2020年高考数学(理)模拟卷新课标及答案解析(2)

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资源描述

1、2020年高考数学(理)模拟卷新课标(2)(本试卷满分150分,考试用时120分钟)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并

2、交回。第卷(选择题)一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则集合中元素的个数为A6B7C8D9【答案】C【解析】【分析】先根据题意解出集合,再根据题意分析中元素为中的子集,可求出【详解】解:因为集合,所以,1,因为,所以中的元素为的子集个数,即有个,故选:【点睛】本题考查集合,集合子集个数,属于基础题2已知a为实数,若复数z(a21)(a1)i为纯虚数,则()A1B0C1iD1i【答案】D【解析】因为为纯虚数,所以,得,则有,故选D.3已知实数满足,则(  )ABCD【答案】C【解析】,综上所述,故故选4如

3、图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据,若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析,则这2个月的利润(利润收入支出)都不高于40万的概率为(  )ABCD【答案】B【解析】【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析,基本事件总数,由折线图得6月至11月这6个月中利润(利润收入支出)低于40万的有6月,9月,10月,由此即可得到所求【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据,从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析,基本事件总数,由折线图得6月至11月这6个月中利润(利润收入支出)不高于40万的有6月,8

4、月,9月,10月,这2个月的利润(利润收入支出)都不高于40万包含的基本事件个数,这2个月的利润(利润收入支出)都低于40万的概率为,故选:【点睛】本题主要考查了古典概型,考查了运算求解能力,属于中档题5函数的大致图象是(    )ABCD【答案】A【解析】【分析】用排除B,C;用排除;可得正确答案.【详解】解:当时,所以,故可排除B,C;当时,故可排除D故选:A【点睛】本题考查了函数图象,属基础题6安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树,天下之名果”的美称,今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查,了解到某石榴合作社为了实现万元利润目标,

5、准备制定激励销售人员的奖励方案:在销售利润超过万元时,按销售利润进行奖励,且奖金(单位:万元)随销售利润(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过万元,同时奖金不能超过利润的.同学们利用函数知识,设计了如下函数模型,其中符合合作社要求的是(    )(参考数据:)ABCD【答案】D【解析】【分析】根据奖励规则,函数必须满足:,增函数,【详解】对于函数:,当时,不合题意;对于函数:,当时,不合题意;对于函数:,不满足递增,不合题意;对于函数:,满足:,增函数,且,结合图象:符合题意故选:D【点睛】此题考查函数模型的应用,关键在于弄清题目给定规则,依次用四个函数逐一检验.7已

6、知正项等差数列中,若,若,成等比数列,则等于(   )ABCD【答案】A【解析】正项等差数列中,构成等比数列,即构成等比数列,依题意,有,解得或(舍去),故选A.8如图,在中,若,用表示为()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查根据向量的线性运算,来利用已知向量表示所求向量;关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.9如图,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线分别交于点,若为等边三角形,则双曲线的方程为(    )ABCD【答案】C【解析】根据双曲线的定义,可得|A

7、F1|-|AF2|=2a,ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|BF1|=2a又|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=|BF1|+2a=4a,BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,F1BF2=120|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos120即4c2=4a2+16a2-22a4a(-)=28a2,解得c2=7a2,又c=所以 方程为故选C点睛:本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质,考查了余弦定理解三角形,根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键10九章算术卷七盈不足中有如下问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊

8、价各几何?”翻译为:“现有几个人一起买羊,若每人出五钱,还差四十五钱,若每人出七钱,还差三钱,问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题,设置了如图所示的程序框图,若要输出人数和羊价,则判断框中应该填(    )ABCD【答案】A【解析】【分析】根据程序框图确定表示的含义,从而可利用方程组得到输出时的值,从而得到输出时的取值,找到符合题意的判断条件.【详解】由程序框图可知,表示人数,表示养价该程序必须输出的是方程组的解,则时输出结果    判断框中应填本题正确选项:【点睛】本题考查根据循环框图输出结果填写判断框内容的问题,关键是能够准确判断出输出结果时的取

