1、高效提分 源于优学 第01讲 三角形的证明 温故知新三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。注意：在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。符号语言：已知ABC与DEF的三条边对应相等。在ABC与DEF中，ABCDEF（SSS）（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。注意：用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 在书写两个三角形全等的条件“ASA”时
2、，一般把夹边相等写在中间的位置。符号语言：已知D=E，ADAE，BADCAE求证：ABDACE证明：在ABD和ACE中，D=EAD=AEBADCAEABDACE（ASA）（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,C=B求证：ACDABE证明：在ACD和ABE中C=BA=ADC=EBACDABE（AAS）注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号
3、语言：在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）注意：应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 符号语言：在RtABC与RtDEF中， ABC=DEF=90，RtABCRtDEF（HL）注意：应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。 课堂导入知识要点一 等腰三角形1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的
4、对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 典例分析例1、等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70【解答】选B例2、如图在等腰ABC中，其中AB=AC，A=4
5、0，P是ABC内一点，且1=2，则BPC等于（）A110 B120 C130 D140【解答】A=40，ACB+ABC=18040=140，又ABC=ACB，1=2，PBA=PCB，1+ABP=PCB+2=140=70，BPC=18070=110故选A例3、如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44 B66 C88 D92【解答】PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D例4、如图，在ABC中
6、，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=5【解答】过A作AFBC于F，AB=AC，BF=CF=BC，AB的垂直平分线交AB于点E，BD=AD=4，设DF=x，BF=4+x，AF2=AB2BF2=AD2DF2，即16x2=36（4+x）2，x=0.5，DF=0.5，CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5，故答案为：5举一反三1、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，BAD=35，则C的度数为55【解答】AB=AC，D为BC中点，AD是BAC的平分线，B=C，BAD=35，BAC=2BAD=70，C=（18070）=5
7、5故答案为：552、在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8【解答】BD是等腰ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，可知分为两种情况AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21x=215=16；AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰ABC的三边分别为14，14，8经验证，这两种情况都是成立的这个三角形的底边长为8或16故答案为：16或83、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC求证：ABC是等腰三角形【解答】证明：锐角三
8、角形的两条高BD、CE相交于点O，OEB=ODC=90，EOB=DOC，EBO=DCO，又OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形知识要点二直角三角形1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。5、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个
9、命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。6、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。典例分析例1、如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，如果A=50，则DCB=（）A50 B45 C40 D25【解答】在ABC中，ACB=90，A=50， B=40，CD是AB边上的高，CDB=90，DCB=50，故选A例2、具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（）AA+B=C
10、BAB=CCA：B：C=1：2：3 DA=B=3C【解答】选：D例3、如图，已知在ABC中，ACB=90，CD为高，且CD，CE三等分ACB（1）求B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB【解答】（1）在 ABC中， ACB=90，CD，CE三等分 ACB，ACD=DCE=BCE=30，则BCD=60，又CD为高，B=9060=30（2）证明：由（1）知，B=BCE=30，则CE=BE，AC=ABACB=90，B=30，A=60，又由（1）知，ACD=DCE=30，ACE=A=60，ACE是等边三角形，AC=AE=EC=AB，AE=BE，即点E是AB的中点CE是AB边上的中线，
11、且CE=AB例4、如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MNBD【解答】（1）ABC=ADC=90，M是AC的中点，BM=AC，DM=AC，DM=BM；（2）由（1）可知DM=BM，N是BD的中点，MNBD举一反三1如图，在ABC中，C=90，点E是AC上的点，且1=2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A3cm B4cm C6cm D9cm【解答】解：DE垂直平分AB，AE=BE，2=A，1=2，A=1=2，C=90，A=1=2=30，1=2，EDAB，C=90，CE=DE=3cm，在RtADE
