1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第05讲-两条直线的位置关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角，理解其性质并会运用解决实际问题； 理解两条直线互相垂直的含义，掌握垂线的性质； 逐渐建立发展空间观念、推理能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念（一）相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角
2、的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。3、互补与互余互补：如果两个角的和是180，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角，也称互余。性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。（二） 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“”表示两条直线互相垂直。如下图，直线AB与直线CD垂直，记作ABCD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90的角）可以得到两条直线垂直；
3、另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。（三）平行线1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。表示方法：我们通常用“”表示平行，如下图所示，AB与CD平行，记作ABCD或CDAB。平行线：在同一个平面内；两条直线；不相交。三者缺一不可。典例分析 考点一： 相交线、对顶角、余角补角例1
4、、同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（） A0个或1个 B1个或2个 C2个或3个 D0个或1个或2个或3个 【解析】D例2、已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成 个区域【解析】1条直线，将平面分为两个区域； 2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域； 3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域； 4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域；n条直线，与之前n1条直线均相交，增加n1个交点，增加n个平面区域；所以n条直线分平面的总数为2+
5、（2+3+4+5+6+7+8+n）=1+（1+2+3+4+5+6+7+8+n）=1+，把n=10代入得有56个区域例3、下列说法正确的个数是（） 连接两点的线中以线段最短； 两条直线相交，有且只有一个交点； 若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合； 若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线A1 B2 C3D4 【解析】D例4、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，EOC：EOD=2：3，则BOD=（）A30 B36 C45 D72【解析】EOC：EOD=2：3EOC=180=72OA平分EOCAOC=EOC=72=36BOD=AOC=36 例5、在平面内，若两条直线的最多交点数记为
6、a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，依此类推，则=【解析】2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；n条直线相交有1+2+3+n1=则=+=2（1）+（）+（）+（）+（）=2（1）=故答案是：例6、如图，直线AB与CD相交于点O，AOM=90（1）如图1，若OC平分AOM，求AOD的度数；（2）如图2，若BOC=4NOB，且OM平分NOC，求MON的度数【解析】解（1）AOM=90，OC平分AOMAOC=AOM=90=45AOC+AOD=180A
7、OD=180AOC=18045=135即AOD的度数为135（2）BOC=4NOB设NOB=x，BOC=4xCON=COBBON=4xx=3xOM平分CONCOM=MON=CON=xBOM=x+x=90x=36MON=x=36=54即MON的度数为54考点二：垂直例1、已知的两边分别与的两边垂直，且=20，则的度数为（）A20 B160 C20或160 D70【解析】的两边与的两边分别垂直+=180故=160在上述情况下，若反向延长的一边，那么的补角的两边也与的两边互相垂直故此时=18020=160综上可知：=20或160，故选：C例2、已知：如图，ABCD于O，EF为经过点O的一条直线，那么
8、1与2的关系是（）A互余 B互补 C互为对顶角 D相等【解析】ABCD，BOD=90又EF为过点O的一条直线，1+2=180BOD=90，即1与2互余故选：A例3、下列说法：（1）同角的余角相等（2）相等的角是对顶角（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短中。正确的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】C例4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】D例5、如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）A2条B3条C4条D5