9、值,属于常考题型.11已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )A6    B    C    D【答案】D【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得,体积为,故选D12已知函数,若方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围为ABCD【答案】D【解析】【分析】等价于或,由有唯一解可得有两个不同的根,转化为的图象有两个交点,利用数形结合可得结果.【详解】可变形为,即或,由题可知函数的定义域为,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,画出函数的大致图象,如图所示

10、,当且仅当时,因为方程恰有三个不同的实数根,所以恰有两个不同的实数根,即的图象有两个交点,由图可知时,的图象有两个交点,所以实数的取值范围为,故选D【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系,考查了数形结合思想的应用,属于难题. 函数零点的几种等价形式:函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.第卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。13在数列中,前项和为,则=_。【答案】【解析】由题意可得,故数列an为等比数列,且公比q=2,故故答案为:14设,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】已知,直接利用基本不等式转化求

11、解的最大值即可【详解】,即,两边平方整理得,当且仅当,时取最大值;故答案为:【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,注意基本不等式成立的条件15设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直,则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】分别求出,的导数,结合导数的几何意义及切线垂直可求.【详解】设,因为的导数为,所以曲线在点处的切线的斜率为;因为的导数为,曲线在点处的切线斜率为,所以,解得,代入可得,故.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.16已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,以为圆心的圆与

12、线段相交于点,且被直线截得的弦长为,若,则_【答案】1【解析】将点坐标代入抛物线方程得,解得,即,由于为圆的半径,而,所以,故,即,两边平方化简得,解得,故,.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查圆和直线的位置关系,考查特殊的等腰三角形中解三角形的方法.首先点是在抛物线上的,坐标满足抛物线的方程,由此求得的坐标,然后根据直线截圆所得弦长,得到点横坐标和圆半径的关系,由此列方程求解出的值.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17在锐

13、角三角形中,BC=1,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由三角形ABC为锐角三角形,根据诱导公式化简,即可求出的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出的值,由AB,BC及的值,利用余弦定理即可求出AC的长;(2)由BC,AC及的值,利用正弦定理求出的值,利用同角三角函数间的基本关系求出的值,然后利用两角差的正弦函数公式化简后,把各自的值代入即可求出值.【详解】解:(1)为锐角三角形, 在中,由余弦定理得: (2)在中,由正弦定理得 得.【点睛】此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.18如图,在四棱锥中,平面,底

14、面是菱形,()求证:直线平面;()求直线与平面所成角的正切值;()设点在线段上,且二面角的余弦值为,求点到底面的距离【答案】()证明见解析;();().【解析】【分析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;()建立空间直角坐标系,分别求得直线的方向向量和平面的法向量,然后求解线面角的正切值即可;()设,由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点到底面的距离【详解】()由菱形的性质可知,由线面垂直的定义可知:,且,由线面垂直的判定定理可得:直线平面;()以点A为坐标原点,AD,AP方向为y轴,z轴正方向,如图所示,在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐

15、标系,则:,则直线PB的方向向量,很明显平面的法向量为,设直线与平面所成角为,则,.()设,且,由于,故:,据此可得:,即点M的坐标为,设平面CMB的法向量为:,则:,据此可得平面CMB的一个法向量为:,设平面MBA的法向量为:,则:,据此可得平面MBA的一个法向量为:,二面角的余弦值为,故:,整理得 ,解得:.由点M的坐标易知点到底面的距离为或者.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,空间向量在立体几何中的应用,立体几何中的探索问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19设椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若椭圆C的离心率为,的周长为8.()求椭圆C的方程;()已知直