12、中，ADE=90，A=30，AE=2DE=6cm，故选C2如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5 B C D2【解答】解：如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中点，CH=AF=2=故选：B3如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，则PD的长为2【解答】解：过P作PEOB，交OB与点E，AOP=BOP，PDOA，PEOB，PD=PE，PCOA，CPO=POD，又AOP=BO
13、P=15，CPO=BOP=15，又ECP为OCP的外角，ECP=COP+CPO=30，在直角三角形CEP中，ECP=30，PC=4，PE=PC=2，则PD=PE=2故答案为：24在ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则ABC的面积为7【解答】解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，CD=3，AB=6，AD=DB=3，CD=AD=DB，1=2，3=4，1+2+3+4=180，1+3=90，ABC是直角三角形，AC2+BC2=AB2=36，又AC+BC=8，AC2+2ACBC+BC2=64，2ACBC=64（AC2+BC2）=6436=28，又SABC=ACBC，SAB
14、C=75如图，等腰ABC中，AB=AC=10，B=15，则SABC=25【解答】解：如图，过点C作CDBA的延长线于点D，AB=AC，B=15，C=15，CAD=B+C=15+15=30，CD=AC=10=5，SABC=ABCD=105=25故答案为：256如图，在ACB中，ACB=90，CDAB于D（1）求证：ACD=B；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEF=CFE【解答】证明：（1）ACB=90，CDAB于D，ACD+BCD=90，B+BCD=90，ACD=B；（2）在RtAFC中，CFA=90CAF，同理在RtAED中，AED=90DAE又AF平分CAB，CAF=
15、DAE，AED=CFE，又CEF=AED，CEF=CFE知识要点三垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质：
16、性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。典例分析例1、如图，ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则BDC的周长是（）A8 B9C10 D11【解答】故选C例2、如图，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF若A=60，ABD=24，则ACF的度数为（）A48 B36C30 D24【解答】选A例3、如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）若A=40，求DBC的度数；（3）若AE=6，CBD的周长为20，求ABC的周长【解答】（1）
17、证明：AB的垂直平分线MN交AC于点D，DB=DA，ABD是等腰三角形；（2） ABD是等腰三角形，A=40， ABD= A=40，ABC=C=（18040）2=70DBC=ABCABD=7040=30；（3）AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，AB=2AE=12，CBD的周长为20，AC+BC=20，ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32例4、如图，ABC中，ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E求证：直线AD是线段CE的垂直平分线【解答】证明：DEAB， AED=90=ACB，又AD平分BAC，DAE=DAC，AD=AD， AED ACD，AE=AC，AD平分BAC，
18、ADCE，即直线AD是线段CE的垂直平分线举一反三1已知P为ABC三边垂直平分线的交点，且BAC=40，则BPC=（）A70 B80 C120 D110【解答】解：P为ABC三边垂直平分线的交点，点P是ABC的外心，由圆周角定理得，BPC=2BAC=80，故选：B2如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60 C55 D45【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCA
19、D=65，故选A3如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，DE=2，AC=3，则ADC的面积是（）A3 B4 C5 D6【解答】解：如图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，DE=DF=2SACD=ACDF=32=3，故选A4如图，O是RtABC的角平分线的交点，ODAC，AC=5，BC=12，OD等于（）A2 B3 C1 D1【解答】解：作OEAC于E，OFAB于F，在RtABC中，AC=5，BC=12，由勾股定理得，AB=13，O是RtABC的角平分线的交点，ODAC，ODBC于D，又OEAC，OFAB，OD=OE=OF，ACBC=ACOE+
20、BCOD+ABOF，解得，OD=2，故选：A5如图所示，ABC中，A=90，BD是角平分线，DEBC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为4cm【解答】解：A=90，BD是角平分线，DEBC，DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）AD=ACCD=106=4cm，DE=4cm故填46如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD=4【解答】解：如图，过点D作DEAB于E，C=90，BD是角平分线，DE=CD，在RtBCD和RtBED中，RtBCDRtBED（HL），BC=BE，C=90，AC=BC，A=45，ADE是等腰直角三角形，AE
21、=DE，BE+AE=AB，BC+CD=AB，AB=4，BC+CD=4故答案为：47在ABC中，B=22.5，C=30，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD（1）求DAC的度数；（2）若AC=4cm，求ABC的面积（结果保留根号）【解答】解：（1）OD是AB的垂直平分线；AD=BD，B=BAD=22.50，ADC=45，A=30，DAC=105；（2）过A点作AEBC于点E，则AE=DE，在RtACE中，AC=4，AE=2，EC=2，DE=2，在RtAED中，AD=2，AD=BD=2，BC=2+2+2SABC=（）=（） 课堂闯关初出茅庐1、如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，