9、条【解析】D例6、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOC，OFOE于O，若AOD=70，求AOF度数【解析】B0C=AOD=70又OE平分BOCBOE=BOC=35OFOEEOF=90AOF=180EOFBOE=55例7、O为直线DA上一点，OBOF，EO是AOB的平分线（1）如图（1），若AOB=130，求EOF的度数；（2）若AOB=，90180，求EOF的度数；（3）若AOB=，090，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中EOF的结果仍然成立【解析】（1）AOB=130，EO是AOB的平分线=65OBOFBOF=90AOF=AOBBOF=13090=40EOF=AOEAOF=
10、6540=25（2）AOB=，90180，EO是AOB的平分线AOE=BOF=90AOF=90EOF=AOEAOF=（90）=90（3）AOB=，090BOE=AOE=BOF=90EOF=BOFBOE=90考点三： 平行线例1、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A平行 B相交C平行或相交 D平行、相交或垂直【解析】C例2、下列说法中正确的是（）A如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行B不相交的两条直线一定是平行线C同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行D同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线【解析】D例3、如图，在立方体中和AB平行的棱有（
11、）A1条B2条 C3条 D4条【解析】C例4、下列语句中： 一条直线有且只有一条垂线； 不相等的两个角一定不是对顶角 两条不相交的直线叫做平行线 两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等； 不在同一直线上的四个点可画6条直线； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角。其中错误的有（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】C例5、下列说法正确的是（）A两点之间的距离是两点间的线段B同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行C与同一条直线垂直的两条直线也垂直D同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解析】DP(Practice-Oriented
12、)实战演练实战演练 课堂狙击1、观察下列图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个交点，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是（）A435 B450 C465 D406【解析】解：第一个图2条直线相交，最多有1个交点， 第二个图3条直线相交最多有3个交点， 第三个图4条直线相交，最多有6个， 而3=1+2，6=1+2+3，第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个，30条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+29=（1+29）292=435 故选A2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分AOD，若DOE=36
13、，则BOC的度数为（）A72 B90 C108 D144【解析】OE平分AOD，AOD=2DOE=236=72，BOC与AOE是对顶角，BOC的度数为72，故选A3、下列说法错误的是（）A一个角的补角比它的余角大 B若两角相等，则它们的补角也相等C相等的角是对顶角 D两个钝角不能互补【解析】C4、已知点C在直线a外，点A在直线a上，且AC=2厘米（1）设d是点C到直线a的距离，求d的取值范围；（2）若直线BD垂直于直线a，垂足为B则直线BD与直线AC有怎样的位置关系，请画示意图表示（每种位置关系画一个示意图）【解析】（1）当AC直线a时，A为垂足，此时d=AC=2厘米0d2（2）如图所示：分别
14、是重合、相交（两种）、平行标出AC与BD交于点E5、如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分AOB，EOC=2825（1）求AOD的度数；（2）判断AOD与COB的大小关系，并说理由【解析】（1）直线AB、CD相交于点O，AOB=COD=180，OE平分AOB，AOE=BOE=90，AOD=180AOEEOC=180902825=6135；（2）AOD=COB因为BOC与AOD是对顶角所以相等6、如图 所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图 那样放置（1）若BOC=60，如图，猜想AOD的度数；（2）若BOC=70，如图，猜想AOD的度数；（3）猜想AOD和BOC的关系，并
15、写出理由【解析】（1）AOB=90，BOC=60AOC=AOBBOC=9060=30又COD=90AOD=AOC+COD=30+90=120（2）AOB+COD+BOC+AOD=360AOB=90，COD=90，BOC=70AOD=360AOBCODBOC=360909070=110 （3）猜想：AOD+BOC=180理由：如图 AOD=AOC+COD=AOC+90，BOC=CODBOD=90BOD，AOC=BOD，AOD+BOC=1807、如图，已知：点A、点B及直线（1）请画出从点A到直线的最短路线，并写出画图的依据（2）请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出