16、线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【答案】()()存在,【解析】【分析】(I)根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆的标准方程.(II)设出两点的坐标,联立直线的方程和椭圆方程,计算判别式求得的取值范围,并写出根与系数关系,根据圆的几何性质得到,由此得到,由此列方程,解方程求得的值.【详解】(I)由题意知,所以所求椭圆的标准方程是.(II)假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点.设,联立方程组,消去得,由题意知,是此方程的两个实数解,所以,解得或,所以.又因为以为直径的圆过原点,所以

17、,所以,而, ,即,解得.故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查圆的几何性质,考查运算求解能力,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20设函数.(1)当时,求在点处的切线方程;(2)当时,判断函数在区间是否存在零点?并证明.【答案】(1);(2)函数在上存在零点,证明见解析.【解析】【分析】(1)求导,求出,即可求解;(2)根据的正负判断的单调性,结合零点存在性定理,即可求解.【详解】函数的定义域为.(1)当时,又,切点坐标为,切线斜率为,所以切线方程为;(2)当时,所以在上单调递减,当时,又,所以函数在上存在零点

18、.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查导数在函数中的应用,用导数判断函数的单调性,考查函数零点的存在性的判断,属于中档题212019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段9:209:40记作区间,9:4010:00记作,10:0010:20记作,10:2010:40记作.比方:10点04分,记作时刻64.(1)估计这600辆车在9:2010:40时间段

19、内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记为9:2010:00之间通过的车辆数,求的分布列与数学期望;(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布,其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:4610:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据:若,则,.【答案】(1)10点

20、04分;(2)详见解析;(3)819辆.【解析】【分析】(1)用每组中点值乘以频率,然后相加,得到平均值.(2)先用分层抽样的知识计算出量车中位于的车辆数,然后利用超几何分布的知识计算出分布列,并求得数学期望.(3)由(1)可知,计算出方差和标准差,利用正态分布的对称性,计算出在9:4610:40这一时间段内通过的车辆的概率,乘以得到所求车辆数.【详解】解:(1)这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为,即10点04分。(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数,即,所以的可能取值

21、为0,1,2,3,4。所以,所以的分布列为01234所以.(3)由(1)可得, ,所以.估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数,也就是通过的车辆数,由,得  ,所以,估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数为(辆).【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差,考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算,考查正态分布计算,属于中档题.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程(为参数).直线的参数方程(为参数).()求曲线在直角坐标系中的普通方程

22、;()以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时,求直线的倾斜角.【答案】();().【解析】【分析】()利用可将曲线的参数方程化为普通方程;()解法一:可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为,设弦的端点分别为,利用点差法可求出直线的斜率,即得的值;解法二:写出直线的参数方程为,将直线参数方程与曲线的普通方程联立,由可求出角的值.【详解】()由曲线的参数方程(为参数),得:,曲线的参数方程化为普通方程为:;()解法一:中点极坐标化成直角坐标为.设直线与曲线相交于,两点,则,.则,-得:,化简得:,即,又,直线的倾斜角为;解法二:中点极坐标化成直角坐标为,

23、将分别代入,得.,即.,即.又,直线的倾斜角为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,同时也考查了中点弦问题的求解,可利用点差法求解,也可以利用韦达定理法求解,考查计算能力,属于中等题.23选修4-5:不等式选讲已知函数的最小值为(1)若,求证:;(2)若,求的最小值【答案】(1) 证明见解析   (2)4【解析】【分析】(1)运用绝对值不等式的性质,可得的最小值,再由分析法证明不等式,注意平方法和因式分解法;(2)由条件运用基本不等式可得,再由基本不等式和不等式的性质:传递性,即可得到所求最小值【详解】解:(1)证明:函数,当时,取得等号,即的最小值为2,即,可得,即有,由,上式显然成立,故;(2),由,可得,当且仅当时,取得等号,则,当且仅当,时,取得最小值4【点睛】本题考查绝对值函数的最值,以及不等式的证明,注意运用分析法,考查基本不等式的运用,注意等号成立的条件,考查运算能力,属于中档题

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