1、对数及其运算第6讲满分晋级 函数7级对数函数函数6级对数及其运算函数5级指数与指数函数新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用换底公式知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第2题 5分第13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题 5分对数对于我们
2、来说是一个比较新的运算，在初中、小学都没涉及过.指数以前算是接触，只不过当时没有规定具体的名字，但至少我们知道，怎么算！对数对大家而言是个比较陌生的运算.所以，在对数学习的初期，要克服自己的心理障碍，不要看到它就烦.首先看到它要热爱它，如果热爱它做不到，那就做到不排斥它.下面我们来具体看一下对数的相关概念：6.1对数的相关概念考点1：指数式与对数式的互化知识点睛到底什么是对数呢？其实对数式与指数式是相生相伴的.比如我们知道指数式，那问你等于多少？等于多少？这些我们可能都会算，我们把这种运算就叫做指数运算.但是，现在出现另外一种运算，比如问你等于，等于，这些可能我们还会算，但是若问你等于，这个我
3、们就不知道了，那我们就把这种求指数的运算叫做对数运算.事实上，在数学历史上，对数先于指数，对数是先出现的.对数产生的背景是在当时航海和天文要求庞大的计算基础上产生的，当时有一个很出名的书叫常用对数表，这个小册子当时在欧洲连续年销量第一.那对数的概念到底是什么呢？我们怎么运算呢？下面我们就来看一下对数的概念：1.对数的概念：一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数对数真数【教师备案】常用符号“”是拉丁字的缩写由于正数的任何次幂都是正数，即，故，因此对数符号 （且）只有 时才有意义，例如：，无意义对数式是指数式的另一种表
4、达形式，其本质相同，对数式中的真数就是指数式中的幂，而对数式中的是指数式中的指数，利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题如：，就相当于；，就相当于；，就相当于；，就相当于；，就相当于.在我们刚刚讲的对数中，底都是以等为底的，如果是以为底的，那应该怎么写呢？是吗？下面我们就来看一下常用的对数和自然对数：2.常用对数与自然对数对数（且），当底数 时，叫做常用对数，记做；如：就是代表，所以我们很快能够算出；或者就是代表，所以我们依然很快算出另外，我们在初中学过一个无理数，那高中阶段我们依然要介绍一个无理数，下面我们就来看一下
5、这个无理数：时，叫做自然对数，记做（为无理数，）【的奥秘】是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉（）的英文首字母.欧拉首先发现此数并称之为自然数.但是，这种所谓的自然数与常见正整数截然不同.确切地讲，应称为“自然对数的底数”.无理数值是无限增大时，的极限.通常书写为或.欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数，而指数函数可写为：，当时，有.理解了牛顿和莱布尼茨的微积分后，就会更明白的奥秘.这个问题等上高二以后再详细说明.另外，初中我们学了一个无理数，现在又学了一个无理数，等到高二我们还会学一个复数，这三者均为数学上至关重要的数，且三者之间还有一种密切的关系：.这个式子也被称为数学史上最漂亮的
6、式子之一.因为数学上最重要的个数都在其中（）.【教师备案】老师在讲完自然对数以后，只需让学生知道是无理数；.【教师备案】老师在讲完对数的概念和常用对数与自然对数以后就可以让学生做例1和例2.例1主要是将指对进行互化；例2主要就是求值，在刚开始对数求值时，我们主要讲对数转换为指数的形式.经典精讲【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 ； ； ； ； ； 【解析】 ；【例2】 求下列各式中的值 ； ； ； 【解析】 ；对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过
7、来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到解决在指数中我们发现有一些恒等式，比如：.那在对数中有没有一些恒等式呢？如果有那应该是什么呢？对数又有什么样的性质呢？下面我们就来看一下对数恒等式和它的性质：考点2：对数恒等式及对数性质知识点睛1.对数恒等式根据对数的定义，可以得到下面的对数恒等式：【证明过程】设，则，两边同时取以为底的指数，得：，又，【教师备案】例如：，注意:当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式才适用2.根据对数的定义，对数（且）具有下列性质： 零和负数没有对数，即； 1的对数为零，即； 底的对数等于1，即【教师备案】老师在讲完对数恒等式以后就可以让学生
8、做例3，例3主要是考察对数恒等式和性质.学生应该很轻松的就能够做完.经典精讲【例3】 下列等式中正确的是（ ）A B C D 求下列各值： ; ; ; ; ; ； ; ; .【解析】 D ; ； ; ；; ；.已知，求实数的值【解析】 【易错分析】错解：由对数的性质可得： 解得：或错解分析：对数的底数和真数必须大于且底数不等于，这点在解题中忽略了在上一讲我们讲了指数的运算法则，如，等，那对数有什么样的运算法则呢？下面我们就来看一下对数的运算法则：6.2对数的运算考点3：对数的运算性质知识点睛对数的运算性质：如果，且，那么：【性质引入】在17世纪，没有计算机，需要大量运算，不管你是天文学家，还是
