1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第09讲- 圆周角和圆心角的关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 明确圆周角定义，掌握圆周角定理及4个相关推论的内容； 通过练习总结解题经验，掌握两周常用辅助线的应用条件； 理解确定圆条件的意义，并能用相关定理解释； 掌握三角形外接圆圆心的确定及不同三角形中外接圆圆心的位置。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角注意：圆周角必须满足
2、两个条件：定点在圆上角的两条边都与圆相交，二者缺一不可2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（二）常用解题思路在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构造同弧所对的圆周角和圆心角，这两种基本技能技巧一定要掌握注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”-圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错
3、当成同一条弧所对的圆周角和圆心角（三）圆内接四边形1、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补（四）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三
4、点能画且只能画一个圆 （五）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心注意：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个考点一： 圆周角的定义与圆周角定理例1、请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半【解析】如图（1），当点O在BAC
5、的一边上时，OA=OC，A=C，BOC=A+C，BAC=BOC；如图（2）当圆心O在BAC的内部时，延长BO交O于点D，连接CD，则D=A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），OC=OD，D=OCD，BOC=D+OCD，BOC=2A，即BAC=BOC如图（3），当圆心O在BAC的外部时延长BO交O于点E，连接CE，则E=A，OC=OE，E=OCE，BOC=E+OCE，BOC=2A，即BAC=BOC例2、如图，在O中，直径CD垂直于弦AB，若C=25，则BOD的度数是（）A25 B30 C40 D50【解析】D例3、如图将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，APB的度数（）A45
6、B30 C75 D60【解析】作半径OCAB于D，连结OA、OB， 将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，OD=CD，OD=OC=OA，OAD=30，又OA=OB，CBA=30，AOB=120，APB=AOB=60故选D例4、如图，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A60 B120 C60或120 D30或150 【解析】作ODAB，点P是弦AB上的动点，且1OP2，OD=1，OAB=30，AOB=120，AEB=AOB=60，E+F=180，F=120，即弦AB所对的圆周角的度数为60或120故选C考点二： 圆周角定理的推论例1、如
7、图，已知经过原点的P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则ACB=（）A80 B90 C100 D无法确定【解析】AOB与ACB是优弧AB所对的圆周角，AOB=ACB，ACB=90故选B例2、如图，以ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=（1）试判断ABC的形状，并说明理由（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sinABD的值【解析】（1）ABC为等腰三角形理由如下：连结AE，如图，=，DAE=BAE，即AE平分BAC，AB为直径，AEB=90，AEBC，ABC为等腰三角形；（2）ABC为等腰三角形，AEBC，BE=CE=BC=12=6，在R
8、tABE中，AB=10，BE=6，AE=8，AB为直径，ADB=90，AEBC=BDAC，BD=，在RtABD中，AB=10，BD=，AD=，sinABD=考点三： 圆内接四边形例1、 如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角DCE=64，那么BOD=（）A128 B100 C64 D32【解析】A例2、如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若BOD=88，则BCD的度数是（）A88 B92 C106 D136【解析】D考点四：确定圆的条件、三角形的外接圆与外心 例1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是
9、（）A第块 B第块 C第块 D第块【解析】B例2、 如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A（6，8） B（4，5） C（4，） D（4，）【解析】P经过点A、B、C，点P在线段AB的垂直平分线上，点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PEOB于E，PFOC与F，由题意得，=，解得，y=，故选：C例3、若点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，则ABC的面积为（）A2+ BC2+或2 D4+2或2【解析】由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当ABC为A1BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外
10、心，且BOC=60，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，=2，当ABC为A2BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，SA2BC=2+，由上可得，ABC的面积为或2+，故选CP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，圆O是ABC的外接圆，A=68，则OBC的大小是（）A22 B26 C32 D68【解析】A 第1题 第2题2、如图，ABC内接于O，OBC=40，则A的度
11、数为（）A80 B100 C110 D130【解析】D3、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD若DOB=140，则ACD=（）A20 B30 C40 D70【解析】A4、点O是ABC的外心，若BOC=80，则BAC的度数为（）A40 B100 C40或140 D40或100【解析】C5、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是平行四边形，则ADC的大小为（）A45 B50 C60 D75【解析】C6、如图，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A当弦PB最长时，APC是等腰三角形B当APC是等腰三角形时，POACC当POA
