的元素不能出现在AB中，因此A，即选项A正确；对于B选项，因为AB，所以x|xAB，xAB，即AB与AB是相同的，所以AB，即选项B正确；对于C选项，因为ABA，所以x|xAB，xABA，所以BA，即选项C错误；对于D选项，设R1，2，3，4，5，6，A1，2，3，B2，3，4，则AB1，4，RA4，5，6，RB1，5，6，所以RARB1，4，因此ABRARB，即D正确故选：ABD三、填空题：本大题共5小题，每小题4分。11依题意，f(0)=lna2=0，解得
13、a2，经验证，当a2时满足题意故答案为：212等比数列an满足a1=12，a2a32，12q12q2=2，解得q2，a7=1226=32故答案为：3213已知tan=22，则cos-sincos+sin=1-tan1+tan=322，cos2cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=13，故答案为：322；1314根据余弦定理可得BC2AC2+AB22ACABcos603，则AC2+BC2AB2，即ABC为30角的直角三角形，ab+bc+ca=23cos150+0+12cos120314，故答案为：415每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9218（分），而最后五队之间
14、赛10场，至少共得：10220（分），所以第二名的队得分至少为2045=16（分）故答案是：16四、解答题：本大题共6小题。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。16（1）ABC中，asin（A+B）csin B+C2，asin（C）csin（2-A2），asinCccosA2，由正弦定理得sinAsinCsinCcosA2，sinAcosA2，即2sinA2cosA2=cosA2；又A（0，），cosA20，2sinA2=1，即sinA2=12，A2=6，解得A=3；（2）sinBsinCsinBsin（23-B）=32sinBcosB+12sin2B=34sin2B-14cos2B+14
15、=12sin（2B-6）+14，又B（0，23），2B-6（-6，76），sin（2B-6）（-12，1，sinBsinC（0，34 ）（3）ABC的面积为3，周长为8，12bcsinA=34bc=3，bc4，a+b+c8，由余弦定理得：a2b2+c2bc，由组成方程组，可得：b2+c2+2bc=(8-a)2b2+c2=a2+4，可得：（8a）2a2+12，解得：a=13417（1）设O为BD的中点，连接CO，AO，则ACO为AC与底面所成的角，由ACBDADAB2，所以三角形ABD为正三角形，AO=3，有CO1，所以tanACO=3，ACO60，AC与底面所成的角为60；（2）由题意CBD6
16、0，故SBCD=12BCBDsin60=32，所以该几何体的体积V=13323+1323=3+36；（3）取DC的中点E，连接OE，AE，因为OCOD，所以OECD，同理AECD，则AEO为二面角ACDB 的平面角，因为OCOBBC1，所以正三角形OBC，BOC60，COD120，OCD30，所以OE=12，tanAEO23，所以cosAEO=1313，所以二面角ACDB的余弦值为131318（1）根据分层抽样法，抽样比例为n960=20+8560，n48；m48208128；（2）根据题意完善22列联表，如下； 超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K2=
17、48(208-128)2321620280.68573.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为3248=23，用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则XB（60，23），所以P（Xk）=C60k(23)k(13)60-k，k0，1，2，3，60；E（X）6023=4019（1）设P（x0，y0），四边形AEFB的面积为定值，证明如下：则PA的方程为y=y0x0+a(x+a)，可得E(0，ay0x0+a)，故|BE|=b+ay0x0+a，同理可得，|AF|=a+bx0y0+b，从而四边形AEFB的面
18、积为12|AF|BE|=12(a+bx0y0+b)(b+ay0x0+a)=122abx0y0+2ab2x0+2a2by0+2a2b2x0y0+bx0+ay0+ab=ab，所以四边形AEFB的面积为ab（2）由题设知直线AB：bx+ay+ab0，点P到AB的距离为d，则d=|bx0+ay0+ab|a2+b2，由（1）可知，当且仅当ABP的面积最大时，PEF的面积最大，所以当d取最大值时，PEF的面积最大，由于P在C上，故b2x02+a2y02=a2b2，可得2abx0y0b2x02+a2y02=a2b2，所以d=(bx0+ay0)2+aba2+b2=a2b2+2abx0y0+aba2+b2(2+
19、1)aba2+b2，当且仅当bx0=ay0=2ab2，即x0=22a，y0=22b时等号成立，所以点P的坐标为(22a，22b)20（1）当a0时，f（x）x3+bx+3，f（x）3x2+b，（i）当b0，f（x）在R单调递增，无极值点，当b0时，由f（x）0，得x=-b3或x=-b3，当x(-，-b3)(-b3+)，f（x）0，故f（x）在(-，-b3)，(-b3，+)单调递增，当x(-b3，-b3)时，f（x）0，在(-b3，-b3)单调递减，所以，x=-b3是f（x）的极大值点，x=-b3是f（x）的极小值点（）设xx0是f（x）的极值点，则由（i）可知3x02+b=0，又xx0是f（x
20、）的不动点，则x03+bx0+3=x0，所以b3，（2）不存在满足题设的a，b，证明如下：假设存在满足题设的a，b，设x1，x2为f（x）的两个极值点，且为f（x）的不动点，并不妨设x1x2，由于f（x）3x2+2ax+b，所以x1，x2为方程3x2+2ax+b0的两个根，当x（x1，x2）时，f（x）0，可知f（x）在（x1，x2）上单调递减，故f（x1）f（x2），又x1，x2为f（x）的不动点，所以f（x1）x1x2f（x2），即f（x1）f（x2），矛盾，所以不存在满足题设的a，b21（1）设x，y，n为满足题意的三角形的边长，不妨设xyn，则x+yn由题意知：a1a2a30，当n4时
21、，且n为偶数时，若yn2，z不存在，若y=n2+1，r=n2，若y=n2+2，r=n2-1，n2，n2+1，若yn1，z2，3，n2，所以：an1+3+（n3）=(n-2)24当n4时，且n为奇数时，可得：an=2+4+(n-3)=(n-1)(n-3)4，所以数列an的通项公式为an=0(n=1，2，3)(n-2)24(n4，且n为偶数)(n-1)(n-3)4(n4，且n为奇数)（2）根据求和公式S100=14(22+42+982)+14(24+46+9698)，（12+22+32+492）+12+22+482+（1+2+3+48），=4950996+4849966+49482，=49501956所求的概率为S100C1003=6513211