9、什么学家，把时间花在大量的计算上都不好.下面我们来做一个简单的对数表：比如，你要算，即 ；（积的对数等于对数的和）推广【推导过程】设，根据对数的定义，可得，由， ；（商的对数等于对数的差）【推导过程】设，根据对数的定义，可得，由，【性质引入】有人说，对数的发明极大地延长了数学家，航海家，天文学家的寿命.并且伽利略说：“如果给我时间，空间和对数，我将创造这个宇宙”.为什么伽利略这么说？主要是因 为对数能够将乘除运算转化为加减运算，从而减少运算量.比如：，等，自变量扩大倍，函数值才往上爬一格. （幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）【推导过程】设，根据对数的定义，可得， ，【教师备案】对数表的强大作
10、用在于它能在那个时代去化简运算.比如：，它可以把极大地式子化简为小的式子.所以，对运算我们也是有优先级的.比如加、减、乘、除、指数就是一个优先级逐渐升高的过程；或者我们必修还会讲到算法，对算法中我们也有时间的运算级，这里可以给学生简单介绍一下，比如：表示个数算次，个数算次，数越大算的花的时间越长；表示个数算次，个数算次，数越大，你心里越难承受.很多算法是这个级别，比如排序算法.那最优秀的级别是什么呢？是，表示个数算1次，个数算次，效率非常高.最烂的级别是什么呢？是，我们前面也讲过指数爆炸，指数级别的增长速度很快.【教师备案】这些运算法则的意义在于可以把大的式子化成小的式子运算.如： ； ； ；
11、 ；与互为相反数【教师备案】老师在讲完对数的运算法则以后，就可以让学生做例4，例4主要是锻炼学生的运算法则.经典精讲【例4】 用，表示下列各式 _； _； _； _计算下列各式 _； _； _； _； _； _【解析】 ； ； ； ； ； ； ； ；在实际应用中，如果不用对数表，如何求对数呢？例如，已知，如何求？我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算.设，写成指数形式，得，两边取常用对数，得.所以，即.所以，我们发现上面的求解关键是将以为底的对数用以为底的对数来表示.那到底什么情况下用换底呢？怎么用换底呢？换底公式是什么呢？下面我们一起来看一下换底公式：考点4：换底公式知识点睛1.换底公式
12、：（）【证明过程】在高中，以上都是代数证明，不像初中，几何证明居多，在高中你要学的几何主要有两大分支，就是解析几何和立体几何.解析几何就是用解析式能表达出来的，解析几何基本上都是运算.立体几何到最后要学空间向量，空间向量里主要也是运算，纯粹几何很少，纯粹几何只是在几何证明选讲里，在高考中只占分，所以高中都是代数.法一：根据指数的运算性质推导设，则两边取以为底的对数，得，所以，即法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：，所以有【作用】数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，这样只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.但是，从对数的定义可以知道，任意不
13、等于的正数都可以作为对数的底数，因此必须转换为以或为底的对数，在这样的实际背景下出现了换底公式.因此可以用换底公式将以任意不等于的正数作为底数的对数，转换为常用对数或自然对数.再就是，计算器或计算机上能够计算的对数都是常用对数或自然对数，这就更有必要学习换底公式.换底公式还能帮助我们简化有关对数的运算.例如：.2.换底公式的几个基本使用【引入】换底公式比较有意思的地方在于换谁为底.比如：我们上边讲的用换底公式可以写成很多个，但是若我们取以为底，则，那这个式子就比较有意思了.我们会发现，所以引申出下边的：【注意】区别“与”和“与”： ；【教师备案】这是个自然推论，从形式相当于把和中的约掉了，和
14、一样.如：【证明过程】【注意】“”和“” 例：；【教师备案】老师在讲完换底公式和换底公式的基本使用以后就可以让学生做例，例主要是用换底公式进行计算.经典精讲【例5】 计算下列各式_；_； _； _.【解析】 ； 一个东西单位不一样，我们对他的感觉就不一样，比如你们还有多个星期就要高考了，暑期过完就剩个星期了，要说还有年高考好像很长时间，要说暑期好像就很快.再比如，一个重的人是不是就是半吨，一个人重半吨就很肥，这人一定巨肥.下面我们就来看一下换底公式的应用，老师可以用下面的式子给学生讲解，讲完之后就可以让学生做例，例主要是换底公式的灵活应用.例：已知，请用表示【解析】 法一： 这种方法叫先拆真数
15、，再拆底数.在对数中能拆的只有分数，所以对于拆底数的方法也叫取倒数，把底数转化为真数. 法二：条件给的底是，结论中的底是，要想换成底为【例6】 已知，那么_（用表示）；，那么_（用，表示）；已知，则_（用，表示）；【解析】 到这时，我们已经把对数及其运算全部讲完了.但因为对数是学生新接触的一个东西，而且很多高三的学生最后复习时总是对“对数”产生很陌生的感觉，所以我们一定要让学生在这时熟练掌握，那就可以让学生做【挑战五分钟】【挑战五分钟】求值：；若，则_（用表示）；已知，则_.【解析】 ；实战演练 【演练1】已知，那么等于（ ）ABCD【解析】 C【演练2】已知，则等于（ ）ABCD【解析】 D【演练3】已知 ，则 【解析】【演练4】已知，则用表示，表达式为 已知且，则等于（ ）A B C D【解析】 A【演练5】 _; _【解析】 概念要点回顾如果，且，那么：_；_；_；_；_；_；_.答案：；83第6讲教师版