16、画图的依据【解析】（1）如图所示：过A作AE，点E为所求，根据垂线段最短（2）如图所示：连接AB，与交点就是O，根据两点之间线段最短8、如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，ABl2，ACl1，AB=4，BC=3，AC=5则下列说法正确的是（）A点B到直线 l1的距离等于4 B点C到直线l1的距离等于5C直线l1，l2的距离等于4 D点B到直线AC的距离等于3【解析】B 10、若A、B、C是直线上的三点，P是直线外一点，且PA=6cm，PB=5cm，PC=4cm，则点P到直线的距离（）A等于4cm B大于4cm而小于5cmC不大于4cm D小于4cm【解析】C 课后反击1、下列说法
17、正确的是（）A三条直线两两相交，交点必定是3个 B射线OA和射线AO是同一条射线C一点与一条直线有两种位置关系 D如果线段AB=BC，则点B叫线段AC的中点【解析】C2、观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（）A21 B28 C36 D45【解析】观察图形可得：n条直线相交最多可形成的交点个数为8条直线相交，最多可形成交点的个数为=28选B3、如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AOD，OFOC，（1）图中AOF的余角是BOC、AOD（把符合条件的角都填出来）；（2）如果AOC=160，那么根据对顶角相等可得BOD=160度；（3）如果1=32，求2和3的度
18、数【解析】解：（1）OFOC，COF=DOF=90，AOF+BOC=90，AOF+AOD=90，AOF的余角是BOC、AOD；故答案为：BOC、AOD；（2）AOC=160，BOD=AOC=160；故答案为：对顶角相等； 160；（3）OE平分AOD，AOD=21=64，2=AOD=64，3=9064=264、如图，直线AB、CD相交于点O，OECD，BOE=54，则AOC等于（）A54 B46 C36 D26【解析】OECD，DOE=90又BOE=54，BOD=90BOE=36，AOC=BOD=36故选C5、如图，把一张报纸的一角斜折过去，使A点落在E点处，BC为折痕，BD是EBM的平分线，
19、则CBD= 【解析】把A折过去与E重合，ABC=CBE=ABE，BD是EBM的平分线，EBD=DBM=EBM，又ABE+EBM=180，CBD=CBE+EBD=ABE+EBM=（ABE+EBM）=180=906、如图，已知ABBD，BCCD，AD=a，CD=b，则BD的长的取值范围为（）A大于bB小于aC大于b且小于aD无法确定【解析】在RtBCD中，BDCDCD=bBDb在RtBAD中，ADBDAD=a DBa bDBa 故选：C7、关于点到直线的距离的四种说法正确的是（） A连接直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离 B连接直线外的点和直线上的点的线段的长度叫做点到直线的距离 C直
20、线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离 【解析】D8、如图的长方体中，与AA平行的棱有哪几条？与AB平行的棱有哪几条？分别用符号把它们表示出来【解析】由图可知，和棱AB平行的棱有CD，AB，CD；与棱AA平行的棱有DD，BB，CC9、（1）已知OAOC，BOC=30，且OD、OE分别为AOB、BOC的角平线，请求出DOE度数（2）如果把（1）中“BOC=30”改成“BOC=x（0x90）”，其他条件都不变，则DOE度数变化吗？请说明理由【解析】（1）OAOCAOC=90，BOC=30AOB=AOC+BOC=90+30=120OD
21、、OE分别为AOB、BOC的角平分线BOD=AOB=60，BOE=BOC=15DOE=BODBOE=6015=45（2）DOE度数不变OAOCAOC=90，BOC=xAOB=AOC+BOC=90+x=90+xOD、OE分别为AOB、BOC的角平分线BOD=AOB=45+，BOE=BOC=DOE=BODBOE=（45+）=45直击中考 1、【2014 厦门】已知直线AB，CB，l在同一平面内，若ABl，垂足为B，CBl，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A B C D【解析】C2、【2016 南通】已知：如图直线AB与CD相交于点O，OEAB，COE=60，则BOD等于度【解析】303、【2
22、009 贺州】在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OCOD，当AOC=30时，BOD的度数是（）A60 B120 C60或90 D60或120【解析】 当OC、OD在AB的一旁时OCOD，COD=90，AOC=30BOD=180CODAOC=60 当OC、OD在AB的两旁时，OCOD，AOC=30，AOD=60，BOD=180AOD=120故选DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反
23、向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。3、互补与互余互补：如果两个角的和是180，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角，也称互余。性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。名师点拨 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“”表示两条直线互相垂直。如上图，直线AB与直线CD垂直，记作ABCD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 17