12、C时，ACP=30D当ACP=30时，BPC是直角三角形【解析】A、如图1，当弦PB最长时，PB为O的直径，则BAP=90ABC是等边三角形，BAC=ABC=60，AB=BC=CA，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，BP是直径，BPAC，ABP=CBP=ABC=30，AP=CP，APC是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意；B、当APC是等腰三角形时，分三种情况：如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以POAC，正确；如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以POAC，正确；如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以POAC，正确；
13、故本选项正确，不符合题意；C、当POAC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合如果点P在图1中的位置，ACP=30；如果点P在B点的位置，ACP=60；故本选项错误，符合题意；D、当ACP=30时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3如果点P在P1的位置，BCP1=BCA+ACP1=60+30=90，BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，ACP2=30，ABP2=ACP2=30，CBP2=ABC+ABP2=60+30=90，BP2C是直角三角形；故本选项正确，不符合题意故选：C7、如图，在ABC中，AB=AC，A=30，以AB为直径的
14、O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连结OP（1）求证：BD=DC； （2）求BOP的度数【解析】（1）证明：连结AD，如图，AB为O的直径，ADB=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD；（2）解：BAC=30，AB=AC，ABC=（18030）=75，四边形ABDE为圆O的内接四边形，EDC=BAC=30，BPDE，PBC=EDC=30，OBP=ABCPBC=45，OB=OP，OBP为等腰直角三角形，BOP=90 课后反击1、如图A，B，C是O上的三个点，若AOC=100，则ABC等于（）A50 B80 C100 D130【解析】D2、如图，一只花
15、猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）AABC的三边高线的交点P处 BABC的三角平分线的交点P处CABC的三边中线的交点P处 DABC的三边中垂线的交点P处【解析】D3、下列命题正确的个数有（）过两点可以作无数个圆； 经过三点一定可以作圆；任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆； 任意一个圆有且只有一个内接三角形A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确，故选B4、如图，四边形ABCD内接于O，已知ADC=140，则AOC的大小是（）A80 B100 C60 D40【解析】A5、如图，已知O的半径
16、为5，锐角ABC内接于O，BDAC于点D，AB=8，则tanCBD的值等于（）A B C D【解析】过B作O的直径BM，连接AM；则有：MAB=CDB=90，M=C；MBA=CBD；过O作OEAB于E；RtOEB中，BE=AB=4，OB=5；由勾股定理，得：OE=3；tanMBA=；因此tanCBD=tanMBA=，故选D6、将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A3 B8 C D2【解析】连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于CBD，又所对的圆周角是CBA，CBD=CBA，AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；CAD是等腰三角形；过C作CEAB
17、于EAD=4，则AE=DE=2；BE=BD+DE=7；在RtACB中，CEAB，根据射影定理，得：BC2=BEAB=79=63；故BC=3故选A7、如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE（1）求BE的长；（2）求ACD外接圆的半径【解析】（1）ACB=90，且ACB为圆O的圆周角，AD为圆O的直径，AED=90，又AD是ABC的角平分线，CAD=EAD，CD=DE，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），AC=AE；ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，根据勾股定理得：AB=13
18、，BE=13AC=135=8；（2）由（1）得到AED=90，则有BED=90，设CD=DE=x，则DB=BCCD=12x，EB=ABAE=ABAC=135=8，在RtBED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12x）2=x2+82，解得：x=，CD=，又AC=5，ACD为直角三角形，根据勾股定理得：AD=，根据AD是ACD外接圆直径，ACD外接圆的半径为：=直击中考1、【2015巴中】如图，在O中，弦AC半径OB，BOC=50，则OAB的度数为（）A25 B50 C60 D30【解析】A2、【2015荆州】如图，A，B，C是O上三点，ACB=25，则BAO的度数是（）A55 B6
19、0 C65 D70【解析】C3、【2015深圳】如图，AB为O直径，已知DCB=20，则DBA为（ ） A50 B20 C60 D70【解析】D4、【2012深圳】如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，BMO=120，则C的半径长为（ ）A6 B5 C3 D3【解析】C5、【2015深圳】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相
20、切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE 【解析】（1）由题意可得：BO=4cm，t=2（s）；（2）如图2，连接O与切点H，则OHAC，又A=45，AO=OH=3cm，AD=AODO=（33）cm；（3）证明：如图3，连接EF，OD=OF，ODF=OFD，DE为直径，ODF+DEF=90，DEC=DEF+CEF=90，CEF=ODF=OFD=CFG，又FCG=ECF，CFGCEF，=，CF2=CGCE6、【2016株洲】已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且AEF为等边三角形（1）求证：DFB是等腰三角形；
21、（2）若DA=AF，求证：CFAB【解析】（1）AB是O直径，ACB=90，AEF为等边三角形，CAB=EFA=60，B=30，EFA=B+FDB，B=FDB=30，DFB是等腰三角形；（2）过点A作AMDF于点M，设AF=2a，AEF是等边三角形，FM=EM=a，AM=a，在RtDAM中，AD=AF=2a，AM=，DM=5a，DF=BF=6a，AB=AF+BF=8a，在RtABC中，B=30，ACB=90，AC=4a，AE=EF=AF=2a，CE=ACAE=2a，ECF=EFC，AEF=ECF+EFC=60，CFE=30，AFC=AFE+EFC=60+30=90，CFABS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 圆周角的定义、圆周角定理及其推论内容及常作辅助线2、 圆的内接四边形的对角互补3、 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆4、 圆的外接圆与外心锐角、直角、钝角三角形的外心，外心的确定名师点拨 本节性质定理内容较多，但整体难度不大，也是中考的重点内容。在做练习前应先熟练理解并记忆，以提高解题速度。另外通过不断练习，注意总结出常作辅助线的应用背景。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15