22、则下列结论不一定成立的是（）AAD=BD BBD=CDC1=2 DB=C【解答】选A2、如图，RtABC中，ACB=90，A=55，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=（）A40 B30 C20 D10【解答】选：C3、下列说法中，正确的是（）A直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2b2=c2C以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形DABC中，若A：B：C=1：5：6，则ABC是直角三角形【解答】故选D4、如图，ABC中，ACB=90，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A=25，则BDC等
23、于（）A44 B60 C67 D70【解答】故选D5、RtABC中，C=90，B=54，则A的度数是（）A66 B36 C56 D46【解答】故选：B6、如图，ABCE，BF交CE于点D，DE=DF，F=20，则B的度数为40【解答】DE=DF，F=20，E=F=20，CDF=E+F=40，ABCE，B=CDF=40，故答案为：407、如图，在ABC中，已知BAC=90，ADBC，AD与ABC的平分线交于点E，试说明AEF是等腰三角形的理由【解答】BF平分ABC，ABF=DBF，又BAC=90，ADBC，AFE=90ABF，DEB=90DBF，AFE=DEB，又DEB=AEF，AEF=AFE，
24、AEF是等腰三角形优学学霸8、如图：已知AB=AE，BC=ED，B=E，AFCD，F为垂足，求证：AC=AD； CF=DF【解答】证明：AB=AE，BC=ED，B=E，ABCAED（SAS），AC=AD，AFCD，AC=AD，CF=FD（三线合一性质）9、如图，AD平分BAC，BDAD，DEAC，求证：BDE是等腰三角形【解答】证明：AD平分BAC，EAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，EAD=ADE，BDADADE+BDE=90，EAD+B=90，BDE=B，BE=DE，BDE是等腰三角形10如图，在ABC中，AC=BC=2，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，AD的垂
25、直平分线交AB于点E，则DEF的面积为64【解答】解：AD是ABC的角平分线，ACB=90，DEAB，CAD=EAD，DE=CD，AE=AC=2，AD的垂直平分线交AB于点E，AF=DF，ADF=EAD，ADF=CAD，ACDE，BDE=C=90，BDF、BED是等腰直角三角形，设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2x，在RtBED中，DE2+BE2=BD2，x2+x2=（2x）2，解得x1=22（负值舍去），x2=2+2，DEF的面积为（2+2）（2+2）2=64故答案为：64 考场直播1、如图，在ABC中，ABC=ACB=72，BD、CE分别是ABC和ACB的平分线，它们的交点为F，
26、则图中等腰三角形有8个【解答】由题意可得：ABD=DBC=ECB=ACE=A=36，ABC=ACB=CDB=CFD=BFE=BEF=72ABC，ABD，ACE，BEF，CDF，BCF，BCE，BCD均为等腰三角形，题中共有8个等腰三角形故填82、如图，已知：AD平分CAE，ADBC（1）求证：ABC是等腰三角形（2）当CAE等于多少度时ABC是等边三角形？证明你的结论【解答】（1）证明：AD平分CAE，EAD=CAD，ADBC，EAD=B，CAD=C，B=C，AB=AC故ABC是等腰三角形（2）当CAE=120时ABC是等边三角形CAE=120，AD平分CAE，EAD=CAD=60，ADBC，
27、EAD=B=60，CAD=C=60，B=C=60，ABC是等边三角形 自我挑战1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A12 B9 C12或9 D9或7【解答】故选：A2、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若E=35，则BAC的度数为（ ）A40 B45 C60 D70【解答】故选：A3、如图，ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则B=（）A30 B36 C45 D50【解答】AB=AC，B=C，CD=DA，C=DAC，BA=BD，BDA=BAD=2C=2B，又B+BAD+BDA=180，5B=1
28、80，B=36，故选B4、下列说法中，正确的有（）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形三边分别是1，3的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形A1个 B2个 C3个 D4个【解答】故选C5、如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，A=35，则D等于（）A50 B65 C55 D70【解答】连DA，如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，DA=DB，DB=DC，即DA=DB=DC，点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，BDC=2BAC=235=70故选D6、如图所示，在ABC中，DE是AC的中垂
29、线，AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长是19cm【解答】ABC中，DE是AC的中垂线，AD=CD，AE=CE=AC=3cm，ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 则ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 把代入得ABC的周长=13+6=19cm故答案为：197、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PEAB于点E若PE=3，则点P到AD的距离为3【解答】作PFAD于D，如图，四边形ABCD为菱形，AC平分BAD，PEAB，PFAD，PF=PE=3，即点P到AD的距离为3故答案为：38、如图，ACBD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，A=48
30、，D=66【解答】OA=AC，ACO=AOC=（180A）=（18048）=66ACBD，D=C=66故答案为：669、如图，将ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C处，且C=2CBD，已知A=36（1）求BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）【解答】由折叠的性质可得：CBD=CBD，ABC=2CBD，C=2CBD，C=ABC，ABC中，A=22，C=ABC=72，CBD=36，BDC=180336=72（2）C=ABC=BDC=BDC=BCD=72，AB=AC，BC=BD=BC，ABC，BCD，BCD是等腰三角形，ABC=BDC=BDC=BCD=72，ABD=ADC=A=36，AD=BD，AC=DC，ABD，ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC，ABD，BCD，BDC，ADC，
